Исследовательский проект "Проценты вокруг нас"

VII Научно­практическая конференция «Виват, Россия!» Секция естественно­математических наук Проценты вокруг нас исследовательская работа Выполнил работу: Цыу Даниил,  учащийся 6 класса  МОБУ Вышневолоцкого района Тверской области  Зеленогорская средняя общеобразовательная школа Руководитель: Борцова Любовь Николаевна,  МОБУ «Зеленогорская СОШ», учитель математики  1 2017 Оглавление 1. Введение..…………………………………………………………….....  2­3 с 2. Основная часть...…………………………………………...............         4­11с 2.1. История возникновения процента..........……………                           4с 2.2. Понятие «процент»........…...…...…………………                                5 с 2.3 Социологический опрос   ………                                              6 с 2.4. Виды задач на проценты и способы их решения………………......  6­ с  2.5. Процентные расчёты в разных сферах деятельности…………..     9­12с 3.Заключение……………………………………………………...............  13 с 2 4. Список литературы……………………...…...…...…............................ 14 с                                                           1. Введение В жизни важно обладать знаниями, но важнее уметь их применять. Одна из главных задач математического образования ­ обеспечение математической грамотности школьников: готовность и способность решать жизненные задачи с помощью математики. Актуальность. «Проценты» ­ одна из сложнейших тем математики. Значение этой   темы   очень   велико.   Она   затрагивает   многие   сферы   нашей   жизни: финансовую,   экономическую,   социальную,   интеллектуальную,   личную, демографическую и др. Изучение процентов продиктовано самой жизнью. Мы ежедневно получаем информацию в процентах: магазин предоставляет скидку на все товары на 20%, банк начисляет 5,1 % годовых, молоко содержит 3,2% жира,   материал   содержит   60%   хлопка   и   40%   полиэстера   и   т.д.   Человек должен   уметь   свободно   просчитать   предложения   магазинов,   различных банков, кредитных отделов и выбирать наиболее выгодные. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школ.  В прошлом году моя сестра сдавала экзамен по математике, т. к. заканчивала 9   классов.   При   подготовке   к   экзамену   она   пользовалась   пособием «Математика. Подготовка к ОГЭ ­ 2016» под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Из любопытства   я   полистал   книгу   и   обнаружил,   что   каждый   тренировочный вариант содержит задачу на проценты. Некоторые из них я включил в свою исследовательскую работу. Цель   работы:   расширение   знаний   о   применении   процентных   вычислений   в различных сферах деятельности и жизни человека.  Задачи: выяснить историю происхождения процентов; рассмотреть основные типы задач на проценты; раскрыть практическую значимость процентов; показать широту применения процентных вычислений при решении задач из разных сфер жизнедеятельности человека; 3 провести статистическое исследование; обобщить результаты работы. Методы исследования:  1. теоретический анализ научной и учебной литературы, поиск необходимой информации   в   сети   Интернет,   систематизация   полученной   информации, обобщение выводов; 2. практический метод: решение различных задач на проценты, в том числе из сборников ОГЭ, представление результатов исследований в виде таблиц; 3. опросно­диагностический метод.   4 2. Основная часть 2.1. История возникновения процента   Слово «процент» произошло от латинского слова «pro centum» и означает буквально «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части   целых   чисел  в   одних   и   тех   же   сотых   долях.  Это   дает   возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения   частей   целого   постоянно   в   одних   и   тех   же   долях,   вызванная практическими   соображениями,   родилась   еще   в   древности   у   вавилонян, которые   пользовались   шестидесятеричными   дробями.   Уже   в   клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские   математики   вычисляли   проценты,   применив   так   называемое тройное правило, то есть, пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами   были   особенно   распространены   в   Древнем   Риме.   Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.   Даже   римский   сенат   вынужден   был   установить   максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать   не   только   проценты,   но   и   проценты   с   процентов,   то   есть сложные проценты (так их называют в наше время). Отдельные конторы и предприятия   для   облегчения   труда   при   вычислениях   процентов разрабатывали   свои   особые   таблицы,   которые   составляли     коммерческую тайну фирмы. 5 Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в   1584 году Симон Стевин   –   инженер   из   города   Брюгге   (Нидерланды).   Он   известен замечательным разнообразием научных открытий.   2.2. Что такое процент? Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на   каждые   100   рублей.   Они   применялись   только   в   торговых   и   денежных сделках.   Затем   область   их   применения   расширилась,   теперь   проценты встречаются  в хозяйственных   и  финансовых  расчетах, статистике, науке  и технике. Употребление   термина   «процент»   в   качестве   нормы   русского   языка начинается   с   конца   XVIII   века.   Об   этом   свидетельствует   сравнительный анализ   текстов   двух   фундаментальных   учебников   по   математике   Ефима Войтеховского   (первое   издание   1795   года)   и   Т.Ф.   Осиповского   (первое издание   1802   года).   В   обоих   учебниках   имеется   по   несколько   задач   «на проценты по вкладу», но Е. Войтеховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент». Знак « %» происходит, как полагают, от итальянского слова «cento» (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно «cto». Путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t превратилась в наклонную черту (/) и возник современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где наборщик по ошибке вместо «cto» напечатал «%». Нынче процент – это сотая доля целого, принимаемого за единицу. Например, 1%   зарплаты   –   это   сотая   часть   зарплаты;   подоходный   налог   с   зарплаты берется в размере 13%, то есть 13 сотых от зарплаты; 3,5% жира в молоке означает,   что   3,5   сотых   массы   продукта   составляет   жир   или,   другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,5 грамма жира. Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. В повседневной  жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов, поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. Так, половина — 50%, 6 четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, три пятых — 60%, а один – 100%. Знание наизусть соотношений из таблицы облегчит решение многих задач.  2.3. Социологический опрос Я решил провести опрос жителей нашего поселка, учеников школы, родителей с   целью   выяснения,   знают   ли   они   определение   процента   и   где   они   его применяют.  Было опрошено 20 человек, возраст которых от 10 лет и старше.  Получены следующие результаты: Знаете ли вы, что такое процент? да – 13 (65%) нет ­7 (35%)   Используете   ли их в своей жизни? да – 20 (100%) Где применяете проценты? на уроках ­  9 (45 %)  в магазине, аптеке – 18 (90%) в банке – 12(60%) в быту –7  (35%)   Вывод:   большинство   опрошенных   знает,   что     такое   проценты   и   широко использует в различных сферах своей жизни.   2.4. Виды задач на проценты и способы их решения. Основные задачи на проценты можно разделить на три группы: 1) Нахождение процентов от числа.  Чтобы найти проценты от числа, нужно: 1) представить  проценты в виде дроби (десятичной  или обыкновенной); 2) умножить число на эту дробь. 7 Задача: Плата за телефон составляет 400 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 9% На сколько рублей повысится плата в следующем году?   Решение:  9%  =  0,09;   400  ∙  0,09  =   36  (р.)   повысится   плата   за   телефон   в следующем году . Ответ: на 36 рублей.  2) Нахождение числа по его процентам.  Чтобы найти число по его процентам, нужно: 1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) разделить значение процентов на эту дробь.  Задача: Вес Вани равен 45 кг и составляет 90% от среднего веса мальчиков того   же   возраста,   что   и   Ваня.   Какой   средний   вес   мальчиков   Ваниного возраста?  Решение: 90% = 0,9; 45 : 0,9 = 50 (кг) средний вес мальчиков . Ответ: 50 кг   3)   Нахождение   процентного   отношения   чисел.   Чтобы   найти   процентное отношение двух чисел, надо:  1.   найти   отношение   этих   чисел,   т.   е.   одно   число   разделить   на   другое;   2. результат умножить на 100 и дописать знак процента.  Задача: Поступивший в продажу в сентябре мобильный телефон стоил 2400 рублей. В октябре он стал стоить 1320 рублей. Сколько процентов составляет новая цена от первоначальной? [5,94]  Решение: 1) 1320 : 2400 = 0,55 = 55% составляет новая цена от первоначальной? Ответ: 55% Задачи, связанные с банковскими расчетами решаются с помощью сложных процентов. Я хотел бы в будущем разобраться с их решением, так как сегодня мне не хватает знаний.   Решение задач на проценты составлением пропорции. 8 При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть – величина a – принимается за x % и составляется пропорция:    =   Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третью   величину,   пользуясь   правилами   нахождения   неизвестного   крайнего (среднего) члена пропорции.   Задача . В парке растёт 36 берёз. Сколько всего деревьев в парке, если клёны составляют 52%?  Решение: Берёзы составляют 100% ­ 52% = 48% всех деревьев. Берёзы: 36 д. ­ 48% Все деревья: х д. ­ 100%  Составляем пропорцию:    х =  = 75  Ответ: 75 деревьев.  Решение задач на проценты алгебраическим методом.  Задача. Одна из сторон прямоугольника на 42% больше другой, его площадь равна 568 см2. Найдите меньшую из сторон прямоугольника.  Решение:   Пусть   х   см   –   меньшая   сторона   прямоугольника,   тогда   большая сторона ­ 1,42 х см. Площадь прямоугольника равна 568 см2. Составим и решим уравнение:  х ∙ 1,42 х = 568,  1,42х2 = 568,  х2 = 400, х1 = 20 и х2 = ­ 20, ­20 не удовлетворяет условию задачи.  Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна 20 см.   2.5. Проценты в повседневной жизни  Можно и нужно для задач брать примеры из окружающей жизни. Н.К. Крупская 9 Проценты   широко   применяются   в  повседневной   жизни.  Я   показал   это   на следующих задачах. Бюджет семьи В   начале   своей   исследовательской   работы   я   изучил   много   различной литературы о процентах. Меня заинтересовала информация о бюджете семьи: чтобы   достичь   финансового   успеха,   необходимо   разделить   общий   доход семьи на три части: 50% ­ на нужды семьи (продукты, платежи, транспорт и т. п.) 30% ­ на желанные вещи (хобби, путешествия, походы в кино, театр и др.) 20% ­ на сбережения. Сначала откладываем 20%, а потом тратим на всё остальное. Рассчитаю бюджет нашей семьи, доход которой составляет 15000 + 7400 = 22400 рублей. На сбережения 20% 22400 • 0,2 = 4480 На необходимые вещи 50% 22400 • 0,5 = 11200 На желанные вещи 30% 22400 • 0,3 = 6720 Вывод: На практике получается совсем другой расклад бюджета: на желанные вещи, да и на сбережения не всегда остаётся указанное количество денег, т. к. постоянно происходит повышение цен на продукты питания, одежду и другие услуги.  Задача по вкладу. 10 Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. Сбербанк начисляет на срочный вклад 9% годовых. Какая сумма будет на счету вкладчика через год?  Решение: 9% = 0,09; 5 000 • 0,09 = 450 р., то через год на счету вкладчика будет 5000 + 450 = 5450 (р.). Ответ: 5450 руб.  Здравоохранение.  Задача. Известно, что в среднем 80% курящих страдают заболеванием легких. Найдите   количество   больных,   если   в   исследовании   приняло   участие   500 курящих человек. Решение: 80% = 0,8; 500 • 0,8 = 400 (ч.) Вывод: 400 человек из 500 курящих страдают заболеванием легких!  Распродажа. Задача. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре? Решение. Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р. 360 • 0,85 = 306 (р). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта, теперь следует искать 90 % от 306 р. 306 • 0,9 = 275,4 (р.). Ответ: 275 рублей 40 копеек.  Задача на растворы. В   прошлом   году   моя   сестра   закончила   9   классов   и   сдавала   экзамен   по математике. К экзамену она готовится по книге «Математика. Подготовка к ОГЭ ­ 2016» под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Из любопытства я полистал книгу и обнаружил, что в тренировочные варианты включены задачи на проценты. Вот одна из них. 11 В   сборнике   «Типовые   тестовые   задания   2016»   я   обнаружил   задачи   на растворы. Для меня эти задачи самые сложные. К   120   г   раствора,   содержащего   80%   соли,   добавили   480   г   раствора, содержащего   20   %   той   же   соли.   Сколько   процентов   соли   содержится   в получившемся растворе? [4,78]  Решение: 1) 80% = 0,8; 120 • 0,8 = 96(г) соли в 80% растворе; 2) 20% = 0,2; 480 • 0,2=96(г) соли во 20% растворе; 3) 96 + 96 = 192 (г) соли 4) 120+480 = 600 (г) жидкости (растворителя). 5) 192 : 600 = 0,32 = 32% соли содержится в получившемся растворе. Ответ: 32%.  Задачи данного типа решают и на уроках химии. Значит, решая такие задачи на уроках математики, мы изучаем химию уже в 6 классе.  Задачи с процентами из литературы.  Эта   задача   не  осталась   без   моего   внимания:   В   романе   М.  Е.  Салтыкова  ­ Щедрина   «   Господа   Головлевы»   сын   Порфирия   Владимировича   Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год. Согласилась ли бабушка на его условия. Решение: 5% в месяц, значит, 60% в год. 60% = 0,6 3000 • 0,6 + 3000 = 4800 (руб) Петя вернул бы бабушке через год. Предложение заманчивое за год получить прибавку в 1800 руб, но игроки – ненадёжные люди. Думаю, бабушка не согласится на условия Пети. Ответ: 4800 рублей.   12 3. Заключение  В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что проценты помогают нам: грамотно разбираться в большом потоке информации; правильно вкладывать деньги; совершать выгодные покупки, экономя на скидках; грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант; решать математические задачи.  Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым, обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Трудно назвать область, где бы ни применялись проценты. В своей работе я показал применение понятия «процент» при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (торговля, здравоохранение, литература, химия, быт и др.). Применение   в   жизни   процентных   расчетов   полностью   рассмотреть   очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека.   Данная   тема   оставляет   широкое   поле   для   дальнейших исследований. 13 4. Литература: Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М, 2010г. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. М, 2011г. Математика.   9­й   класс.   Подготовка   к   ОГЭ   –   2016.   40   тренировочных вариантов по демоверсии на 2016год: учебно­методическое пособие / Под ред. Лысенко и др. – Ростов на Дону: Легион, 2015. ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. 3 модуля. 30 вариантов типовых тестовых заданий / Высоцкий И.Р. и др. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. Минаева   С.С.,   Дроби   и   проценты.   5   –   7   классы   /С.С.   Минаева.   –   М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с. Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 14