КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия»  Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ  для проведения текущего контроля успеваемости  по дисциплине  «Теория вероятностей и математическая статистика» Обсуждено на заседании кафедры  Высшей математики и  естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составитель(­и): Хамидуллин Р. Я. к.т.н., доцент  [email protected] Рейтер К.А. к.ф.н., доцент [email protected] Москва 2017 Содержание I. Содержание дисциплины.............................................................................3 II. Практикумы по решению задач..................................................................6 III. Темы для обсуждения на семинаре и проведения дискуссии..............18 IV. Контрольные вопросы по темам.............................................................20 V. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам....23 VI. Практические задания / кроссворды......................................................51 VII. Задания для контрольных работ...........................................................58 VIII. Экзаменационные вопросы...................................................................61 IX. Экзаменационные билеты........................................................................72 2 I. Содержание дисциплины   совместные, Тема 1. Основные понятия теории вероятностей  Введение.  Цели   и   задачи   дисциплины.  Случайные   явления   и возможность   их   изучения.   Понятия   опыта   и   события.  События: случайные,   достоверные,   невозможные,   практически   достоверные   и практически   невозможные.  Диаграмма   Венна.   Свойства   событий: несовместные,   образующие   полную   группу, равновозможные,   Пространство элементарных   событий.   Операции   над   событиями:   умножение, сложение,   объединение,   дополнение,   разность.  Понятия   частоты, вероятности,   условной   частоты   и   условной   вероятности   события. Устойчивость   частот.   Понятие   сходимости   частоты   по   вероятности   к  Случаи   и   их   свойства.  Статистическая, вероятности   события. классическая,   геометрическая   вероятности.   Зависимые   и   независимые события.  Комбинаторика в вероятностных задачах.   противоположные   события. Тема 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Теоремы   умножения   и   сложения   вероятностей   событий. Следствия теоремы сложения вероятностей.  Вероятность  появления события хотя бы один раз в нескольких независимых опытах. Формула полной   вероятности.   Априорные   вероятности.   Формула   Бейеса. Апостериорные   вероятности.   Повторение   опытов   в   неизменных   и изменяющихся условиях. Тема 3. Случайные величины и векторы Понятие   случайной   величины   (СВ),   её   связь   с   пространством элементарных   исходов   опыта.   Дискретные   и   непрерывные   случайные величины.  Закон распределения случайной величины и его формы: ряд распределения, функция распределения, плотность вероятности, их   свойства   и   взаимосвязь.  Элемент   вероятности.   Вероятность попадания случайной величины на отрезок.  Математическое   ожидание     среднее квадратическое   отклонение   (СКО)   случайной   величины.  Моменты случайной   величины:   начальные,  центральные.  Характеристики   кривых распределений:   мода,   медиана,   асимметрия,   эксцесс.   Характеристики рассеивания результатов наблюдений: размах, квантиль. (МО),   дисперсия, Практическая   интерпретация   случайного   вектора.   Законы распределения случайного вектора: функция распределения, плотность вероятности,   их   свойства   и   взаимосвязь.   Элемент   вероятности, вероятность   попадания   в   область.   Корреляционный   момент, 3 коэффициент   корреляции. корреляционная матрицы. Свойства элементов матриц.   Корреляционная   и   нормированная Тема 4. Законы распределения случайных величин и векторов Биномиальное,   геометрическое   распределения. Определение числовых характеристик дискретных распределений  с помощью производящей функции. Пуассоновский поток и поле точек.   Пуассона, Экспоненциальное,   равномерное,   нормальное   распределения. Условия   возникновения,   числовые   характеристики.  Табличные функции,   связанные   с   нормальным   распределением:  нормированная нормальная плотность и функция распределения, функция Лапласа­ Гаусса.   Вероятность   попадания   нормальной   случайной   величины   на отрезок. Правило трёх СКО. Многомерный,   двумерный   нормальный   случайный   вектор.   Эллипс рассеивания. Вероятности попадания в прямоугольник, квадрат, эллипс, круг, кольцо. Закон Релея. Тема 5. Функции случайных аргументов   Математическое   ожидание   и   дисперсия   функции   случайных аргументов  (ФСА).   Определение   МО   и   дисперсии   ФСА   при известном законе распределения аргументов.  Теоремы   о   числовых   характеристиках   линейных   ФСА:   МО   и дисперсия неслучайной величины, произведения случайной величины на неслучайную, суммы случайных величин, линейной функции случайных величин. Предельные   теоремы   теории   вероятностей.  Закон   больших чисел.   Неравенство   Чебышева   (лемма).   Теоремы   Чебышева, Бернулли,   Пуассона,   Маркова.   Центральная   предельная   теорема (Ляпунова).   выборка,   функция   правдоподобия, Тема 6.  Выборочный метод в математической статистике Предмет   и   задачи   математической   статистики.  Генеральная   способы совокупность, организации   выборок.   Представление   статистических   данных   и оценивание   закона   распределения   генеральной   совокупности. Основные   термины   и   определения:   статистические   (выборочные) данные,   вариационный   ряд,   сгруппированный   статистический   ряд, статистический   ряд   распределения,   полигон   частот,   гистограмма, кумулята.    Тема 7. Статистики и оценки параметров распределений 4 Понятия   статистики   и   оценки   параметра.  Свойства   оценок:   Точность несмещённость, (доверительный   интервал)   и   надёжность   (доверительная   вероятность) оценок. Точечные и интервальные оценки.  состоятельность,     эффективность. Точечная   и   интервальная   оценки   вероятности.   Нормально распределённая оценка вероятности. Геометрическая интерпретация доверительного   интервала.   Генеральная   и   выборочная   средняя величина.  Точечная и интервальная оценки математического ожидания (МО) при известной и неизвестной точности измерений (СКО).  Генеральная   и   выборочная   дисперсии.   Несмещённая   оценка дисперсии.  Точечная   и   интервальная   оценки   дисперсии   при   известном   или неизвестном МО, при малом и большом числе испытаний.  Оценки   вероятностных   характеристик   двумерного   случайного вектора:   МО,   дисперсий,   корреляционных   моментов,   коэффициентов корреляции.   Оценка   элементов   корреляционной   и   нормированной корреляционной матриц.  Точность оценки параметров распределений и число испытаний.  Тема 8. Статистическая проверка гипотез Понятие   статистической   проверки   гипотез   (СПГ).  Смысл   и процедура   СПГ.   Статистические   критерии   качества   СПГ.  Область допустимых   значений   и   критическая   область   критерия   качества СПГ.  Ошибки, допускаемые лицом, принимающим решения (ЛПР), при СПГ:   ошибки   первого   и   второго   рода.   Вероятность   ошибки   ЛПР, мощность статистического критерия.  Проверка   непараметрических   гипотез:   критерии   согласия.  Проверка Критерии   хи­квадрат   Пирсона, параметрических   гипотез:   сравнение   двух   дисперсий   нормальных генеральных   совокупностей,   сравнение   двух   МО   при   известных   или неизвестных дисперсиях.   Колмогорова. 5 II. Практикумы по решению задач Тема 1. Основные понятия теории вероятностей  Вариант 1 1. Вычислить  2. Упростить  3. Вычислить  !4!6  !3  )!1n(  )!2 n( P  P 6 5 P 4 8A ;  4 4. Вычислить  5. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого 4 10C стола? 6. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так, чтобы в каждом числе не  было одинаковых  цифр? 7. Решить уравнение  2x  C2 21 Вариант 2 1. Вычислить  2. Упростить  3. Вычислить  !3!5 !6 1  !n P  4 P 3 13A ;  5 1  )!1n( P 6 4. Вычислить  5. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг? 6. Сколько флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков 4 8C разного цвета? 7. Решить уравнение  C 2 x  153 Вариант 3 1. Вычислить  2. Упростить  )!2n( !5  !4!3 !n  P 20  PP 16 4 25A ;  5 2 36C 3. Вычислить  4. Вычислить  5. Сколькими   способами   собрание,   состоящее   из   18   человек,   может выбрать из своего состава председателя собрания и секретаря? 6. Сколькими способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30 человек? 7. Решить уравнение  2x  C2 21 Вариант 4 6 1. Вычислить  2. Упростить  !5!7  !6 1  )!1n( 3. Вычислить  P 5 6  P !5 13A ;  5 4. Вычислить  5. Сколько   различных   пятизначных   чисел   можно   составить   из   цифр 8 10C 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется? 6. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов? 7. Решить уравнение  A  3 x 1 20 A 4 x Тема 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Вариант 1 1. При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   события «Выпало 2 очка». 2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубка   написана   одна   из   следующих   букв:   о,   п,   р,   с,   т.   Найти вероятность того, что на вытянутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». 3. В   цехе   работают   6   мужчин   и   4   женщины.   По   табельным   номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины. 4. По   цели   произведено   20   выстрелов,   причем   зарегистрировано   18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель. 5. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу   извлекает   3   детали.   Найти   вероятность   того,   что   все извлеченные детали окажутся окрашены. 6. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат. 1. При бросании монеты вычислить вероятность выпадения «решки». 2. Пять   различных   книг   расставлены   наудачу   на   одной   полке.   Найти Вариант 2 вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом. 3. В   группе   12   студентов,   среди   которых   8   отличников.   По   списку наудачу  отобраны 9 студентов, найти  вероятность  того, что  среди отобранных студентов 5 отличников. 7 4. При   испытании   партии   приборов   относительная   частота   годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов. 5. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. 6. В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается   точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг. 1. При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения Вариант 3 четного числа очков. 2. В   корзине   находятся   20   красных,   15   зеленых   шаров.   Найти вероятность того, что из 4 выбранных наудачу шаров будет 3 зеленых. 3. На каждой из шести карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. После тщательного   перемешивания   берут   по   одной   карточке   и   кладут последовательно   рядом.   Найти   вероятность   того,   что   получится слово «Биржа». 4. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии   из   случайно   отобранных   100   книг.   Найти   относительную частоту появления бракованных книг.  5. В партии из ста банок консервов 12 бракованных. Найти вероятность того, что три взятые банки консервов окажутся бракованными. 6. В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается   точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат. 1. При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения Вариант 4 нечетного числа очков. 2. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие. 3. В  ящике   100  деталей,  из   них  10  бракованных.  Наудачу   извлечены четыре   детали.   Найти   вероятность   того,   что   среди   извлеченных деталей нет бракованных. 4. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления стандартных деталей. 5. В канцелярии народного суда находится 26 дел, среди которых 17 уголовных. Наудачу для проверки документации извлекается 5 дел. Найти   вероятность   того,   что   взятые   наудачу   дела   окажутся   не уголовными. 8 6. В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается   точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг. Тема 3. Случайные величины и векторы Вариант 1 1. В   электрическую   цепь   последовательно   включены     три     элемента, работающие   независимо   один   от   другого.   Вероятности     отказов первого­0,1,второго­0,15, третьего­0,2. Найти вероятность  того, что тока в цепи  не будет. 2. Среди   100   лотерейных       билетов   есть   5   выигрышных.   Найти вероятность   того,   что   2   наудачу   выбранные   билета   окажутся выигрышными.  3. На   стеллаже   библиотеки   в   случайном   порядке     расставлено     15 учебников,   причем    5  из     них     в    переплете.   Библиотекарь   берёт наудачу 3  учебника. Найти  вероятность  того, что  хотя  бы один  из взятых  учебников  окажется  в  переплёте. 4. Два   спортсмена   независимо   друг   от   друга   стреляют   по одной мишени. Вероятность попадания  в  мишень  первого ­0.7,  второго­ 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена? 5. Отдел технического  контроля проверяет  на  стандартность  по  двум параметрам   серию   изделий.   Было   установлено, что   у 8   из     25 изделий  не  выдержан  только первый параметр, у  6  изделий ­только второй, а   у   3   изделий   не   выдержаны   оба     параметра. Наудачу берется   одно из   изделий. Какова   вероятность   того, что   оно не удовлетворяет  стандарту? 6. От здания     аэровокзала    к   трапам самолётов   отправились    два автобуса.       Вероятность     своевременного     прибытия     каждого автобуса  к  трапам  равна  0,95. Найти  вероятность  того, что хотя бы один  из  автобусов  прибудет  вовремя.  Вариант 2 1. В электрическую цепь последовательно   включены   три   элемента, работающие   независимо   один   от   другого.   Вероятности     отказов первого­0,1,второго­0,15, третьего­0,2. Найти вероятность  того, что тока в цепи  не будет. 2. Среди     100     лотерейных       билетов     есть   5   выигрышных.   Найти вероятность   того,  что   2    наудачу  выбранные   билета   окажутся выигрышными.  3. На   стеллаже   библиотеки   в   случайном порядке   расставлено   15 учебников, причем   5 из   них   в   переплете. Библиотекарь   берёт наудачу 3  учебника. Найти  вероятность  того, что  хотя  бы один  из взятых  учебников  окажется  в  переплёте. 9 4. Два   спортсмена   независимо   друг   от   друга   стреляют   по одной мишени. Вероятность попадания  в  мишень  первого ­0.7,  второго­ 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена? 5. Отдел технического  контроля проверяет  на  стандартность  по  двум параметрам   серию   изделий.   Было   установлено, что   у 8   из     25 изделий  не  выдержан  только первый параметр, у  6  изделий ­только второй, а   у   3   изделий   не   выдержаны   оба     параметра. Наудачу берется   одно из   изделий. Какова   вероятность   того, что   оно не удовлетворяет  стандарту? 6. От здания     аэровокзала    к   трапам самолётов   отправились    два автобуса.       Вероятность     своевременного     прибытия     каждого автобуса  к  трапам  равна  0,95. Найти  вероятность  того, что хотя бы один  из  автобусов  прибудет  вовремя.  Тема 4. Законы распределения случайных величин и векторов Вариант 1 1. На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 40 деталей, второго – 35 деталей, третьего – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность, что она нестандартная? 2. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар   окажется   белым,   если   равновозможны   все   возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). 3. В  ящике   содержится 12  деталей,  изготовленных   на  заводе   №1, 20 деталей на заводе №2 и 18 деталей на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0,9;   для   деталей,   изготовленных   на   заводах   №2   и   №3,   эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 5. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием  L, 20% – с заболеванием М. Вероятность полного излечен6ия болезни К равна 0,7. Для болезней L и   М   эти   вероятности   соответственно   равны   0,8   и   0,9.   Больной, 10 поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. 6. Число   грузовых   автомашин,   проезжающих   по   шоссе,   на   котором стоит   бензоколонка,   относится   к   числу   легковых   машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1. для легковой машины эта вероятность   равна   0,2.   К   бензоколонке   подъехала   для   заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. Вариант 2 1. Была   проведена   одна   и   та   же   контрольная   работа   в   трех параллельных группах. В 1­ой группе, где 30 учащихся, оказалось 8 работ,   выполненных   на   «отлично»;   во   20ой,   где   28   учащихся   –   6 работ, в 3­ей, где 27 учащихся – 9 работ. Найти вероятность того, что первая   взятая   наудачу   при   повторной   проверке   работа   из   работ, принадлежащих   группе,   которая   также   выбрана   наудачу,  окажется выполненной на «отлично». 2. В   пирамиде   5   винтовок,   три   из   которых   снабжены   оптическим прицелом.   Вероятность   того,   что   стрелок   поразит   мишень   при выстреле   из   винтовки   с   оптическим   прицелом   равна   0,95;   для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность   того,   что   мишень   будет   поражена,   если   стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. 3. В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автомата и четыре   полуавтомата.   Вероятность   того,   что   за   время   выполнения некоторого   расчета   автомат   не   выйдет   из   строя,   равна   0,95.   для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на   наудачу   выбранной   машине.   Найти   вероятность   того,   что   до окончания расчета машина не выйдет из строя. 4. В   пирамиде   10   винтовок,   из   которых   4   снабжены   оптическим прицелом.   Вероятность   того,   что   стрелок   поразит   мишень   при выстреле   из   винтовки   с   оптическим   прицелом,   равна   0,95.   Для винтовки без оптического прицела 0,8. Стрелок поразил мишень их наудачу   взятой   винтовки.   Что   вероятнее:   стрелок   стрелял   из винтовки с оптическим прицелом или без него? 5. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие опадет к первому товароведу равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым –   0,98.   Стандартное   изделие   при   проверке   было   признано стандартным.   Найти   вероятность   того,   что   это   изделие   проверил первый товаровед. 11 6. Две   перфораторщицы   набили   на   разных   перфораторах   по одинаковому   комплекту   перфокарт.   Вероятность   того,   что   первая перфораторщица   допустит   ошибку,   равна   0,05,   для   второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была   обнаружена   ошибка.   Найти   вероятность   того,   что   ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны). Тема 5. Функции случайных аргументов Вариант 1 Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна p.  Имеется n независимых работающих автоматов. Найти вероятность того, что: а) в данный момент работает ровно m автоматов б) не работают все автоматы в) работают все автоматы г) работает более m автоматов д) работает менее m автоматов е) работает не менее m автоматов № п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. p 0,55 0,62 0,7 0,8 0,45 0,1 0,05 0,2 0,07 0,08 0,45 0,52 0,57 0,48 0,5 0,2 0,4 0,67 0,9 n 7 6 8 5 10 7 5 6 8 4 5 6 4 7 8 8 6 6 8 m 4 2 5 3 6 3 2 4 3 2 2 3 2 4 3 3 4 2 5 12 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 0,72 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,7 0,6 0,5 0,3 0,5 9 9 10 11 12 10 9 8 7 7 5 6 4 5 6 7 8 7 6 5 4 2 Вариант 2 На конвейер за смену поступает  n  изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна равна p. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m. № п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. n 300 400 625 150 100 192 600 400 144 100 220 350 300 500 250 180 420 250 600 200 1100 p 0,75 0,8 0,8 0,6 0,9 0,75 0,6 0,9 0,8 0,85 0,55 0,6 0,9 0,75 0,65 0,72 0,83 0,67 0,84 0,67 0,31 m 240 330 510 75 96 150 375 372 120 92 140 260 280 390 190 140 380 210 570 150 371 13 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 0,12 0,43 0,74 0,23 0,60 0,27 0,45 0,58 0,32 145 427 602 185 390 156 173 209 82 Тема 6.  Выборочный метод в математической статистике Вариант 1 1. Случайные   величины   Х1,   Х2,   Х3  независимы.   Найти   дисперсию  D(X2)=5, случайной   величины  Z=X1­2X2+3X3­4,   если  D(X1)=4, D(X3)=3. 2. Вычислить   дисперсии   и   среднее   квадратическое   отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения. Х р 4,3 0,2 5,1 0,3 10,6 0,5 3. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х­числа события А   в   пяти   независимых   испытаниях,   если   вероятность   появления событий А в каждом испытании равна 0,2. 4. В  ящике   10  деталей,  из   них  2  бракованных.  Наудачу   извлечены  3 детали. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа бракованных деталей. 5. Дискретная   случайная   величина   Х   имеет   только   три   возможных значения:   х1=1,  х2  и   х3,  причем   х1<х2<х3.  Вероятность   того,  что   Х примет значение х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, зная математическое ожидание М(Х)=2,2 и дисперсию D(X)=0,76 Вариант 2 1. Случайные   величины   Х1,   Х2,   Х3  независимы.   Найти   дисперсию  D(X2)=8, случайной   величины  Z=4X1+X2­3X3­5,   если  D(X1)=3, D(X3)=2. 2. Вычислить   дисперсии   и   среднее   квадратическое   отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения. Х 45 87 106 14 р 0,1 0,6 0,3 3. В комнате периодически включают электрическую лампочку. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа перегоревших лампочек, если свет включали 10 раз. Вероятность того, что лампочка перегорит равна 0,1. 4. Игральная   кость   брошена   3   раза.   Найти   дисперсию   и   среднее квадратическое   отклонение   дискретной   случайной   величины   Х   – числа появлений шестерки. 5. Дискретная   случайная   величина   Х   имеет   только   три   возможных значения:   х1=6,  х2  и   х3,  причем   х1>х2>х3.  Вероятность   того,  что   Х примет значение х1 и х2, соответственно равны 0,2 и 0,4. Найти закон распределения величины Х, зная математическое ожидание М(Х)=3,2 и дисперсию D(X)=2,16 Тема 7. Статистики и оценки параметров распределений Вариант 1 1. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти вероятность того, что в результате испытаний х примет значение, заключенное в интервале (2,3). )( xF   2 ,0 приx  ,3/15/ при x  ,1 приx 4      2  x 4 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить график функций этой величины. 10 X p 0,3 3 0,2 4 0,1 7 0,4 3. Случайная   величина   Х   задана   плотностью   распределения  f(x)=0. Найти дисперсию величины х. 4. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание     и   среднее   квадратичное   отклонение   этой   величины соответственно   равны   20     и   5.   Найти   вероятность   того,   что   в результате испытания Х примет значение, заключенной в интервале (15, 25). 5. Случайная   величина   распределена   нормально.   Среднее квадратическое   отклонение     этой   величины   равно   0,4.   Найти вероятность   того,   что   отклонение   случайной   величины   от   ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3. 15 Вариант 2 1. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти вероятность того, что в результате испытаний х примет значение, заключенное в интервале (0,1). )( xF   приx 2 ,0  при x ,6/16/  ,1 3 приx      2  3 x 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить график функций этой величины. X p ­1 0,1 2 0,4 4 0,1 8 0,4 3. Случайная   величина   Х   задана   плотностью   распределения  f(x)=0. Найти дисперсию величины х. )( xF  приx ,0  2 ,1 x приx ,1  0 0 при  3       1 x 4. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а=8,5 и  =1,6.   Найти   вероятность   того,   что   в   результате   испытания   Х примет значение, заключенной в интервале (7,3; 10,9). 5. Ошибка измерителя частоты подчинена нормальному распределению с   параметрами   а=5   Гц,      =10   Гц.   Найти   вероятность   того,   что измеренное значение частоты отличается от истинного не более, чем на 20 Гц. Тема 8. Статистическая проверка гипотез Вариант 1 Используя   критерий   Пирсона,   при   уровне   значимости   0,05 проверить,   согласуется   ли   гипотеза   о   нормальном   распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n=200.  xi ni 0,3 6 0,5 9 0,7 26 0,9 25 1,1 30 1,9 20 1,3 26 1,5 21 1,7 24 2,1 8 2,3 5 Используя   критерий   Пирсона,   при   уровне   значимости   0,01 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими Вариант 2 16 частотами ni  и теоретическими частотами ni, которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Х: xi ni 16 18 36 39 40 36 72 76 8 6 18 18 10 7 17 III. Темы для обсуждения на семинаре и проведения дискуссии Тема 1. Основные понятия теории вероятностей  1. Опыт и события. 2. Частота и вероятность события. 3. Геометрическая вероятность. 4. Условные частота и вероятность. 5. Зависимые и независимые события. Тема 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей 1. Теоремы умножения частот и вероятностей. 2. Теоремы сложения частот и вероятностей. 3. Следствия теоремы сложения. 4. Вероятность   появления   события   хотя   бы   один   раз   в   нескольких независимых опытах. 5. Формула полной вероятности.     6. Формула Бейеса (теорема гипотез). 7. Повторение опытов. Тема 3. Случайные величины и векторы 1. Понятие случайной величины (СВ). 2. Закон распределения СВ. 3. Моменты и числовые характеристики СВ. 4. Случайный вектор. 5. Числовые характеристики двумерного случайного вектора. 6. Зависимые и независимые СВ. Тема 4. Законы распределения случайных величин и векторов 1. Биномиальное распределение. 2. Производящая функция. 3. Распределение Пуассона. 4. Пуассоновский поток и поле точек. 5. Геометрическое распределение. 6. Показательное распределение. 7. Равномерное распределение. 8. Нормальное распределение. 9. Табличные функции нормального распределения. 10.Вероятность попадания нормальной случайной величины на отрезок. 11.Локалная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. 12.Нормальное распределение случайного вектора. 13.Вероятность   попадания   двумерного   случайного   вектора   в   плоские фигуры. 18 Тема 5. Функции случайных аргументов 1. Математическое   ожидание   и   дисперсия   функций   случайных аргументов (ФСА). 2. Теоремы о числовых характеристиках линейных ФСА. 3. Применение теорем о числовых характеристиках линейных ФСА. 4. Характеристическая функция случайной величины.  Тема 6.  Выборочный метод в математической статистике 1. Закон больших чисел. 2. Неравенство Чебышева. 3. Первая теорема Чебышева. 4. Теорема Бернулли (следствие первой теоремы Чебышева). 5. Вторая теорема Чебышева.     6. Теорема Пуассона (следствие второй теоремы Чебышева). 7. Теорема Маркова. 8. Центральная предельная теорема. 9. Теорема Ляпунова. Тема 7. Статистики и оценки параметров распределений 1. Предмет и задачи математической статистики. 2. Представление   статистических   данных   и   оценивание   закона распределения генеральной совокупности. Тема 8. Статистическая проверка гипотез 1. Оценки параметров распределений и их свойства. 2. Методы получения оценок параметров распределений. 3. Оценка вероятности случайного события. 4. Оценка математического ожидания случайной величины. 5. Оценка дисперсии случайной величины. 6. Оценка корреляционного момента и коэффициента корреляции. 19 IV. Контрольные вопросы по темам Тема 1. Основные понятия теории вероятностей  1. Предмет и задачи дисциплины «Теория вероятностей (ТВ) и  математическая статистика (МС)». 1. Случайное явление. 2. Задачи МС. 3. Опыт и событие в ТВ. 4. Свойства событий. 5. Операции над событиями. 6. Частота и вероятность событий. 7. Схема случаев, классическая формула для вычисления вероятности  события. 8. Геометрическая вероятность. 9. Условные частота и вероятность. 10. Зависимые и независимые события. Тема 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей 1. Теорема   умножения   вероятностей   для   зависимых   и   независимых событий. 2. Теорема сложения вероятностей. 3. Вероятность объединения двух событий. 4. Следствие теоремы сложения. 5. Вероятность появления события хотя бы один раз в  nнезависимых опытах. 6. Формула полной вероятности. Априорные вероятности. 7. Формула Бейеса. Апостериорные вероятности. 8. Повторение опытов в неизменных условиях. Формула Бернулли. 9. Повторение   опытов   в   изменяющихся   условиях.   Вычисление вероятности  ,mnP  с помощью производящей функции. Тема 3. Случайные величины и векторы 1. Случайная величина (СВ). 2. Дискретные и непрерывные СВ. 3. Начальные и центральные моменты СВ. 4. Математическое   ожидание,   дисперсия   СВ,   среднее   квадратическое отклонение. 5. Квантиль, процентная точка. 6. Случайный вектор. 7. Плотность   вероятности,   функция   распределепния   случайного вектора. 8. Начальные и центральные моменты случайного вектора. 20 9. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная матрица, нормированная корреляционная матрица. 10.Зависимые и независимые СВ. Тема 4. Законы распределения случайных величин и векторов 1. Биномиальное   распределение   случайной   величины   и   его вероятностные характеристики. 2. Распределение   Пуассона   и   его   вероятностные   характеристики. Пуассоновский   поток   и   поле   точек.   Пуассоновское   приближение биномиального распределения. 3. Геометрическое распределение и его вероятностные характеристики. 4. Нормальное   (гауссово)   распределение   и   его   вероятностные характеристики. Условия возникновения нормального распределения (центральная   предельная   теорема).   Нормальное   приближение биномиального распределения. 5. Табличные   функции,   связанные   с   нормальным   распределением: нормированные   нормальные   плотность   и   функция   распределения, функция   Лапласа­Гаусса.   Вычисление   вероятности   попадания нормальной случайной величины на отрезок (симметричный отрезок относительно центра рассеивания). 6. Вероятность попадания в прямоугольник, квадрат, круг. Тема 5. Функции случайных аргументов 1. Математическое   ожидание   (МО)   и   дисперсия   функции   случайных аргументов (ФСА) при известном законе распределения аргументов. 2. МО и дисперсия неслучайной величины. 3. МО и дисперсия суммы, линейной ФСА. 4. Характеристическая функция случайной величины. Тема 6.  Выборочный метод в математической статистике 1. Закон больших чисел. 2. Неравенство Чебышева и его применение для доказательства теорем  Чебышева и Маркова. 3. Отличие условий доказательства теорем Чебышева (первой и второй)  и Маркова. 4. Теоремы Бернулли и Пуассона. 5. Центральная предельная теорема: условия возникновения  нормального распределения (закона Гаусса). Тема 7. Статистики и оценки параметров распределений 1. Понятие генеральной совокупности (ГС). 2. Выборка из ГС. 21 2. Выборочный метод исследований. 3. Функция правдоподобия. 4. Эмпирическая функция распределения. 5. Гистограмма. Тема 8. Статистическая проверка гипотез   выборочный   метод   исследований. 1. Понятие   генеральной   совокупности.   Выборка   из   генеральной   Функция совокупности, правдоподобия. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. 2. Выборочная функция (статистика). Оценка параметра распределения. Свойства   оценки:   несмещенность,  эффективность,  состоятельность. Доверительный интервал, доверительная вероятность. 3. Точечные и интервальные оценки параметров распределений: 3.1. вероятности случайного события; 3.2. математического ожидания случайной величины; 3.3 дисперсии случайной величины; корреляционного момента и коэффициента корреляции. 22 V. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам  Тема 1. Основные понятия теории вероятностей  1. Чему равна вероятность достоверного события? а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;    г) 0,25;         д) 1. 2. Чему равна вероятность невозможного события? а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;     г) 0,25;         д) 1. 3. Монета была подброшена 10 раз. «Герб» выпал 4 раза. Какова  частота выпадения «герба»? а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1. 4. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения  грани с 6 очками: а)  1/52;    б) 0,5;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/9. 5. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения  грани с нечётным числом очков: а)  1/4;    б) 1/2;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/8. 6. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения  грани с чётным числом очков: а)  1/4;    б) 1/8;       в) 1/2;     г) 1/6;         д) 1/3. 7. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти  вероятность того, что этот шар – белый: а) 0,5;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 2;               д) 0,6. 8. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –  бракованная. а) 0,2;             б) 0,1;                  в) 0,6;            г) 0, 3;              д) 0,25. 9. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –  стандартная. а) 0,2;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 5;               д) 0,8. 10. Какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании  монеты? а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1. 11. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,   при этом каждый раз шары возвращают обратно в корзину.  Найти вероятность того, что оба вынутых шара – не белые. а) 0,4;          б) 0,3;           в) 0,06;          г) 0, 16;          д) 0,26. 12. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,   при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти  вероятность того, что оба вынутых шара – белые. 23 а) 0,2;           б) 0,1;          в) 0,6;            г) 0, 3;             д) 0,25. 13. Произведение двух событий обычно записывается в следующем виде: Ответ –  A B C   14.Сумма событий обычно записывается в следующем виде: Ответ –  A B C   . 15. Вероятности того, что во время работы цифровой  электронной машины произойдет сбой в арифметическом  устройстве, в оперативной памяти, относятся как 2:8.  Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом  устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.8;  0.9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой  будет обнаружен. а) 0,88;    б) 0,64;    в) 0,72;         г) 0, 66;          д) 0,92. 16. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая 5, третья –  3. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.7. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  правильно? а) 0,85;           б) 0,80;           в) 0,72;         г) 0, 66;           д) 0,79. 17. Какая группа событий изображена на схеме:  A B Ответ – совместимые  18. Какая группа событий изображена на схеме:  A B Ответ – несовместимые  19.Установите соответствие между экспериментатором и  показателями Экспериментатор 1. ? Число  бросаний монеты 4040 Число  появлений Частота герба 2048 0,5080 24 2. ? А. Бюффон Б. Пирсон 12000 6019 0,5016 Ответ: 1 – А, 2 – Б 20. Установите соответствие между предметной выборкой и  статистическими  показателями 6 1 2 Месяц 3 4 5 7 8 9 10 11 12 за год  1.­? 2.­? 3.­? Частота рождения девочек 7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88273 3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45682 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42591 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,4850,4910,4820,473 0,483 А. Новорожденные Б. Мальчики В. Девочки Ответ: 1 – А, 2 – Б, 3 – В Тема 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей 1. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года  обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна  0.2. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0.1. Найти вероятность того, что в течение года в СК  обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов –  события независимые. а)  0,4;    б) 0,44;       в) 0,72;     г) 0,34;         д) 0,66. 2. В каждой из трех партий, содержащих по 10 изделий, имеется  соответственно два, три и пять бракованных изделия. Из  каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти  вероятность того, что все три изделия окажутся  стандартным. а) 0,29;        б) 0,28;         в) 0,038;         г) 0, 32;         д) 0,26. 3. Вероятность того, что в течении одной смены возникнет  поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не  возникнет ни одной поломки за три смены? а) 0,81;       б) 0,88;          в) 0,78;            г) 0, 95;         д) 0,86. 4. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд  вынимают две детали, при этом не возвращают их обратно в  25 коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали –  бракованные. а) 1/8;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/5;         д) 1/3. 5. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали.  Последовательно по одной вынимают две детали, при этом  каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти  вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные. а) 1/4;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/7;         д) 1/9. 6. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая – 4 счета, вторая 3, третья –  3. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.6, 0.7, 0.8. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  правильно? а) 0,65;           б) 0,60;             в) 0,72;             г) 0, 69;             д) 0,79. 7. Вероятности того, что во время работы цифровой  электронной машины произойдет сбой в арифметическом  устройстве, в оперативной памяти, относятся как 3:7.  Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом  устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.7;  0.8. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой  будет обнаружен. а) 0,78;            б) 0,69;           в) 0,70;         г) 0, 76;         д) 0,72. 8. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая­4, третья –  4. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  правильно? а) 0,85;           б) 0,82;         в) 0,70;           г) 0, 66;               д) 0,79. 9. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной  машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в  оперативной памяти, относятся как 3:7. Вероятности  обнаружения сбоя в  арифметическом устройстве, в  оперативной памяти соответственно равны 0.7; 0.8. Найти  вероятность того, что возникший в машине сбой не будет  обнаружен. а) 0,30;           б) 0,32;         в) 0,28;           г) 0, 36;            д) 0,29. 26 10. Три организации представили в контрольное управление счета  для выборочной проверки: первая –2 счета, вторая 4, третья –  4. Вероятности правильного оформления счетов у этих  организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова  вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен  неправильно? а) 0,17;            б) 0,20;            в) 0,21;         г) 0, 18;           д) 0,19. 11. Найти дисперсию случайной величины Х, если закон ее  распределения задан таблицей: Х xi pi 3 0,1 а) 2,85;             б) 3,70;       в) 2,45;         г) 4, 60;              д) 10,9. –2 0,1 –1 0,2 0 0,3 2 0,3 12. Найти математическое ожидание случайной величины Х,  если закон ее распределения задан таблицей: 20 0,4 2 0,3 10 0,1 15 0,2 xi pi а) 12,85;             б) 13,70;       в) 12,60;         г) 14, 60;              д) 13,9. 13. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля  дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,  составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –  отрицательный. Чему не  равен выборочный парный  коэффициент корреляции: а) 0,4;               б) 0,5;            в) – 0,6;          г) – 0,7;        д) – 0,8. 14. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля  дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,  составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –  положительный. Чему не равен выборочный парный  коэффициент корреляции: а) 0,8;               б) 0,6;            в) 0,4;          г) – 0,4;        д) – 0,8. 15.  Формулировка теоремы: частота суммы двух несовместных событий равна … Ответ: Сумме этих событий  16.   Формулировка   теоремы:   вероятность   суммы   двух несовместных событий равна… * P A B (  )  * P A ) (  P B ( ) ( Ответ: Сумме вероятностей этих событий  17. Какое положение изображено на схеме: P A B   ) ) P A (  P B ( ), AB  27      H 1   H n    . . .    . . .   H 4 A   H n A   H 1 A   H 2 A   H 2    . . .    A   H 3 A   H 3    . . .   H 4   Ответ: Произведения события  A  с гипотезами  (событиями  iH ) 18. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что  сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани  хотя бы одной из костей появится «шестёрка» Ответ: 5/36. 19. Для сигнализации об аварии установлены два независимо  работающие сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,8, а второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один  сигнализатор.  Ответ: 0,26. 20. Какая группа событий заключена в следующем положении: n i i H     1 Ответ: полная Тема 3. Случайные величины и векторы 1. Случайная величина вырождена, если имеет: 1) нулевую дисперсию; 2) нулевое математическое ожидание; 2. Коэффициент корреляции равен 1, если случайные величины: 1) независимы; 2) зависимы; 3) линейно зависимы; 4) линейно независимы. 3. Дисперсия является: 1) центральным моментом второго порядка; 2) начальным моментом второго порядка; 3) центральным моментом первого порядка; 4) начальным моментом первого порядка. 4. Плотность   распределения   двумерной   случайной   величины распадается в произведение в случае … 1) стохастической зависимости компонентов случайного вектора; 2) стохастической независимости компонентов случайного вектора. 5. Математическое ожидание является: 28 1) центральным моментом второго порядка; 2) начальным моментом второго порядка; 3) центральным моментом первого порядка; 4) начальным моментом первого порядка; 6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины: 1) есть величина безразмерная; 2) имеет ту же размерность, что и случайная величина; 7. Условное   математическое   ожидание   случайной   величины   при условии А вычисляется по формуле:  1) xF AM  )  xdF ) /( Ax 2)  /( /( A ) M  ;      ( dxAx / ) ; 8. Математическое ожидание случайной величины: 1) безразмерно;  2) имеет те же размерность, что и случайная величина. 9. Матрица ковариации двумерного случайного вектора (где r –  коэффициент корреляции) имеет вид:  1)      2 1  1 2 r r  1 2  2 2    ; 2)     r  1 2 2  1 r    ; 3)      2 r 1  1 2  1 2  2 r 2    . 10. Случайная величина имеет плотность распределения         ( xf )        3 4 2 x   2     х при        0 9 x при 6­        2    2         при 0     4 х  4 х Ее математическое ожидание есть: 1) 4; 2) 3; 3) 1. 11. Случайная величина имеет функцию распределения         xF ( )     1         0  x 4 e при             х 0      при х 0 Ее дисперсия есть: 1 . 1 ; 1)16 4 2)  12. Плотность распределения случайной величины есть: при при при при     х 1­    0         1  х 0  х 1  1 х ) ( xf                        0  x     1 ­1 x            0 Ее дисперсия есть: 1 ; 1 ; 1)  3 4 2)  3)  1 . 6 29 13.Случайная величина имеет плотность распределения         ( xf )          sin        0        x при при     х 0           0 при     х  2  0  х  2  Ее математическое ожидание есть: 1) 2; 2) 1. 14. Найти математическое ожидание случайной величины Х,  если закон ее распределения задан таблицей: xi pi 3 0,3 4 0,1 5 0,2 6 0,4 а) 3,85;         б) 3,70;        в) 4,40;         г) 4,66;        д) 4,95. 15. Найти математическое ожидание случайной величины Х,  если закон ее распределения задан таблицей: xi pi 5 0,3 6 0,1 7 0,2 8 0,4 а) 6,85;            б) 6,60;        в) 6,70;      г) 6, 66;        д) 6,95. 16. Установите соответствие между понятием и графиком  1. Случайный вектор на плоскости 2. Случайный вектор в трехмерном пространстве     (X,Y)         y  Y         R2              0                            X                 x  z       Z           (X,Y,Z)         R3            0                              R2         Y  y         А. Ответ: 1 – А, 2 – Б   X  x              Б. 17. На схеме представлена графическая интерпретация функции  …   X