Исследовательская работа по теме "Софизмы и парадоксы"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей №1» Исследовательская работа по теме «Софизмы и парадоксы» Выполнил: Хохлов Кирилл ученик 6Б класса Руководитель: учитель математики  Казьменко Елена Александровна Воронеж 2017 г Введение                   Наше   общество   развивается   большими   темпами.   Для   развития   производства требуются   техники,   инженеры,   ученые,   знания   которых   базируются   на   точных   науках: математике, физике, химии. А эти науки надо не только знать, но и понимать. Софизмы и парадоксы   развивают   логику   и   мышление,   помогают   лучше   разобраться   в   математике, прививают навыки правильного мышления.     Софизмы и парадоксы, на сегодняшний день, это особо актуальная тема. Я бы хотел, с помощью этой исследовательской работы изучить и понять софизмы и парадоксы. Чтобы не совершать софистического рассуждения, под видом  истинного. Но  не только для этого. Ведь  при обнаружении ошибок появляется интерес. Так же важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе  софизмы будут бесполезны.  Обнаружить ошибку – это значит осознать   её,   а   осознание   ошибки   предупреждает   нас   от   повторения   её   в   других математических  рассуждениях.          Целью моей работы является подробнее узнать о софизмах и парадоксах, проведя собственное расследование.  Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1.Узнать, что такое софизмы и парадоксы; 2.Дать определения понятиям «софизм» и «парадокс»; 3.Понять, как найти ошибку в софизмах; 4. Показать применение парадоксов в современной практике; 5.Рассмотреть несколько задач с софизмами и парадоксами; 6. Подвести итог своей работы. Основные понятия и определения. Методы исследования: • Изучение литературных источников. • Наблюдение и сопоставление материала. • Проведение анкетирования. Теоретическая часть 1.  Софизмы 1 . Что такое софизм ? Софизм ­(в переводе с греческого – « мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость»)   –     ложное   умозаключение,   которое,   тем   не   менее,   при   поверхностном рассмотрении   кажется   правильным.  Он   обязательно   содержит   одну   или   несколько замаскированных   ошибок.   Особенно   часто   в   математических   софизмах   выполняются «запрещённые»   действия,   не   учитываются   условия   применимости   формул   и   правил. Софизм является особым приёмом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь   за   истину   и   тем   самым   ввести   в   заблуждение.    Поиск   заключённых   в   софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. В   обычном   и   распространенном   понимании   софизм   —   это   умышленный   обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть.             Математический   софизм   –   удивительное   утверждение,   в   доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают   внимательно и настороженно продвигаться   вперед,   тщательно   следить   за   точностью   формулировок,   правильностью записи   чертежей,   за   законностью   математических   операций.   Очень   часто   понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание   ошибки   предупреждает   от   ее   повторения   в   дальнейших   математических рассуждениях.   Софизмы   строятся   на   том,   что   в   рассуждении   незаметно   подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, — различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.  Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и   незаметно   отождествляются   в   том   или   ином   рассуждении.   Софизмы   встречаются довольно   часто   и   в   самых   различных   областях   жизни:  в   математике,   в   экономике,   в философии, в логике и, особенно, в риторике (науке и искусству красноречия). 2. История возникновения софизмов Я   изучил   историю   возникновения   софизмов.   Софистика   –   это   искусство ведения спора.   Она вошла в моду в Греции   в  V  веке до нашей эры. Имея в этом выгоду   или   просто   интерес,   многие   умные   и   хитрые   люди   строго   логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложное умозаключение. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.  Софизм   –   слово   греческого   происхождения,   в   переводе   означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о "доказательстве", направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном   математические   софизмы   строятся   на   неверном   словоупотреблении,   на неточности   формулировок,   на   скрытом   выполнении   невозможных   действий,   на незаконных   обобщениях.   Систематический   анализ   софизмов   был   дан   впервые Аристотелем    (384­322   до   н.   э.)   в   особом   трактате,   в   котором   все   ошибки разделяются   на   два   класса:   "неправильности   речи"   и   ошибки   "вне   речи",   т.е.   в мышлении.   Каков   бы   ни   был   софизм,   он   обязательно   содержит   замаскированные ошибки.   Часто   в   математических   софизмах   скрыто   выполняются   запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Наиболее   известна   деятельность   старших   софистов,   к   которым   относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса см. [рисунок 1]           Протагор                                              Гиппий                                          Горгий [Рисунок 1] Одна   из   основных   задач   софистов   заключалась   в   том,   чтобы   научить   человека доказывать   (подтверждать   или   опровергать)   все,   что  угодно,  выходить   победителем   из любого   интеллектуального   состязания.   Для   этого   они   разрабатывали   разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы   в   любом   споре   недостаточно.   Ведь   если   объективная   истина   окажется   не   на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое   искусство.   Это   хорошо   понимали   и   сами   софисты.   Поэтому   помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская   идея   (особенно   дорогая   для   них),   состоявшая   в   том,   что   никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики. Софист ­ это 1.   Человек,   прибегающий   к   софизмам   для   доказательства   заведомо   неверных   мыслей, положений. 2. В древней Греции первоначальный мудрец, знаток, потом платный учитель философии, красноречия,   искусства   спора,   а   также   ­   философ,   расходившийся   с   общепринятыми взглядами   в   вопросах   религии   и   морали   и   обвинявшийся   противниками   в   пользовании софизмами.  Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно­итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».  В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики. 3.Классификация софизмов и примеры софизмов        Распределим некоторые  софизмы, помогающие  нам развить логическое мышление и проверить,   насколько   глубоко   мы   понимаем   некоторые   моменты   курса   математики. Математические софизмы делятся на 4 вида:  алгебраические, геометрические, логические и числовые. Я рассмотрела  некоторые из них[приложение 1] Алгебраические софизмы         Алгебраические   софизмы   –   намеренно   скрытые   ошибки   в   уравнениях   и   числовых выражениях. Приведем некоторые примеры: «Пять равно шести» Попытаемся доказать, что 5=6. С этой целью возьмём числовое равенство: 35+10­45=42+12­54. вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2­9)=6(7+2­9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6. В чём ошибка? 7+2­9=0. На ноль делить нельзя. «Дважды два – пять» Имеем числовое равенство (верное): 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или х 2=5. Где ошибка? Ошибка   сделана   при   вынесении   общих   множителей   4   из   левой   части   и   5   из   правой. Действительно,  4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1). «Один рубль не равен ста копейкам» Возьмем верное равенство: 1 р. = 100 к., Возведем его по частям в квадрат, получим: 1 р. = 10000 к. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. (Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа). «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а    и  – а –с    и   с Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: а    =   –а – с   =    с Но   если   в   пропорции   предыдущий   член   первого   отношения   больше   последующего,   то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного. (Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны). Логические софизмы     Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность   языковых   выражений,   их   неполноту,   недосказанность,   зависимость   их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры: « Полный стакан равен пустому»[приложение 2]     Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.  Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен  стакану пустому.    Где ошибка? Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно «Софизм учебы» Данным софизмом является песенка, Сочиненная английскими студентами: Песенка: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study? Перевод. Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться? Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом !!! «Лекарства» «Лекарство,   принимаемое   больным,   есть   добро.   Чем   больше   делать   добра,   тем   лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». «Девушка — не человек» Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка –  молодая, значит девушка   –   молодой   человек.   Молодой   человек   –       это   парень.   Противоречие.   Значит девушка — не человек. 1 Что такое парадокс ?            Парадокс ­  (от греческогоpara  – против и  doxa  – мнение) – противоречивое высказывание. В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, т.е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь. Парадокс   близок  софизму.   С   софизмом   их   различает   то,   что   парадокс   ­   не преднамеренно   полученный   противоречивый   результат.   Таким   образом,  парадокс   не ошибка,   однако   его   появление   нельзя   объяснить   и   желанием   сознательно   исказить положение   дел   или   незнанием   какой­то   детальной   информации.  Парадокс  коренится μ глубже и свидетельствует об объективно сложившемся противоречивом состоянии дел, в котором   никто   не   виноват.  Парадокс  принято   также   называть  антиномией  (греческого αντινο ια , буквально — противоречие в законе, парадокс,— ситуация, когда в теории доказаны   два   взаимно   исключающие   друг   друга   суждения,   причём   каждое   из   этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами).  Парадокс –   высказывание,   истинность   которого   не   очевидна,   справедливое,   но   неожиданное утверждение.  Математический   парадокс  –   высказывание,   которое   в   данной   теории равным   образом   может   быть   доказано   и   как   истинна,   и   как   ложь.  Парадокс  —   это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание. 2 Классификация парадоксов и примеры парадоксов      Парадоксы делятся на 4 вида:  логические, физические, экономические, математические ­ геометрические, арифметические. Я рассмотрел  некоторые из них. «Логические» Парадокс про крокодила Крокодил украл ребенка; он обещал отцу вернуть ребенка, если отец угадает – вернет ему крокодил ребенка или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернет ему ребенка? Ответ: Крокодил попал в парадоксальную ситуацию. Действительно, если он не вернет ребенка, то отец угадал, а значит крокодил должен вернуть ребенка. Но если он вернет ребенка, то отец не угадал, а значит крокодил не должен возвращать ребенка. Итак, парадокс налицо: формально рассуждая, крокодил не может ни вернуть, ни оставить его у себя. Парадокс Лжеца Этот древнегреческий логический парадокс имеет множество вариаций. Я приведу одну из них. Человек произносит: « Я лгу». Он обманывает или говорит правду? С одной стороны, он говорит неправду, т.к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает правду, а, следовательно, лжет. Парадокс «Зенона об Ахиллесе и черепахе» Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. Ахиллес никогда не догонит черепаху см.[рисунок 2] [рисунок 2] Разбор парадокса:        Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит   и   эти   100   метров,   черепаха   отползёт   ещё   немного   дальше.   Это   будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние. Глава 3.  Анкетирование    Я провел анкетирование среди учащихся 6­7 классов(33 человека)на знание софизмов и парадоксов. Учащимся были заданы следующие вопросы: 1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу : «Дважды два равно пяти» или хотя бы « Два равно трём» ? Да ответило­ 20 человек ­61 %. Нет – 13 человек – 39 %. 2. Знакомо ли вам понятие «Софизм» ? Да ответило­ 8 человек – 24 %. Нет – 25человек – 76 %. 3 Хотелось ли вам  познакомиться с софизмами ? Да ответило­ 29 человек – 88%. Нет – 4 человека – 12 %. 4 Знакомо ли вам  понятие «Парадокс» ? Да ответило­ 11 человек – 33 %. Нет – 22 человека – 67 %. 5 Хотелось ли вам познакомиться с парадоксами ? Да ответило­ 25 человек – 76 %. Нет – 8 человек – 24 % . Результаты тестирования[приложение 3 ] Практическая часть   Анкетирование Я провел анкетирование среди учащихся 6­7 классов(33 человека)на знание софизмов и парадоксов. Учащимся были заданы следующие вопросы: 1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу : «Дважды два равно пяти» или хотя бы « Два равно трём» ? Да ответило­ 20 человек ­61 %. Нет – 13 человек – 39 %. 2. Знакомо ли вам понятие «Софизм» ? Да ответило­ 8 человек – 24 %. Нет – 25человек – 76 %. 6 Хотелось ли вам  познакомиться с софизмами ? Да ответило­ 29 человек – 88%. Нет – 4 человека – 12 %. 7 Знакомо ли вам  понятие «Парадокс» ? Да ответило­ 11 человек – 33 %. Нет – 22 человека – 67 %. 8 Хотелось ли вам познакомиться с парадоксами ? Да ответило­ 25 человек – 76 %. Нет – 8 человек – 24 % . Результаты тестирования[приложение 3 ] Решение задач Задача №1. Если а = b и c = d, то ac = bd . 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Другими словами, если множители равны, то и их произведение равно. Перемножая эти равенства почленно,   получим:   10   рублей   =   100   000   копеек   1   рубль   =   10   000   копеек.   Ошибка, допущенная   в   этом   софизме,   состоит   в   нарушении   правила   действий   с   именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Один рубль не равен ста копейкам. Задача №2. Загадочное   исчезновение.   На   прямоугольном   куске   картона   начертим   13   одинаковых палочек на  равном расстоянии друг от друга. Разрежем прямоугольник по прямой, проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. Теперь сдвинем одну из половин, при этом вторую оставив на месте. Проделав это, мы можем увидеть любопытное явление:   вместо   13   палочек   перед   нами   оказываются   лишь   12!   Одна   палочка   исчезла бесследно. Давайте подумаем, куда она делась. Итак, если сопоставить изначальные и получившееся длины палочек, то можно обнаружить, что вторые на 1/12 длиннее первых. Исчезнувшая 13 палочка   улетучилась   не   бесследно:   она   словно   растворилась   в   12   остальных,   удлинив каждую из них на 1/12 своей длины. Геометрическую причину этого понять очень легко. Прямая, по которой мы разделили прямоугольник (назовем ее MN), и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют угол, стороны которого пересечены рядом параллельных прямых. Из подобия треугольников следует, что прямая MN отсекает от второй палочки 1/12 ее длины, от третьей 2/12, от четвертой 3/12 и т. д.. Когда же мы сдвигаем обе части картона, то приставляем отсеченный отрезок каждой палочки (начиная со второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый   отсеченный   отрезок   больше   предыдущего   на   1/12,   то   каждая   палочка   должна удлиниться на 1/12 своей длины. На глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13 палочки на первый взгляд представляется довольно  загадочным. Задача №3.  На арене цирка. На только что рассмотренном принципе основана остроумная игрушка­ задача. Вы видите арену цирка, по краю которой художник разместил 13 клоунов в   весьма воинственных позах. Внутренний диск вырезан и может вращаться вокруг своего центра. И вот, слегка повернув этот круг, вы уничтожаете одного клоуна: вместо прежних 13 перед вами уже всего 12 артистов веселого жанра. Один из клоунов, находившихся внутри круга, бесследно     улетучился! Исчезновение клоуна заставило бы вас долго ломать голову, если бы не предыдущая задача. Но   теперь   все   понятно:   он   «растворился»   в   дюжине   других   клоунов,   как   раньше «растворилась» у нас простая палочка.  Задача №4.  Парадокс «Генерал и брадобрей». Этот парадокс состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого   солдата.   Генерал   издал   приказ   о   выделении   одного   специального   солдата­ брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат­брадобрей? Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют. Если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата­брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.  Задача №5.  Высказывание Эпименида. Крестьянин   Эпименид   сказал:   «Все   крестьяне   лжецы».   Давайте   подумаем.   Он   сам крестьянин, соответственно лжец. Если он лжец, значит, он врет и все критяне не лжецы, т е   правдивы.   Но   если   он,   как   и   его   народ,   правдив,   то   его   утверждение   верно. Следовательно, все критяне лжецы. Так можно продолжать еще очень долго, а правды так и не выяснить. Задача №6 Одна семья отдыхала у себя дома. Вдруг отец предложил съездить в новый ресторан. Но дорога была долгой из­за пробок. В ресторане семья долго ждала заказ, а блюда оказались невкусными. После   поездки   отец   сказал   “Я   предложил   съездить   в   ресторан,   потому   что   хотел порадовать нас всех.” Сын: ”Я согласился, потому что думал, что все согласятся” Мать: ”Я тоже поэтому согласилась” В итоге никто не хотел ехать. Как такое возможно? Задача №7 Всемогущих волшебников не бывает. Может ли волшебник создать камень, который не сможет поднять. Если не сможет ­ значит он не всемогущ. Если сможет создать то не сможет поднять. Если не сможет поднять ­ значит не всемогущ. Задача№8 С помощью переключателя включили свет на 30 секунд. Потом выключили на 15 секунд. Включили на 7.5 секунд… Включён или выключен будет свет через 60 секунд после первого включения? Задача№9 Разговор софиста и любителя спорить: Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?” Любитель: “нет” Софист: “ А мёд сладкий?” Любитель: “Да” Софист: “А мёд желтый?” Любитель: “Да” Софист: “А жёлтый ­ значит сладкий?” Любитель: “Нет” Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!” Задача№10 Два приятеля однажды вели такой разговор. ­ Видишь кучу песка? – спросил первый. ­ Я  то ее вижу, ­ ответил второй, ­ но ее нет на самом деле. ­ Почему? – удивился первый. ­ Очень просто, ­ ответил второй. – Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не куча, то n+1 тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т.е. кучи песка нет. Ответ: Этот   парадокс   носит   название   «парадокс   кучи».   В   приведенном   рассуждении   второй приятель воспользовался методом полной математической индукции. Однако этот метод нельзя применять в подобных рассуждениях, ибо в них не определенно само понятие «куча песчинок». Заключение О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в   целом.   Изо   дня   в   день   рождаются   новые,   некоторые   из   них   останутся   в   истории,   а некоторые просуществуют один день.     Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку)   получается   не   сразу.   Требуются   определенный   навык   и   смекалка.   Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких­нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.      Я понял, что софистика ­ это целая наука, а именно математические софизмы ­ это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненную череду его рассуждений. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Наконец, разбор   софизмов   увлекателен.   Чем   труднее   софизм,   тем   большее   удовлетворение доставляет его анализ.  В результате проведенной работы я познакомилсяz  с увлекательной темой, узнала много нового, научилась решать задачки на софизмы, находить в них ошибку, разбираться в парадоксах.   Я   понял,   что   разбор   софизмов   развивает   логическое   мышление,   помогает сознательному   усвоению   изучаемого   материала,   воспитывая   вдумчивость, наблюдательность,   критическое   отношение   к   тому,   что   изучается.   По   результатам анкетирования я выяснил, что данный вопрос заинтересовал не только меня, но и других учащихся   нашей   школы.   Тема   моей   работы   далеко   не   исчерпана.   Я   рассмотрел   лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Я продолжу изучение этой темы в дальнейшем.   Список использованной литературы 1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7­11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003. 2.«Математическая   шкатулка».   Автор:   Ф.Ф.   Нагибин.   Государственное   учебно­ педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961. 3.«Математика   после   уроков».   Пособие   для   учителей.   Авторы:   М.Б.Балк,   Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971. 4.«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство "Молодая гвардия", 1978 г. 5. «Я познаю мир». Авторы: А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова, Издательство Москва «Аст», 1999 г.