Исследовательский проект "Построение графиков функций при решении заданий ОГЭ" (9 класс, математика)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Моисеево­Алабушская средняя общеобразовательная школа Построение графиков функций при решении заданий ОГЭ Работу выполнила: ученица 9 класса Козюлина Алина Александровна. Руководитель: преподаватель математики Фролова Наталия Викторовна 0 2019  Содержание. 1. Введение                                                                                                                2 2. Основная часть                                                                                                  3­7 3. Заключение                                                                                                           7 4. Библиографический список                                                                              8 1 ВВЕДЕНИЕ Каждый день человек встречается с таким понятием, как зависимость одной величины от другой   –   зависимость   расстояния   от   скорости,   цены   от   количества,   производительности   от работоспособности и т.д. При этом мы даже не задумываемся, что имеем дело с очень сложным понятием – функции.   При   подготовке   к   экзаменам   по   математике   одно   из   заданий   2   части   ОГЭ   из   модуля «Алгебра» – это задания на построение графиков функций, которые перед этим необходимо еще привести к стандартному виду, вызывают у школьников затруднения, и они либо вообще не берутся за выполнение этого задания, либо берутся, но выполняют их неправильно. Я взяла на исследование эту тему,   поскольку задания на построение графиков нестандартных функций вызывали у меня затруднения, а  опыт, приобретенный после исследования, очень пригодится мне при выполнении заданий  ОГЭ 2 части. После   написания   пробного   ОГЭ,   я   провела   опрос   и   попросила   ответить   своих одноклассников на вопросы: кто из них решил  № 23, приступил к решению, но не смог и кто не приступал к решению этого задания.  Полученные результаты: 1 человек решил, 4 человека попытались решить, но не смогли, остальные 15 человек даже не приступали к решению. 2 Актуальность исследовательской работы: умение и навыки строить графики нестандартных функций необходимы школьникам как при сдаче экзаменов ОГЭ, ЕГЭ, так и в дальнейшем при обучении в учебных заведениях различного профиля. Проблема:  ученик,   столкнувшись   с   заданиями   на   построение   графиков   нестандартных функций, либо вообще не берется за их выполнение, либо выполняет их неправильно. Объект исследования: графики функций, материалы ОГЭ. Гипотеза:  я  считаю,  что  знаний   школьной  базы  общеобразовательного   курса  математики недостаточно для решения заданий на построение графиков функций 2 части ОГЭ. Цель работы: исследовать методы решения заданий ОГЭ на построение графиков нестандартных ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ функций.  Задачи исследования: 1) Приобрести исследовательский подход к решению заданий на построение графиков функций 2) Выявить те области, которые входят в задание №23 ОГЭ, и изучаются либо не изучаются в общеобразовательном курсе математики 3) Доказать либо опровергнуть гипотезу Методы проведенных исследований: 1. Анализ  литературы по проблеме исследования. 2. Решение заданий на построение графиков нестандартных функций. 3. Анализ и обработка результатов исследования.        Нарешав большое количество заданий, я установила, что функции, встречающиеся в заданиях 2 части ОГЭ, делятся на следующие виды: 1) Линейная функция 2) Квадратичная функция 3) Обратная пропорциональность 4) Дробно­кусочные функции 5) Квадратный корень 6) Функции с модулем 7) Другие функции 3 В ходе работы оказывалось, что в заданиях на построение графиков функций 2 части ОГЭ по математике   содержится   материал,     подробно   не   изучающийся   в   общеобразовательном   курсе математики. Я начала изучать следующую литературу: «Решение задач с параметрами с помощью графиков  функций»  и   поняла,  что  задания,   которые  встречаются  в  №23   второй  части  ОГЭ  (с параметром),   решаются   с   помощью   графиков   функций.   Умение   строить   графики   позволяет облегчить решение многих с виду сложных задач с параметрами. В этой книге рассматриваются и другие способы исследований функций, но они мне показались сложнее. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Не   стоит   забывать,   что   в   заданиях   ОГЭ   могут   пересекаться   разные   темы   и   способы   решения заданий. В задании на построение графика нестандартной функции это тоже присутствует.  №1  Постройте график  функции               2 ( x  3 х y   х )(2  2 2 х 4  3 х  )2 и определите, при каких  значениях k построенный график будет иметь одну общую точку с прямой у = kx. Решение. 1) Область определения функции:  х 2) Упростим правую часть  формулы:   х ,2  2   2 ( x  3 х у   х )(2 )(2 ,2 Найдём k:    3=k*2, k=1,5                              3 х  )2  х  )2  2 )(2  2    х 4 )(1 )2 2 х х х ( х    х 2 )(1 х х ( х ,1     3) Построим график функции    Точки х=2 и х=­2 не принадлежат нашему графику.   y 12 х 4) Существуют две прямые вида у=kх, имеющие  одну общую точку с графиком.  Они  показаны на чертеже.                 3=k*(­2), k=­1,5 Ответ:   ­ 1,5; 1,5                                      4 №2  Постройте график  функции             y x 2  22 x  1  x и определите, при каких  значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку  Решение.    1)  Найдем область определения функции:     2)  Упростим правую часть формулы:  х  х ,0 5,0    1  x  5,0 2 x 2 x 2 ,0 х y х  1 х 2  2( )1 х х  1 х    3) Строим график функции у=1/х,      4) На чертеже показываем, при каких  значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну х  х ,0 5,0 общую точку  kx )2;5,0(,  2  y k k    )5,0(  4                                                                                         Ответ:  k=4  №3  Постройте график функции                                   и определите, при каких значени­ ( 2 х y   2 )6  x 5  х 3 ях а прямая y = а не имеет с графиком ни одной общей точки. Решение. 1)  Найдем область определения функции:   ,06   52 х х   х 03    х 2;    ;3 2) Упростим правую часть формулы :  ( 2 х y  (   х 5 )(2  х 5    х 3 )3  x х 3 2 )6 2 х  6  х 5   х 3   х 2 3) Построим график функции у=х­2, х≠3.                                  4) Прямая y = а не имеет с графиком ни одной общей точки при   1;0а    От в е т :      1;0а           │ │ №4. Постройте график  функции у =  х – 2  +  х² ­ 9   и определите, при каких  значениях прямая y = а имеет с графиком три общие точки . │ │  а  Решение. 1) Найдем область определения  функции:  х 2) Преобразуем правую часть формулы:    ; Если х < ­3, то у = 2 ­ х + х² ­ 9 = х² ­ х ­ 7  Если ­3 ≤ х < 2, то у = 2 ­ х ­ х² + 9 = ­х² ­ х + 11  Если 2 < х  ≤ 3, то у = х ­ 2 ­ х² + 9 = ­х² + х + 7  Если  х  > 3, то у = х – 2 + х² ­ 9 = х² + х ­ 11               х² ­ х ­ 7, х < ­3;             ­х² ­ х + 11, ­3 ≤ х < 2;  6 У=         ­х² + х + 7, 2 < х  ≤ 3;             х² + х ­ 11, х  > 3  3) Построим график этой функции.                                                                   4) Покажем на графике прямые, которые имеют с графиком три общие точки, таких прямых две:  у=5 и у=11,25. Ответ:  а = 5, а = 11,25      В ходе исследования, я составила алгоритм решения данных заданий. 1) 2) 3) 4) Найдем область определения функции. Упростим или преобразуем правую часть формулы, если это возможно. Построим график функции.  Ответим на вопрос задачи, используя построенный график.       Итак, для заданий подобного типа необходимы не только знания общеобразовательного курса математики, но и знания профильного курса, такие как графики функций с разрывом. Задания с параметром как таковые не изучаются, лишь только вскользь касаются.           Таким   образом,   при   решении   заданий   подобного   типа   нам   необходимы   умения   разлагать многочлен на множители при помощи формул сокращенного умножения, разложения на множители квадратного трехчлена, умение сокращать алгебраические дроби, нахождения ОДЗ, нахождения координат вершины параболы и точек пересечения с осями координат.      Я научилась выполнять задания на построение графиков нестандартных функций 2 части ОГЭ по математике, исследовала методы их выполнения, то есть я могу сказать, что достигла поставленной ЗАКЛЮЧЕНИЕ 7 цели.    Исследовав   эту   тему,   я   перестала   «бояться»   этих   заданий,   наработала   навык   решения, сделала соответствующие выводы.       Кроме того, я приобрела исследовательский подход к решению заданий, что тоже очень поможет мне на экзамене ОГЭ по математике и в моём   дальнейшем обучении в школе и при получении профессии.      Мною были выявлены те умения, которые необходимы при решении задания №23 экзамена по математике, такие как построение графиков функций с разрывом, задания с параметром, сдвиг гиперболы вдоль оси ординат или абсцисс, а иногда и того и другого, построение дробно­кусочных функций.   Таким   образом,   наша   гипотеза   подтвердилась.   Знаний   общеобразовательного   курса действительно   недостаточно   для   выполнения   заданий   на   построение   и   исследование   графиков функций. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ­2019. Учебно­тренировочные тесты по  новому плану ГИА: алгебра, геометрия, реальная математика / Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю.  Кулабухова. – Ростов­на­Дону: Легион, 2018. – 128 с. – (ОГЭ­9). 2. Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.  Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 17­е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 271  с. : ил 3. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное  пособие / А. Н. Земляков. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 319 с. ил. 4. ОГЭ 2019. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые  тестовые задания / И. В. Лиценко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров. –  М. : Издательство «Экзамен», 2018. – 78, |2| с. (Серия «ОГЭ. ОФЦ. Типовые тестовые задания») 5. Решение задач с параметрами с помощью графиков функций. Карасёв В. А. Левшина Г. Д. Электронная версия. http://ilexa.ru/kniga/reshenie­zadach­s­parametrami­s­pomoshhju­grafikov­funkcij/ 8