Исследовательская работа "Теория решения изобретательских задач в математике."

Городская конференция обучающихся, посвящённая памяти  А.Л. Чижевского Предметная секция: математика Теория решения изобретательских задач в математике. Авторы   работы:  Водяницкая   Юлиана   и Живодров Семён, обучающиеся 10класса МБОУ «СОШ №1» г. Калуги Научный   руководитель:  Зобова   Наталья Владимировна,   учитель   математики   МБОУ «СОШ №1» г. Калуги Калуга, 2011 г. Содержание. Введение………………………………………………………………………………………….3 Глава 1.ТРИЗ –  теория решения изобретательских задач…………………………………...4 Глава 2. Использование некоторых принципов ТРИЗ при решении задач………………....8 Заключение……………………………………………………………………………………...14 Список используемых источников…………………………………………………………….15 Приложения……………………………………………………………………………………..16 2 Кому сейчас легко... пусть первый бросит в себя камень. Введение. Иногда проблемы так достают, что думаешь: лучше бы я умер вчера. И самое страшное: на многие из них нет готовых решений. Или же старые способы конкретно не подходят. Что делать? Начинаем  перебирать варианты: 1­й, 2­й, 3­й... 100­й... 1000­й... Попытки — не пытки, но в них проходят дни и годы. Чем серьезнее проблема и неочевидней решение, тем больше "научных тыков" требуется от нас.  А может, систематизировать поиск?  Этим же вопросом задался Генрих Саулович Альтшуллер. Анализируя патентные фонды, он выявил  общие закономерности в основе многих изобретений.  На этих законах была позднее построена Теория Решения Изобретательских Задач — ТРИЗ. Укротив   дикую   лошадь,   человек   стремительно   освоил   новые   пространства   на   суше. Укротив   ветер   с   помощью   парусов —   он   освоил   новые   континенты.   ТРИЗ­технологии позволяют человеку оседлать собственное мышление. Это открывает новые возможности в освоении   столь   загадочного   пространства,   в   котором   происходит   синтез   новых   идей, решение творческих задач, освоение различных континентов знаний.  Все это объясняет актуальность работы «Технология решения изобретательских задач в математике». Цель настоящей работы исследование способов решения задач с помощью принципов и приемов теории решения изобретательских задач. Задачи: 1. Изучить механизмы и принципы ТРИЗ. 2.Проанализировать известные способы решения задач с помощью ТРИЗ. 3.Исследовать   способы решения задач школьного курса математики с помощью ТРИЗ. Новизна: в   настоящей работе   предложены способы решения математических задач на основе некоторых принципов ТРИЗ. Практическое применение: на уроках и внеурочных занятиях по математике.  3 Глава 1.ТРИЗ –  теория решения изобретательских задач. Долгое   время   единственным   инструментом   решения   творческих   задач —   задач,   не имеющих четких механизмов решения, — был "метод проб и ошибок", «метод перебора вариантов». В   20   веке   резко   возросла   потребность   в   решении   творческих   задач.   Это   привело   к появлению различных модификаций "метода проб и ошибок". Г. С. Альтшуллер поставил задачу иначе: "Как без сплошного перебора вариантов выходить сразу на сильные решения проблемы?" Решить эту задачу помогут принципы, лежащие в основе ТРИЗ:  Принцип   объективности   законов   развития   систем —   строение, функционирование и смена поколений систем подчиняются объективным законам. Cильные   решения   —   это   решения,   соответствующие   объективным   законам, закономерностям, явлениям, эффектам.  Принцип   противоречия —   под   воздействием   внешних   и   внутренних   факторов возникают, обостряются и разрешаются противоречия. Проблема трудна потому, что   существует   система   противоречий   скрытых   или   явных.   Системы эволюционируют,   преодолевая   противоречия   на   основе   объективных   законов, закономерностей, явлений и эффектов. Сильные решения — это решения, преодолевающие противоречия.  Принцип конкретности — каждый класс систем, как и отдельные представители внутри   этого   класса,   имеют   конкретные   особенности,   облегчающие   или затрудняющие   изменение   конкретной   системы.   Эти   особенности   определяются ресурсами: внутренними — теми, на которых строится система, и внешними — той средой и ситуацией, в которой находится система. Сильные   решения   —   это   решения,   учитывающие   конкретные   особенности конкретных систем, а так же индивидуальные особенности, связанные с личностью конкретного человека, решающего проблему. ТРИЗ включает в себя:  механизмы преобразования проблемы в образ будущего решения; 4  механизмы подавления психологической инерции, препятствующей поиску решений (неординарные   решения   трудно   находить   без   преодоления   наших   устойчивых представлений и стереотипов);  обширный информационный фонд — концентрированный опыт решения проблем. Как решать задачи с помощью ТРИЗ. 1. Определить тип задачи (изобретательская или исследовательская). Изобретательская задача — это когда есть цель, которую  требуется достигнуть, или есть проблема,   которую   нужно   преодолеть,   причем   очевидные   решения   в   данных   условиях неприменимы. Возникает вопрос: "Как быть?". Исследовательская   задача —   это   когда   происходит   некоторое   явление,   и   необходимо объяснить   его,   выявить   причины   или   спрогнозировать   результат.   Возникает   вопрос: "Почему? Как происходит?". Чтобы   легче   решить   исследовательскую   задачу,   лучше   сформулировать   ее   как изобретательскую.  Пример. Исследовательская задача.  Отправляясь на охоту, медведица оставляет своих малышей одних.   При   ее   возвращении   медвежата   ведут   себя   очень   странно:   едва   завидев приближающуюся маму, они залезают на тонкие деревца. Почему? Изобретательская   задача.  Медвежата   плохо   видят   и   не   сразу   узнают   маму, возвращающуюся с охоты. Дожидаться пока она приблизится – опасно, а вдруг это чужой взрослый медведь. Он ведь и обидеть может. Как  быть медвежатам? Ответ:   медвежата   плохо   видят   и   не   сразу   узнают   маму.   А   дожидаться,   пока   чужой медведь приблизится, опасно. Поэтому они залезают на тонкие деревца, куда взрослому медведю влезть не под силу.  2. Сформулировать к задаче противоречие, идеальный конечный результат (ИКР). Противоречие и ИКР "обостряют" проблему, выявляют самую ее суть и подталкивают   к сильным   решениям.   Формулировать   ИКР   и   Противоречие   можно   и   в   нескольких вариантах — это позволяет найти несколько решений. 5 Формулирование противоречия помогает лучше понять корень вашей проблемы и найти ее точное решение. Как формулировать противоречие. "Данная   часть   системы   должна   обладать   свойством   "A",   чтобы   выполнять   нужную функцию, — и свойством  "не A",  чтобы удовлетворять существующим ограничениям  и требованиям". Или по­другому: "Должно выполняться действие "А", чтобы задача была решена, — и должно выполняться (выполняется) действие "не А", потому что такова реальность". Как формулировать ИКР при решении задачи. Обычно используют три основные формулировки ИКР:    "Система сама выполняет данную функцию". "Системы нет, а функции ее выполняются (с помощью ресурсов)". "Функция не нужна".  Степень   достижения   ИКР   демонстрирует   коэффициент   идеальности,   который должен быть как можно больше: Коэффициент идеальности =  Сумма полезных функций Затраты + Нежелательные эффекты 3. Выявить ресурсы. Ресурсами является всё, что может быть полезно при решении задачи. Причем желательно использовать   те   ресурсы,   которые   уже   присутствуют   в   проблемной   ситуации,   а   также "дешевые" ресурсы, затраты на получение и использование которых низки. В   основе   красивых   и   эффективных   решений   лежат   ресурсы,   уже   имеющиеся   в   нашей системе (система — "контекст", в котором возникает задача, ситуация, обстановка): то есть мы ничего не добавляем извне, а результат достигается. Так, решая простую задачу, зачастую достаточно лишь поискать нужный ресурс. Принято классифицировать ресурсы следующим образом:  Материально­вещественные (вещества, предметы, товары, деньги, оборудование и т.д.). 6  Информационные (каналы и носители информации).   Ресурсы времени. Ресурсы пространства (площадь, объем и т.д.).  Энергетические   ресурсы   и   поля   (тепловая,   электрическая,   электромагнитная, атомная энергия, звуковые сигналы и т.д.).  Человеческие (сами люди, а также их стереотипы, мотивация, каналы восприятия: зрение, слух, обоняние, осязание).  Другие ресурсы (события прошлого, имидж, культура и др.). Как использовать ресурсы (последовательность действий) 1. Сформулируйте задачу. 2. Определите: какие ресурсы нужны? В каких количествах? 3. Просмотрите ресурсы, сначала уже имеющиеся в системе, потом — те, которых в самой   системе   нет,   но   легко   и   дешево   получить.   И   лишь   в   последнюю   очередь редкие, дорогие, "трудоемкие" ресурсы. 4. Оцените ресурс. Каков будет эффект от его использования?  Каковы затраты на использование или добычу (приобретение) этого ресурса? 5. Определите: каким образом применить ресурс? 4. Применить приемы и принципы решения задач. Вы составили противоречие и ИКР и выписали ресурсы, но решение пока не нашлось? Тогда примените приемы разрешения противоречий и принципы решения задач. 5. Проанализировать решения. Найденные решения желательно оценить с позиций идеальности. При этом можно задавать себе вопросы: ­ Насколько сложно и дорого осуществить решение? ­ Задействованы ли ресурсы системы? ­ Появились ли нежелательные эффекты при внедрении полученного решения? 7 Глава 2. Использование некоторых принципов ТРИЗ при решении задач. 1.Принцип «разделения в пространстве». В   случае   если   сложно   произвести   необходимое   действие   с   объектом   в   недоступном пространстве,   то   делят   недоступное    и   доступное  и   выполняют   действие   в   доступном пространстве. Например, задача № 169 из учебника Геометрия 7­9, Л.С. Атанасян. Необходимо   узнать ширину озера, не переплывая его.  Мы не можем измерить ширину озера,  но можем измерить  расстояние,  равное ширине озера, если  построим, отрезок в доступном месте, на суше, то есть разделим  недоступное и доступное в пространстве. (Приложение I). 2.Принцип «дробления». В   случае   если   сложно   произвести   необходимое   действие   с   объектом,   производят   его дробление. При этом можно выполнить следующее:  Разделить объект на независимые части.  Выполнить объект разборным.  Увеличить степень дробления объекта. Пример. На Западе  можно застраховать свое здоровье, как  в целом, так и отдельные части тела: ноги, руки, глаза и даже губы. Для специалистов разных профессий  ценность частей тела неодинакова. Кстати, самыми дорогими считаются ноги. Пример из математики. 8 1. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Достаточно   представить   площадь   данного   четырехугольника   в   виде   суммы   площадей четырех  треугольников, образованных при пересечении его диагоналей (то есть применить прием дробления), и задача легко решается. (Приложение II) 2. Метод уточнения корня.       Пусть  у = f (х) ­ непрерывная линия. • Если на концах промежутка [a;b] функция принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка находится корень уравнения f(x)=0.  + а b ­ Рассмотрим промежуток [1;2]. f(1)=­2<0  ,    f(2)=6 >0 f(1,5)>0,  f(1,25)<0 f(1 ,375)<0 f(1,4375)>0. ­  ­      +  + 1,25 1,375 1,4375 1,5  +  2 • • • • • • ­  1  Принцип   дробления   работает,   когда   выводим   формулу   длины   окружности   через   ее радиус, формулу площади круга, вписанного в п­угольник. 3.Принцип «увеличения – уменьшения». Пример.   Долгое время на боевые самолеты навешивали броневые листы, чтобы защитить машины и пилотов от пуль противника. В результате скорость снижалась почти вдвое. Как решить эту проблему? 9 Туполеву  пришла в голову идея:  изготовлять корпус сразу из броневых листов. Пример из математики. 1.Задача №581 учебника Геометрия 7­9, Л.С.Атанасян. Для определения высоты какого­либо   предмета, например дерева, можно использовать зеркало. Зеркало  надо расположить на поверхности Земли так, чтобы луч света попадал в глаз человеку, находящемуся на определенном расстоянии от дерева (расстояние от дерева до точки падения луча, от точки отражения луча до человека, неполный рост человека можно легко измерить). Далее рассматриваем два треугольника. Доказываем их подобие, рассматриваем отношение сходственных сторон и находим   неизвестную из них, которая является высотой дерева. (Приложение II). 2.Для определения   высоты какого­либо сооружения, здания в солнечную погоду можно использовать тень здания, собственную тень, направление солнечных лучей, учитывая их параллельность (применив метод Фалеса). Рост человека, длину тени здания и человека можно   легко   измерить.   Далее   доказываем   подобие   двух   треугольников,   рассматриваем отношение сходственных сторон и находим  неизвестную из них, которая является искомой высотой. (Приложение II). 10 11 4.Принцип «посредника». В случае если сложно (или невозможно) произвести необходимые действия с объектом, то вводят посредник (промежуточный объект), с помощью которого и производят действия. При этом можно выполнить следующее:  Использовать промежуточный объект, передающий или переносящий действие.  На время присоединить к объекту другой (легко удаляемый) объект. Пример из литературы. В книге Т.Л. Сухотиной – Толстой читаем ее воспоминание о словах отца: «Помните ли, как Гомер  описывает  красоту Елены?  «Когда Елена  вошла,  увидев  её красоту, старцы встали». Простые слова, но вы видите, как перед мощью. Не нужно было описывать её глаза, рот, волосы и т д. Каждый может вообразить Елену по­своему. Но каждый чувствует силу красоты, перед которой встали старцы». Этот отрывок – прекрасная иллюстрация «метода посредника». Примеры из математики. 1. Если а меньше в, в меньше с, то а меньше с. 2. Если а параллельна в, в параллельна с, то а параллельна с. 3. Способ решения уравнений заменой неизвестного. 4. В геометрии многие задачи  на доказательство. (Приложение II) 5.Принцип «наоборот» В   случае   если   сложно   произвести   необходимое   действие   с   объектом,   производят противоположное действие. При этом можно выполнить следующее:  Вместо   действия,   которое   диктуется   условием   задачи,   выполнить   обратное (противоположное) действие.  Сделать   движущуюся   часть   объекта   или   среды   неподвижной,   а   неподвижную движущейся.  Повернуть объект "вверх ногами", вывернуть его. 12 Пример. 1. В городе Карсон­сити (США) ежегодно проводят конкурсы свистунов. Уже несколько лет подряд конкурсы выигрывает один БрендонДжоэел, использующий индейскую технику свиста — издавать звук не при выдыхании воздуха, а при втягивании. 2.Прославленный командир подводной лодки Маринеско отличался тем, что действовал наоборот по сравнению с тем, чего ждал противник. Обычно подводники атаковали цели со стороны моря — он атаковал со стороны берега. Все подводные лодки атаковали цели из подводного   положения,   так   было     безопаснее.   Он,   чтобы   догнать   цель,   атаковал   из   надводного положения, сигнальные   огни.     включив   После поражения цели другие лодки стремились как можно скорее уйти в море, подальше от   конвойных   судов.   Потопив   свою   самую   знаменитую   цель,   транспортный   корабль «Густлов» — «непотопляемый   символ   третьего рейха»,   Маринеско  вернулся  на  «место преступления», а в море ушел после того, как его перестали искать.  Пример из математики. Прием доказательства теорем и решения задач на доказательство методом от противного.  Теоремы: теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей (стр. 63   учебник   Геометрия   7­9,   Л.С.Атанасян.),   признак   скрещивающихся   прямых   (стр.15 учебник Геометрия 10­11, Л.С. Атанасян.) и т.д. Задача №51 (стр. 22 учебник 10­11 Л.С. Атанасян.) (Приложение III). 6.Принцип «сделать заранее». Если   невозможно   в   нужное   время   совершить   действие   с   объектом,   то   необходимое действие производят заранее. При этом можно выполнить следующее:   Заранее выполнить требуемое действие (полностью или хотя бы частично). Заранее расположить объекты так, чтобы они могли сразу вступить в действие, без подготовительных затрат. Пример. Датская   фирма   "Лего",   известная   своими   детскими   строительными   наборами   из пластмассовых деталей, начала вводить в состав пластмассы сульфат бария ­ вещество, 13 хорошо заметное в рентгеновских лучах. Дело в том, что дети иногда глотают детали конструктора. Пример из математики. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. Каждое боковое ребро равно в. Найти объем пирамиды. План решения: ­найти площадь основания,  ­найти высоту, ­найти объем. А Р В    С          С Р А В «Поставим»   пирамиду   на   новое   основание.   Тогда   объем   можно   найти   уже   в   первом действии. Принцип «вред в пользу». В   случае   если   необходимо   устранить   вредное   действие   объекта   (или   процесса) постарайтесь обратить вред в пользу. При этом можно выполнить следующее:  Использовать вредные факторы (в т.ч. вредное воздействие среды) для получения положительного эффекта.  Устранить вредный фактор за счет сложения с другими вредными факторами.  Усилить вредный фактор до такой степени, чтобы он перестал быть вредным. Пример. Мальчик лет восьми оказался перед проблемой: как войти в дверь, закрытую сестрой с другой   стороны?   Применить   силу   или   угрозы,   поднять   крик?   Он   сформулировал идеальное решение: сестра САМА открывает дверь. Мальчик придвинул к двери стул 14 со своей стороны и сказал сестре: "Я тебя запер". Через несколько секунд она уже САМА распахнула дверь, освобождая себя от "плена". Заключение. Триз­технологии позволяют: а) перейти от неясной и расплывчатой проблемы к конкретным задачам и противоречиям; б) решить эти задачи с помощью приемов и принципов; в) получить сразу несколько идей, из которых осознанно выбрать наилучшие;  г) прогнозировать и предупредить проблемы и аварии. Инженер,   владеющий   ТРИЗ,   эффективно   совершенствует   технические   системы.   У педагога, использующего ТРИЗ, дети занимаются с увлечением и без перегрузок осваивают новые знания, развивают речь и мышление. Сценаристам и писателям технологии Развития Творческого Воображения (РТВ — раздел ТРИЗ) помогают развить сюжеты произведений, придумать   неординарные   фантастические   объекты.   Бизнесмены,   владеющие   ТРИЗ, обходят конкурентов и повышают свои доходы за счет более эффективного использования ресурсов... 15 Список используемых источников. 1. Геометрии 7­9 , Л.С. Атанасян, Просвещение,2004г. 2. Геометрии 10­11, Л.С. Атанасян, Просвещение,2006г. 3.Алгебра и начала анализа10,  С.М. Никольский, Просвещение. 2006г. http   ://   trizland  .  ru   http://www.triz­spb.ru/ http   ://   wikipedia  .  org   16 Приложения. Задача №581 учебника Геометрия 7­9, Л.С.Атанасян. Решение. На противоположных берегах замечаем ориентиры (дерево, куст, камень и т.д. – назовём их А и В), это расстояние и будет ширина озера. Далее на продолжении отрезка АВ отметим произвольную   точку   С.   Выберем   произвольно   точку   О,   и   на   продолжении   отрезка   СО отметим точку  D  (  DО=СО). Аналогично ВО=ОЕ. На продолжении отрезка  DЕ находим точку F принадлежащую прямой АО. Рассмотрим  треугольники ОАС и ОFD.  Докажем их равенство . 1. ∆ВОС=∆ЕОD  (ےВОС=  ےЕОD  (вертикальные),   ВО=ОЕ   по   построению, ОС=ОD по построению). Следовательно ےС =ےD. 2. ےАОС=ےАОВ+ےВОС,  ےDОF=ےDОЕ+ےЕОF, ےАОВ=ےЕОF  (вертикальные), ےАОС=ےDОF.  ے ВОС=ےDОЕ   (вертикальные),   Значит 3.   ∆ОАС   =   ∆ОFD  (  ےС=ےD  (1),  ےАОС=ےDОF  (2),   ОС=ОD  по   построению), значит EF=BA. Т.е. отрезок ЕF  искомая ширина озера. А В С О D E F I Принцип «дробления», задача 1. А D В О     C Дано: ABCD – выпуклый четырёхугольник, АС и ВD – диагонали Док­ть S=½BD*AC*sinα Док­во: α )=½AO*BOsin α SAOB=½AO*BO*sin(180­ SBOC=½BO*OC*sinα SDOC=½BO*OC*sin(180­ SAOD=½AO*OD*sinα SABCD=SAOB+SBOC+SDOC+SAOD=½AO*BOsinα+½BO*OCsin +½DO*OCsin +½AO*ODsin = α )=½BO*OC*sin α α α α α =½sin (AO*BO+BO*OC+OD*OC+AO*OD)   =   ½sin (OC(BO+OD)   +   AO(OD+BO)   =   ½ sin (BO+OD)(AO+OC) = ½ sin BD*AC α α α Принцип «увеличения­уменьшения». Задача 1. Решение. D E C Задача 2. Решение. B D А B ∆ABC∞∆DEC по двум углам ےА = ےD ےАСВ=ےDCB( угол падения равен  углу отражения), значит АВ/ED = AC/DC ED = AB*DC/AC. ∆ABC∞∆CDE (по двум углам) ےС = ےЕ     A = ےC, II A  C   E Принцип «посредника». значит DC/BA=CE/AC BA=DC*AC/CE Задача. У треугольника АВС угол В тупой. Докажите, что если точка К лежит на стороне ВС, то ВК меньше АВ.    C K A Решение. B В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. (*) Надо   сравнить   два   отрезка.   Рассмотрим   треугольник   АКС,   в   который   включены   оба отрезка АС и АК.  Теперь можем пользоваться свойством (*). Но   чтобы   сравнить   стороны,   надо   сначала   сравнить   углы   треугольника.   А   про   углы треугольника АКС по условию ничего не известно. Используем «метод посредника»: сравним угол АКС с известным углом В. Для   треугольника   АВК   угол   АКС   является   внешним,   значит,   он   больше   любого внутреннего, с ним не смежного. Следовательно, угол АКС больше угла В, а угол В по условию тупой. Значит, угол АКС тоже тупой (тупее данного). Теперь мы знаем, что угол АКС  в треугольнике АКС тупой, и, следовательно, сторона АС, лежащая против него, большая. Принцип «наоборот» (№51, Геометрия 10­11 Л.С. Атанасян). Если две пересекающиеся прямые a и b плоскости  α β  параллельны плоскости  , то  α β || . III m α β  и  m ­ линия их пересечения. α  и не пересекаются.  пересекаются, и  Доказательство: Предположим, что  Тогда a||m и  b||m, т.е. лежат в одной плоскости  α Таким образом, в плоскости   через т.  невозможно по аксиоме из планиметрии. . α β || Предположение сделано неверно,  A проходят сразу две прямые, параллельные m, что  IV