Карточка-расчет по теме "Обратные тригонометрические функции" .Обучающая самостоятельная работа, включающая в себя:
ОСР-1. « Вычисление обратных тригонометрических выражений».
1) Перепишите и заполните пропуски(опорный конспект,примеры на вычисление),
2)Решить задание ( по примерам).
ОСР-2. « Вычисление обратных тригонометрических выражений».
1) Построить таблицы.
2) Преобразование выражений.
3)Решить задание ( по примерам).
4)Решить задание.
Тест по теме «Область определения обратных тригонометрических функций».Карточка-расчет по теме "Обратные тригонометрические функции" .
ОС1. « Вычисление обратных тригонометрических выражений».
Задание:
1) Перепишите и заполните пропуски:
Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во
первых, четко помнить определения этих понятий:
arccos(cosα)=α,(0≤α≤π),cos(arccosa)=a,(−1≤a≤1),
≤α≤π
2),sin (arcsina)=a,(−1≤a≤1),
2
arcsin(sinα)=α,(−π
tg(arctga)=a,(a∈R),arctg(tgα)=α,(−π
sin(arccosa)=√1−a2,cos(arcsina)=√1−a2
❑√1−a2
tg(arcsina)= a
a .
❑√1−a2,tg(arccosa)=
2),
2 <α<π
,
Пример 1. Вычислить:а) arccos (cos
7
), б) cos(arccos 0,4),в) arcsin (sin
),
11
г) sin(arcsin 0,6), д) sin (arccos 0,6),е)tg(arcsin 0,8).
Решение:
а) arccos (cos
, б) cos(arccos 0,4) = …,
) =
7
7
) = …, г) sin(arcsin 0,6) = 0,6,
в) arcsin (sin
11
д)
е)
sin
(arccos
0,6)
1
2
0,6
36,01
64,0
...
,
tg(arcsin
0,8)
0,8
0,81
2
8,0
64,01
8,0
36,0
8,0
6,0
.
3,1
4
3
Ответ:
а) arccos (cos
) =
7
7
, б) cos(arccos 0,4) = 0,4,в) arcsin (sin
) =
,
11
11
г) sin(arcsin 0,6) = 0,6, д)
sin
(arccos
0,6)
8,0
, е)
tg(arcsin
0,8)
3,1
.
Пример 2. Вычислить cos(4arctg 5).
Решение:
Пусть
универсальную подстановку:
, тогда tg
= arctg5
= 5α
α
. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя
2 cos
1
1
tg
tg
2
2
1
1
25
25
24
26
12
13
.
Тогда получаем, что:
4 cos
cos2
2
2
21
144
169
1
288
169
169
. Ответ:
.
119
169
119
169
Пример 3. Вычислить arcsin (sin 12).
Решение:
По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который
принадлежит промежутку
Заметим, что
поэтому
.
2
2
;
1
2
.
3
12
,.4
12
4
0
2
Поскольку
sin12
sin(
4
12(
))4
sin(
12
, угол 12 4 является искомым углом: его синус
π
)4
равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.Ответ: arcsin (sin12) = 12 4 .π
Пример 4. Вычислить
sin
(arccos
arctg
. 7)
12
13
Решение: Введем два угла:
и
arctg
7
12
arccos
13
. Оба они лежат в первой четверти, значит,
все их тригонометрические функции положительны.
Мы знаем, что
. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать
cos
12
13
,
tg
7
их синусы и косинусы.
Вопервых,
sin
1
144
169
Вовторых,
169
144
169
.
25
169
...
...
cos
1
tg
1
2
1
1
49
1
50
1
25
sin;
cos
tg
.
7
25
(
)
sin
cos
sin
cos
Следовательно,
sin
Ответ:
.
79
2
65
Пример 5. Вычислить
arctg
(tg
. 4)
5
13
1
25
7
25
12
13
845
2
65
65
79
2
Решение: Типичная ошибка в данном случае – это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в
предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соот
ветствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:
arctg
(tg
у)
у
при
. Но 4>
.
у
2
2
;
2
5,1
4
2
2
;
Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя
вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи
вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у
нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.
> 3, следовательно,
, т.к.
arctg
(tg
4)
arctg
(tg
(4
))
4
4
< 1 поскольку
4
2
2
;
, т.к.
.
2
5,1Ответ:
.
4
Пример 6. Вычислить sin (2 arcsin 0,6).
Решение:
arcsin
(2
sin
8,06,02
0,6)
...
(arcsin
2 =
sin
0,6)
cos(arcsin
0,6)
0,6 2 =
1
2
0,6
Ответ: 0,96.
Пример 7. Вычислить arccos x – arcsin x = arccos
.
3
2
Решение:
Учитывая, что arccos
=
6
3
2
и arcsin x + arccos x =
2
, заменим в уравнении arcsin x выражением
2
– arccos x, получим уравнение
arccos x – (
– arccos x)=
,
2
6
2arccos x –
=
2
6
, 2arccos x =
+
=
6
2
arccos x =
, x = cos
3
3
, x= 1/2 = …
.
3
2
6
3
4
6
6
Ответ: 0,5.
Пример 8. Решите уравнения:
а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) =
б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.
Решение:
а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = π , arcsin(x2 – 6x+8,5) =
;π
,
6
x2 – 6x+8,5 = 0,5; x2 – 6x+8 = 0,
D = 36 – 4 ∙ 1 ∙ 8 =….
=x1
26
2
...
8
2
,
=x 2
26
2
.
...
4
2
б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0. arcsinx = у,
1
у
.1
3у2 – 10у + 3 = 0, D = 100 – 4 ∙ 3 ∙ 3 = 64. не уд. усл.
=у1
801
6
...
18
6
1
у
.1
.
=у 2
801
6
2
6
3,0
arcsinx = 0,3, х= sin 0,3
Ответ: а) x1= 4,x2 = 2.б) х= sin 0,3
Пример 9. Вычислить: а) arcsin (2), б) arccos
3
Решение:
а) Типичная ошибка в данном случае – это начать выносить минус и чтото упрощать. Первое, что
необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения
.
1;1
2
Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.
б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и
функции и дают ответ 1/2. Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу
соот
3
ветствует значение 1/2, но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а
от значений тригонометрических функций. Т.е. arccos 1/2 =
, а не arccos
= 1/2.
3
3
Кроме того, поскольку мы выяснили, что
3
является именно аргументом арккосинуса,
то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что
14,3
3
>1,т.е.
3
1;1
3
, а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.
Кстати, например, выражение arccos
имеет смысл, т.к.
4
1;1
4
, но поскольку значение косинуса,
не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.
равное
4
Ответ: Выражения не имеют смысла.
Пример 10. Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =
.
5
Решение:
Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:
arctgx
arcctgx
2И выразим из нее то, что нам нужно:
arcctgx
2
arctgx
Ответ:
.
3
10
3
2
10
2
10
5
5
.
2)Решить задание ( по примерам):
1 Вычислить:
а) arccos (cos
14
), б) cos(arccos 0,25),в) arcsin (sin
),
17
г) sin(arcsin 0,45), д) sin (arccos 0,8),е)tg(arcsin 0,6).
2 Вычислить cos(4arctg 3).
3 Вычислить arcsin (sin 6).
4 Вычислить
sin
5
(arccos
13
arctg
. 3)
5 Вычислить
arctg
(tg
. 2)
6 Вычислить sin (2 arcsin 0,8).
7 Вычислить arccos x – arcsin x = arccos
.
3
2
8 Решите уравнения:
а) 6arcsin (x2 – 7x+12,5) =
б) 3arcsin2x – 11arcsinx + 6 = 0.
;π
9 Вычислить: а) arcsin ( 4), б) arccos
2
3
.
10 Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =
.
3
ОС2. « Вычисление обратных тригонометрических выражений».
1) Построить таблицы:
Табличные значения обратных тригонометрических функций.
а
arcsin
arccosа
arctg
arсctg
2) Преобразование выражений.
(Перепишите и заполните пропуски)
:
Вычислить
24 )1
3
tg
12 )3
7
ctg
arcsin
24 )2 ;5,0
.
arcsin
3
4
cos
arcctg
;1
Решение
24 )1
3
tg
:
arcsin
5,0
24
3
tg
24 )2
cos
arcctg
1
24
cos
6
4
24
3
124
...
1
3
24
14
4
...
2
2
2
2
sin )3
cos
1
sin
2
1
9
16
7
4
,
,
3
4
cos
sin
ctg
12
7
ctg
arcsin
7
3
,
:
7
4
3
4
3
4
12
7
ctg
arcsin
3
4
12
(7
7
3
)
74
...
)4
Вычислить
без
калькулято
ра
4
arctg
arctg
1
5
1
239
.
Решение
arctg
:
1
5
,
arctg
1
239
ттогд
,
tg
1
5
tg
,
1
239Надо
Возьмем
вычислить
ттанген
tgB
tg
4(
)
tg
2
tg
2
2
tg
1
:
4
В
от
обеих
частей
этого
равенства
tg
tg
4
1
tg
4
tg
1
5
1
25
5
12
25
144
5
12
4,
tg
1
2
2
1
120
119
tgB
1
120
119
120
119
1
239
1
239
239
119
120
239
119
120
...
как Так
tgB
,1
т
B
4
.
)5
Решить
уравнение
arccos(2x
1)
Решение
:
как Так
;0
,
3
4
3
4
.
по то
определени
ю
арккосинус
а
числа
данное
уравнение
равносильн
о
уравнению
2x
1
cos
3
4
откуда
,
2x
1
2
2
x,
2
4
2
.
тогда
2
2t
5
t
.02
)6
Решить
уравнение
Решение
:
Пусть
arcsinx
.02
x
2
2
;
,
...,
2
4
2
2
5
t
t,
25
35
224
причем
2(arcsinx)
arcsin
...,
16
35
4
1
2
8
4
2
2
4
...,
;
t
.
,
2
bD
2
4
ac
)5(
D
9
t3,
1
t
1
t,2
2
2 но,
arcsinx
x,
sin
1
2
1
2
7)
Найти
значение
выражения
6
11
cos(
3
2
Решение
Применим
:
формулу
приведения
6:
Поскольку
sin
2
t
1
Функция
f(x)
sinx
на
cos
2
t
то ,
sin
промежутке
0;
2
(arccos(
5
6
))
arccos(
)).
5
6
3
2
1
11
cos(
arccos(
2
cos
(arccos(
5
6
5
6
)).
))
6
11
sin(arccos
(
))
(1
5
6
5
6
2
)
11
36
.
принимает
5
6
sin(arccos
(
)
только
11
6
,
неотрицате
льные
значения,
поэтому
выражения
равно
:
Значение
данного
3
2
cos(
11
6
arccos(
5
6
))
6
11
sin(arccos
(
))
6
11
5
6
11
6
...
есть
x
1
7
.
arccos7
.
x
1
7
x
x
x
x
то,
1
2
1
7
21
71
2arcsin
2
x
:
уравнения
Решить
уравнение
8)
Решение
ОДЗ
найдем
:
1
или
1
1
2
1
7
промежутке
уравнение
этом
На
как Так
cos(arccos
,7
x
)7
x
2
2sin
arcsin2
(
x
1)
cos(2arcsi
n2
x
2
ac
49
bD
7
)1(84
4
97
16
2
16
х...,
х9,
81
D
2
1
2
(221)
...,
32
равносильн
x
1
1
8
,
x
2
,1
С
учетом
ОДЗ
получаем
окончатель
xно
1
8
.
3)Решить задание ( по примерам):
о
следующему
:
cos(2arcsi
n2
x
)
cos(arccos
)7
x
2
x
)
81
x
2
81,
x
2
8 или 7
x
2
x
7
x
,01
97
16
16
16
...,
)1
)2
Вычислить
Вычислить
321:
28 :
tg
cos
;5,0
;1
arcsin
arcctg
3
4
.
)3
Вычислить
36:
7
ctg
arcsin
)4
Вычислить
без
калькулято
ра
2
arctg
)5
Решить
уравнение
arccos(2x
)6
Решить
уравнение
2(arcsinx)
2
7
x
.03
1)
.
4
arcsin
arctg
1
5
1
239
.
7)
Найти
значение
выражения
12
11
cos(
3
2
arccos(
5
6
)).
8)
Решить
уравнение
2arcsin
4
x
arccos
.14
x
4)Решить задание :
А)Вычислит
1.
cos(2arcco
s
);
1
2
..2
sin(
3.tg(
1
2
:ь
4
5
3
5
3
5
Б)Решить
1.arccos(2
x
:
уравнения
3
3)
;
3
,
x1
4
x
2
3
.
arccos
arctg(
2
2));
.2
arctg
arccos
arctg(
2
2)).
.3
arcsinx
arcsin
В)1. Найдите значение выражения: а) arcsin1; б) arccos
; в) arctg(
3
); г)arcctg0.
(
3
2
)2. Найдите значение выражения: а) arcsin
; б) arccos0; в) arctg
; г) arcctg
.
1
1
3
2
2
3 .Выразите значения данных функций через значения функции у=arcsinx:
а) arccos
); в) arcctg 2.
; б) arctg (
3
5
1
4
4.Вычислите значения:
a) cos
; б)sin
1
2
arcsin
1
3
3
arccos
; в) sin
arctg
;2
1
3
5. Упростите выражение: а) arctg
; б) 3arcsin
+ arctg
1
4
1
2
+ arcsin
1
4
.
135
16
6. Упростите выражение: а) arccos
1
3
arccos
1
5
;
б) arcsin
3
4
arctg
3
7
arctg
;
2
5
7. Найдите значение выражения: arcctg(ctg( 3)).
8. Найдите значение выражения: arcsin(sin(6)).
9. Докажите справедливость раиенства: tg(2arccos
5
26
arcsin
) =
.
119
120
12
13
10. Докажите справедливость раиенства: tg
arctg
2
11
arcctg
2
7
.
1
2
;
11. Решите уравнение: а)arccos x =
.б) arcsin x = 2arctg
х
2
3
;
в)arctg(x1)+ = 3arctg(x+1); г)
arcsin(x
2
х
x 2) = 0;
12. Решите уравнение: а) arcsin x =
6
; б) arcsin x = arcctg x; в) arccos(x+1) = arcctg x;
г) 4arccos
x 4arccos x 4
1
2
arcsinx+
2
=0;д) arcsin(x +1) + arcos2x =0;Тест по теме «Область определения обратных тригонометрических функций».
Вариант №1
Задания
Варианты ответов
1.Наименьшее целое положительное число, не входящее в
область определения функции у= arcsin(3a+1), равно
2.Сумма середин интервалов области определения функции
y=arccos (x2x1) равна
3.Наибольшее целое отрицательное решение области
определения функции y=arcsin
равно
2
x
2
x
3
4. Сумма целых решений области определения функции
равна
у=
arccos(
x
4
3
x
)
1) ; 2) 1; 3) 1; 4) 0; 5) 2
1) 2; 2) 1; 3) 0; 4) 2; 5) 0,5
1) 0; 2) 5; 3) 6; 4) 4; 5) 1
1) 12; 2) 8; 3) 9; 4) 12; 5) 7
5.Наибольшее целое решение, входящее в область
определения функции у= arcsin(x+9)+arctg
равно
7,8x
1) 10; 2) 9; 3)7; 4) 8; 5) 11Вариант №2
Задания
Варианты ответов
1.Наименьшее целое положительное число, не входящее в
область определения функции у=arccos(4a3) равно
2. Сумма середин интервалов области определения
функции y= arcsin(х25х+5) равна
3. Наибольшее целое отрицательное решение области
определения функции y= arcos
равно
2
3
x
x
3
2
4. Сумма целых решений области определения функции у=
равна
arcsin(
x
5
4
x
)
1)0; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5)
1) 5; 2) 3,5; 3) 2; 4) 1; 5) 2,5
1) ; 2) 2; 3) 1; 4) 0; 5) 3
1) 15; 2) 10; 3) 9; 4) 11; 5) 15
5. Наибольшее целое решение, входящее в область
определения функции у=arccos(x+11)+arcctg
x5,11
1) 13; 2) 10; 3) 11; 4)9; 5) 12
равно
Обратные тригонометрические функции (ОСР).docx
