Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Общий вид функции u (x₁, x₂, …, x_n) в области Д.

   (1)

a_ij – функции, заданные в области Д;

a_ij, f – вещественные функции;

a_ij=a_ji

Зафиксируем определённую точку в области Д и составим следующее:

1) квадратичную форму   (2)

2) линейные преобразования

  (3)

3) классификация: если все коэффициенты квадратичной формы уравнения (3) положительные или все отрицательные, то уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу в точке М.

Если все коэффициенты c_i в уравнении (3) кроме одного имеют определённый знак, а оставшийся один имеет противоположный знак, то уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу в точке М.

Если квадратичная форма уравнения (3) имеет только один коэффициент c_i=0, а все остальные коэффициенты имеют одинаковый знак, то уравнение (1) принадлежит параболическому типу.

Уравнение (1) принадлежит определённому типу в области Д, если во всех точках этой области она принадлежит этому типу.

Пусть задана функция u(x,y).

Линейное дифференциальное уравнение:

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её частных производных. Для функции двух переменных канонические формы будут выглядеть следующим образом

1) гиперболический тип:

2) эллиптический тип:

3) параболический тип: