Работа подробно описывает и иллюстрирует все виды графиков квадратичной функции, содержащих знак модуля. методы исследования и построения. Рассказана история модуля, определение, решена задача и сделаны соответственные выводы. Рассмотрено применение модуля не только в математике, но и в архитектуре, физике и технике.Работа представлена в ворде, 11 страниц
VII районный конкурс творческих исследовательских работ школьников
Исследовательская работа:
«Построение графиков квадратичной функций,
содержащих знак модуля»
Выполнила Ёрмина Алена Александровна
ученица 9 класса
МОУ Новочановской СОШ
Научный руководитель:
Мухарева Татьяна Максимовна
учитель математики
МОУ Новочановской СОШ
высшая квалификационная категория
1г. Барабинск 2017
2ОГЛАВЛЕНИЕ:
1.
2.
3.
4.
Введение___________________________________________________3
Основная часть_____________________________________________3
2.1. Из истории модуля_______________________________________3
2.2. Определение модуля_____________________________________4
2.3. График функции у = |f (x)|________________________________5
2.4. График функции у = f (|x|)________________________________5
2.5. График функции у = |f (|x|)|_______________________________6
2.6. График функции |у| = f (x)________________________________8
2.7. Практическое применение________________________________8
Заключение_________________________________________________9
Список литературы_________________________________________9
3Введение
Решение уравнений и неравенств, построение функций, содержащих модули,
всегда интересны, важны и актуальны. В школьной программе построение
графиков рассматривается не достаточно подробно, особенно графики у = |f (x)| и |
у| = f (x), которые не так просто строятся. А если учитывать, применение
построения графиков, содержащих модуль, в решении уравнений и неравенств, то
значимость данной проблемы ещё увеличивается. Поэтому я решила изучить более
подробно методику построения квадратичных функциональных зависимостей,
содержащих модули.
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения функциональных зависимостей и
1.
модуля;
2.
3.
Изучить поведение квадратичных функций, содержащих модули;
Научиться строить график квадратичной функции, содержащих модули,
Advanced Grapher.
Методы исследования:
1.
2.
3.
Изучение дополнительной литературы по данной темы;
Изучение принципы программы Advanced Grapher;
Построение графиков функций в разных вариантах и изучение их свойств.
4Основная часть
2.1. Из истории модуля
В первой половине 12 века в связи с развитием механики, в математику
проникают идеи изменения и движения. В это же время начинают складываться о
функциях как о зависимости одной переменной от другой. Так, французские
математики Пьер Ферма (1601 – 1665) и Рене Декарт (1596 – 1650) представляли
себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А
английский учёный Исаак Ньютон (1654 – 1727) понимал функцию как
изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. Термин
«функция» впервые ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 – 1748). У
него функция связывалась с геометрическим образом ( графиком функции ). В
дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли ( 1667 – 1748 ) и член
Петербургской АН знаменитый математик 18 века Леонардо Эйлер ( 1707 – 1783 )
рассматривал функцию как аналитическое выражение. Функция как зависимость
одной переменной от другой ввёл чешский математик Бернард Больцано ( 1781 –
1848 )
Слово «модуль» произошло от латинского слова «», что в переводе означает
«мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и
применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике,
программировании и других точных науках.
В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для
данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных
соотношений его составных элементов.
В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не
имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных
коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости
5Модуль объёмного сжатия (в физике) — отношение нормального
напряжения в материале к относительному удлинению.
2.2. Определение модуля
Модуль числа
≤0.α
α
если
или абсолютная величина
α
равна
α
, если
α
α
≥0 и равна – ,
=
x <0.
Число – x может быть как отрицательным при x>0, так и положительным при
Покажем на примере некоторые приёмы построения графиков квадратичной
функции, содержащих знак модуля.
y = |f(x)|
y = f(|x|)
y = |f(|x|)|
|y| = f (x)
2.3. График функции у = |f (x)|
Для построения графика функции y = |f(x)| достаточно построить график
функции y = f(x) для всех x из области её определения и ту часть графика
функции y = f(x), которая расположена ниже оси абсцисс (f(x)<0), отразить
симметрично этой оси, то есть, графики функций у = ф(х) и у = ф(х)
расположены симметрично оси абсцисс.
Таким образом, график функции y = f|(x)| расположен только в верхней
полуплоскости.
Построим y = |x² x 2|
62.4. График функции у = f (|x|)
Построим график уравнения y = x² |x| 2. На основании определения
модуля имеем:
y = x² |x| 2 =
Функция y = f(|x|) чётная, поэтому для построения её графика достаточно
построить график функции y = f (x) для всех x ≥0 из области её определения и
отразить полученную часть графика симметрично оси ординат.
72.5. График функции у = |f (|x|)|
Построим график уравнения у=
. Для этого воспользуемся
программой Advanced Grapher. Будем действовать по следующему плану:
1)
построим «основной» график, т.е. график уравнения y =х2.
2) Построим график функции y=x25|x|. По определению
y =
=
83) Строим график уравнения у=x2|5|x|6|. Для этого мы строим 3 графика: y =
x2+5x+6; y = x25x+6 и график у = 5|х|6.
y=
4) часть графика, расположенную ниже оси x, отобразим симметрично
относительно этой оси; получим график уравнения y = |x2|5|x|6||.
92.6. График функции |у| = f (x)
Для построения графика зависимости |y| = f(x) достаточно построить график
функции у = f(x) для тех х из области ее определения, при которых f(x)≥0, и
отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.
Построим график функции |y| = x2x2. Для этого мы строим следующие
графики по определению:
|y|=
2.7. Практическое применение
10Задача: При каких значениях параметра
α
уравнение
α
= |х
26х5| имеет
ровно 3 корня?
Решение данной задачи основано на использовании функциональных
зависимостей и графических представлений. Оно заключается в переходе от
исследования уравнения к исследованию графика функции. В данном случае
построение графика функций является лишь вспомогательным звеном, поэтому
можем воспользоваться программой Advanced Grapher и построить график
функции y = |x26x5|.
По графику видно, что только при
α
= 4, уравнение имеет три корня.
Заключение
Занимаясь исследовательской работой по данной теме, знакомясь с историей
возникновения функциональных зависимостей и модуля, изучая поведение
квадратичных функций, содержащих модули, пошагово, подробно разбирая
построение функциональных зависимостей, я поняла, что построение графиков в
программе Advanced Grapher помогает догадаться и решать самые сложные
уравнения с параметрами, показывает варианты и преимущества этих решения,
способствует повышению математической грамотности, развивает логическое
11мышление. В дальнейшем я хочу заняться построением тригонометрических
функций, содержащих модули и графиками обратной пропорциональности.
12Список литературы.
1. Виленкин Н. Я. « Функции в природе и технике » М. Просвещение, 1985
2. Гельфанд И. М. и др. « Функции и графики » М. Наука, 1973
3. Кострикина Н.П «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 79 классов», Москва,
Просвещение, 1991 год
4. Никольская И. Л. «Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 79
классов средней школы».– М. Просвещение, 1991
5. Пичурин Л. Ф. « За страницами учебника алгебры » М. Просвещение, 1999
6. Садыкина И. « Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля
» Математика №3, 2004
13