КОМПЛЕКТ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области государственное автономное профессиональное образовательное учреждение  Свердловской области  «Ирбитский мотоциклетный техникум»  (ГАПОУ СО «ИМТ») ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ  09.02.07 Информационные системы и программирование укрупнённой группы специальностей 09.00.00 Информатика и вычислительная техника. КОМПЛЕКТ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01  ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 2017 г. КОМПЛЕКТ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01  ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ          Разработчик:___________ (В.Л. Зыкова), преподаватель ГАПОУ СО «ИМТ»                                           (подпись)              (ФИО)                                      Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине  ЕН. 01  Элементы высшей математики разработан на основе с ФГОС СПО по специальности   09.02.07   Информационные   системы   и   программирование   укрупнённой группы специальностей 09.00.00 Информатика и вычислительная техника.   Методическое обеспечение предназначено для проведения практических работ по дисциплине   и   содержит   пояснительную   записку,   задания   для   проведения   практических работ, теоретический материал, список литературы. Пояснительная записка. Цель настоящего пособия – оказать помощь студентам в подготовке и при выполнении практических работ, а  также облегчить работу преподавателя по организации и проведению практических занятий. Пособие  содержит описание всех предусмотренных программой практических работ. Практические работы по дисциплине предназначены для закрепления и обобщения знаний, полученных по  изучаемой теме или нескольким темам, связанным между собой. Программой дисциплины ЕН. 01. Элементы высшей математики предусмотрено выполнение  практических  работ, направленных на формирование следующих общих компетенций: Шифр  комп. Наименование  компетенций ОК 1 Выбирать способы  решения задач  профессиональной  деятельности,  применительно к  различным контекстам.  Дискрипторы  (показатели  сформированности) Распознавать сложные  проблемы в знакомых  ситуациях.  Выделять сложные  составные части  проблемы и описывать её причины и ресурсы,  необходимые для её  решения в целом.  Определять потребность  в информации и  предпринимать усилия  для её поиска.  Выделять главные и  альтернативные  источники нужных  ресурсов. Разрабатывать  детальный план действий и придерживаться его.  Качество результата, в  целом, соответствует  требованиям.  Оценивать результат  своей работы, выделять в нём сильные и слабые  стороны. ОК 2 Осуществлять поиск,  анализ и интерпретацию информации,  необходимой для  выполнения задач  профессиональной  Планирование информационного поиска из   широкого   набора источников, необходимого выполнения для   Умения Знания Распознавать задачу  и/или проблему в  профессиональном  и/или социальном  контексте.  Анализировать задачу и/или проблему и  выделять её  составные части.  Правильно  определить и найти  информацию,  необходимую для  решения задачи и/или  проблемы.  Составить план  действия,  Определить  необходимые  ресурсы.  Владеть актуальными  методами работы в  профессиональной и  смежных сферах.  Реализовать  составленный план.  Оценить результат и  последствия своих  действий  (самостоятельно или с помощью наставника). Определять задачи  поиска информации Определять  необходимые  источники  информации Актуальный  профессиональны й и социальный  контекст, в  котором  приходится  работать и жить.  Основные  источники  информации и  ресурсов для  решения задач и  проблем в  профессионально м и/или  социальном  контексте.  Актуальные  стандарты  выполнения работ  в  профессиональной и смежных  областях.  Актуальные  методы работы в  профессиональной и смежных  сферах.  Номенклатура  информационных  источников  применяемых в  профессиональной деятельности деятельности. ОК 4 ОК 5 ОК 9 Работать в коллективе  и команде, эффективно взаимодействовать с  коллегами,  руководством,  клиентами. Осуществлять устную и письменную  коммуникацию на  государственном языке  с учетом особенностей  социального и  культурного контекста. Использовать  информационные  технологии в  профессиональной  деятельности.     профессиональных задач  Проведение анализа полученной информации, выделяет   в   ней   главные аспекты. Структурировать  отобранную информацию в соответствии с  параметрами поиска; Интерпретация полученной   информации в контексте профессиональной деятельности  Участие в  деловом  общении для  эффективного решения  деловых задач Планирование  профессиональной  деятельность Грамотно устно и  письменно излагать свои  мысли по  профессиональной  тематике на  государственном языке Проявление  толерантность в рабочем  коллективе Применение средств  информатизации и  информационных  технологий для  реализации  профессиональной  деятельности ОК 10 Пользоваться  профессиональной  документацией на  государственном и  иностранном языке. Применение в  профессиональной  деятельности инструкций на государственном и  иностранном языке. Ведение общения на  профессиональные темы Планировать процесс  поиска Структурировать  получаемую  информацию Выделять наиболее  значимое в перечне  информации Оценивать  практическую  значимость  результатов поиска Оформлять  результаты поиска Организовывать  работу коллектива и  команды Взаимодействовать с  коллегами,  руководством,  клиентами.   Излагать свои мысли  на государственном  языке Оформлять  документы Применять средства  информационных  технологий для  решения  профессиональных  задач Использовать  современное  программное  обеспечение Понимать общий  смысл четко  произнесенных  высказываний на  известные темы  (профессиональные и  бытовые),  понимать тексты на  базовые  профессиональные  темы участвовать в  диалогах на знакомые  общие и  профессиональные  темы строить простые  высказывания о себе и о своей  профессиональной  деятельности Приемы  структурирования информации Формат  оформления  результатов  поиска  информации Психология  коллектива Психология  личности Основы проектной деятельности Особенности  социального и  культурного  контекста Правила  оформления  документов. Современные  средства и  устройства  информатизации Порядок их  применения и  программное  обеспечение в  профессиональной  деятельности правила  построения  простых и  сложных  предложений на  профессиональные темы основные  общеупотребитель ные глаголы  (бытовая и  профессиональная лексика) лексический  минимум,  относящийся к  описанию  предметов,  средств и  процессов  профессиональной деятельности особенности  произношения правила чтения  текстов  профессиональной направленности кратко обосновывать  и объяснить свои  действия (текущие и  планируемые) писать простые  связные сообщения на знакомые или  интересующие  профессиональные  темы В результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики обучающийся  должен уметь:  ­ выполнять операции   над матрицами   и решать системы линейных уравнений; ­ решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка   на плоскости; ­ применять методы дифференциального и  интегрального исчисления; ­ решать дифференциальные  уравнения; ­ пользоваться понятиями теории комплексных чисел; В результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики обучающийся должен знать: ­ основы математического анализа, линейной алгебры  и аналитической геометрии; ­ основы дифференциального и  интегрального исчисления; ­ основы  теории комплексных чисел; Содержание практических работ позволяет освоить:  ­ практические приемы вычисления, а так же выполнение измерений и связанных с ними расчетов  геометрических тел и поверхностей;  ­ практические навыки вычисления определенного и неопределенного интеграла, практическое применение  интеграла; В содержании каждой практической работы даны краткие теоретические сведения или формулы, примеры  решения задач, и задания для самостоятельного решения по вариантам. Ход выполнения практической работы Практические работы необходимо выполнять в рабочих тетрадях с указанием номера, темы, целей работы. Ход работы: 1. Познакомиться с теоретическим материалом 2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры) 3. Выполнить самостоятельную работу 4. Сдать преподавателю тетрадь для проверки. Критерии оценивания практических работ Отметка «5» ставиться, если: ­ работа выполнена полностью; ­ в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; ­ в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием  незнания или непонимания учебного материала). Отметка «4» ставится, если: ­ выполнено 75­90% заданий; ­ либо работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны; ­ допущена одна ошибка или два­три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды  работы не являются специальным объектом проверки). Отметка «3» ставиться, если: ­ выполнено 51­75% заданий; ­ допущены более одной ошибки или более двух­трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но  учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме. Отметка «2» ставится, если:  ­ выполнено менее 50% заданий; ­ допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной  теме в полной мере. Содержание практических работ 1. Выполнение действий над матрицами. Вычисление матричных многочленов. Темы 2. Вычисление определителей второго и третьего порядка.  Составление обратной матрицы. 3. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы. 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 5. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла. Вычисление объёмов  тел вращения с помощью определённого интеграла. 6. Вычисление производных суммы, разности, произведения, частного функций     Вычисление производных сложных и обратных функций 7. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка 8. Решение дифференциальных уравнений второго порядка 9.  Решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка  с постоянными коэффициентами. 10. Составление уравнений сферы,  плоскости, прямой 11. Исследование прямой и плоскости на параллельность и перпендикулярность. Расстояние от  точки до прямой. 12. Составление уравнений кривых второго порядка: окружности, гиперболы, параболы и эллипса,  их построение. 13. Перпендикулярность прямой   и плоскости 14. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.  Геометрическая интерпретация комплексных чисел Практическая работа Тема: Выполнение действий над матрицами. Вычисление матричных многочленов.  Цель занятия: 1) изучить понятия: матрица, освоить способы выполнения операций над матрицами, элементарные  преобразования матриц, ПК, медиа­презентация, раздаточный материал. Оборудование Задания для практической работы Вариант 1 , В= . Вычислите линейную комбинацию А+2В. 1. Даны матрицы А= 2.  Возвести матрицу А в квадрат. 3. Найдите произведение матриц А и В,  и В на А, если А= , В= . Найти С = А­3В. 3. Пользуясь, определением вычислите:  = . 4. Пользуясь, «правилом  вычислите Вариант 2 . 1. Даны матрицы А= 2. Возвести матрицу А в квадрат. , В= . Вычислите линейную комбинацию 2В­А. 2. Найдите произведение матриц В А, и В на А, если А= 3. Найти С = А­3В. , В= . :  . 4. вычислите: . Пояснения к работе Перед началом выполнения работы, изучите указанный в списке литературы материал учебников, особое  внимание обратите на образцы решенных заданий. По итогам работы необходимо ответить на контрольные  вопросы и сделать общий вывод по проделанной работе. Содержание отчета Название работы. Цель работы. Задания и их решения. Ответы на контрольные вопросы. Общий вывод по проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Что называется матрицей, какие виды матриц вы знаете? 2. Какие операции можно выполнять над матрицами? Литература 1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. М.: Издательский центр  «Академия», 2009, стр.12­20. 2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. ­ М.: Айрис­пресс, 2009,  стр.10­18. Тема: Вычисление определителей второго и третьего порядка.  Составление обратной матрицы. Практическая работа Цель занятия: 1)изучить понятия: минор матрицы, алгебраическое дополнение, обратная матрица; 2)научиться вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц, находить матрицу обратную  данной. 3) научиться вычислять определители второго и третьего порядка, используя определение  определителя матрицы и «правило треугольника». ПК, медиа­презентация, раздаточный материал. Оборудование Задания для практической работы Вариант 1 1. Вычислить определитель матрицы по элементам 1 строки                                                                               А.        Вычислить определитель второго порядка   2  8  5  ­4  1  3   8 ­2 ­6 Вычислить определитель по правилу треугольника 2 Найдите матрицу обратную данной, если: а)  ; б) . 3. Для определителя найдите: , б)  , . 1. Вычислить определитель матрицы по элементам 1 строки   Вариант 2  1  4  3 ­8  2 ­5  1  1 ­1 А.     Вычислить определитель второго порядка           Вычислить определитель по правилу треугольника 2. Найдите матрицу обратную данной, если: а)  ; б) . 3. Для определителя  найдите: , , . Пояснения к работе Перед началом выполнения работы, изучите указанный в списке литературы материал учебников, особое  внимание обратите на образцы решенных заданий. По итогам работы необходимо ответить на контрольные  вопросы и сделать общий вывод по проделанной работе. Содержание отчета Название работы. Цель работы. Задания и их решения. Ответы на контрольные вопросы. Общий вывод по проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Что называется минором матрицы, алгебраическим дополнением матрицы, в чём их отличие? 2. Как можно вычислить минор матрицы, алгебраическое дополнение матрицы? 3. Какая матрица называется обратной данной? 4. Как можно найти обратную матрицу? 5. Какие существуют способы нахождения определителей второго и третьего порядка? Литература 1. Башмаков М.И. . Математика: Задачник: учебное пособие для студентов учреждений СПО М:  Академия, 2014 г  2. Башмаков М.И. . Математика:  учебник для учреждений СПО.М: Академия, 2012 г  (электронный учебник) Тема: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы. Практическая работа Цель занятия: 1) изучить правило Крамера для решения систем линейных уравнений; 2) научиться решать системы линейных уравнений, используя изученное правило. ПК, медиа­презентация, раздаточный материал. Оборудование Задания для практической работы Вариант 1 1. Решите систему уравнений по методу Крамера 2. Дайте определение совместной системы линейных алгебраических уравнений. 3. Решите систему уравнений по методу Крамера и методом обратной матрицы Вариант 2 1. Решите систему уравнений по методу Крамера 2.Дайте определение несовместнойсистемылинейных алгебраических уравнений. 3.Решите систему уравнений по методу Крамера и методом обратной матрицы Пояснения к работе Перед началом выполнения работы, изучите указанный в списке литературы материал учебников, особое  внимание обратите на образцы решенных заданий. По итогам работы необходимо ответить на контрольные  вопросы и сделать общий вывод по проделанной работе. Содержание отчета Название работы. Цель работы. Задания и их решения. Ответы на контрольные вопросы. Общий вывод по проделанной работе. Контрольные вопросы 1.Что называется системой линейных алгебраических уравнений? 2. Какие бывают виды систем линейных уравнений? 3.В чём заключается сущность правила Крамера для решения систем уравнений? 4. Какие формулы позволяют решать систему уравнений методом Крамера? Литература 3. Башмаков М.И. . Математика: Задачник: учебное пособие для студентов учреждений СПО М:  Академия, 2014 г  4. Башмаков М.И. . Математика:  учебник для учреждений СПО.М: Академия, 2012 г  (электронный учебник) Приложение. При решении методом Крамера используем определители  n ­го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных: Метод Крамера a 12 a 22  a n ТЕОРЕМА. Если определитель системы  a 11 a 21  a  n 1 ... ...  ... 0 2 a n 1 a n 2  a nn . причем это решение единственное: , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, x 1    1 х    2 х  ; x 2  ; … ; nx    nх  , ix   может  быть  получен  из главного  определителя  путем  замены   i ­го столбца  на где определитель   столбец из свободных членов. Пример 1. .      x 1 3 x 1 2 x 1  2 x 2  5 x 2  7 x 2  4 x 3   3 1 x 3  x 8 3 Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: и три вспомогательных определителя:  1 3 2 2 5 7 1 3  1  x   1 4 1 8 Определитель   ;  x   2 1 3  1 2 5 7 1 x   составлен   из   определителя      путем   замены   элементов   первого   столбца 3 x  соответственно второй и третий 4 2 15 8 7 41 13 82  x 2 x  и  1 3  1 1 3 2   3 ; . свободными членами системы уравнений. В определителях  столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.  1 3 2 2 5 7 1 3  1  5 12  21  10  21  6 33 ;  x   1  20 48  7 40  84  2 33 ;  x   2  1 24  24  2  24  12 33 ; 2 4 1 1 5 3  7 8 1 41 1 13 3  82 1 1 2 4 3 15 7 2 8 1x ,  2x ,   x   3  40  4 84  40  7  48  33 . Неизвестные  3x  находим по формулам ; x 1    1 х  33 x 1 1 33 2 x 3 x 1 1 ;      ; . x 1  ; x 3  x 1 2 ; x 1 3 .    ;   3 х  33 33   2 х  33 33 Ответ:  1 x 1 ; Пример2. Решить систему       x 1   2 x 1 x 1  4 2 3 3 x x x 2 2 2    x 3 2 x x 4 3 3  4  11  11  методом Крамера. Решение. Выписываем  A ­ матрицу системы и B ­ столбец свободных членов:   A       2 3 3  1 4 2    1 2 4      , B       4 11 11      . Далее вычисляем определители:  A 2 3 3  1 4 2    1 2 4  16(2  )4   12)(1(  6(1)16    )12  60 0 ; A 1 4 11 11  1 4 2    1 2 4  16(4  )4   44)(1(  (1)22   22  )44  180 ; A 2 2 3 3 4 11 11  1  2 4 44(2  12(4)22   33(1)6   )33  60 ; A 3 2 3 3  1 4 2  4 11 11  44(2  )22   33)(1(  )33  6(4  )12  60 . По теореме Крамера   x 1  A 1 A  180 60  3 ;   x 2  A 2 A  1 60 60 ;   x 3  A 3 A  1 60 60 .   Ответ:   1 x 3 ;      2 x 1 ;      3 x 3 . Для проверки результата подставим полученные значения  неизвестных  в каждое уравнение системы:  .   Все   уравнения   обратились   в  141233  11 11   ,    41132 121433 тождества, значит, решение найдено верно. ,   Условия неопределенности и несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Если определитель системы  0 , то система является либо несовместной (когда   х 0 2 ).     В   последнем   случае   система   сводится   к   одному  х 0 1  и  ), либо   неопределенной   (когда   уравнению, а другое является следствием этого уравнения.  Условия несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:   и    х 0 1  х 0 2 Условия неопределенности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде: 1  а а 2  в 1 в 2 с 1 с 2 1  а а 2  в 1 в 2 с 1 с 2            Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то   система уравнений (1) не имеет решения (если  ). 0 Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система (1) имеет бесконечно много решений. Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений (1) имеет единственное решение. 3. Метод  Гаусса Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод  последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Идея   метода   Гаусса   состоит   в   том,   что   данная   система   линейных   уравнений   преобразуется   в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Пример 3.   5 x 3 y 7   2 x 3 y 9   x 2 y 1 z 2 z z 3 .      В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное ( z ), во втором – 2 неизвестных ( y  и  z ) а в первом – 3 неизвестных ( x ,  y , z ). За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при  x  равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при  x . Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем систему так:   1 2 y x   2 3 9 y x   5 3 x y 7 3 z 2 z z      (2)                                    Умножаем первое уравнение на (­2) и складываем со вторым, чтобы избавиться от   x   во втором уравнении. Результат сложения записываем на месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (­5) и складываем с третьим, чтобы избавиться от  x  в третьем уравнении. Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим:   x                   Системы   уравнений   (2)   и   (3)   эквиваленты,   т.   е.   они   обе Умножаем второе уравнение системы (5) на (­1) и складываем с третьим, чтобы избавиться от  y  в третьем   уравнении.   Первое   уравнение   при   этом   не   трогаем.   Результат   записываем   на   месте   третьего уравнения. Тогда несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.  3 z 1   16 z 2   4 z 7 2 7 7 y y y  (3)  2 x        7             1 y   y         3 z 16 21 z z . 2 5      Из последнего уравнения   y : 5z 12 . Подставляем это значение   z   во втрое уравнение системы и находим  7         2 16 5   y 12 26y . 11        x   2   1  5 12 26 3 11 187x 84           26y 11 ; . 5z 12 . В первое уравнение подставляем значения  z  и  y , получаем  Ответ: 187x 84 Рекомендуется сделать проверку. ; 3. Матричный способ Систему можно решить и матричным способом. Рассмотрим систему вида         xa 12 xa 22 xa 32 xa 1 11 xa 1 21 xa 1 31  b 1  b 2  b 3                                                                                                                              (4) Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных: a 13 a a xa 13 3 xa 23 xa 33 a 12 a a a 11 a a    A 21            33 32 31 23 22 3 3 . 2 2 2 Из неизвестных  1x ,  2x ,  3x  и свободных членов составим матрицы – столбцы X       x 1 x x 2 3      ; B       b 1 b 2 b 3      .       Тогда система (4) в матричной форме примет вид   XA 1A  слева. B . (5)             Чтобы найти матрицу  X , умножим (7) на  A 1  B B  XA A X A 1 1   Пример 4. 2 3  21 1 2      . A  1   0   1  1A . Найти обратную матрицу  РЕШЕНИЕ. 1) Составляем и вычисляем определитель 2 3  21 2 1 1 0 1  2043401  . Определитель вычислен по правилу треугольника. 2) Транспонируем матрицу. Получаем  1   2   3  3) Вычисляем алгебраические дополнения 13A ;    11A ;    TA 0 1  21 2 1      . 12A ;    0 1  21 2 1 ; 1 2 3 23A ;    31A ;    32A ;    33A . M 21A ;    22A ;     21 2 1   11   1  A 11 11 ;5 41      5 .5 Вычисляем   порядка из оставшихся элементов. 12A . Вычеркиваем первую строку и второй столбец. Составляем определитель второго ; 0 1  21 2 1    1 21  1 2 3 Вычисляем  Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения: 31 A 1   13 A 7 22 13  A A 21 A M 62 A 12 ;    ;    2 2 2 4 . 4 .  4 23 22 12 ;    32 A 0 ;    A 33 1 .  1 2  5 2 1       4 2 0 7 2 1        A ;    1   1       ;    Составим обратную матрицу A 13 A 23 A 33 7 2  1  1 A 11 A 21 A 31 5 1 1 A 12 A 22 A 32 2  1 0     1   2 A 2 2           Сделаем проверку  1 A A  1 2  5 2 1       4 2 0 7 2 1              1 0 1 2 3  21 1 2       1 2      002 020 200            001 010 100      Пример 5. Решить систему матричным способом   5 x 3 y 7   2 x 3 y 9   x y 2 1 z 2 z z 3 Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу  A :      . A       5 2 1  3 3 2   1  2   3  . Из неизвестных составим матрицу – столбец: Из свободных членов составим матрицу – столбец: X       x y z      . Тогда система запишется в виде  B       7 9 1      . XA  B . Получили матричное уравнение. Умножаем обе части этого уравнения на  Находим обратную матрицу: X   1 B A . 1A  слева. Получаем:  5 2 1 3  3 2  1 2 3  84 ; TA       5 3  1  1 2 23 3 2      ; (матрица,   составленная   из   алгебраических   дополнений 13 4 7  ~ A       11  16 7   3  12   21   13   4   7  1 84  элементов;   3  12   21  Умножая обратную матрицу на  B , получаем матрицу  X . 11  16 7 1A  (обратная матрица). 11  16 X   1   84   13 4 7   3 12 21            7 9 1        1    84   187 84 26 21 5 12       . Отсюда получаем ответ: 26y 21 Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса. 187x 84 ; ; 5z 12 . Практическая работа