Исследовательский проект "Математические софизмы"

Управление образования Артемовского городского округа

Муниципальное  автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная  школа № 1»

Наименование секции/подсекции: естественнонаучное

Исследовательский проект:  «Математические софизмы»

                                                                              Автор работы:  

                                                                         ученик 7В класса

                                                     Руководитель работы:

2019 г.

Содержание

Введение …………………………………………………………….. стр.  3      

Глава 1. Теоретическая часть …………………………………….. .. стр. 4

1.1.          Что такое софизм и история появления софизмов…………. стр. 5

1.2.    Что такое математические софизмы. Виды софизмов ……...стр. 6

Глава 2. Практическая часть ………………………………………...стр.7

2.1.    Примеры софизмов ……………………………………………стр. 7

2.2.    Основные ошибки в софизмах………………………………..стр. 9

2.3.    Где используют математические софизмы? …………………стр. 10

Заключение…………………………………………………………. .стр. 11

Источники информации …………………………………………….стр. 12

Приложение …………………………………………………………стр. 13

Введение

«Дважды два равно пяти», «Два равно трем» - каждый из нас слышал такие фразы хоть раз в жизни. На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел? Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой  «Математические софизмы».

 Неслучайно я выбрал именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.

Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм - это обман.

Проблема: мне хотелось бы узнать, смогу ли я путём некоторых рассуждений ввести окружающих в заблуждение, т.е. под силу ли мне составить математический софизм.

Цель: Узнать, что такое математические софизмы. 

Задачи проекта:                                           

1.     Познакомиться с понятием – софизм.

2.     Узнать виды математических софизмов.

3.     Рассмотреть примеры математических софизмов.

4.     Понять где используются математические софизмы.

Гипотеза: софизм – это обман.

Объёкт исследования: софизмы, их виды.

Предмет исследования: математические софизмы.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1.          Что такое софизм?

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. 

История появления софизмов

Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов, которые жили в Древней Греции (V—IV вв. до нашей эры). Эта философия их обосновывала и оправдывала. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов. Причём наиболее известные и интересные из софизмов были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Вообще принято считать, что термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным в Афинах. 

Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приёмам ведения спора, красноречию. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть гражданское искусство». Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы.

Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает, поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное одновременно, таким образом, они приучали людей к широте взглядов. Они утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

1.2.          Что такое математические    софизмы?

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Виды математических софизмов: арифметические софизмы, алгебраические софизмы, геометрические софизмы. Математические софизмы развивают наблюдательность и вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью математических рассуждений.

Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Геометрические софизмы

Умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Арифметические софизмы

Это числовые выражения имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.

Глава 2. Практическая часть

2.1. Примеры алгебраических и   арифметических софизмов

Пример 1 «Один рубль равен 10000 копеек»

1 р. = 10 000 к.

 Возьмём верное равенство:

1 р. = 100 к.

Возведём его по частям в квадрат.

Мы получим: 1 р. = 10 000 к.

Вопрос:  В чём ошибка?

Ответ:  Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

Пример 2 «Пять равно шести»

5=6

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

 Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5=6

Вопрос:  В чём ошибка?

Ответ: Общий множитель (7 + 2 – 9)= 0, а делить на 0 нельзя.

Пример №3 «Дважды два – пять»

4:4=5:5

4∙(1:1)=5∙(1:1)

(2∙2)∙(1:1)=5∙ (1:1)

2∙2=5

Ответ: Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 5:5=1:1, но 5:5≠5(1:1).

Пример №4  «Пять равно одному»

Из чисел 5 и 1 вычтем одно и тоже число 3.

5-3 = 1-3

2 = -2

(2)² =(-2)²

4 = 4
Значит, должны быть равны и исходные числа

5 = 1.

Ответ: из равенства  квадратов двух чисел не следует,  что сами эти числа равны.

Пример №5 (софизм составленный мной) «Пять равно десяти»

Возьмем тождество

265+155-420=530+310-840

В  каждой  части вынесем за скобки общий множитель:

5∙ (53+31-84)=10 ∙ (53+31-84)
Т.к в скобках одинаковые множители,

то 5=10

Ответ: (53+31-84) = 0  - общий множитель, а на 0 делить нельзя

2.2. Основные ошибки в софизмах

•Деление на 0;

•Неправильные выводы из равенства дробей;

•Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

•Нарушения правил действия с именованными величинами;

•Путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении

множеств;

•Проведение преобразований над математическими объектами, не

имеющими смысла;

•Неравносильный переход от одного неравенства к другому;

•Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

•Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и

предельным переходом.

2.3. Где используют математические софизмы?

1. На уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;

 2. В домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);

3. При проведении различных математических соревнований, для разнообразия;

4. На занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;

5. При написании реферативных и исследовательских работ.

Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии.  Но, тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думал, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я понял, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

«Решайте задачи и не бойтесь трудностей.

Преодоление их вам доставит не только глубокое удовлетворение,

но и большую радость, так как «в математике есть своя красота,

 как в поэзии и музыке»

Н.Е.Жуковский

Источники информации

1.     «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия»,  М, 2004г

2.     Горячев Д.Н., Воронец А.Н. «Задачи, вопросы и софизмы для любителей математике», М., 1966.

3.     Лямин А.А. «Математические парадоксы и интересные задачи», М., (1911г.) 2010 г.

4.     Мадера А. Г. , Д.А. Мадера «Математические софизмы», Москва, «Просвещение», 2003г.

5.     «Математические софизмы», Москва, «Просвещение», 2003г.

6.     Новосёлов М.М. «Абстракция множества парадокс Рассела». «Вопросы философии. 2003г. №7.

         Интернет  - ресурсы:

           https://ru.wikipedia.org/

           http://pрtcloud.ru/

           http://anadra.ru/sitemath/

           https://ru.wikipedia.org/wiki

Приложение

Скачано с www.znanio.ru