Как геометрические методы помогают в алгебре

Как геометрические методы помогают в алгебре

Автор работы:
Кряквина Лилия Низамитдиновна, учитель
математики, МАОУ «Школа № 60»,
Ростов-на-Дону

Введение

Тема исследования: задачи на отыскание наибольших и наименьших значений выражений и функций, задачи с параметрами. Объект и предмет исследования: геометрические формулы нахождения расстояния между точками на координатной прямой, расстояния между точками на координатной плоскости, расстояния от точки до прямой. Рассматриваемая проблема: решение задач с помощью свойств точки Торричелли. Гипотеза: использование формул расстояний между точками и свойств точки Торричелли даёт эффективный способ решения некоторых задач алгебры.

Введение

Цели и задачи: оперативное использование некоторых геометрических формул и свойств при решении задач алгебры. Методы исследования: решение задач на отыскание наименьших и наибольших величин и задач с параметрами с помощью формул отыскания расстояния между точками и свойств точки Торричелли треугольника. Этапы исследования: решение задач на нахождение суммы расстояний, разности расстояний и нахождение суммы расстояний до вершин треугольника. Выводы: использование геометрических формул в некоторых случаях упрощает решение задач в алгебре.

Введение

Результаты: решены задачи на максимум и минимум, задачи с параметрами геометрическим способом. Новизна темы: проанализирован метод решения некоторых алгебраических задач с помощью геометрического подхода. Актуальность темы: задачи на нахождение наибольших и наименьших величин часто возникают в повседневной жизни, в технике, экономике, естествознании.

Основные понятия

В школьном курсе геометрии используются три формулы, позволяющие находить:
i) Расстояние между точками с координатами 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 и 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 на координатной прямой: это модуль их разности, т. е.
𝒅𝒅=| 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝒙𝒙 𝒙 𝟏 𝟏𝟏 𝒙 𝟏 |;
ii) Расстояние между точками ( 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 ; 𝑦 1 𝑦𝑦 𝑦 1 1 𝑦 1 ) и ( 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ; 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 ) координатной плоскости:
𝒅𝒅= ( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 + (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 + (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝒙𝒙 𝒙 𝟏 𝟏𝟏 𝒙 𝟏 ) 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 + (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 (𝒚 𝟐 (𝒚𝒚 (𝒚 𝟐 𝟐𝟐 (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝒚𝒚 𝒚 𝟏 𝟏𝟏 𝒚 𝟏 ) (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 𝟐𝟐 (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 + (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 ;
Расстояние от точки ( 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 ; 𝑦 0 𝑦𝑦 𝑦 0 0 𝑦 0 ) до прямой, заданной уравнением 𝑎𝑎𝑥𝑥+ 𝑏𝑏𝑦𝑦+𝑐𝑐=0:
𝒅𝒅= | 𝒂𝒙 𝟎 + 𝒃𝒚 𝟎 +𝒄| 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 | 𝒂𝒙 𝟎 𝒂𝒂𝒙𝒙 𝒂𝒙 𝟎 𝟎𝟎 𝒂𝒙 𝟎 + 𝒃𝒚 𝟎 𝒃𝒃𝒚𝒚 𝒃𝒚 𝟎 𝟎𝟎 𝒃𝒚 𝟎 +𝒄𝒄| | 𝒂𝒙 𝟎 + 𝒃𝒚 𝟎 +𝒄| 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒃𝒃 𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 | 𝒂𝒙 𝟎 + 𝒃𝒚 𝟎 +𝒄| 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 .

Основные понятия

Но можно использовать эти формулы при решении алгебраических задач. Для этого, как правило, нужно истолковать данное алгебраическое выражение как расстояние или сумму расстояний до некоторых точек или прямых. В процессе детального анализа свойств обычных евклидовых треугольников выясняется, что внутренняя природа произвольного треугольника чрезвычайно богата: количество его «замечательных» точек на сегодняшний день исчисляется пятьюдесятью тысячами. В данной работе речь будет идти об одной из таких точек – о точке Торричелли, свойство которой будет использовано при решении некоторых задач. Задача о точке Торричелли – красивая и естественная, настоящая жемчужина геометрии. Существуют различные подходы и методы решения этой задачи. Но ценно её практическое применение. С некоторыми такими задачами мы и познакомимся в данной работе.

Сумма расстояний

Задача
Решите систему уравнений:
(𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 4𝑥−𝑦≤0. (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 4𝑥−𝑦≤0. (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 (𝑥+1) 2 (𝑥𝑥+1) (𝑥+1) 2 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 (𝑦𝑦−4) (𝑦−4) 2 2 (𝑦−4) 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 4𝑥−𝑦≤0. 4𝑥𝑥−𝑦𝑦≤0. (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 4𝑥−𝑦≤0. (𝑥+1) 2 + (𝑦−4) 2 4𝑥−𝑦≤0. +0,2 4𝑦−3𝑥+12 =5 4𝑦−3𝑥+12 4𝑦𝑦−3𝑥𝑥+12 4𝑦−3𝑥+12 =5 4𝑦−3𝑥+12 =5 ;
Решение.
Пусть (x; y) – координаты некоторой точки плоскости. Тогда первое уравнение системы – это сумма расстояний от этой точки до точки M(1;4) и до прямой, заданной уравнением 4y-3x+12=0. Правая часть этого уравнения равна расстоянию от точки М до указанной прямой: d= 4∗4−3∗1+12 16+9 4∗4−3∗1+12 4∗4−3∗1+12 4∗4−3∗1+12 4∗4−3∗1+12 4∗4−3∗1+12 4∗4−3∗1+12 16+9 16+9 16+9 16+9 16+9 4∗4−3∗1+12 16+9 =5.

Сумма расстояний

Задача

Множество точек плоскости, обладающих данным свойством, перпендикуляр, опущенный из точки М на прямую. Точка М лежит на прямой y=4x. Проведём через неё прямую, параллельную прямой 4y-3x+12=0. Из рисунка видно, что для любой точки N, не принадлежащей этому перпендикуляру, сумма расстояний до точки M и до прямой будет больше, чем 5. Таким образом, решением системы будет точка (1;4).

Разность расстояний

Задача
Решим следующую систему с параметром: необходимо найти все значения параметра a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 − (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−10) 2 + 𝑦 2 =36 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 − (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−10) 2 + 𝑦 2 =36 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 − (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−𝑎) 2 (𝑥𝑥−𝑎𝑎) (𝑥−𝑎) 2 2 (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑦𝑦− 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ) (𝑦− 𝑎 2 ) 2 2 (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 𝑥 2 + 𝑦 2 − (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−10) 2 + 𝑦 2 =36 (𝑥−10) 2 (𝑥𝑥−10) (𝑥−10) 2 2 (𝑥−10) 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =36 𝑥 2 + 𝑦 2 − (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−10) 2 + 𝑦 2 =36 = 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 − (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦− 𝑎 2 ) 2 (𝑥−10) 2 + 𝑦 2 =36 = 𝑎 1+ 𝑎 2 1+ 𝑎 2 1+ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 1+ 𝑎 2
имеет единственное решение.
Решение.
Запишем первое уравнение системы в виде 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 — 𝑥−𝑎 2 + 𝑦− 𝑎 2 2 = 𝑥−𝑎 2 + 𝑦− 𝑎 2 2 = 𝑥−𝑎 2 𝑥−𝑎 𝑥𝑥−𝑎𝑎 𝑥−𝑎 𝑥−𝑎 2 2 𝑥−𝑎 2 + 𝑦− 𝑎 2 2 𝑦− 𝑎 2 𝑦𝑦− 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑦− 𝑎 2 𝑦− 𝑎 2 2 2 𝑦− 𝑎 2 2 = 𝑥−𝑎 2 + 𝑦− 𝑎 2 2 = 𝑎 2 + 𝑎 4 𝑎 2 + 𝑎 4 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 𝑎 2 + 𝑎 4 .

Разность расстояний

Задача
Заметим, что разность расстояний от точки M(x;y)до начала координат, точки О, и точки A(a; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ) равна AO, отсюда следует, что точка (x;y) лежит на луче прямой y=ax c началом в точке A. Так как система описывает пересечение окружности и луча, начало которого лежит вне окружности, то система будет иметь единственное решение в том случае, когда указанный луч прямой y=ax будет касаться окружности. Мы имеем a = tgα , где sinα = 6 10 6 6 10 10 6 10 = 3 5 3 3 5 5 3 5 , cosα= 4 5 4 4 5 5 4 5 , откуда tgα = 3 4 3 3 4 4 3 4 , a = 3 4 3 3 4 4 3 4 .
Ответ: a = 3 4 3 3 4 4 3 4 .

Сумма расстояний до вершин треугольника

Задача
Найти наименьшее значение выражения
𝑓𝑓 𝑥;𝑦 𝑥𝑥;𝑦𝑦 𝑥;𝑦 = (𝑥+1) 2 + (𝑦−1) 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−1) 2 (𝑥+1) 2 (𝑥𝑥+1) (𝑥+1) 2 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−1) 2 (𝑦𝑦−1) (𝑦−1) 2 2 (𝑦−1) 2 (𝑥+1) 2 + (𝑦−1) 2 ++ (𝑥−4) 2 + (𝑦−1) 2 (𝑥−4) 2 + (𝑦−1) 2 (𝑥−4) 2 (𝑥𝑥−4) (𝑥−4) 2 2 (𝑥−4) 2 + (𝑦−1) 2 (𝑦𝑦−1) (𝑦−1) 2 2 (𝑦−1) 2 (𝑥−4) 2 + (𝑦−1) 2 + (𝑥+6) 2 + (𝑦−2) 2 (𝑥+6) 2 + (𝑦−2) 2 (𝑥+6) 2 (𝑥𝑥+6) (𝑥+6) 2 2 (𝑥+6) 2 + (𝑦−2) 2 (𝑦𝑦−2) (𝑦−2) 2 2 (𝑦−2) 2 (𝑥+6) 2 + (𝑦−2) 2
Общая формулировка этой задачи такова: Дан треугольник ABC. Найти в его плоскости точку P, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна.
Такая точка называется точкой Торричелли.

Сумма расстояний до вершин треугольника

Задача
Теорема. Если больший угол треугольника меньше 120°, то точка Торричелли – точка, лежащая внутри треугольника, из которой все его стороны видны под углом 120°. Если больший угол треугольника не менее 120°, то точка Торричелли – вершина тупого угла.
Решение.
Задача сводится к нахождению наименьшей суммы расстояний от точки с координатами (x; y) до вершин треугольника ABC с координатами вершин A (-1;1), B(-6;2), C(4;1).

Сумма расстояний до вершин треугольника

Задача

Вычислим косинус наибольшего угла с помощью теоремы косинусов: cos A= 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2 2𝐴𝐵∗𝐴𝐶 𝐴𝐵 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 2 2 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶 2 2 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 2 2 𝐵𝐶 2 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2 2𝐴𝐵∗𝐴𝐶 2𝐴𝐴𝐵𝐵∗𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2 2𝐴𝐵∗𝐴𝐶 = 26+25−101 10 26 26+25−101 26+25−101 10 26 10 26 26 26 26 26+25−101 10 26 = −5 26 −5 −5 26 26 26 26 26 −5 26 .
−5 26 −5 −5 26 26 26 26 26 −5 26 . <− 1 2 1 1 2 2 1 2 , следовательно угол A больше, чем 120°, точка Торричелли находится в вершине этого угла. Искомая минимальная сумма расстояний равна AB+AC= 26 26 26 26 +5.
Ответ: 26 26 26 26 +5.

Заключение

Рассматривая вышеперечисленные задачи, мы снова видим глубокие связи между разными разделами математики, проникновение геометрии в алгебру и алгебры в геометрию. Видим, что взгляд со стороны часто позволяет понять суть явления и построить наиболее действенный метод решения. В некоторых задачах решение базировалось на нахождении суммы расстояний между точками координатной плоскости. В определённых задачах рассматривалась разность расстояний между точками. А также был использован геометрический метод, который основывался на свойстве точки Торричелли треугольника.

Заключение

Вывод формулы расстояния между точкой и прямой дан в Приложении. Доказательство теоремы о свойстве точки Торричелли приведено в работе. Мною были рассмотрены задачи повышенной трудности на нахождение наибольших и наименьших величин. Я познакомилась с одним из способов доказательства свойства точки Торричелли треугольника. Для иллюстрации решения задач я использовала материал журнала Квант [1,47].

Заключение

Узнав новые методы, я самостоятельно решила задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, а также систему с параметром. Мне хочется поделиться новыми знаниями со своими сверстниками, поскольку я считаю, что изученный мною материал интересен и полезен для решения ряда задач.

Литература

В. Мирошкин. Формулы геометрии помогают алгебре. // Квант. 2007. №3. - С. 46–50.
В. Протасов, В. Тихомиров, Пространство Lp и замечательные точки треугольника. // Квант. 2012. №2. - С. 2–12.
Л. Радзивинский. Ещё раз о точке Торричелли. // Квант. 2014. №3. - С. 46–50.
Б. П. Федоров, С. Б. Богданова, С. О. Гладков. О некоторых неизвестных результатах, связанных с нетривиальными свойствами обычных треугольников. // Вестник КРАУНЦ. 2021. №том 37, № 4. - С. 216–234.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!