Карточка-расчет по теме "Обратные тригонометрические функции" .

ОС­1.  « Вычисление обратных  тригонометрических  выражений». Задание: 1)    Перепишите и заполните пропуски: Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во­ первых, четко помнить определения этих понятий:         arccos(cosα)=α,(0≤α≤π),cos(arccosa)=a,(−1≤a≤1), ≤α≤π 2),sin (arcsina)=a,(−1≤a≤1), 2 arcsin(sinα)=α,(−π tg(arctga)=a,(a∈R),arctg(tgα)=α,(−π sin(arccosa)=√1−a2,cos(arcsina)=√1−a2 ❑√1−a2 tg(arcsina)= a a . ❑√1−a2,tg(arccosa)= 2), 2 <α<π , Пример 1. Вычислить: а) arccos (cos   7  ), б) cos(arccos 0,4),в) arcsin (sin  ),  11 г) sin(arcsin 0,6), д) sin (arccos 0,6),е)tg(arcsin 0,8). Решение:  а) arccos (cos  , б) cos(arccos 0,4) = …,  ) =   7  7  ) = …,  г) sin(arcsin 0,6) = 0,6,  в) arcsin (sin  11 д)  е)  sin  (arccos    0,6) 1   2 0,6  36,01  64,0  ... , tg(arcsin     0,8) 0,8 0,8­1 2  8,0  64,01  8,0 36,0  8,0 6,0 .  3,1 4 3  Ответ:   а) arccos (cos   ) =   7  7 , б) cos(arccos 0,4) = 0,4,в) arcsin (sin  ) =  ,  11  11 г) sin(arcsin 0,6) = 0,6, д)  sin  (arccos 0,6)    8,0  , е)  tg(arcsin  0,8)  3,1 . Пример 2. Вычислить cos(4arctg 5). Решение:    Пусть  универсальную подстановку: , тогда tg   = arctg5  = 5α α . Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя  2 cos   1 1   tg tg  2  2  1 1   25 25   24 26   12 13 . Тогда получаем, что: 4 cos   cos2 2 2    21 144 169  1 288 169  169 . Ответ:  .  119 169  119 169 Пример 3. Вычислить  arcsin (sin 12). Решение:    По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который  принадлежит промежутку    Заметим, что   поэтому   .       2 2 ; 1 2 . 3   12   ,.4   12   4  0  2 Поскольку  sin12  sin(  4  12(   ))4  sin( 12  , угол 12 ­ 4  является искомым углом: его синус π   )4 равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса. Ответ: arcsin (sin12) = 12 ­ 4 .π Пример 4. Вычислить  sin  (arccos   arctg . 7)  12   13    Решение:   Введем два угла:   и  arctg 7   12   arccos 13 . Оба они лежат в первой четверти, значит,  все их тригонометрические функции положительны.  Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать   cos  12 13 , tg  7  их синусы и косинусы. Во­первых,   sin   1 144   169  Во­вторых,  169 144  169  .  25 169  ... ... cos   1  tg 1     2 1  1 49  1 50  1 25 sin;   cos  tg .  7 25   (  )  ­ sin   cos  sin   cos Следовательно,  sin  Ответ:   . 79 2 65 Пример 5. Вычислить  arctg (tg  . 4)   5 13 1 25       7 25 12    13   84­5 2 65      65 79 2        Решение:  Типичная ошибка в данном случае – это сразу же написать   в ответ 4. Как мы указывали в  предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соот­ ветствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством: arctg (tg   у)   у  при  . Но 4>  .        у   2 2 ;     2    5,1  4  2 2 ;    Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя  вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи  вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у  нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.   > 3, следовательно, , т.к.  arctg (tg  4)     arctg (tg     (4   ))    4   4    < 1 поскольку          4   2 2 ;    , т.к.  .  2  5,1 Ответ:  .   4  Пример 6. Вычислить sin (2 arcsin 0,6). Решение:  arcsin   (2 sin   8,06,02 0,6) ... (arcsin    2 =  sin  0,6)  cos(arcsin 0,6)   0,6  2 =    1  2 0,6  Ответ: 0,96.  Пример 7. Вычислить arccos x – arcsin x = arccos   . 3 2 Решение:  Учитывая, что arccos   =   6 3 2   и arcsin x + arccos x =   2 , заменим в уравнении arcsin x выражением   2 – arccos x, получим уравнение  arccos x – ( – arccos x)=  ,  2  6 2arccos x –  =   2  6 , 2arccos x =  +   =   6  2 arccos x =  , x = cos   3  3 , x= 1/2 = … .  3 2 6 3  4 6  6 Ответ: 0,5. Пример 8. Решите уравнения:   а)  6arcsin (x2 – 6x+8,5) =  б)  3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.      Решение:  а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = π  ,  arcsin(x2 – 6x+8,5) =   ;π ,  6 x2 – 6x+8,5 = 0,5;     x2 – 6x+8 = 0,  D = 36 –  4 ∙ 1 ∙ 8 =….  =x1 26  2  ... 8 2 ,  =x 2 26  2 .  ... 4 2 б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.     arcsinx = у,   1 у .1 3у2 – 10у + 3 = 0, D = 100 –  4 ∙ 3 ∙ 3 = 64. ­ не уд. усл.  =у1 801  6  ... 18 6  1 у .1 . =у 2 801  6  2 6 3,0 arcsinx = 0,3, х= sin 0,3  Ответ: а) x1= 4,x2 = 2.б) х= sin 0,3 Пример 9. Вычислить: а) arcsin (­2), б)  arccos   3 Решение:  а) Типичная ошибка в данном случае – это начать выносить минус и что­то упрощать. Первое, что  необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения . 1;1   2 Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя. б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ 1/2. Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу   соот­  3 ветствует значение 1/2, но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а  от значений тригонометрических функций. Т.е. arccos 1/2 = , а не arccos   = 1/2.  3  3 Кроме того, поскольку мы выяснили, что   3  является именно аргументом арккосинуса,  то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что   14,3  3   >1,т.е.   3   1;1  3  , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя. Кстати, например, выражение  arccos   имеет смысл, т.к.   4   1;1  4 , но поскольку значение косинуса,  не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя. равное   4 Ответ: Выражения не имеют смысла.  Пример 10. Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =   .  5 Решение:  Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции: arctgx  arcctgx   2 И выразим из нее то, что нам нужно:   arcctgx   2 arctgx Ответ:  . 3 10   3 2 10  2 10  5 5 . 2)Решить задание  ( по примерам): 1 Вычислить: а) arccos (cos   14  ), б) cos(arccos 0,25),в) arcsin (sin  ),  17 г) sin(arcsin 0,45), д) sin (arccos 0,8),е)tg(arcsin 0,6). 2 Вычислить cos(4arctg 3). 3 Вычислить  arcsin (sin 6). 4 Вычислить  sin  5      (arccos 13   arctg . 3)  5 Вычислить  arctg (tg  . 2)  6 Вычислить sin (2 arcsin 0,8). 7 Вычислить arccos x – arcsin x =   arccos   . 3 2 8 Решите уравнения:   а)  6arcsin (x2 – 7x+12,5) =  б)  3arcsin2x – 11arcsinx + 6 = 0.       ;π 9 Вычислить: а)  arcsin (   4), б) arccos  2 3 . 10 Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =   .  3 ОС­2.  « Вычисление обратных  тригонометрических  выражений». 1) Построить таблицы: Табличные значения обратных тригонометрических функций. а arcsin arccos а arctg arсctg 2) Преобразование выражений. (Перепишите и заполните пропуски) : Вычислить  24 )1 3 tg 12 )3 7 ctg  arcsin    24 )2   ;5,0   .      arcsin 3 4     cos arcctg  ;1 Решение 24 )1 3 tg :  arcsin  5,0  24 3 tg 24 )2 cos  arcctg  1  24 cos  6  4  24 3  124 ... 1 3  24  14 4 ... 2 2 2 2 sin )3   ­ cos   1  sin 2   1  9 16  7 4 , , 3 4   cos sin    ctg    12 7 ctg   arcsin 7 3 , : 7 4         3 4       3 4    12 7 ctg    arcsin     3 4        12  (7 7 3 )  74 ... )4 Вычислить без калькулято ра 4 arctg  arctg 1 5 1 239 . Решение   arctg : 1 5   , arctg 1 239  ттогд ,   tg   1 5 tg  ,  1 239 Надо Возьмем вычислить    ттанген tgB  tg 4(  )  tg  2   tg 2   2 tg 1  :    4 В  от  обеих  частей этого   равенства     tg tg 4   1 tg 4 tg 1  5 1 25 5  12 25 144 5 12 4, tg     1 2 2 1   120 119 tgB  1  120 119  120 119 1 239 1  239  239 119  120  239   119 120   ...  как Так tgB  ,1   т  B    4 . )5 Решить   уравнение arccos(2x    1) Решение :  как Так    ;0  ,   3 4  3 4 .  по то определени  ю арккосинус  а числа данное     уравнение   равносильн  о уравнению 2x   1 cos  3 4 откуда  , 2x   ­1 2 2  x,  2  4 2 . тогда 2 2t   5 t  .02 )6 Решить   уравнение Решение : Пусть arcsinx    .02 x    2 2 ; ,  ..., 2 4  2 2 ­ 5  t  t,  25 35 224 причем 2(arcsinx)   arcsin    ..., 16  35 4   1 2 8 4    2 2   4 ...,  ­ ; t . , 2 bD  2 4 ac  )5( D  9 t3, 1  t 1  t,2 2  2 но, arcsinx   x,  sin 1 2 1 2  7) Найти значение выражения   6  11 cos(  3 2  Решение Применим  : формулу     приведения 6: Поскольку  sin 2 t  1 Функция f(x)    sinx   на cos 2 t то , sin  промежутке   0; 2 (arccos(    5 6 )) arccos( )).  5 6  3  2  1 11 cos( arccos(  2 cos (arccos( 5 6  5 6 )). ))  6 11 sin(arccos  ( ))  (1  5 6 5 6 2 )  11 36 . принимает   5 6 sin(arccos  (   )  только 11 6 , неотрицате    льные значения,   поэтому   выражения   равно   :  Значение данного    3 2 cos( 11 6  arccos(  5 6 ))  6 11 sin(arccos (  ))  6 11  5 6 11 6  ...    есть x 1 7 .  arccos7 . x 1 7 x x    x x  то, 1 2 1 7   21 71 2arcsin      2 x : уравнения Решить уравнение 8) Решение  ОДЗ найдем  :      1  или      1    1 2 1 7    промежутке уравнение    этом  На   как Так cos(arccos ,7 x )7 x  2 2sin arcsin2 ( x 1) cos(2arcsi n2 x   2 ac 49 bD 7 )1(84 4  97 16  2 16 х..., х9, 81   D  2 1 2  (221) ..., 32   равносильн   x 1  1 8 , x 2  ,1  С учетом  ОДЗ   получаем окончатель    xно  1 8 . 3)Решить задание ( по примерам):  о следующему : cos(2arcsi n2 x )  cos(arccos )7 x 2 x )  81 x 2 81,  x 2  8 или 7 x 2 x  7 x  ,01  97 16   16 16  ...,  )1 )2 Вычислить Вычислить 321: 28 :  tg cos     ;5,0  ;1 arcsin  arcctg        3 4      .   )3 Вычислить 36: 7 ctg arcsin )4 Вычислить без калькулято ра 2 arctg )5 Решить   уравнение arccos(2x   )6 Решить   уравнение 2(arcsinx)   2  7 x  .03  1) .  4 arcsin  arctg 1 5 1 239 .  7) Найти значение    выражения 12  11 cos(  3 2  arccos(  5 6 )). 8) Решить уравнение     2arcsin  4 x  arccos .14  x 4)Решить задание : А)Вычислит  1. cos(2arcco s ); 1 2 ..2 sin( 3.tg( 1 2 :ь 4 5 3 5  3 5     Б)Решить   1.arccos(2 x : уравнения  3  3) ;   3 ,  x1 4  x 2   3 . arccos  arctg( 2  2)); .2 arctg arccos arctg( 2  2)). .3 arcsinx arcsin В)1. Найдите значение выражения:  а) arcsin1;  б) arccos ;   в) arctg(  3 );    г)arcctg0. ( 3 2 ) 2. Найдите значение выражения:  а) arcsin ;  б) arccos0;   в) arctg ;    г) arcctg . 1 1 3 2 2 3 .Выразите значения данных функций через значения функции у=arcsinx: а) arccos );   в) arcctg 2.               ;  б) arctg ( 3 5 1 4 4.Вычислите значения:                                                                                                                                    a) cos                                                                               ;  б)sin    1 2 arcsin 1 3    3 arccos    ;     в) sin arctg ;2 1 3    5. Упростите выражение: а)  arctg ;   б) 3arcsin + arctg 1 4 1 2 + arcsin 1 4 . 135 16 6. Упростите выражение:    а) arccos 1  3 arccos 1 5 ; б) ­ arcsin  3 4 arctg  3 7 arctg ; 2 5 7. Найдите значение выражения:        arcctg(ctg(  3)). 8. Найдите значение выражения: arcsin(sin(­6)). 9. Докажите справедливость раиенства: tg(2arccos 5 26      arcsin ) =  .  119 120 12 13 10. Докажите справедливость раиенства:      tg arctg    2 11  arcctg 2 7  .    1 2 ; 11. Решите уравнение:   а)arccos x = .б) arcsin x = 2arctg х 2 3 ;                                                                в)arctg(x­1)+ = 3arctg(x+1); г)  arcsin(x 2 х  x  2) = 0;                                                          12. Решите уравнение:  а) arcsin x =  6 ; б) arcsin x = arcctg x;  в) arccos(x+1) = arcctg x;        г) 4arccos  x  4arccos x    4 1 2 arcsinx+ 2 =0;д) arcsin(x +1) + arcos2x =0; Тест  по теме «Область определения обратных тригонометрических функций». Вариант №1 Задания Варианты ответов 1.Наименьшее целое положительное число, не входящее в область определения функции у= arcsin(3a+1), равно 2.Сумма середин интервалов области определения функции y=arccos (x2­x­1) равна 3.Наибольшее   целое   отрицательное   решение   области определения функции y=arcsin  равно  2 x  2 x 3 4. Сумма целых решений области определения функции   равна у= arccos(  x  4 3 x ) 1) ;  2) ­1;  3) 1;  4) 0;  5) 2 1) 2;   2) 1;   3) 0;   4) ­2;  5) ­0,5 1) 0;   2) ­5;   3) ­6;   4) ­4;  5) ­1 1) 12;  2) 8;   3) 9;   4) ­12;  5) 7 5.Наибольшее   целое   решение,   входящее   в   область определения функции у= arcsin(x+9)+arctg равно 7,8x 1) ­10; 2) ­9;  3)­7;  4) ­8;   5) ­11 Вариант №2 Задания Варианты ответов 1.Наименьшее целое положительное число, не входящее в область определения функции у=arccos(4a­3) равно 2.   Сумма   середин   интервалов   области   определения функции y= arcsin(х2­5х+5) равна 3.   Наибольшее   целое   отрицательное   решение   области определения функции y= arcos   равно 2 3 x x   3 2 4. Сумма целых решений области определения функции у=  равна arcsin(  x  5 4 x ) 1)0;  2) 2;  3) 1;  4) 3;  5)  1) 5;   2) 3,5;   3) 2;   4) 1;   5) 2,5 1) ;   2) ­2;   3) ­1;   4) 0;  5) ­3 1) 15;   2) 10;  3) 9;  4) 11;  5) ­15 5.   Наибольшее   целое   решение,   входящее   в   область определения   функции   у=arccos(x+11)+arcctg x5,11 1) ­13; 2) ­10;  3) ­11; 4)­9; 5) ­12 равно