Исследовательская работа по теме: Можно ли проверить алгеброй гармонию?

Можно ли проверить  алгеброй гармонию? Автор:  Гуревич Екатерина, 10 класс,  МБОУ «СОШ № 36»,г. Ангарск Руководитель:  Якущенко Вера Викторовна, учитель музыки  МБОУ «СОШ № 36», г. Ангарск 2013г. 1 Введение «В природе существует много такого, что не может быть нам достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи вмешательства математики. Это можно сказать о перспективе, музыке,…архитектуре…» Ф. Бекон «Музыка – это бессознательное упражнение души в арифметике» Г. Лейбниц.                             «Проверив алгеброй гармонию» А.С. Пушкин Общение с музыкой вводит в мир не проходящих ценностей, помогает выработать   ценностные   ориентиры,   она   воздействует   на   умы   и   сердца людей, на развитие нравственного и эстетического убеждения, интересов, на формирование личности. Математика и музыка – два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.                    Давно уже ученые занимались вопросом: почему в музыкальной октаве   семь   основных   звуков   –   столько   же,   сколько   цветов   в   спектре солнечного   света.   Еще,   ничего   не   зная   о   природе   звуков,   человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие. Многим известно высказывание народного артиста России, пианиста, педагога,   доктора   искусствоведения   Генриха   Густавовича   Нейгауза: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, 2 я   пришел   к   выводу,   что   математика   и   музыка   находятся   на   крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и   определяется   вся   творческая   духовная   деятельность   человека   и   что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».  [3,с.42]  Немного непривычно слышать подобные слова из уст музыканта. Казалось бы, искусство – весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства Взаимосвязь   математики   и   музыки   является     одной   из   самых актуальных тем. Она до сих пор полностью не раскрыта и не изучена, чем и привлекает к себе внимание многих ученых и математиков.  Мы провели анкетирование учащихся 10А класса МБОУ «СОШ № 36» по теме: можно ли проверить алгеброй гармонию?  Школьникам былы заданы следующие вопросы: 1. Родственны   ли   содержательно   и   психологически   музыкальные   и математические операции? 2. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности? 3. Помогают   ли   занятия   музыкой   справлять   с   изучением   математики   в школе?  Результаты анкетирования: 1 вопрос Да 13 Нет 11 2 вопрос 3 вопрос Да 7 Нет 18 Да 5 Нет 20 3 Вывод: 1. Учащиеся плохо осведомлены о том, что занятия музыкой помогают тренировать   не   только   математические   способности,   память,   но   и справляться с изучением математических дисциплин. 2. Математические   и   музыкальные   операции   ученики   считают родственными. Следовательно,   эта   тема   актуальна   и   требует   внимательного рассмотрения.               Всем   известен   тот   факт,   что   любое   музыкальное   произведение записывается   нотами.     Если   попробовать   определенным   образом переложить ноты на числа, будет ли наблюдаться в этом числовом ряду какая либо закономерность? Если такая связь есть, то можно предположить   если   музыкальное   произведение   представить   как   некую обратное: ряд чисел имеет свое музыкальное звучание. Гипотеза:   математическую   модель,   то   она   будет   иметь   определенные   числовые закономерности.  4 Обратная гипотеза:  если числовой ряд можно переложить на музыку, то эта   музыка   будет   отражать   своим   звучанием   закономерность   числового ряда.  Цель исследования: установить связь между музыкой и математикой.  Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:  1. Изучить литературу по теме исследования. 2. Выяснить,   были   ли   в   истории   попытки   связать   математику   с музыкой. 3. Провести исследования по установлению связи между музыкой и математикой,   рассмотрев   несколько   музыкальных   произведений разных  направлений.  4. Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку и установить связь между звуками и способностями личности. 5. Оформить электронную презентацию к исследованию. 6. Рассказать   о   своей   работе   на   заседании   школьного   научного общества. Объект исследования: взаимосвязь музыки и математики Предмет исследования:   фрагменты музыкальных произведений различного направления;   учащиеся 10А класса МБОУ «СОШ № 36» (25 человек) Методы исследования:  Эмпирические: изучение и анализ литературы.  Теоретические:   наблюдение, систематизация.   сравнение,   анализ,   обобщение, Методологической   основой   работы  является   труд  Дэвида   Филипса «Нумерология и открытие внутреннего "Я"» в котором рассказывается о формировании характера и способностей человека в зависимости от  даты 5 его рождения.  Источниками для размышлений,  стала работа Жмудь Л. Я. «Пифагор и его школа» в которой на обширном материале от античных времен   до   наших   дней   прослеживаются   пути   взаимодействия     и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки и искусства, а так же труд  А.В. Волошинова «Математика и искусство», где автор, рассматривая «математические начала» формообразования в музыке показывает,  что   глубинные,  фундаментальные   закономерности,  присущие этому виду искусства, находят адекватное выражение на языке математики. 1. Исследования в области математики и музыки Изучая   литературу,   мы   узнали   о   том,   что   в   прошлом   были неоднократные   попытки   рассматривать   музыку   как   один   из   объектов изучения     математики.   Исследованию   музыки   посвящали   свои   работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд  ­ "Compendium Musicae" в переводе "Трактат о музыке") , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д'Аламбер, Даниил Бернулли и другие. В   своих   трудах   ученые   неоднократно   делали   попытки   представить музыку   как   некую   математическую   модель.  Приведем   одну   из   цитат   из работы Леонарда Эйлера «Диссертация  о звуке», написанную в 1727 году. «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку   как   часть   математики   и   вывести   в   надлежащем   порядке   из правильных   оснований   все,   что   может   сделать   приятным   объединение   и 6 смешивание   звуков».   [1,с.132].   Свое   отношение   к   математике   и   музыке ученые  высказывали  в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в   письме   Гольдбаху   пишет:   «Музыка   есть   скрытое   арифметическое упражнение души, не умеющей считать». [1, с. 36]. На что Гольдбах ему отвечает: «Музыка ­ это проявление скрытой математики».[1,с.36]. Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета ­ музыку и математику. Музыка, как одно из семи видов   искусств,   воспринималась   наряду   с   арифметикой,   геометрией   и астрономией  как   научная   дисциплина,   а   не   как   практическое   занятие искусством. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих   занятия   упорядочивают   хаотичность   мышления   и   дополняют   друг друга. [1,с.15].                           2.Исследование музыкальных произведений Мы  рассмотрели классическое произведение Ф. Шопена (1810 –  1829)  «Мазурка ля минор» (Рисунок 1.) 7 Рисунок 1. Фрагмент произведения  Ф. Шопена «Мазурка ля – минор» Затем   сделали математическую модель этого произведения: Каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – I, 9 – II, 0 – III.  Переложили ноты на цифры, получив при этом такой ряд чисел. 5 | 5654 | 5234 | 3432 | 3712 | 1237 | 14576 | 5423 | 1 || Черта между цифрами служит тактовой чертой, то есть делит их на такты так, как сделано в произведении. В музыке есть понятие об устойчивых ступенях – ступенях, на которых строится тоника: 1, 3, 5. Если в каждом полном   такте   сложить   номера   устойчивых   ступеней,   то   мы   заметим следующую закономерность.  В первом такте сумма равна 10 (5+5), во II – 8(5+3), в III – 6(3+3), в IV – 4(3+1), в V – 4(1+3),  в VI – 6(1+5), в VII – 8(5+3) .  8 Получили ряд чисел: 10, 8, 6, 4, 4, 6, 8… и т.д. Следовательно, наблюдаем закономерность, что в произведении повторяется группа цифр 10 8 6 4 и наоборот.  Теперь, попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.   Получили   числа   в   соответствии   с   номерами   тактов:   600(5∙6∙5∙4), 120(5∙2∙3∙4), 72(3∙4∙3∙2), 42(3∙7∙1∙2), 42(1∙2∙3∙7), 840(1∙4∙5∙7∙6), 120(5∙4∙2∙3). То есть имеем следующий ряд 600,120,72,42,42,840,120…. Значения в III такте (3432) и в VI такте (14576) получились  разные за счёт того, что количество нот (4 и 5) в них различное. Затем мы обратились к современному классическому произведению  Яна Тирсена «La Valse D'amelie» (2001 год) (Рисунок 2) и переложили ноты на цифры: Рисунок 2. Фрагмент произведения Я. Тирсена «La Valse D'amelie» Получили следующий результат: 9 4 | 443  | 2 | 21  | 4 | 454323  | 2 | 21  |  3  | ­ такой фрагмент повторяется постоянно.  Сложив номера устойчивых ступеней, получили: 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 11 | 0 | 1 | 3 | ­ это будет повторяться циклически. Кроме   классических   произведений   были   проанализированы музыкальные   произведения, относящиеся к другому направлению. Нами были выбраны рок и группа Rammstien с композицией  «Du hast» (Рисунок 3): Рисунок 3. Фрагмент композиции «Du hast» группы Rammstien Получили следующий результат:   4311111111 | 4311111111 | 3444444444 | ­ повторяется на протяжении всей песни. Сложив номера устойчивых ступеней, получили:  11 | 11 | 3 | 11 | 11 | 3 | … ­ и так далее.   Следующим произведением, на которое мы обратили внимание, стала «Жига» Ж. Обера (1689 – 1753). (Рисунок 4). Мы рассмотрели  фрагмент этого классического шедевра, т.к. оно относится к произведениям   более раннего периода:  10 Рисунок 4. Фрагмент произведения Ж. Обера «Жига»  Получили следующий числовой ряд:  1321351  |  3321  | 7712524 |  321  |  55  | 6456247   |   44   |  5345136   |  33  |   4234725  |   22   |  3123255  |  32123155  | 321231432342 |  55234 |  321517 |  12 |  3123171  |  117 | 6671765  | 465432 | 5765725 | 2432462 | 1321171 | 1321171 | 1321171 | 1475 | 765254 | 55 || Мы сложили подчеркнутые цифры ­ это устойчивые ступени. Получили следующее:   14 | 7 | 6 | 4 | 10 | 5 | 0 | 17 | 6 | 8 | 0 | 17 | 18 | 14 | 13 | 10 | 1 | 9 | 2 | 6 | 8 | 15 | 3 | 7 | 7 | 7 | 6 | 10 | 10 || Мы заметили, что ряд, составленный из суммы устойчивых ступеней, не имеет каких либо закономерностей. 3.Исследование дат рождения учащихся 10А класса 11 МБОУ «СОШ № 36» и связи дат рождения с творческими способностями данных школьников                          МБОУ «СОШ № 36» Согласно теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми   событиями,   над   всеми   живыми   существами,   а   значит,   что   числа правят музыкой. Он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике)   и   вследствие   этого   восстанавливает   в   организме   человека гармонию. [3, с.15].   Нумерология – это паранаука о числах. Нумерология  имеет еще одно распространенное   название   –   Магия   Чисел.   В   нумерологии   все   слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным числам), которые   соответствуют   различным   оккультным   характеристикам, влияющим   на   жизнь   человека.   Это   значит,   что   каждому   однозначному числу,   согласно   нумерологии,   соответствуют   определенные   свойства, образы и понятия. Нумерологию в основном используют для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых   сторон   его   личности,   предсказания   будущего,   для   выбора наилучшего времени для принятия серьезных решений и начала действий, а также   для   определения   подходящей   профессии,   места   проживания   и многих других факторов.  Даты рождения – это ряд чисел. Попробуем установить связь между числами и музыкой.  Нами были исследованы даты рождения учащихся 10 «а» класса. Как известно, дата – набор цифр. Мы переложили даты на ноты. У каждого человека   получилось   по   одному   аккорду  (Рисунок   5).  звучащие гармонично, но были и такие, которые не радовали слух.   Были   аккорды Мы присвоили каждой ноте цифровое значение: до – 0, ре – 1, ми – 2, фа – 3, соль – 4, ля – 5, си – 6, до – 7, ре – 8, ми – 9. 12 Рисунок 5. Исследования дат рождения учащихся 10 А класса (На рисунке  знаком « ­ » обозначены  аккорды, звучащие  негармонично,   знаком «+» обозначены  аккорды, звучащие  гармонично). 13 После того как даты рождения были переложены на аккорды, мы стали устанавливать     связь   между   звучанием   даты   рождения   и  способностями человека. Методом   опроса   выяснили,   какому   занятию   каждый   из     учеников посвящает свое свободное время. Таким образом мы  получили следующие сведения: I группа (ученики, у которых аккорды благозвучные): Благозвучные: Гантимурова Елена (14.08.1997) Горбунова Мария (11.04.1997) – занимается в вокальной студии Илюшин Антон (25.02.1997) – посещает художественную школу Кадошникова Елена (13.07.1997) Корнаухова Елизавета (05.06.1997)­ закончила музыкальную школу Лабазникова   Мария   (27.08.1996)   ­   занимается   английским   языком, посещае курсы парикмахерского искусства Мельник Лев (14.02.1997) – играет на гитаре (домашнее музицирование) Петрук Мария (13.02.1997) – занимается рисованием Попов Алексей (14.08.1997) Потапова Мария (15.05. 1997) ­ закончила музыкальную школу Труфанова Елизавета (21.08.1996) Шатилин Артем (24.08.1997) Потоцкий   Михаил   (24.12.   1996)   –   занимается   в   музыкальной   школе (класс гитары) II группа (ученики, у которых аккорды не звучат): Вотяков Артем (15.11.1996) – занимается футболом, хоккеем Гуревич Екатерина (23.10.1997) – занимается в музыкальной школе 14 Дубровина Елена (25.10.1997) Иванов Константин (17.10.1997) ­ заниматся волейболом, баскетболом Козлова Ольга (01.08. 1997) Мельников Константин (12.10.1997)   Никульников Валерий (12.07.1997) – занимается спортом Пьянков Никита (12.08.1997) – занимается баскетболом Романов Алексей (12.10.1997) ­ заниматся волейболом, баскетболом Склянова Елена (23.10.1997) Страхов Марк (27.09.1997) – занимается биатлоном Тумурова Елена (02.04.1997) Таким образом, наш класс, по звучанию дат рождения, разделился на две группы. В первой группе (мелодичные аккорды) оказалась большинство юношей   и   девушек   с   творческими   наклонностями:   некоторые   из   них занимаются в  музыкальной или художественной школе, а так же вокалом. Даная группа детей обладает творческими способностями, косвенно или напрямую учащиеся связанны с музыкой. Во второй группе, где аккорды звучали дисгармонично, большинство детей   занимаются   различными   видами   спорта.   Гуревич   Екатерина   тоже оказалась в этой группе, хотя занимается в музыкальной школе по классу гитары. Возможно, это парадокс? Следует отметить, что в двух группах оказались те,   кто по тем или иным причинам ничем не увлекается и не занимается в каких либо секциях. Следовательно,   можно   предположить,   что   они   имеют   творческие способности (спортивные, интеллектуальные, лингвистические и т.д.), но не реализовали их. 15 Заключение В   исследовательской   работе   мы   выдвинули   гипотезу   о   том,   что любое   музыкальное   произведение   можно   представить   как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности.  По   изложенному   в   работе   способу   перевода   нот   в   числовой   ряд следует,   что   первая   часть   гипотезы   верна.   Можно   перевести   любое музыкальное   произведение   в   числовой   ряд.  Способов   перевода   может быть   несколько.   В   работе   рассмотрены   два:   сложение   устойчивых ступеней и умножение  устойчивых ступеней. Однако, в ходе проведения исследований   музыкальных   произведений   выше   перечисленными способами   нами  выявлено,  что   не  каждый  числовой  ряд  имеет  какую либо математическую закономерность. Яркий пример тому произведение «Жига»  Ж. Обера. (Рисунок 4). Подтвердилась и вторая часть гипотезы. Предложенный     способ   также   позволяет   любой   числовой   ряд переложить   на   музыку.   Мы   провели   исследование   дат   рождения одноклассников.   То,   что   музыка   отражает   в   себе   закономерность числового   ряда   и   как   следствие   имеется   связь   между   звучанием   дат рождений   и   наклонностями   человека   находит   подтверждение   в  наших исследованиях. Но для подтверждения данного утверждения (о том, что звучание даты рождения определяет определенный тип способностей человека), необходимо большее количество исследуемых.   Если   в последующем, при   более   глубоких   и   многочисленных   исследованиях,   наше предположение   будет   доказано,   то   данное   утверждение   поможет человеку использовать еще один способ для  самопознания, определения 16 рода   занятий,   выбора     профессии,   для     наиболее   полного   раскрытия потенциала личности.  Для   привлечения   внимания   к   теме   взаимосвязи   музыки   и математики нами была проведена следующая работа:   Выступление с сообщениями на уроках музыки и математики; Проведено анкетирование по теме: можно ли проверить   алгеброй гармонию?  Участвовали в проведении радиолинейки. Кроме того,   мы убедились в том, что в этой области еще очень много важного, интересного и занимательного не раскрыто и можно смело вести исследования этой темы. Работа может быть использована   на уроках музыки, математики, классных часах, внеклассных мероприятиях в качестве дополнительного материала. 17 Список литературы 1. Волошинов А.В.  Математика и искусство.­ М.: Просвещение, 1992. – 335 с.: ил. – ISBN 5­09­002705­6. 2. Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия. 3. Волошинов А. В.; Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993. – 224 с.: ил. – ISBN 5­09­003914­3. 4. Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э.  Язык, музыка, математика. – М.: Просвещение, 1999. – 217с.: ил. 5. Васюткин Н.  Золотая пропорция. ­ М.: Просвещение, 2002. – 275 с.: ил. 6. Гейн А.Г., Касымов А.О.   Математика и музыка. – Волгоград, 2011. – 134с.: ил. 7. Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего "Я". Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с. 8. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с. 9. Липилина В.В.  Поиски красоты и прикладные задачи математики в искусстве.­ М.: Просвещение, 2005. – 115 с.: ил. 10.   Математика   и   музыка:   Методические   указания   для   руководителей   кружков НПОУ «Поиск»/Сост. И.А.Круглова; Под ред. В.Н. Сергеева. Омск: Омск. Ун­т, 1991, 90 с. 11.  Математический энциклопедический словарь. – М., 1988. 12. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Занимательная  геометрия. – М., 2002.  1.   Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт. – М.: Наука. Главная редакция   физико­математической   литературы,   1985.   –   192   с.   –   (Библиотечка «Квант». Вып. 44). 13. Скрипка: Хрестоматия для 5­7 классов детской музыкальной школы: Глюк Х., Бах И.С., Гуно Ш. и др. (исп. ред. Михайлова К.Ф.). М.: Кифара, 2005, 172с. 14. Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1985. Ресурсы Интернета: 1. Онлайн энциклопедия «Кругосвет»: http://www.krugosvet.ru/ 2. Свободная энциклопедия «Википедия» http://ru.wikipedia.org/ 18 3. 4.  htth://wwww.1gb/ru/show_artikle.php?upd=126  htth://www.vn.ru/09.01/2003/socicty/23466/    19