Конспекты лекций по высшей математике

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Элементы высшей математики Преподаватель: Деменин Л.Н. Владивосток 2018 Пояснительная записка Математическое   образование   играет   важную   роль   как   в   практической,   так   и   в духовной жизни общества.  Практическая сторона математического образования связана с формированием   способов   деятельности,   духовная   ­   с   интеллектуальным   развитием человека, формированием характера и общей культуры.  Математическая  подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей, восприятия   и   интерпретации   разнообразной   социальной,   экономической,   политической информации. Человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, находить   в   справочниках   нужные   формулы   и   применять   их,   владеть   практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий.     Без математической подготовки невозможно стать образованным,  современным человеком.   Сознательное   овладение   учащимися   системой     математических   знаний   и умений   необходимо   в   повседневной   жизни,   для   изучения   смежных   дисциплин   и продолжения образования.   Математика является одним из опорных предметов основной школы, она обеспечивает изучение других дисциплин. В после школьной жизни реальной необходимостью в наши дни является непрерывное образование, что требует полноценной базовой   математической   подготовки.   И   наконец,   все   больше   специальностей,   где необходим высокий уровень математического образования (экономика, бизнес, финансы, физика,   химия,   и   др).   Таким     образом,   расширяется   круг   учащихся,   для   которых математика становится значимым предметом.     Для   жизни   в   современном   обществе   важным   является   формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности  применяются индукция, дедукция, обобщение и конкретизация,   классификация   и   систематизация   ,   абстрагирование   и   аналогия. Вырабатывается умение формулировать, обосновывать, доказывать суждения, тем самым развивается   логическое     мышление.   Ведущая   роль   принадлежит   математике   в формировании   алгоритмического   мышления   и   воспитании   умений   действовать   по 2 заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности   на   уроках   математики   –   развиваются   творческая   и   прикладная   стороны мышления.    Обучение математике, дает возможность развивать у обучающихся точную, экономную   и   информативную   речь,   умение   отбирать   наиболее   подходящие   языковые (символические, графические)  средства.    Математическое образование вносит вклад в формирование   культуры человека, способствует эстетическому воспитанию, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики направлено на достижение следующих целей:  ­ формирование представлений  о математике  как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;  ­   развитие  логического   мышления,   пространственного   воображения, алгоритмической   культуры,   критичности   мышления   на   уровне,   необходимом   в   высших образовательных   организациях   по   соответствующей   специальности,   в   будущей профессиональной деятельности; ­   владевание  математическими   знаниями   и   умениями,   необходимыми   в повседневной   жизни,   для   изучения   других   учебных   дисциплин   на   базовом   уровне,для получения образования в областях , не требующих углубленных математических знаний; ­ воспитание средствами математики культуры личности, отношения к математике как   к   части   общечеловеческой   культуры,   понимания   значения   математики   для общественного прогресса. Задачи: ­ организовывать собственную деятельность; ­   выбирать   типовые   методы   и   способы   выполнения   профессиональных   задач, оценивать их эффективность и качество; ­   развивать   представление   о   вероятностно­статистических   закономерностях   в окружаюшем мире, обогащать математический язык; ­ знакомится с основными идеями и методами математического анализа. 3 (38 часов) Раздел I. Элементы линейной алгебры Лекция № 1­2 (4 ч.) Тема 1.1 Матрицы и определители. Основные   сведения   о   матрицах.   Операции   над   матрицами.   Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1. [Электронный Математика       ресурс]/   Режим   доступа: http://www.mathematics.ru­   учебный   материал   по   разделам,   тренажеры   по   решению алгебраических уравнений 2.  Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Тема. Системы линейных уравнений Лекция № 3­4 (4 ч.) Система  n  линейных   уравнений   с  n  переменными.   Метод   обратной   матрицы   и формулы Крамера. Метод Гаусса. Система m линейных уравнений с n переменными. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  4 3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Раздел II. Элементы аналитической геометрии Лекция № 5­6 (4 ч.) Тема. Уравнение прямой. Прямая и плоскость. Системы координат. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Линии второго порядка. Полярные координаты. Плоскость и прямая в пространстве. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 5 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Раздел III. Введение в анализ Лекция № 7­8 (4 ч.) Тема. Функции одной переменной. Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции. Классификация   функций.   Преобразование   графиков.   Интерполирование   функций. Основные правила приближенных вычислений. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Тема. Пределы и непрерывность. Лекция № 9­10 (4 ч.) 6 Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и точке. Бесконечно   малые   и   бесконечно   большие   величины.   Основные   теоремы   о   пределах. Признаки существования предела. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Раздел IV. Дифференциальные исчисления. Лекция № 11­13 (6 ч.) Тема. Производная и дифференциал Задачи,   приводящие   к   понятию   производной.   Определение   производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычесления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции.   Производные   основных   элементарных   функций.   Производные   неявной   и параметрически   заданной   функции.   Понятие   производных   высших   порядков.   Понятие дифференциала   функции.   Применение   дифференциала   и   приближенных   вычислений. Понятие о дифференциалах высших порядков. Экономический смысл призводной. Литература: 7 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Раздел V. Интегральное исчисление. Лекция № 14­16 (6 ч.) Тема. Неопределенный интеграл Первообразная   функции,   неопределенный   интеграл.   Свойства   неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.  Методы змены переменной. Метод   интегрирования   по   частям.   Интегрирование   простейших   рациональных   дробей. Интегрирование некоторых видов иррациональности. Интегрирование тригонометрических функций. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  8 5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru Тема. Определенный интеграл. Лекция № 17­19 (6 ч.) Понятие   определенного   интеграла,   его   геометрический   и   экономический   смысл. Свойства   определенного   интеграла.   Определенный   интеграл   как   функция   верхнего предела. Формула Ньютона­Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном   интеграле.   Геометрические   приложения   определенного   интеграла. Несобственные интегралы. Литература: 1. Григорьев В.П Элементы высшей математики: Учебное пособие для студентов  СПО /В.П. Григорьев, А.Ю. Дубинский. – М.: Изд. Центр «Академия», 2008 г. – 320 с.  2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. ­ СПб.: Питер, 2006.  3. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 1. ­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А. и др. Математика в экономике. Ч. 2.­ М.:  Финансы и статистика, 2005.  5. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и  упражнения. ­ М.: Эксмо, 2006  6. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Высшая  математика, Курс лекций по высшей математике, Тольятти, 2005. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.  Математика [Электронный ресурс]/  Режим  доступа: http://www.mathematics.ru­ учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. 2. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.exponenta.ru 9 10 Методические рекомендации для преподавателей Преподавателю   при   организации   курса   следует   учитывать   специфику   данной дисциплины.   «Элементы   высшей   математики».   К   лекции   предъявляются   следующие требования:  1)   высокий   научный   уровень   излагаемой   информации,   имеющей,   как   правило, мировоззренческое значение;  2) объем научной информации должен быть четко систематизирован и методически проработан;  3) высказываемые суждения доказательны, аргументированы;  4) лекционный материал должен быть доступен для понимания;  5) вводимые термины и названия должны быть разъяснены;  6)   главные   мысли   и   положения   должны   быть   выделены,   формулировки   выводов четкие, лаконичные;  7) обучающимся должна быть предоставлена возможность слушать, осмысливать и кратко записывать информацию;  8) организация обратной связи на лекции (прямые вопросы к аудитории, совместное размышление вслух, письменный опрос и т.д.);  9)   использование   дидактических   материалов,   средств   наглядности,   в   т.   ч. технических.  Программа дисциплины представлена V разделами. 11