Исследовательский проект по математике "Существуют ли другие способы решения квадратного уравнения, и имеют ли они право на жизнь?" (8 класс, математика)

математика Квадратные уравнения Существуют ли другие способы решения квадратного уравнения и имеют ли они право на жизнь? Выполнила: Семенова Марина, ученица 8А класса. Руководитель: Свенцицкая Г.М., Ставрополь - 2014 Учитель математики.

математика Если ты услышишь, что кто-то не математику, не верь. Её нельзя не любить – её можно только не знать. любит

математика фундамент, Квадратные уравнения – на покоится здание это котором величественное алгебры.

математика Метод решения квадратного уравнения Метод выделения квадрата двучлена Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки Решение уравнений по формулам дискриминанта и корней Решение уравнений, используя теорему Виета Решение уравнений графическим способом Количес учащихс тво я  0  0 0% 0%  96  82,5 %  1  0 0,9% 0%

математика Цель: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и показать на примерах наиболее рациональные. Задачи: 1. Проанализировать учебники алгебры для выявления в них различных способов решения квадратных уравнений. 2. Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений. 3. Изучить дополнительный материал.

математика Актуальность темы: Практически все, что окружает человека – так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

математика Проблема: 1) Можно ли обойтись без квадратных уравнений? 2) Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений? Гипотеза: Квадратное уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы.

математика План работы: 1) Анкетирование. 2) Сбор и обработка статистических данных. 3) Изучение дополнительного материала. 4) Оформление результатов исследования. 5) Знакомство с ними учеников Планируемые результаты 8А класса. Каждый ученик 8А класса должен прийти к выводу: «Мой способ решения квадратного уравнения – понятный, но я хочу найти для себя самый рациональный».

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратным уравнения находят широкое при решении:  тригонометрических,  логарифмических,  иррациональных уравнений,  исследовании функций и т. д. применение

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Уравнения второй степени могли решать ещё 2000 лет до н. э. вавилоняне, это было вызвано необходимостью находить площади земельных участков и с земляными работами военного характера, развитием астрономии и самой математики.

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов, отсутствует понятие отрицательного числа и методы решения квадратных уравнений. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически.

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА И только в III веке н.э. древнегреческий математик Диофант в своём основном труде «Арифметика» дал систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. Диофант придумал два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов, а также отрицательные числа.

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Брахмагупт а Аль-Хорезми Штифель Декарт Фибоначч и Виет Ньютон

математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В XVIв. итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли учитывают и отрицательные, и положительные корни. И лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Ньютона, Декарта и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. Тарталья Кардано Бомбелли Жирар

математика ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида ах2 + bх + с = 0,  где х –переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а  0, называется квадратным уравнением.

математика ОПРЕДЕЛЕНИЕ Стыдно входить в школу тем ученикам, которые не умеют решать квадратны е уравнения. Неприведенн Приведенные 1а ые 1а ые Квадратн уравнения  ;0 ,0  0  ;0  0 )1 )2 )3 b c b Полные b  c Неполные си  .0

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ стандартные Графический способ решения 2 2 2 у у  2х ;02 х  х  х ;2 х  ; х у  у х : Ответ .2  у 2 х х -2 0 1 .1;2

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ стандартные 2 2  2 Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена  х ;07 х 9322 2 16 ;0 или 12 4 х    2 ;0 16 х        3 ;16 3 2 2 х х   х ;4 3 43 2 х 2   х х ;1 ;7 2 2   .5,0 ;5,3 х х Ответ  :  .5,3;5,0

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ стандартные 2 ;0 Решение квадратных уравнений по формулам   11 3 х х 14  2 bD ;4 ac   2 D ( (34  2 a )14 D х 2/1  ;289 )11 D  ;0 b  ; 17  .1 11  х 1 17  6 Ответ 4:  6 11  х 2 2 3 ;  .1  4 2 3 ;5

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ стандартные Решение квадратных уравнений по формулам (b – четное) ;05 х 2    2     х 8  b  2  Dac 1 ;    8 2  51 ;11 2 D 1 D 1  ;0 х 2/1  4 х 1 Ответ  : х ;11  4  b 2 a  2 ;11 D 1 ; 4   4  .11 .11

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ стандартные 2  а 18  ,1 .0 значит , Виета Теорема Виета х D по  хх 1 2  х х  1  хх 1 2  х х  1 2 Ответ  3 х  ,0 формулам  , с  b ;  ,18  ;3  .6;3 : 2 х 1  ,6 х 2  .3

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ нестандартные х 0 2  2   ;03 окружности Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки х х Центр b 2 a  са 2 а  31 2 )1;0( А Ответ  ;1 .3;1  ;1 2 2 :  у 0  у 0  : х 0 ; ;

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ нестандартные Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки х  ;0  4 4 х 2 Центр окружности : х 0  b 2 a ;  ;2 ;  ;5,2 х 0    4 2  са 2 а  41 2 ).1;0(  0 0 у у А Ответ :  .2

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ нестандартные : х 0 ; х 0 ; 2  2   ;03 окружности Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки х х Центр b 2 a  са 2 а  31 2 ).1;0( А Ответ  ;1 корней нет .  ;2 у 0  у 0  2 2 :

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ нестандартные Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Это старый и  незаслуженно  забытый способ  решения  квадратных  уравнений,  помещенный на  с.83 таблиц  Брадиса

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ нестандартные 9  2 ;2|:04 2 х  9   ;08 )1 х Соединим  b ,8 си номограмма :   х ,8 .1 1  2)2 х 9 х  2 5,4 х 02 Соединим  b си номограмма :  х .5,0 1 х 2  х 5,4  ,4  х 2 ,2

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ нестандартные  ;06 2  х 5 )1 х Соединим  b ,6 номограмма :  х b 1  ,1  5 си х 2  1 .6  ;08  2 х  2 )2 х Соединим  b ,8 си номограмма :  х b 1  ,4 2 х 2  4 .2

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ рациональные Свойства коэффициентов Если )1  сbа  ,1  ,0 хто 1 х 2 с а . Например 5: х 2  24 х  19 .0 5  24  19 ,0 значит , х 1  ,1 х 2  .8,3 19 5 )2 Если  bса , хто 1  ,1 х 2  Например : 2 14 х  5 х  .09 14  ,59 , значит х 1  ,1 х 2  9 14 . с а .

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ рациональные По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого- Умножишь ты корни, и дробь уж готова: В числителе «с», в знаменателе «а» . И сумма корней тоже дроби равна, Хоть с минусом дробь та, ну что за беда: В числителе «b», в знаменателе

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ рациональные СПОСОБ «ПЕРЕБРОСКИ» При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.   11 .05 х 2  11 10 ,0 х х , Значит корни Получим его корни исходного х  2 :  уравнение х 1 х 2 уравнения  ,1 .10 2 х 1  ,5,0 1 2 х 2  .5 10 2

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ рациональные ЗАКОНОМЕРНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ ,1 ,1 2 2 х 2 . х 2  2  ах bх  bс а ,  хто 1  ах  а хто 1  с 0 bх  2 , a bс  , а 1 а  с 0  2 a а , 1  а КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ     ах bх 0 с ах bх 0 с     2 2 a а , bс bс a а ,   , хто а , хто а 1 1 1 а  1 а х 2 х 2  . 2 ,1 ,1 . . КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ рациональные ЗАКОНОМЕРНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ № Уравнение Корни 1 2 3 4 7 2 х  48 х  0 7 х 1  ,7 х 2  11 2 х  122 х  0 11 х 1  ,11 х 2  1 7 1 11 4 2 х  17 х  04 х 1  х ,4 2  5 2 х  24 х  05 х 1  х ,5 2  1 4 1 5

математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ рациональные Квадратное уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы. Существует более 10 способов решения квадратного уравнения. Каждый способ имеет свою красоту. Любите

математика Источники: 1. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: А.Г. Мордкович.-М.: Мнемозина, 2013. 2. Алгебра 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: А.Г. Мордкович.-М.: Мнемозина, 2013. 3. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.- 57-е изд. – М.: Просвещение, 1990. 4. http://arm-math.rkc 5. http://edu.of.ru