Исследовательский проект по математике по теме "Фракталы" (7 класс, математика)

Муниципальное автономное  Общеобразовательное учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 3 г.Черепанова» Направление: исследовательский проект Фракталы Выполнил: Сапунов Владислав,  ученик 7 «В» класса Руководитель: Горькова Ирина Дмитриевна,  учитель математики  1 квалификационной категории Черепаново,2018 Содержание  1. Введение 2. Цель, задачи 3. Что такое фрактал 4. Где встречаются фракталы 5. Практическая работа  6. Вывод  7. Источники информации 8. Приложение “Математика ­ это наука, требующая наиболее фантазии, нельзя быть математиком,  не будучи в то же время поэтом в душе”. Софья Васильевна Ковалевская 1.Введение           В прошлом учебном году, когда я готовил проект по математике, мне встретилось красивое и непонятное слово ­ «фрактал». Мне стало интересно, что же это за слово и что оно означает? Я посмотрел в интернете, и оказалось, что это очень интересное математическое множество, которое встречается и в природе, и в архитектуре, и в компьютерной графике, и в математике. У меня возникла   идея,   поделиться   информацией   о   фракталах   со   своими одноклассниками, сделав информационную брошюру. В этом году я решил продолжить изучение фракталов в математике, а точнее в геометрии.   2. Цель: создание информационной брошюры о математических фракталах Задачи: 1.Собрать информацию о фракталах 2.Выбрать самое важное и интересное 3.Сделать брошюрку 4.Поделиться   своими   знаниями   с   одноклассниками и   научить   их   строить некоторые фракталы.              Гипотеза:  возможно,   когда   я   расскажу   своим   одноклассникам   о фракталах,   они   станут   проявлять   больший   интерес   к   математике,   а   моя брошюра поможет учителю математики в работе.  3.Что такое фрактал?             Фракт л   (лат.   fractus   —   дроблёный,   сломанный,   разбитый)   — аа   математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Само   слово   «фрактал»   появилось   благодаря   гениальному   профессору математических наук, Бенуа Мандельброту. У этого понятия нет строгого определения.   Обычно   так   называют   геометрическую   фигуру,   которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: • • • обладает сложной структурой при любом увеличении; является (приближенно) самоподобной; обладает   дробной   фрактальной   размерностью,   которая   больше топологической. 4.Где  встречаются  фракалы? Фрактальная живопись. Фрактальная живопись – одно из направлений современного арта, популярное среди цифровых художников. Фрактальные картины необычно и завораживающе действуют на зрителя, рождая яркие пылающие образы. Сказочные абстракции создаются посредством скучных математическим формул, но воображение воспринимает их живыми. (Приложение 1) Компьютерная графика.            Геометрические фракталы в компьютерной графике используются для получения   изображений   листьев,   кустов,   деревьев,   береговых   линий, объемных текстур, и т.д. Создают такие изображения с помощью специально разработанных   компьютерных   программ,   моделирующие   некоторые растительные   формы.   Эти   изображения,   например,   получены   в   программе Graphic x4.2007. (Приложение 1) Фракталы в литературе            Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой, т.е. вложенной структурой самоподобия: «Вот дом. Который построил Джек. А вот пшеница, Которая в тёмном чулане хранится В доме, Который построил Джек А вот весёлая птица­синица, Которая ловко ворует пшеницу, Которая в тёмном чулане хранится В доме, Который построил Джек…».    Самуил Яковлевич Маршак Фракталы в медицине На   данное   время   фракталы   находят,   и   вероятно   будут   находить применение   в   медицине.   Сам   по   себе   человеческий   организм   состоит   из множества   фракталоподобных   структур:   кровеносная   система,   мышцы, бронхи и т.д. (Приложение 2). Фракталы в естественных науках Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что   побережья   островов   и   континентов   имеют   некоторую   фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий (Приложение 3). Фракталы в природе Природа   зачастую   создаёт   удивительные   и   прекрасные   фракталы   с идеальной   геометрией   и   такой   гармонией,   что   просто   замираешь   от восхищения (Приложение 4). Фракталы в архитектуре Фрактальную   архитектуру   можно   разделить   на   два   типа:   интуитивную   и сознательную.   В   первом   случае   примером   может   послужить   немалое количество архитектурных шедевров прошлого, в которых строители или же сам архитектор неосознанно использовали принцип фрактального строения. Современные архитекторы чаще всего прибегают к сознательной и сложной фрактальной архитектуре. (Приложение 5) Фракталы в математике Алгебраические фракталы Эта группа фракталов строится на основе алгебраических формул, зачастую очень простых [2, 6, 8, 22]. Различают линейные и нелинейные алгебраические фракталы.   Первые   определяются   линейными   функциями   (уравнениями первого  порядка), а вторые – нелинейными  (их природа значительно ярче, богаче   и   разнообразнее).   Примеры:   множество   Жюлиа,   бассейны   Ньютона. (Приложение 6)      Это самый первый, ранний тип фракталов, с которых, по сути, и началась Геометрические фракталы история фракталов. Такие фракталы – одни из самых наглядных, в них сразу видна   самоподобность   частей,   и   получаются   они   путем   простых геометрических построений.  (Приложение 7) Примерами геометрических фракталов могут служить: Эта   фигура —   один  из  первых   исследованных   учеными  фракталов.   Она Снежинка Коха получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского   математика   Хельге   фон Коха   в   1904 году.   Эта   кривая   была придумана   как   пример   непрерывной   линии,   к которой   нельзя   провести касательную ни в одной точке.  Первые этапы построения кривой Коха Первый этап — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части,   центральная   достраивается   до   правильного   треугольника   и   затем выкидывается.   Второй   этап —   ломаная   линия,   состоящая   из   четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые   и   новые   ломаные   линии.   А то,   что   получится   в результате, и называется кривой Коха. Свойства: 1) Кривая непрерывна, ни в одной её точке нельзя провести касательную. 2) Имеет   бесконечную   длину. Пусть   длина   исходного   отрезка   равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, длина которой будет на треть больше   начальной, т.е.которая в  4 3  раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается   на  4 3 :   длина   линии   на   шаге n равна  .   Поэтому   в   итоге 1 n 4    3     кривая будет бесконечно длинной. H­фрактал Всё   начинается   с   фигуры   в виде   буквы Н,   у которой   вертикальные   и горизонтальные   отрезки   равны.   Затем   к   каждому   из   4 концов   фигуры пририсовывается ее копия, уменьшенная в два раза. К каждому концу (их уже 16) пририсовывается копия буквы Н, уменьшенная уже в 4 раза. И так далее. В пределе получится фрактал, который визуально почти заполняет некоторый квадрат. Принцип построения Н­фрактала применяют при производстве  электронных микросхем: если нужно, чтобы в сложной схеме большое  число элементов получило один и тот же сигнал одновременно, то их  можно расположить в концах отрезков Н­фрактала и соединить  соответствующим образом. Треугольник Серпинского Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы   его   получить,   нужно   взять   (равносторонний)   треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех   образовавшихся   маленьких   треугольников.   Дальше   эти   же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь.  Если   строить   треугольник   Серпинского,   то   можно   заметить,   что   после каждой итерации площадь исходного треугольника уменьшается на  , т.о. 1 4 площадь того, что остается, умножается на  , то есть становится каждый 3 4 раз   всё   меньше.   Можно   предположить,   что   чем   больше   итераций   мы проведём, тем ближе к 0 будет площадь фигуры.  Дерево Пифагора Дерево   Пифагора   —   разновидность   фрактала,   основанная   на   фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».  Возьмём   равнобедренный   прямоугольный   треугольник   и   на   его   сторонах построим   квадраты.   Повторим   несколько   раз   итерации   и   получим   дерево Пифагора.  Если   изначально   взять   не   равнобедренный   прямоугольный   треугольник,   то получим обдуваемое ветром дерево Пифагора. (Приложение 8) 5.Практическая работа      Я собрал   достаточно информации о фракталах, чтобы поделиться со своими одноклассниками. Мне хотелось не просто рассказать о фракталах, но   попрбовали   сделать и   попробовать   сделать   его   своими   руками.   Мы   треугольник Серпинского в 6 классе на уроке ИЗО в виде аппликации, и у нас получилось, но выполнение работы было трудным. (Приложение 9) Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»:   взять   изначально   «пустой»   треугольник,   затем   достроить в нём   треугольник,   образованный   средними   линиями,   затем   в каждом   из трех   угловых   треугольников   сделать   то же   самое,   и т. д.        Такую работу мы провели с одноклассниками на уроке геометрии в 7 классе.    В  результате  треугольник  Серпинского  получился  абсолютно   у всех   ребят  и  получились   довольно   симпатичные  фракталы.  Чем  больше итераций   удалось   провести,   тем   более   ажурным   получился   фрактал,   и стало видно, что площадь изначально взятого треугольника стремительно уменьшается.           На следующем уроке геометрии мы с одноклассниками попробовали начертить   дерево   Пифагора.   Это   задание   оказалось   более   сложным,   но большинство     ребят   справились   с   работой.   Чем   больше   интеграций удавалось сделать, тем ветвистей получалось дерево.     Мною еще была сделана информационная брошюра. (Приложение 10)     6. Вывод        Раньше я считал, что математика занимается исключительно числами и измерениями. Однако, на самом деле – это гораздо больше, чем просто наука для счетоводов и кассиров. Работая  над проектом, я убедился  в том, что математика   и   искусство   на   самом   деле   тесно   переплетены   крепкими незримыми узами. Мне удалось многое узнать о существующих в реальном мире   фракталах   и   убедиться,   что   тому,   кто   занимается   фракталами, открывается прекрасный, удивительный  мир, в котором царят математика, природа   и   искусство.   После   проведенной   работы,   я   стал   лучше   понимать геометрию и убедился в том, что математика прекрасна и удивительна. 7.Источники информации 1. https://ru.wikipedia.org 2. http://fb.ru 3. https://yandex.ru/images Приложение 1 Фрактальная живопись Компьютерная графика Фракталы в медицине Приложение 2 Фракталы в геофизике Приложение 3 Фракталы в природе Приложение 4 Фракталы в архитектуре Приложение 5 Фралкалы в алгебре Приложение 6 Бассейны Ньютона Множество Жюлиа Фракталы в геометрии Приложение 7 Снежинка Коха Н­фракталы Фракталы в геометрии Приложение 8 Дерево Пифагора                                      Ковер Серпинского Треугольники Серпинского   Приложение 9