Исследовательская работа "Построение кривых" 11 класс

Новочановская СОШ Исследовательская работа: «Microsoft Excel  на уроках математики:  построение графиков кривых» Выполнила Ёрмина Алена Александровна ученица 11 класса МКОУ Новочановской СОШ Научный руководитель: Мухарева Татьяна Максимовна учитель математики МОУ Новочановской СОШ высшая квалификационная категория 1 г. Барабинск 2017 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение……………………………………………………………………………………...3 2. Основная часть 2.1 Полярная система координат…………………………………………………………..4 2.2 Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel….5 2.3 Спирали…………………………………………………………………………………...6 2.4 Розы Гвидо Гранди………………………………………………………………………8 2.5 Кривые Хабенихта……………………………………………………………………….8 3. Заключение…………………………………………………………………………………..10 4. Список литературы…………………………………………………………………………11 5. Приложение 1 6. Приложение 2 7. Приложение 3 8. Приложение 4 3 Введение Актуальность работы. При изучении, графического способа решения систем уравнений возникла необходимость построения графиков  уравнений выше второй степени. Механизм построения этих линий в школьных учебниках не оговаривается.  Вопрос (мотивация): Как построить графический образ уравнения третьей (и выше) степеней с двумя переменными?  Проблема:  необходимо найти удобный (сравнительно простой, наглядный, доступный) способ построения графиков уравнений степеней выше второй с двумя переменными. Гипотеза: для решения поставленной проблемы, возможно, ввести новые переменные, или новую систему координат, или и то и другое одновременно. Поэтому, объектом нашего исследования стала полярная система координат.  Исходя из этого, предметом нашего исследования стали полярные уравнения линий. Цель нашей   работы  – показать принцип построения линий в полярной системе координат с помощью   формул   перехода   от   декартовых   координат   к   полярным   координатам.   Выявить преимущества полярной системы координат.  Кроме привычной для нас прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные координаты. Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы и биологические объекты. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных   координатах   достаточно   простыми   и   лаконичными   математическими выражениями.   Это   сходство   указывает   на   то,   что   тела   живых   организмов,   биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения "полярных" объектов. Живой организм "начинается" из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере, такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию "математических", "полярных" форм. Природа   как   бы   сама   использует   полярные   координаты,   что   особенно  бросается   в   глаза   на примере   растений,   многоклеточных   животных   и   насекомых.   Вероятно   поэтому   фигуры, построенные   в   полярных   координатах,   обладают   неповторимой   эстетической 4 привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе. Основная часть 2.1 Полярная система координат В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом  R и углом , образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел   ;R  .   Основными   понятиями   этой   системы   являются   точка   отсчёта   (полюс)   и   луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).  Если в декартовой системе координат предельно простое выражение  y  определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме   R k   , уже превращается в спираль.   Фигуры   в   полярных   координатах   образуются   как   след   конца   бегающего   по   кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата    берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «­» в kx 2  противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида  , которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных  n . Для полюса n  ; r r  , угол  произвольный. Связь между полярной и декартовой системами координат. 0 Точка О ­ полярный полюс,  луч ОЕ будем называть полярной осью,   отрезок  ОМ  ­   называют   длиной  полярного   радиуса   R, положительный угол от луча ОЕ до луча F ­ полярный угол.  Если известны полярные координаты R и , точки М, то можно уставить связь с её декартовыми координатами. Построим прямоугольный  ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ=R,  ЕОМ = , катет ЕМ = у, катет ОЕ = х координаты точки М. Для   того,   чтобы   перейти   от   полярных   координат   к   декартовой   системе,   используют формулы:  x  r  cos ,  y  r  sin 2 ,  x  2 y  2 r . Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, 5 получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора:  r  2 x  2 y , затем  cos  x r , sin  y r . Некоторые   замечательные   кривые.  На   протяжении   многих   лет   ученые   собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список   таких   названий   внушителен:   спираль   Архимеда,   Ферма,   Галлилея,   Фибоначчи, кардиоида, овалы Кассини,  лемниската Бернулли, фигуры Лиссажу, розы Гвидо Гранди, кривые Маклорена, верзьера (локон Марии Аньези)  и т.д. 2.2 Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы:  X=R*COS(F),  Y=R*SIN(F). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой.  Задача. Построить кривую, заданную уравнением  Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.  x x   4 x y  2 2 2 2  3 y 2  . 2      3    cos cos 2 2 4cos   cos 2 2    3sin    3 1 cos   3cos    3   3cos 2 2   4 r  3 4cos 4cos 4 cos r       4cos  4 4cos  4cos3 3 r r r r r      Для программы Microsoft Excel:  R=4*COS(3*F) Предположим,   что   угол   F   изменяется   в   интервалах   от   0   до   2.   Для   того,   чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1.  Построим компьютерную модель исследования. Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом: А2 0,1  А3 =А2+0,1 B2 =4*COS(3*F) C2 =SIN(А2) D2 =COS(А2) E2 =B2*D2 F2 =В2*C2 Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы: 6 1 2 3 4 5 6 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 R 3,821346 3,301342 2,48644 1,449431 0,282949 SIN(F) 0,099833 0,198669 0,29552 0,389418 0,479426 COS(F) 0,995004 0,980067 0,955336 0,921061 0,877583 X 3,802255 3,235535 2,375387 1,335014 0,248311 Y 0,381498 0,655875 0,734793 0,564435 0,135653 Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д.  Получим следующий график. Исследование   формы   кривой,   в   зависимости   от   изменения   значений   входящих   в   её уравнение. Внося изменения в ячейку В2 , не меняя более ничего, мы можем получать различные виды уравнения  r  4cos a ( приложение 1). 2.3 Спирали В математике спираль — это кривая, которая огибает   постепенно некоторую   центральную   точку   или   ось, приближаясь   или   удаляясь   от   неё,   в   зависимости   от направления обхода кривой. Спираль   Архимеда  может   быть   определена   как траектория   точки,   участвующей   одновременно   в   двух равномерных движениях, одно из которых совершается вдоль прямой, а другое – по окружности. Изобретение этой спирали приписывается, по некоторым источникам, Кокону Самосскому, однако свойства ее были изучены Архимедом.  7 Уравнение   кривой   в   декартовом   представлении:   2 x  2 y   a arctg y x ,   в   полярных координатах: R a   ,   где  а  пропорциональную зависимость). Расстояния между соседними витками спирали есть величина ­   коэффициент   пропорциональности     (получили   прямо­ постоянная и равна ­ а. Различают правую и левую спираль, закрученную по­ или против­ часовой стрелки. Применение.  По   спирали   Архимеда   идет   звуковая   дорожка   на   грампластинке.   Туго свернутый   рулон   бумаги   в   профиль   также   представляет   собой   спираль   Архимеда.   Одна   из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда. Логарифмическая   спираль.  В   истории   математики   логарифмическая   спираль упоминается впервые в письме Декарта к Мерсену в 1638 г., в котором Декарт определяет новую   спираль   как   линию,   отношение   длины   дуги   которой   к   радиус­вектору   является постоянным.   Независимо   от   Декарта   логарифмическая   спираль   была   открыта   Торичелли. Особенно много внимания логарифмической спирали уделил Я. Бернулли, назвавший ее ­ дивная спираль.   Само   же   название   логарифмической   спирали   было предложено   Вариньоном.   Уравнение   кривой   в   полярных координатах:  r  a ctga , a  .  0 Логарифмическая   спираль   имеет   многочисленные применения   в   технике,   основанные   на   свойстве   этой   кривой пересекать все свои радиус­векторы под одним и тем же углом. Это  свойство   применяют   в   режущих   машинах.   Вращающиеся ножи в режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания остается постоянным.  Спираль   Ферма: r a  .   Любопытное   отличие   спирали Ферма от других спиралей заключается в том, что расстояние между ее витками неограниченно убывает по мере удаления от полюса. Гиперболическая спираль: r  a  . По мере роста    спираль устремляется к полюсу, делая вокруг него бесконечное множество витков, расстояние между которыми убывает. 0b  Спираль   Галилея:   r b  , a 2 .    Спираль   Галилея вошла в историю математики в 17 столетии в связи с постановкой 8 проблемы   определения   формы   линии,   по   которой   должна   двигаться   свободно   падающая   в области   экватора   точка,   если   бы   она   не   обладала   начальной   скоростью,   сообщаемой   ей вращением земного шара. 2.4 Розы Гвидо Гранди Впервые   исследованием   роз   занимался итальянский геометр Гвидо Гранди. Полная теория этих кривых   была   изложена   им   в   сочинении «Floresgeometriciexrhodanearumetclaelarumdeskriptioneresultants», изданном в 1728 году.  Задача.  Отрезок   длины   2а  движется   так,   что   его   концы   все   время   находятся   на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок.  Решением   данной   задачи   будет   уравнение   так   называемой  четырехлепестковой   розы r  a  sin 2  или  2 x  2 y  3  4 2 2 a x y 2 . В полярных координатах общее уравнение для роз записывается в виде:   , где a и k –  положительные числа. k a cos виде  r r  a sin k  или в Обратимся к исследованию формы роз. Поскольку правая часть уравнения не может превышать   величины  a,   то   и   вся   роза,   очевидно,   уменьшается   внутри   круга   радиусом  a. Количество же лепестков розы зависит от величины модуля k:  Если модуль k – целое число, то роза состоит из k лепестков, при нечетном k, и из 2k  лепестков при k четном (приложение 2).  Если   модуль  k  –   рациональное   число,   равное   k     , n     то   роза   состоит   из  m 1 m n лепестков в случае, когда оба числа   m и n   нечетные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел является четным. При этом, в отличие от первого случая каждый следующий лепесток будет частично перекрывать предыдущий. 9  Если  модуль  k  – иррациональное число, то роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.  2.5 Кривые Хабенихта Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также Хабеннихт – геометр   19   столетия.   Им   был   получен   целый   ряд   уравнений,   которые   с   весьма   хорошим приближением выражали аналитически формы листьев клена, щавеля, ивы и т. д. Вот некоторые из этих кривых: В полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии,  которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений: • кувшинки:  r   1 cos  ; • кислицы:  r   1  1 3 2cos3   cos6   . Интересные   «цветы»   получаются   при   построении     p r  , которое задает на плоскости две линии: окружность   r   0    кривых   заданных   уравнением: p   и розу  r  p cos k r   p cos k . 10 Исследование формы кривой при постоянном значении радиуса   r  , и изменяющемся 2 значения коэффициента при угле  (приложение 3). «Цветочная фантазия» на основе кривых Хабенихта, получены с помощью графопостроителя  AdvancedGrapher (приложение 4). Заключение В процессе работы мы изучили процесс перехода от декартовой системы координат к  полярной и обратно, исследовали изменения вида кривой в зависимости от параметров,  входящих в уравнение, познакомились с некоторыми замечательными кривых известных  математиков. Мы нашли сравнительно простой и удобный способ построения графиков  уравнений степеней выше второй с двумя переменными.  Закончив свой проект, я полагаю, что мне удалось достигнуть поставленных целей: создан познавательный, содержательный продукт, который дает ответы на поставленные проблемные  вопросы. Использование данного материала расширяет кругозор учащихся по кривым,  изучаемым по программе. Анализируя свою работу, хочу сказать о проблемах, с которыми я столкнулась в ходе  работы. Сложнее всего мне было с отбором, анализом и систематизацией немалого числа  научной информации разного уровня сложности.  Работая над проектом в разных разделах школьной математики и на разных этапах  изучения темы, я встретилась с кривыми  второго порядка. Но нигде не говорится о  замечательных свойствах кривых третьего и четвёртого порядка, а тем более об их  практическом применении. Я считаю, что очень важно учащимся знать замечательные свойства  данных кривых, которые широко применяются в жизни. Изучая и даже просто знакомясь с этими свойствами, учащиеся видят действительно практическое применение геометрии. В процессе работы над проектом я приобрела много полезных навыков: научилась  работать с информацией, отбирать самое нужное и важное, изучать, обрабатывать и  представлять материал с помощью новых технологий. 11 Список литературы 1. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва, Наука, 1980 г., 319 стр. 2. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. Москва, 1977 г., 991 стр. 3. И.М. Гельфанд и др. Метод координат. Москва, Наука, 1973 г., 82 стр. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Б.П.   Демидович.   Сборник   задач   и   упражнений   по   математическому   анализу,   Москва, Наука, 1969 г., 624 стр. А.М. Дороднов Краткие сведения о построении графиков в полярной системе координат. Москва, 1972 г., 106 стр. В.К.   Егерев,   Б.А.Радунский,   Д.А.   Тальский   Методика   построения   графиков   функций. Москва, 1970 г., 152 стр. Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. Москва, Высшая школа, 1972, 267 стр. Г.И.   Запорожец.   Руководство   к   решению   задач   по   математическому   анализу.   Москва, Высшая школа, 1974 г., 464 стр. И.А.   Каплан.   Практические   занятия   по   высшей   математике,   Харьков,   Харьковский университет, 1970 г., 1488 стр. 10. В.С. Шипачёв. Основы высшей математики. Москва, Высшая школа, 1989 г., 479 стр. Сайты и ссылки 1. http://www.ipfw.edu/math/Coffman/pov/spiric.html 2. http://www.didaktik.mathematik.uni­wuerzburg.de/mathei/cinderella/cassoval.html http://rusgraf.ru/graf4 3. http://www.2dcurves.com/higher/highercc.html 4. http://center.fio.ru/som/Resources/Karpuhina/2003/10/pedsovet 5. http://arbuz.uz/x_stati.html 12 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 13 14