Исследовательская работа "Построение графиков квадратичной функции, содержащих знак модуля"

VII районный конкурс творческих исследовательских работ школьников Исследовательская работа: «Построение графиков квадратичной функций,  содержащих знак модуля» Выполнила Ёрмина Алена Александровна ученица 9 класса МОУ Новочановской СОШ Научный руководитель: Мухарева Татьяна Максимовна учитель математики МОУ Новочановской СОШ высшая квалификационная категория 1 г. Барабинск 2017 2 ОГЛАВЛЕНИЕ: 1. 2. 3. 4. Введение___________________________________________________3 Основная часть_____________________________________________3 2.1. Из истории модуля_______________________________________3 2.2. Определение модуля_____________________________________4 2.3. График функции у = |f (x)|________________________________5 2.4. График функции у = f (|x|)________________________________5 2.5. График функции у = |f (|x|)|_______________________________6 2.6. График функции |у| = f (x)________________________________8 2.7. Практическое применение________________________________8 Заключение_________________________________________________9 Список литературы_________________________________________9 3 Введение Решение уравнений и неравенств, построение функций, содержащих модули, всегда   интересны,   важны   и   актуальны.   В   школьной   программе   построение графиков рассматривается не достаточно подробно, особенно графики у = |f (x)| и | у|   =  f  (x),   которые   не   так   просто   строятся.   А   если   учитывать,   применение построения графиков, содержащих модуль, в решении уравнений и неравенств, то значимость данной проблемы ещё увеличивается. Поэтому я решила изучить более подробно   методику   построения   квадратичных   функциональных   зависимостей, содержащих модули. Задачи:  Познакомиться с историей возникновения функциональных зависимостей и 1. модуля; 2. 3. Изучить поведение квадратичных функций, содержащих модули; Научиться   строить   график   квадратичной   функции,   содержащих   модули, Advanced Grapher. Методы исследования: 1. 2. 3. Изучение дополнительной литературы по данной темы; Изучение принципы программы Advanced Grapher; Построение графиков функций в разных вариантах и изучение их свойств. 4 Основная часть 2.1. Из истории модуля В первой  половине  12  века в связи  с развитием  механики,  в  математику проникают идеи изменения и движения. В это же время начинают складываться о функциях   как   о   зависимости   одной   переменной   от   другой.   Так,   французские математики Пьер Ферма (1601 – 1665) и Рене Декарт (1596 – 1650) представляли себе   функцию   как   зависимость   ординаты   точки   кривой   от   её   абсциссы.   А английский   учёный   Исаак   Ньютон   (1654   –   1727)   понимал   функцию   как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. Термин «функция» впервые ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 – 1748). У него функция связывалась с геометрическим образом ( графиком функции ). В дальнейшем   швейцарский   математик   Иоганн   Бернулли   (   1667  –   1748  )   и   член Петербургской АН знаменитый математик 18 века Леонардо Эйлер ( 1707 – 1783 ) рассматривал функцию как аналитическое выражение. Функция как зависимость одной переменной от другой ввёл чешский математик Бернард Больцано ( 1781 – 1848 ) Слово «модуль» произошло от латинского слова «», что в переводе означает «мера».   Это   многозначное   слово,   которое   имеет   множество   значений   и применяется   не   только   в   математике,   но   и   в   архитектуре,   физике,   технике, программировании и других точных науках. В   архитектуре  —  это   исходная   единица   измерения,  устанавливаемая   для данного   архитектурного   сооружения   и   служащая   для   выражения   кратных соотношений его составных элементов. В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий   универсального   значения   и   служащий   для   обозначения   различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости  5 Модуль   объёмного   сжатия   (в   физике)   —   отношение   нормального напряжения в материале к относительному удлинению. 2.2. Определение модуля Модуль числа   ≤0.α α если   или абсолютная величина  α  равна  α , если  α α  ≥0 и равна – , = x <0. Число – x может быть как отрицательным при x>0, так и положительным при Покажем на примере некоторые приёмы построения графиков квадратичной функции, содержащих знак модуля. y = |f(x)|  y = f(|x|) y = |f(|x|)| |y| = f (x) 2.3. График функции у = |f (x)| Для построения графика функции  y  = |f(x)| достаточно построить график функции  y  =  f(x)   для   всех  x  из   области   её   определения     и   ту   часть   графика функции  y  =  f(x),   которая   расположена   ниже   оси   абсцисс   (f(x)<0),   отразить симметрично   этой   оси,   то   есть,   графики   функций   у   =   ф(х)   и   у   =   ­   ф(х) расположены симметрично оси абсцисс.  Таким образом, график функции  y  =  f|(x)|   расположен только в верхней полуплоскости. Построим y = |x² ­ x ­ 2|  6 2.4.  График функции у = f (|x|) Построим график уравнения  y  =   x² ­ |x| ­ 2. На основании определения модуля имеем:  y = x² ­ |x| ­ 2 = Функция  y  =  f(|x|) чётная, поэтому для построения её графика достаточно построить  график функции y = f (x) для всех  x ≥0 из области её определения и отразить полученную часть графика  симметрично оси ординат. 7 2.5. График функции у = |f (|x|)| Построим график уравнения у=   . Для этого воспользуемся программой Advanced Grapher. Будем действовать по следующему плану: 1) построим   «основной»   график,   т.е.   график   уравнения  y  =х2. 2) Построим график функции y=x2­5|x|. По определению y =  = 8 3)  Строим график уравнения у=x2­|5|x|­6|. Для этого мы строим 3 графика: y = x2+5x+6; y = x2­5x+6 и график у = 5|х|­6.  y= 4)   часть   графика,   расположенную   ниже   оси  x,   отобразим   симметрично относительно этой оси; получим график уравнения y = |x2­|5|x|­6||. 9 2.6. График функции |у| = f (x) Для построения графика зависимости |y| = f(x) достаточно построить график функции у =  f(x) для тех х из области ее определения, при которых  f(x)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс. Построим график функции |y| =  x2­x­2. Для этого мы строим следующие графики по определению: |y|= 2.7. Практическое применение 10 Задача: При каких значениях параметра  α  уравнение  α  = |­х 2­6х­5| имеет ровно 3 корня? Решение   данной   задачи   основано   на   использовании   функциональных зависимостей   и   графических   представлений.   Оно   заключается   в   переходе   от исследования   уравнения   к   исследованию   графика   функции.   В   данном   случае построение графика функций является лишь вспомогательным  звеном, поэтому можем   воспользоваться   программой  Advanced  Grapher  и   построить   график функции y = |­x2­6x­5|. По графику видно, что только при  α  = 4, уравнение имеет три корня. Заключение Занимаясь исследовательской работой по данной теме, знакомясь с историей возникновения   функциональных   зависимостей   и   модуля,   изучая   поведение квадратичных   функций,   содержащих   модули,   пошагово,   подробно   разбирая построение функциональных зависимостей, я поняла, что построение графиков в программе   Advanced   Grapher   помогает   догадаться   и   решать   самые   сложные уравнения с  параметрами, показывает   варианты  и преимущества  этих решения, способствует   повышению   математической   грамотности,   развивает   логическое 11 мышление.   В   дальнейшем   я   хочу   заняться   построением   тригонометрических функций, содержащих модули и графиками обратной пропорциональности. 12 Список литературы. 1. Виленкин Н. Я. « Функции в природе и технике » ­ М. Просвещение, 1985  2. Гельфанд И. М. и др. « Функции и графики » ­ М. Наука, 1973  3. Кострикина  Н.П «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7­9 классов», Москва,  Просвещение, 1991 год  4. Никольская И. Л. «Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7­9  классов средней школы».– М. Просвещение, 1991  5. Пичурин Л. Ф. « За страницами учебника алгебры » ­ М. Просвещение, 1999  6. Садыкина И. « Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля  » ­ Математика №3, 2004  13