математика
Квадратные уравнения
Существуют ли другие
способы решения
квадратного уравнения
и имеют ли они право на
жизнь?
Выполнила: Семенова
Марина,
ученица 8А класса.
Руководитель: Свенцицкая
Г.М.,
Ставрополь - 2014
Учитель математики.
математика
Если ты услышишь, что кто-то
не
математику, не верь. Её нельзя
не любить – её можно только не
знать.
любит
математика
фундамент,
Квадратные уравнения –
на
покоится
здание
это
котором
величественное
алгебры.
математика
Метод решения
квадратного
уравнения
Метод выделения
квадрата двучлена
Метод разложения левой
части уравнения на
множители способом
группировки
Решение уравнений по
формулам
дискриминанта и корней
Решение уравнений,
используя теорему Виета
Решение уравнений
графическим способом
Количес
учащихс
тво
я
0
0
0%
0%
96 82,5
%
1
0
0,9%
0%
математика
Цель:
Изучить различные способы
решения квадратных уравнений и
показать на примерах наиболее
рациональные.
Задачи:
1. Проанализировать учебники
алгебры для выявления в них
различных способов решения
квадратных уравнений.
2. Изложить наиболее известные
способы решения квадратных
уравнений.
3. Изучить дополнительный
материал.
математика
Актуальность темы:
Практически все, что окружает
человека – так или иначе связано
с математикой. Поэтому решение
многих практических задач
сводится к решению различных
видов уравнений, которые
необходимо научиться решать.
математика
Проблема:
1) Можно ли обойтись без
квадратных уравнений?
2) Какие существуют
рациональные способы решения
квадратных уравнений?
Гипотеза:
Квадратное уравнение - это
золотой ключ, открывающий все
математические сезамы.
математика
План работы:
1) Анкетирование.
2) Сбор и обработка
статистических данных.
3) Изучение дополнительного
материала.
4) Оформление результатов
исследования.
5) Знакомство с ними учеников
Планируемые результаты
8А класса.
Каждый ученик 8А класса
должен прийти к выводу: «Мой
способ решения квадратного
уравнения – понятный, но я
хочу найти для себя самый
рациональный».
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Квадратные уравнения – это
фундамент, на котором покоится
величественное здание алгебры.
Квадратным уравнения находят
широкое
при
решении:
тригонометрических,
логарифмических,
иррациональных уравнений,
исследовании функций и т. д.
применение
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Уравнения второй степени
могли решать ещё 2000 лет до н.
э. вавилоняне, это было вызвано
необходимостью находить
площади земельных участков и с
земляными работами военного
характера, развитием
астрономии и самой математики.
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
В древних математических
задачах Междуречья, Индии,
Китая, Греции неизвестные
величины выражали число
павлинов в саду, количество
быков в стаде, совокупность
вещей, учитываемых при разделе
имущества. Хорошо обученные
науке счета писцы, чиновники и
посвященные в тайные знания
жрецы довольно успешно
справлялись с такими задачами.
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Дошедшие до нас источники
свидетельствуют, что древние
ученые владели какими-то
общими приемами решения задач
с неизвестными величинами.
Однако ни в одном папирусе, ни в
одной глиняной табличке не дано
описания этих приемов,
отсутствует понятие
отрицательного числа и методы
решения квадратных уравнений.
Математики Древней Греции
решали квадратные уравнения
геометрически.
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
И только в III веке н.э.
древнегреческий математик
Диофант в своём основном труде
«Арифметика» дал
систематизированный ряд задач,
сопровождаемых объяснениями
и решаемых при помощи
составления уравнений разных
степеней.
Диофант придумал два основных
приёма решения уравнений –
перенос неизвестных в одну
сторону уравнения и приведение
подобных членов, а также
отрицательные числа.
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Брахмагупт
а
Аль-Хорезми Штифель
Декарт
Фибоначч
и
Виет
Ньютон
математикаИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
В XVIв. итальянские математики
Тарталья, Кардано, Бомбелли
учитывают и отрицательные, и
положительные корни. И лишь в
XVII в. благодаря трудам Жирара,
Ньютона, Декарта и других учёных
способ решения квадратных
уравнений принимает современный
вид.
Тарталья
Кардано
Бомбелли
Жирар
математика
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение вида
ах2 + bх + с = 0,
где х –переменная,
а, b и с - некоторые числа,
причем а 0, называется
квадратным уравнением.
математика
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Стыдно
входить в
школу тем
ученикам,
которые
не умеют
решать
квадратны
е
уравнения.
Неприведенн
Приведенные
1а
ые
1а
ые
Квадратн
уравнения
;0
,0
0
;0
0
)1
)2
)3
b
c
b
Полные
b
c
Неполные
си
.0
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
стандартные
Графический способ решения
2
2
2
у
у
2х
;02
х
х
х
;2
х
;
х
у
у
х
:
Ответ
.2
у
2 х
х
-2
0
1
.1;2
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
стандартные
2
2
2
Решение квадратных
уравнений с помощью
выделения квадрата
двучлена
х
;07
х
9322
2
16
;0
или
12
4
х
2
;0
16
х
3
;16
3
2
2
х
х
х
;4
3
43
2
х
2
х
х
;1
;7
2
2
.5,0
;5,3
х
х
Ответ
:
.5,3;5,0
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
стандартные
2
;0
Решение квадратных
уравнений по формулам
11
3
х
х
14
2
bD
;4
ac
2
D
(
(34
2
a
)14
D
х
2/1
;289
)11
D
;0
b
;
17
.1
11
х
1
17
6
Ответ
4:
6
11
х
2
2
3
;
.1
4
2
3
;5
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
стандартные
Решение квадратных
уравнений по формулам
(b – четное)
;05
х
2
2
х
8
b
2
Dac
1
;
8
2
51
;11
2
D
1
D
1
;0
х
2/1
4
х
1
Ответ
:
х
;11
4
b
2
a
2
;11
D
1
;
4
4
.11
.11
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
стандартные
2
а
18
,1
.0
значит
,
Виета
Теорема Виета
х
D
по
хх
1
2
х
х
1
хх
1
2
х
х
1
2
Ответ
3
х
,0
формулам
,
с
b
;
,18
;3
.6;3
:
2
х
1
,6
х
2
.3
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
нестандартные
х
0
2
2
;03
окружности
Решение квадратных
уравнений с помощью
циркуля и линейки
х
х
Центр
b
2
a
са
2
а
31
2
)1;0(
А
Ответ
;1
.3;1
;1
2
2
:
у
0
у
0
:
х
0
;
;
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
нестандартные
Решение квадратных
уравнений с помощью
циркуля и линейки
х
;0
4
4
х
2
Центр
окружности
:
х
0
b
2
a
;
;2
;
;5,2
х
0
4
2
са
2
а
41
2
).1;0(
0
0
у
у
А
Ответ
:
.2
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
нестандартные
:
х
0
;
х
0
;
2
2
;03
окружности
Решение квадратных
уравнений с помощью
циркуля и линейки
х
х
Центр
b
2
a
са
2
а
31
2
).1;0(
А
Ответ
;1
корней
нет
.
;2
у
0
у
0
2
2
:
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
нестандартные
Решение квадратных
уравнений с помощью
номограммы
Это старый и
незаслуженно
забытый способ
решения
квадратных
уравнений,
помещенный на
с.83 таблиц
Брадиса
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
нестандартные
9
2
;2|:04
2
х
9
;08
)1
х
Соединим
b
,8
си
номограмма
:
х
,8
.1
1
2)2
х
9
х
2
5,4
х
02
Соединим
b
си
номограмма
:
х
.5,0
1
х
2
х
5,4
,4
х
2
,2
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
нестандартные
;06
2
х
5
)1
х
Соединим
b
,6
номограмма
:
х
b
1
,1
5
си
х
2
1
.6
;08
2
х
2
)2
х
Соединим
b
,8
си
номограмма
:
х
b
1
,4
2
х
2
4
.2
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
рациональные
Свойства коэффициентов
Если
)1
сbа
,1
,0
хто
1
х
2
с
а
.
Например
5:
х
2
24
х
19
.0
5
24
19
,0
значит
,
х
1
,1
х
2
.8,3
19
5
)2
Если
bса
,
хто
1
,1
х
2
Например
:
2
14
х
5
х
.09
14
,59
,
значит
х
1
,1
х
2
9
14
.
с
а
.
математика
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
рациональные
По праву достойна в стихах быть
воспета
О свойствах корней теорема
Виета.
Что лучше, скажи, постоянства
такого-
Умножишь ты корни, и дробь уж
готова:
В числителе «с», в знаменателе
«а» .
И сумма корней тоже дроби
равна,
Хоть с минусом дробь та, ну что
за беда:
В числителе «b», в знаменателе
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
рациональные
СПОСОБ «ПЕРЕБРОСКИ»
При этом способе коэффициент а
умножается на свободный член, как бы
«перебрасывается» к нему, поэтому его и
называют способом «переброски». Этот
способ применяют, когда можно легко
найти корни уравнения, используя
теорему Виета и, что самое важное, когда
дискриминант есть точный квадрат.
11
.05
х
2
11
10
,0
х
х
,
Значит
корни
Получим
его
корни
исходного
х
2
:
уравнение
х
1
х
2
уравнения
,1
.10
2
х
1
,5,0
1
2
х
2
.5
10
2
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
рациональные
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ
,1
,1
2
2
х
2
.
х
2
2
ах
bх
bс
а
,
хто
1
ах
а
хто
1
с
0
bх
2
,
a
bс
,
а
1
а
с
0
2
a
а
,
1
а
КВАДРАТНОГО
УРАВНЕНИЯ
ах
bх
0
с
ах
bх
0
с
2
2
a
а
,
bс
bс
a
а
,
,
хто
а
,
хто
а
1
1
1
а
1
а
х
2
х
2
.
2
,1
,1
.
.
КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
рациональные
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ
№ Уравнение Корни
1
2
3
4
7 2
х
48
х
0
7
х
1
,7
х
2
11 2
х
122
х
0
11
х
1
,11
х
2
1
7
1
11
4 2
х
17
х
04
х
1
х
,4
2
5 2
х
24
х
05
х
1
х
,5
2
1
4
1
5
математика СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
рациональные
Квадратное
уравнение - это
золотой ключ,
открывающий все
математические сезамы.
Существует более 10 способов
решения квадратного
уравнения. Каждый способ
имеет свою красоту.
Любите
математика
Источники:
1. Алгебра 8 класс: учебник для
общеобразовательных учреждений.
Авторы: А.Г. Мордкович.-М.: Мнемозина,
2013.
2. Алгебра 9 класс: учебник для
общеобразовательных учреждений.
Авторы: А.Г. Мордкович.-М.: Мнемозина,
2013.
3. Брадис В.М. Четырехзначные
математические таблицы: для сред.шк.-
57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.
4. http://arm-math.rkc
5. http://edu.of.ru