РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей математическая статистика»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования  «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ проректор по учебно­методической работе,  кандидат экономических наук ___________________  А.И. Васильев  РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей математическая статистика» Направление подготовки: 38.03.01 Экономика Профиль подготовки: Банковское дело  Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: очная Обсуждено на заседании кафедры  Высшей математики и естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составитель(­и) программы: Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой Ravgat@yandex.ru Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017 Содержание I. Аннотация к дисциплине.............................................................................................................3 II. Перечень планируемых результатов обучения, соотнесенных с планируемыми  результатами освоения образовательной программы..................................................................5 III. Тематический план....................................................................................................................7 IV. Содержание дисциплины........................................................................................................10 V. Методические указания для обучающихся по освоению......................................................15 дисциплины....................................................................................................................................15 VI. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения  дисциплины....................................................................................................................................22 VII. Перечень ресурсов информационно­коммуникационной сети «Интернет», необходимой для освоения дисциплины............................................................................................................23 VIII. Описание материально­технической базы, необходимой для осуществления  образовательного процесса по дисциплине.................................................................................23 IX. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении  образовательного процесса по дисциплине.................................................................................23 X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по  дисциплине.....................................................................................................................................24 а) Какие значения Принимает эта ? б) Чему равна ? в) Чему равна и ?...............................32 Типовые задания для проведения промежуточной аттестации обучающихся.........................37 2 I. Аннотация к дисциплине Рабочая   программа   дисциплины   «Теория   вероятностей   и математическая   статистика»   составлена   в   соответствии   с   требованиями 38.03.01   «Экономика»   (уровень   бакалавриата),  утвержденным   приказом Министерства образования и науки Российской Федерации  от 12.11.2015 N 1327. Изучение дисциплины ориентировано на получение студентами прочных теоретических   знаний   и   твердых   практических   навыков   в   области математической   подготовки   будущих   бакалавров.   Такая   подготовка необходима   для   успешного   усвоения   многих   специальных   дисциплин, читаемых   для   бакалавров   по   направлению   подготовки   менеджмент. Дисциплина   является   одной   из   важнейших   теоретических   и   прикладных математических   дисциплин,   определяющих   уровень   профессиональной подготовки  современного   бакалавра   в   области   управления   различными социально­экономическими процессами. Предметом теории вероятностей и математической статистики является изучение вероятностных закономерностей, возникающих при взаимодействии большого   числа   случайных   факторов,   массовых   однородных   случайных явлений в науке и жизни общества, а также математических методов сбора, систематизации   и   использования   статистических   данных   для   научных   и практических выводов.  Объектом   изучения   служат   случайные   события,   случайные   величины, результаты наблюдений, методы их статистической обработки и анализа. Прочное   усвоение   современных   математических   методов   позволит будущему бакалавру в области экономики, бухгалтерского учета, банковского дела и налогов и налогообложения решать в своей повседневной деятельности актуальные   практические   задачи,   понимать   написанные   на   современном научном   уровне   результаты   других   исследований   и   тем   самым совершенствовать свои профессиональные навыки. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата. 3 Настоящая   дисциплина   включена   в   учебные   планы   по   программам подготовки   бакалавров   по   направлению   «Экономика»,   входит   в   базовую (обязательную) часть математического и естественнонаучного цикла. Требования   к   входным   знаниям   и   умениям   студента:  для   успешного освоения данной  дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями и навыками, сформированными школьной программной – знание элементарной математики, алгебры, элементарных функций, основ математического анализа умение дифференцировать.  Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» имеет  логические и методологические последующие связи с дисциплинами базовой  части математического и профессионального циклов: Микроэкономика,  Макроэкономика, Методы оптимальных решений, Теория Игр, Эконометрика. Цель и задачи дисциплины Цель   преподавания   курса  –   обеспечить   овладение   студентами основными   понятиями   и   методами   теории   вероятностей   и   математической статистики,   что   позволяет   оценивать   надежность   и   точность   выводов, делаемых   на   основании   ограниченного   статистического   материала. Значительное   внимание   уделяется   методам   анализа   и   интерпретации результатов   статистической   обработки   данных,   широко   применяемых   в исследованиях социально­экономических процессов и явлений.  Задачи курса состоят в выяснении закономерностей, возникающих при взаимодействии   большого   числа   случайных   факторов,   в   создании   методов сбора   и   обработки   статистических   данных   для   получения   научных   и практических выводов. 4 II. Перечень планируемых результатов обучения, соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы Процесс изучения дисциплины  направлен  на формирование следующих общепрофессиональных   (ОПК)   и   профессиональных   (ПК)   компетенций, предусмотренных   Федеральным   государственным   образовательным стандартом   высшего   образования   по   направлению   подготовки   38.03.01 «Экономика» (уровень бакалавриата). Результаты освоения ООП (содержание компетенций) Код компетенц ии  Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине ОПК­3 ПК­1 ПК­4 Способность выбрать инструментальные  средства для  обработки  экономических  данных в соответствии с поставленной  задачей,  проанализировать  результаты расчетов и  обосновать  полученные выводы Способность собрать  и проанализировать  исходные данные,  необходимые для  расчета  экономических и  социально­ экономических  показателей,  характеризующих  деятельность  хозяйствующих  субъектов Способность на  основе описания  экономических  процессов и явлений строить стандартные теоретические и  Знать (З):     основы необходимые для  экономических задач (З1). теории     вероятностей, решения Уметь (У):   применять аппарат теории вероятностей для и экспериментального   исследования   и решения экономических задач (У1). теоретического     Владеть (В):   навыками   применения   современного математического   инструментария   для решения экономических задач (В1). Знать (З):   Уметь (У):   теории основы     математической статистики,   необходимые   для  решения экономических задач (З2). применять   аппарат   математической статистики   для   теоретического   и экспериментального   исследования   и решения экономических задач (У2). Владеть (В):   навыками   анализа   и   применения математических   моделей   для   оценки состояния,   и   прогноза   развития экономических   явлений   и   процессов (В2). Знать (З):   основные понятия методы теории  математической статистики (З3). Уметь (У):   строить вероятностные модели для  5 Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Работа на  занятиях,  выполнение  домашних заданий, самостоятельная  работа, текущий  контроль,  контрольные  работы Работа на  занятиях,  выполнение  домашних заданий, самостоятельная  работа, текущий  контроль,  контрольные  работы Работа на  занятиях,  выполнение  домашних заданий, самостоятельная  работа, текущий Результаты освоения ООП (содержание компетенций) Код компетенц ии  Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине эконометрические  модели,  анализировать и  содержательно  интерпретировать  полученные  результаты конкретных процессов, проводить  необходимые расчеты в рамках  построенной модели (У3). Владеть (В):   навыками использования основных  приемов обработки экспериментальных  данных (В3). Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции контроль,  контрольные  работы 6 III. Тематический план 7 Контактная работа обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) Активные и интерактивные Наименование тем   й и ц н е т е п м о к х ы м е у р и м р о ф ы д о К   и и ц к е Л ы р а н и м е С с с а л к ­ р е т с а М Очная форма Форма ТКУ Форма ПА ПРЗ/10 ПРЗ/10 ПРЗ/10 я с х и щ ю а ч у б о   а т о б а р   я а н ь л е т я о т с о м а С 20 20 20 20 Контрольная  работа/20   м у к и т к а р п й ы н р о т а р о б а Л г н и н е р т а р г и   я а к с е ч и т к а д и Д занятия ю и н е ш е р ) и д а т с ­ с й е к (   й ы н н о и ц а у т и С     о п м у к и т к а р П ч а д а з 2 2 2 2 Введение. Тема 1. Основные понятия  теории вероятностей (ТВ). Тема 2. Основные теоремы и формулы ТВ. Тема 3. Случайные  величины (СВ) и векторы. Тема 4. Законы  распределения СВ и  векторов. 2 2 2 2 2 ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) 8 Контактная работа обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) Активные и интерактивные Наименование тем   й и ц н е т е п м о к х ы м е у р и м р о ф ы д о К   и и ц к е Л ы р а н и м е С с с а л к ­ р е т с а М Очная форма Форма ТКУ Форма ПА ПРЗ/10 ПРЗ/10 ПРЗ/10 я с х и щ ю а ч у б о   а т о б а р   я а н ь л е т я о т с о м а С 20 20 20 2 Контрольная  работа/20   м у к и т к а р п й ы н р о т а р о б а Л г н и н е р т а р г и   я а к с е ч и т к а д и Д занятия ю и н е ш е р ) и д а т с ­ с й е к (   й ы н н о и ц а у т и С     о п м у к и т к а р П ч а д а з 2 2 2 5 Тема 5. Функции случайных аргументов. Тема 6. Выборочный  метод в математической  статистике. Тема 7. Статистики и  оценки параметров  распределений.  Статистическая проверка гипотез. Тема 8. Статистическая  проверка гипотез. ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) ПК­4 (З3, У3,  В3) ОПК­3 (З1, У1,  В1) ПК­1 (З2, У2,  В2) 2 2 2 3 9 Наименование тем   й и ц н е т е п м о к х ы м е у р и м р о ф ы д о К   ПК­4 (З3, У3,  В3) Всего Контроль (эк/зач), час Объем дисциплины (в  академических часах) Объем дисциплины (в  зачетных единицах) Контактная работа обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) Активные и интерактивные   м у к и т к а р п й ы н р о т а р о б а Л г н и н е р т а р г и   я а к с е ч и т к а д и Д ы р а н и м е С с с а л к ­ р е т с а М Очная форма и и ц к е Л 19 занятия ю и н е ш е р ) и д а т с ­ с й е к (   й ы н н о и ц а у т и С     о п м у к и т к а р П ч а д а з 19 36 180 5 Форма ТКУ Форма ПА я с х и щ ю а ч у б о   а т о б а р   я а н ь л е т я о т с о м а С 142 100 баллов Зачет с  оценкой IV. Содержание дисциплины Тема 1. Основные понятия теории вероятностей  Введение.  Цели   и   задачи   дисциплины.  Случайные   явления   и возможность их изучения. Понятия опыта и события. События: случайные, достоверные,   невозможные,   практически   достоверные   и   практически  Диаграмма   Венна.   Свойства   событий:   несовместные, невозможные. совместные,   образующие   полную   группу,   равновозможные, противоположные   события.   Пространство   элементарных   событий. Операции   над   событиями:   умножение,   объединение, дополнение, разность.  Понятия частоты, вероятности, условной частоты и условной   вероятности   события.   Устойчивость   частот.   Понятие   сходимости частоты   по   вероятности   к   вероятности   события.  Случаи   и   их   свойства. Статистическая,   классическая,   геометрическая   вероятности.   Зависимые   и независимые события.  Комбинаторика в вероятностных задачах.   сложение, Литература по теме 1: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая 10 статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 1. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема 2. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Теоремы умножения и сложения вероятностей событий. Следствия теоремы сложения вероятностей.  Вероятность появления события хотя бы один раз в нескольких независимых опытах.  Формула полной вероятности. Априорные   вероятности.   Формула   Бейеса.  Апостериорные   вероятности. Повторение опытов в неизменных и изменяющихся условиях. Литература по теме 2: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 2­4. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема 3. Случайные величины и векторы Понятие   случайной   величины   (СВ),   её   связь   с   пространством элементарных   исходов   опыта.   Дискретные   и   непрерывные   случайные величины.  Закон распределения случайной величины и его формы: ряд распределения,   функция   распределения,   плотность   вероятности,   их свойства   и   взаимосвязь.  Элемент   вероятности.   Вероятность   попадания случайной величины на отрезок.    ожидание   (МО), Математическое среднее квадратическое   отклонение   (СКО)   случайной   величины.  Моменты случайной   величины:   начальные,   центральные.   Характеристики   кривых распределений:   мода,   медиана,   асимметрия,   эксцесс.   Характеристики рассеивания результатов наблюдений: размах, квантиль.   дисперсия,   Практическая   интерпретация   случайного   вектора.   Законы распределения   случайного   вектора:   функция   распределения,   плотность вероятности, их свойства и взаимосвязь. Элемент вероятности, вероятность 11 попадания   в   область.   Корреляционный   момент,   коэффициент   корреляции. Корреляционная   и   нормированная   корреляционная   матрицы.   Свойства элементов матриц. Литература по теме 3: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 5, 6. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема4. Законы распределения случайных величин и векторов Биномиальное,   геометрическое   распределения. Определение   числовых   характеристик   дискретных   распределений  с помощью производящей функции. Пуассоновский поток и поле точек.   Пуассона,   равномерное, Экспоненциальное,   нормальное   распределения. Условия возникновения, числовые  характеристики.  Табличные   функции,  нормированная   нормальная связанные   с   нормальным   распределением: плотность   и   функция   распределения,   функция   Лапласа­Гаусса. Вероятность попадания нормальной случайной величины на отрезок. Правило трёх СКО. Многомерный,   двумерный   нормальный   случайный   вектор.   Эллипс рассеивания. Вероятности попадания в прямоугольник, квадрат, эллипс, круг, кольцо. Закон Релея. Литература по теме 4: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 4, 7. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема5. Функции случайных аргументов  Математическое ожидание и дисперсия функции случайных аргументов 12 (ФСА).   Определение   МО   и   дисперсии   ФСА   при   известном   законе распределения аргументов.  Теоремы о числовых характеристиках линейных ФСА: МО и дисперсия неслучайной   величины,   произведения   случайной   величины   на   неслучайную, суммы случайных величин, линейной функции случайных величин. Предельные   теоремы   теории   вероятностей.  Закон   больших   чисел. Неравенство   Чебышева   (лемма).   Теоремы   Чебышева,   Бернулли, Пуассона, Маркова. Центральная предельная теорема (Ляпунова). Литература по теме 5: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 8, 9. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема 6.  Выборочный метод в математической статистике Предмет   и   задачи   математической   статистики.  Генеральная совокупность,   выборка,   функция   правдоподобия,   способы   организации выборок.   Представление   статистических   данных   и   оценивание   закона распределения   генеральной   совокупности.   Основные   термины   и определения:   статистические   (выборочные)   данные,   вариационный   ряд, сгруппированный   статистический   ряд,   статистический   ряд   распределения, полигон частот, гистограмма, кумулята.    Литература по теме 6: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 9. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема 7. Статистики и оценки параметров распределений Понятия   статистики   и   оценки   параметра.  Свойства   оценок: несмещённость,   состоятельность,   эффективность.   Точность   (доверительный 13 интервал)   и   надёжность   (доверительная   вероятность)   оценок.   Точечные   и интервальные оценки.  Точечная   и   интервальная   оценки   вероятности.   Нормально распределённая   оценка   вероятности.   Геометрическая   интерпретация доверительного интервала. Генеральная и выборочная средняя величина. Точечная   и   интервальная   оценки   математического   ожидания   (МО)   при известной и неизвестной точности измерений (СКО).  Генеральная   и   выборочная   дисперсии.   Несмещённая   оценка дисперсии.  Точечная   и   интервальная   оценки   дисперсии   при   известном   или неизвестном МО, при малом и большом числе испытаний.  Оценки вероятностных характеристик двумерного случайного вектора: МО,   дисперсий,   корреляционных   моментов,   коэффициентов   корреляции. Оценка элементов корреляционной и нормированной корреляционной матриц.  Точность оценки параметров распределений и число испытаний.  Литература по теме 7: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 9. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html Тема 8. Статистическая проверка гипотез Понятие статистической проверки гипотез (СПГ). Смысл и процедура  Область   допустимых СПГ.   Статистические   критерии   качества   СПГ. значений   и   критическая   область   критерия   качества   СПГ.  Ошибки, допускаемые лицом, принимающим решения (ЛПР), при СПГ: ошибки первого и   второго   рода.   Вероятность   ошибки   ЛПР,   мощность   статистического критерия.  Проверка   непараметрических   гипотез:   критерии   согласия. Критерии хи­квадрат Пирсона, Колмогорова.  Проверка параметрических гипотез: сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей, сравнение двух МО при известных или неизвестных дисперсиях. Литература по теме 8: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  14 http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА, 2011, гл. 10­12. Интернет­ссылки: 1. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html V. Методические указания для обучающихся по освоению  дисциплины При   изучении   данной   дисциплины   используются   как   классические методы   обучения   (лекции,   практические   занятия),   так   и   различные   виды самостоятельной   работы   обучающихся   по   заданию   преподавателя,   которые направлены на развитие творческих качеств обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив.  В   процессе   преподавания   данной   дисциплины   используются   как классические   методы   обучения   (лекции,   практические   занятия),   так   и различные   виды   самостоятельной   работы   студентов   по   заданию преподавателя,   которые   направлены   на   развитие   творческих   качеств студентов и на поощрение их интеллектуальных инициатив.  В рамках данного курса используются такие активные и интерактивные формы работы, как: Активные формы обучения:  практикум по решению задач. Обучение   по   данной   учебной   дисциплине   предполагает   следующие формы занятий: – аудиторные занятия (лекции, практические занятия) под руководством преподавателя, –   обязательная   самостоятельная   работа   студента   по   заданию преподавателя,   выполняемая   во   внеаудиторное   время,   в   том   числе   с использованием технических средств обучения, – индивидуальная самостоятельная работа студента под руководством преподавателя, – индивидуальные консультации.  В рамках данного курса используются такие активные формы работы, как:   проблемная   лекция,   лекция   с   заранее   запланированными   ошибками,   а также интерактивные формы обучения: работа в малых группах, сообучение (коллективное обучение в сотрудничестве),  обсуждение результатов работы, 15 коллоквиум. Методические   указания   для   обучающихся   при   работе   над конспектом лекций во время проведения лекции Лекция   –   систематическое,   монологическое изложение преподавателем учебного материала, как правило, теоретического характера.   последовательное, В   процессе   лекций   рекомендуется   вести   конспект,   что   позволит впоследствии вспомнить изученный учебный материал, дополнить содержание при самостоятельной работе с литературой, подготовиться к экзамену. Следует   также   обращать   внимание   на   категории,   формулировки, раскрывающие   содержание   тех   или   иных   явлений   и   процессов,   научные выводы   и   практические   рекомендации,   положительный   опыт   в   ораторском искусстве.   Желательно   оставить   в   рабочих   конспектах   поля,   на   которых делать   пометки   из   рекомендованной   литературы,   дополняющие   материал прослушанной   лекции,   а   также   подчеркивающие   особую   важность   тех   или иных теоретических положений.  Любая   лекция   должна   иметь   логическое   завершение,   роль   которого выполняет   заключение.   Выводы   по   лекции   подытоживают   размышления преподавателя   по   учебным   вопросам.   Формулируются   они   кратко   и лаконично, их целесообразно записывать. В конце лекции, обучающиеся имеют возможность задать вопросы преподавателю по теме лекции. Методические рекомендации по выполнению практикумов по  решению задач Практикумы выполняются в соответствии с рабочим учебным планом при последовательном изучении тем дисциплины. Порядок проведения практикума. 1. Получение задания и рекомендаций к выполнению практикума. 2. Настройка инструментальных средств, необходимых для выполнения  практикума. 3. Выполнение заданий практикума. 4. Подготовка отчета в соответствии с требованиями. 5. Сдача отчета преподавателю. В ходе выполнения практикума необходимо следовать технологическим инструкциям,   использовать   материал   лекций,   рекомендованных   учебников, источников   интернета,   активно   использовать   помощь   преподавателя   на занятии. Требования к оформлению результатов практикумов. При подготовке отчета: изложение материала должно идти в логической последовательности,   отсутствие   грамматических   и   синтаксических   ошибок, правильное оформление рисунков. 16 Методические   указания   для   обучающихся   по   организации самостоятельной работы Самостоятельная работа обучающихся направлена на самостоятельное изучение отдельных тем/вопросов учебной дисциплины.  Самостоятельная   работа   является   обязательной   для   каждого обучающегося, ее объем по дисциплине «Теория информационных процессов и систем» определяется учебным планом.  При   самостоятельной   работе   обучающиеся   взаимодействуют   с рекомендованными материалами при минимальном участии преподавателя. Работа с литературой Самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, научной, справочной и популярной литературой, материалами периодических изданий и Интернета,   статистическими   данными   является   наиболее   эффективным методом   получения   знаний,   позволяет   значительно   активизировать   процесс овладения информацией, способствует более глубокому усвоению изучаемого материала,   формирует   у   обучающихся   свое   отношение   к   конкретной проблеме. Изучая материал по учебной книге (учебнику, учебному пособию,  монографии, и др.), следует переходить к следующему вопросу только после  полного уяснения предыдущего, фиксируя выводы и вычисления, в том числе  те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного  вывода. Особое внимание обучающийся должен обратить на определение  основных понятий курса. Надо подробно разбирать примеры, которые  поясняют определения. Полезно составлять опорные конспекты. Выводы, полученные в результате изучения учебной литературы,  рекомендуется в конспекте выделять, чтобы при перечитывании материала  они лучше запоминались. При самостоятельном решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.  Вопросы,   которые   вызывают   у   обучающегося   затруднение   при подготовке,   должны   быть   заранее   сформулированы   и   озвучены   во   время занятий в аудитории для дополнительного разъяснения преподавателем. Методические указания для обучающихся по подготовке доклада­ презентации Доклад   –   это   официальное   сообщение,   посвященное   заданной   теме, которое   может   содержать   описание   состояния   дел   в   какой­либо   сфере деятельности или ситуации; взгляд автора на ситуацию или проблему, анализ и возможные   пути   решения   проблемы. Если   письменный   текст   обязан   быть правильно   построен   и   оформлен,   грамотно   написан   и   удовлетворительно 17 раскрывать тему содержания, то для устного сообщения этого мало. Устное выступление должно хорошо восприниматься на слух, то есть быть интересно поданным для аудитории.  Для подготовки презентации необходимо собрать и обработать начальную информацию.  Последовательность подготовки презентации:  1. Четко сформулировать цель презентации: вы хотите свою аудиторию мотивировать,   убедить,   заразить   какой­то   идеей   или   просто   формально отчитаться.  2.   Определить   каков   будет   формат   презентации:   живое   выступление (тогда,   сколько   будет   его   продолжительность)   или   электронная   рассылка (каков будет контекст презентации).  3.   Отобрать   всю   содержательную   часть   для   презентации   и   выстроить логическую цепочку представления.  4. Определить ключевые моменты в содержании текста и выделить их.  5.   Определить   виды   визуализации   (картинки)   для   отображения   их   на слайдах в соответствии с логикой, целью и спецификой материала.  6. Подобрать дизайн и форматировать слайды (количество картинок и текста, их расположение, цвет и размер).  7. Проверить визуальное восприятие презентации.  К   видам   визуализации   относятся   иллюстрации,   образы,   диаграммы, таблицы. Иллюстрация – представление реально существующего зрительного ряда.  Практические советы по подготовке презентации:  готовьте   отдельно:   печатный   текст,   слайды   (10­15),   раздаточный материал;  обязательная информация для презентации: тема, фамилия и инициалы выступающего;   план сообщения;   краткие выводы из всего сказанного;   список использованных источников. Доклад – сообщение по заданной теме, с целью внести знания из  дополнительной литературы, систематизировать материл, проиллюстрировать  примерами, развивать навыки самостоятельной работы с научной литературой, познавательный интерес к научному познанию.  Тема   доклада   должна   быть   согласованна   с   преподавателем   и соответствовать   теме   учебного   занятия.   Материалы   при   его   подготовке, должны соответствовать научно­методическим требованиям и быть указаны в докладе.   Необходимо   соблюдать   регламент,   оговоренный   при   получении 18 задания. Иллюстрации должны быть достаточными, но не чрезмерными. Работа студента над докладом включает отработку умения самостоятельно обобщать материал и делать выводы в заключении, умения ориентироваться в материале и   отвечать   на   дополнительные   вопросы   слушателей,   отработку   навыков ораторства, умения проводить диспут.  Докладчик должен знать и уметь:   сообщать новую информацию;   использовать   технические   средства;   хорошо   ориентироваться   в   теме всего семинарского занятия;   дискутировать   и   быстро   отвечать   на   заданные   вопросы;   четко выполнять установленный регламент (не более 10 минут);   иметь представление о композиционной структуре доклада и др.   Структура выступления.  Вступление должно содержать:   название, сообщение основной идеи;   современную   оценку   предмета   изложения,   краткое   перечисление рассматриваемых вопросов;  живую интересную форму изложения;  акцентирование   внимания   на   важных   моментах,   оригинальность подхода.  Основная часть, в которой выступающий должен глубоко раскрыть суть затронутой темы, обычно строится по принципу отчета. Задача основной части – представить достаточно данных для того, чтобы слушатели заинтересовались темой   и   захотели   ознакомиться   с   материалами.   При   этом   логическая структура теоретического блока не должны даваться без наглядных пособий, аудиовизуальных   и   визуальных   материалов.   Заключение   –   ясное,   четкое обобщение и краткие выводы, которых всегда ждут слушатели. Методические рекомендации по написанию эссе. Эссе – короткая работа. Объем эссе составляет от трех до пяти страниц машинописного   текста.   Начинать   необходимо   с   главной   идеи   или   яркой фразы, которая сразу же должна захватить внимание читателя. Здесь часто применяется сравнительная аллегория, когда неожиданный факт или событие связывается с основной темой эссе. Эссе не может содержать много тем или идей (мыслей). Оно отражает и развивает только один вариант, одну мысль. Эссе ­ есть ответ на этот единственный вопрос. Следует отвечать четко на этот поставленный вопрос и не отклонятся от темы. Текст эссе должен быть динамичным  и содержать что­то новое или любопытное для читателя.  При этом   содержание   вопроса   может   охватывать   широкий   спектр   проблем, требующих привлечения большого объема литературы. В этом случае можно принять   решение,   согласно   которому   следует   освещать   и   иллюстрировать 19 только   определенные   аспекты   выбранной   темы.   После   этого   не   возникнет никаких   сложностей,   если   автор   не   будет   выходить   за   рамки   очерченного круга,   а   выбор   будет   вполне   обоснован   и   подкреплен   соответствующими доказательствами. Исходя из решения о том, как следует отвечать на вопрос, автор   должен   составить   план/структуру   своего   ответа.   Структура   любой письменной   работы,   в   том   числе   и   эссе,   как   правило,   состоит   из   таких компонентов,   как   введение,   основная   часть   (развитие   темы),   заключение. Введение содержит краткое обоснование актуальности и важности выбранной для исследования проблемы. Во введении необходимо сформулировать цель и задачи   исследования,   а   также   дать   краткое   определение   используемых   в работе понятий и ключевых терминов. Однако их количество в эссе не должно быть излишне большим (как правило, три или четыре). Основная часть работы предполагает   развитие   авторской   аргументации   и   анализа   исследуемой проблемы,   а   также   обоснование   выводов,   на   основе   имеющихся   данных, теоретических   положений   и   фактологического   материла.   При   изложении основного   материала   эссе,   необходимо   писать   кратко,   четко   и   ясно. Заключительная   часть   эссе   должна   содержать   обобщение   результатов исследования в форме краткого изложения основных аргументов автора. При этом следует помнить, что заключение должно быть очень кратким (0,5 – 1,0 страница). Методические указания для обучающихся по подготовке и выполнению теста. Тестирование   позволяет   путем   поиска   правильного   ответа   и   разбора допущенных ошибок лучше усвоить тот или иной материал. Тестовые задания позволяют оценить знания студентов по всему курсу. Данные тесты могут использоваться: – студентами при подготовке к зачету в форме самопроверки знаний; –   преподавателями   для   проверки   знаний   в   качестве   формы промежуточного контроля на семинарских занятиях; – для проверки остаточных знаний студентов, изучивших данный курс. Тестовые   задания   рассчитаны   на   самостоятельную   работу   без использования вспомогательных материалов. То есть при их выполнении не следует пользоваться учебниками или конспектами лекций и т.д. Для выполнения тестового задания, прежде всего, следует внимательно прочитать   поставленный   вопрос.   После   ознакомления   с   вопросом   следует приступать   к   прочтению   предлагаемых   вариантов   ответа.   Необходимо прочитать все варианты и в качестве ответа следует выбрать лишь один индекс (цифровое   обозначение),   соответствующий   правильному   ответу.   Тесты составлены таким образом, что в каждом из них правильным является лишь один из вариантов. Выбор должен быть сделан в пользу наиболее правильного ответа. На   выполнение   теста   отводится   ограниченное   время.   Оно   может 20 варьироваться   в   зависимости   от   уровня   тестируемых,   сложности   и   объема теста.   Как   правило,   время   выполнения   тестового   задания   определяется   из расчета 30­45 секунд на один вопрос. Критерии   оценки   выполненных   студентами   тестов   определяются преподавателем самостоятельно. Рекомендуются следующие критерии оценки: 85% – 100% правильных ответов – «отлично»; 66% – 84% правильных ответов – «хорошо»; 50% – 65% правильных ответов – «удовлетворительно»; менее 50% правильных ответов – «неудовлетворительно». При   подведении   итогов   по   выполненной   работе   необходимо проанализировать   допущенные   ошибки,   прокомментировать   имеющиеся   в тестах неправильные ответы. Перечень учебно­методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине Наименование темы Дидактические единицы, вынесенные на самостоятельное изучение 1 2 Тема 1. Основные понятия теории  вероятностей. Тема 2. Основные теоремы и формулы теории  вероятностей. Понятие сходимости  частоты по  вероятности к  вероятности события.  Случаи и их свойства.  Повторение опытов в  неизменных и  изменяющихся  условиях. Тема 3. Случайные  величины и  векторы. Тема 4. Законы  распределения  случайных  величин и  векторов. Тема 5. Функции  случайных  аргументов Характеристики  рассеивания  результатов  наблюдений: размах,  квантиль. Вероятности попадания в прямоугольник,  квадрат, эллипс, круг,  кольцо. Закон Релея. Неравенство Чебышева (лемма). Теоремы  Чебышева, Бернулли,  Пуассона, Маркова.  Центральная  Формы самост. работы Учебно­ методическое  обеспечение Форма контроля 4 5 Написание конспекта Литература к теме 1 Написание конспекта Литература к теме 2 Написание конспекта. Литература к теме 3 Написание конспекта  Литература к теме 4 Написание конспекта Литература к теме 5 21 6 Конспект Отчет по  практикуму Конспект Отчет по  практикуму Конспект Отчет по  практикуму  Конспект Отчет по  практикуму Конспект Отчет по  практикуму Подготовка к  контрольной Наименование темы Дидактические единицы, вынесенные на самостоятельное изучение Формы самост. работы Учебно­ методическое  обеспечение Форма контроля 1 2 4 5 6 работе Конспект Отчет по  практикуму Конспект Отчет по  практикуму Написание конспекта Литература к теме 6 Написание конспекта Литература к теме 7 Тема 6. Выборочный метод в математической  статистике Тема 7. Статистики и  оценки параметров распределений Тема 8. Статистическая  проверка гипотез предельная теорема  (Ляпунова). вариационный ряд,  сгруппированный  статистический ряд,  статистический ряд  распределения  Оценки вероятностных  характеристик  двумерного случайного вектора: МО,  дисперсий,  корреляционных  моментов,  коэффициентов  корреляции. Оценка  элементов  корреляционной и  нормированной  корреляционной  матриц. Проверка  параметрических  гипотез: сравнение  двух дисперсий  нормальных  генеральных  совокупностей,  сравнение двух МО при известных или  неизвестных  дисперсиях. Написание конспекта Литература к теме 8 Конспект Отчет по  практикуму Подготовка к  контрольной  работе VI. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины Основная литература: 1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая  статистика: учебник. – М.: Юнити­Дана, 2015, 352 с.  http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=436721&sr=1 2. Мхитарян В.С., Астафьева В.В., Миронкина Ю.Н., Трошин Л.И. Теория  22 вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательство МФПА,  2011, 328 с. Дополнительная литература: 1. Монсик   В.Б.,   Скрынников   А.А.,   Вероятность   и   статистика.   –   М.: Издательство БИНОМ, лаборатория знаний, 2011, 380 с. 2. Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. – М.: Издательство ЮРАЙТ, 2010, 400 с. 3. Вентцель   Е.С.,   Теория   вероятностей.   –   М.:   Издательство   АКАДЕМИЯ, 2008, 576 с.  VII. Перечень ресурсов информационно­коммуникационной сети «Интернет», необходимой для освоения дисциплины № Наименование портала (издания, курса, документа) 1. Теория вероятностей. Базовые термины и понятия 2. Национальный Открытый университет 3. 4. Единый портал интернет­тестирования в сфере образования Российское образование. Федеральный портал 5. Электронный учебник по статистике Ссылка  .  ru   /  .ru/ http://www.mathprofi.ru/  .  intuit http     ://   www   edu  http://www.   http://www.i­exam.ru/ http  extbook  .  statsoft    ://   www   .  ru   /  home  /  t   VIII. Описание материально­технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине Требования к аудиториям (помещениям) для проведения  занятий:  лекционные   аудитории   с   компьютерным   и   видеопроекционным оборудованием для презентаций с выходом в Интернет;  компьютерный класс с установленным программным обеспечением. Демонстрационный материал: Слайды согласно тематическому плану занятий. IX. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине   Microsoft Office;  Система дистанционного обучения e­education. 23 X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине Промежуточная   аттестация   по   дисциплине  «Теория   вероятностей   и математическая статистика» проводится в форме экзамена. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы Завершающий этап Валютные операции банка Технологическая практика** Преддипломная практика** Выпускная квалификационная работа*** Финансовые кризисы Антикризисное управление Практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности** Технологическая практика** Преддипломная практика** Выпускная квалификационная работа*** Компетенция Начальный этап ОПК­3 Способность  выбрать  инструментальные  средства для  обработки  экономических данных в соответствии с  поставленной задачей,  проанализировать  результаты расчетов и  обосновать  полученные выводы ПК­1 Способность  собрать и  проанализировать  исходные данные,  необходимые для  расчета  экономических и  социально­ экономических  показателей,  характеризующих  деятельность  хозяйствующих  субъектов Теория вероятностей и математическая статистика Линейная алгебра Математический анализ Статистика Деньги, кредит, банки Рынок ценных бумаг Теория вероятностей и математическая статистика Финансовая математика  Линейная алгебра Математический анализ Микроэкономика Макроэкономика Основной этап Теория игр Международные валютно­кредитные и финансовые отношения  Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности Финансовый анализ  Методы оптимальных решений Практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности** Теория игр Корпоративные финансы Теория отраслевых рынков  Банковское дело Национальная экономика Практика по получению первичных профессиональных умений и навыков, в том числе первичных умений и навыков научно­ исследовательской деятельности** 24 ПК­4 Способность на  основе описания  экономических  процессов и явлений  строить стандартные  теоретические и  эконометрические  модели, анализировать и содержательно  интерпретировать  полученные  результаты Теория вероятностей и математическая статистика Линейная алгебра Математический анализ Теория игр Практика по получению первичных профессиональных умений и навыков, в том числе первичных умений и навыков научно­ исследовательской деятельности** Макроэкономическое планирование и прогнозирование Эконометрика Финансовый анализ Выпускная квалификационная работа*** Показатели и критерии оценивания на различных этапах формирования компетенций В   отношении   компетенции  «Способность   выбрать инструментальные   средства   для   обработки   экономических   данных   в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы».  ОПК­3 Показатель оценивания Пороговый  (удовлетворительно) Базовый (хорошо) Критерий оценивания  Этап формирования Начальный Начальный Знает:  основы теории  вероятностей, необходимые для решения  экономических задач. Знает:  основы теории  вероятностей, необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять аппарат теории  вероятностей для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):   основы теории  вероятностей,  необходимые для  решения  экономических  задач (З1). Знать (З):   основы теории  вероятностей,  необходимые для  решения  экономических  задач (З1). Уметь (У):   применять аппарат  теории  вероятностей для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У1). 25 Показатель оценивания Высокий (отлично) Критерий оценивания  Этап формирования Начальный Знает:  основы теории  вероятностей, необходимые для решения  экономических задач. Умеет:  применять аппарат теории  вероятностей для  теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Владеет:  навыками применения  современного  математического  инструментария для  решения экономических  задач. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Знать (З):   основы теории  вероятностей,  необходимые для  решения  экономических  задач (З1). Уметь (У):   применять аппарат  теории  вероятностей для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У1). Владеть (В):   навыками  применения  современного  математического  инструментария  для решения  экономических  задач (В1). В   отношении   компетенции  собрать   и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и   социально­экономических   показателей,   характеризующих   деятельность хозяйствующих».  ПК­1  «Способность Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Критерий оценивания  Этап формирования Пороговый  (удовлетворительно) Знать (З):   основы теории  математической  статистики,  необходимые для  решения  Знает:  основы теории  математической  статистики, необходимые  для решения  экономических задач. Начальный 26 Показатель оценивания Базовый (хорошо) Высокий (отлично) Критерий оценивания  Этап формирования Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине экономических  задач (З2). Начальный Начальный Знает:  основы теории  математической  статистики, необходимые  для решения  экономических задач. Умеет:  применять аппарат  математической статистики для теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Знает:  основы теории  математической  статистики, необходимые  для решения  экономических задач. Умеет:  применять аппарат  математической статистики для теоретического и  экспериментального  исследования и решения  экономических задач. Владеет:  навыками анализа и  применения  математических моделей  для оценки состояния, и  прогноза развития  экономических явлений и  процессов (В2). Знать (З):   Уметь (У):   основы теории  математической  статистики,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). применять аппарат  математической  статистики для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У2). Знать (З):   основы теории  математической  статистики,  необходимые для  решения  экономических  задач (З2). Уметь (У):   Владеть (В):   применять аппарат  математической  статистики для  теоретического и  экспериментальног о исследования и  решения  экономических  задач (У2). навыками анализа и  применения  математических  моделей для оценки состояния, и  прогноза развития  экономических  явлений и  27 Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине процессов (В2). Критерий оценивания  Этап формирования В   отношении   компетенции  ПК­4  «Способность  на   основе   описания экономических   процессов   и   явлений   строить   стандартные   теоретические   и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты». Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине Пороговый  (удовлетворительно) Знать (З):   основные понятия  Базовый (хорошо) Высокий (отлично) построения  корреляционных  моделей (З3). Знать (З):   основные понятия  построения  корреляционных  моделей (З3). Уметь (У):   использовать  корреляционные  модели для расчета  экономической  эффективности (У3);  Знать (З):   основные понятия  методы теории  вероятностей (З3). Уметь (У):   использовать  математические  методы в  технических  приложениях (У3) Владеть (В):  методами  28 Критерий оценивания  Этап формирования Начальный Начальный Начальный Знает:  основные понятия  построения  корреляционных моделей Знает:  основные понятия  построения  корреляционных моделей  Умеет:  использовать  корреляционные модели  для расчета экономической эффективности   Знает:  основные понятия методы  теории вероятностей. Умеет:  использовать  математические методы в  технических приложениях;  Владеет:  Методами математической  статистики для оценки  экономической  эффективности Критерий оценивания  Этап формирования Показатель оценивания Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине математической  статистики для  оценки  экономической  эффективности (В3);   Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания № п/п Наименование оценочного средства Краткая характеристика оценочного средства Шкала оценки, балл Критерии оценивания компетенции Текущий контроль успеваемости ОПК­2 (З1; У1; В1) ПК­6 (З2; У2; В2) ПК­7 (З3; У3; В3) ОПК­2 (З1; У1; В1) ПК­6 (З2; У2; В2) ПК­7 (З3; У3; В3) 1. Тестовые задания Тест состоит из 20  заданий с одним или  несколькими  вариантами  правильного ответа 2. Практикум по  решению задач Практическое занятие,  проводимое письменно  по выданному  преподавателем  заданию. «6­7» – верные ответы  составляют более  90% от общего  количества; «4­5» – верные ответы  составляют более  80% от общего  количества; «1­3» – более 50%  правильных ответов Отчет по практикуму «4­5» – практикум выполнен  верно в срок,  представлен  правильно  оформленный отчет. «2­3» – практикум выполнен  верно в срок,  представлен неполный  отчет, имеются  ошибки, не влияющие  на логику и алгоритм  расчета. «1» – практикум выполнен в  срок и содержит  концептуальные  ошибки. «0» – практикум не выполнен. 29 3. Семинар Дискуссия Включение  обучающихся в процесс обсуждения спорного  вопроса, проблемы 4. Контрольная работа Два вопроса, при ответе на которые необходимо аргументировать выбор  ответа, и задача 5. Конспект Продукт  самостоятельной  работы студента,  представляющий собой краткое логичное  изложение в  письменном виде  основных идей  исторического  материала, заданного  для самостоятельного  ознакомления и  изучения. ОПК­2 (З1; У1; В1) ПК­6 (З2; У2; В2) ПК­7 (З3; У3; В3) ОПК­2 (З1; У1; В1) ПК­6 (З2; У2; В2) ПК­7 (З3; У3; В3) ОПК­2 (З1; У1; В1) ПК­6 (З2; У2; В2) ПК­7 (З3; У3; В3) «2» –   активное участие в  дискуссии,  обсуждение 2 и более  выступлений, точка  зрения  аргументирована и  обоснована;  «1» –   обсуждение 1  выступления, ответы  построены в основном логично,  недостаточная  аргументация «6» –   верные ответы  составляют более  90% от общего  количества; «5­3» – верные ответы  составляют 80­50%  от общего  количества; «3­0» – менее 50%  правильных ответов. «2» – грамотное, логически  стройное изложение, без  пропусков, основных идей  исторического материала,  заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Материал представляет  единое логическое целое. «1» – грамотное, не вполне  логически стройное  изложение, с единичными  пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  «0» – не грамотное,  нелогичное изложение, с  пропусками, основных  идей исторического  материала, заданного для  самостоятельного  ознакомления и изучения.  Материал не представляет  единое логическое целое. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности, 30 № 1 характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы Форма Процедура оценивания Шкала и критерии оценки, балл контроля/ коды оцениваемых компетенций Экзамен / ОПК­3, ПК­1,  ПК­4 Выполнение обучающимся заданий  оценивается по следующей балльной  шкале:  1:0­30; 2:0­30; 3:0­40. «5» – 90­100 (отлично) – ответ  правильный, логически выстроен,  приведены необходимые формулы,  использована профессиональная  лексика. Задача решена правильно. Обучающийся правильно  интерпретирует полученный  результат. «4» – 70­89 (хорошо) – ответ в целом  правильный, логически выстроен,  приведены необходимые формулы,  использована професси­ональная  лексика. Ход решения задачи  правильный, ответ неверный.  Обучающийся в целом правильно  интерпретирует полученный  результат. «3» – 50­69 (удовлетворительно) –  ответ в основном правильный,  логически выстроен, приведены не  все необходимые формулы,  использована профессиональная  лексика. Задача решена частично. «2» – Менее 50  (неудовлетворительно) – ответы на теоретическую часть неправильные  или неполные. Задача не решена Экзамен представляет  собой выполнение  обучающимся заданий  билета, включающего в  себя: Задание № 1 –  теоретический вопрос на  знание базовых понятий  предметной области  дисциплины (курса), а  также позволяющий  оценить степень владения  обучающимся принципами предметной области  дисциплины (курса),  понимание их  особенностей и  взаимосвязи между ними; Задание № 2 – задание на  анализ ситуации из  предметной области  дисциплины (курса) и  выявление способности  обучающегося выбирать и  применять  соответствующие  принципы и методы  решения практических  проблем, близких к  профессиональной  деятельности; Задание № 3 – задание на  проверку умений и  навыков, полученных в  результате освоения  дисциплины (курса). результате освоения  дисциплины (курса)  (решение задачи).  Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для 31 процедуры оценивания знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач 1. Что называется случайным событием? Что называется, пространством  элементарных событий? 2. Что называется суммой и произведением событий А и В? Какие  события называются несовместными. 3. Что называется частотой события в данной серии испытаний? 4. Что называется вероятностью случайного события А? Сформулировать статистическое и классическое определения. Какое из этих определений  применимо для нахождения вероятности попадания в цель при стрельбе? Для  определения вероятности появления «6» при подбрасывании игральной кости? 5.Сформулировать аксиомы теории вероятностей. 6. Чему равна вероятность суммы произвольных событий? Несовместных  событий? 7. Чему равна вероятность произведения произвольных событий?  Независимых событий?  8. Какие испытания называются независимыми? Чему равна вероятность  того, что в n независимых опытах событие А наступит k раз?  9. Что называется случайной величиной (с.в.)?  10. Что называется рядом распределения дискретной с.в.?  11.Что называется функцией распределения с.в.? Где она определена?    0x,e1  0x,0 Какими свойствами обладает? Могут ли функции а) 2xy  , б)  y x      , в) 2xey  быть функциями распределения некоторой непрерывной с.в. 12. Дан график функции распределения дискретной                        F(x)                             1                           0,5                                  0,2                   x вс  ?  б) Чему равна  равна  (Р  )2/1  и  вс  .  а) Какие значения Принимает эта ?  в) Чему  (Р  )2 (Р  )0 ?                     ­1     0        1 13. Что характеризует математическое ожидание с.в.? Каковы его  свойства? 14. Что характеризует дисперсия с.в.? Каковы ее свойства? 15. Что называется плотностью вероятности с.в.? Каково основное  32 свойство плотности вероятности? Могут ли функции а)       быть плотностью вероятности некоторой непрерывной с.в.? 16. Какова связь между функцией и плотностью распределения с.в.? 17. Когда имеет место биномиальное распределение с.в.? Какое  2xy  , б)  1 2  y в)  y  x 1   x 0x,e  0x,0 ,  распределение приближает биномиальное, если математическое ожидание  мало отличается от дисперсии, т.е.  вероятности того, что  распределения Пуассона.  для биномиального распределения и  . Написать формулу вычисления  пр  k прq 18. Какая с.в. называется распределенной по нормальному закону? Какой  смысл имеют параметры плотности вероятности нормального распределения? 19.Какая функция называется функцией Лапласа? Как вычисляется  ва  ? вероятность попадания нормально распределенной с.в. на интервал  20. В чем состоит правило «трех сигм»? 21. Чем характеризуется распределение системы  ,  двух дискретных  с.в.? 22. Что называется функцией распределения системы  ,  двух  дискретных с.в.? Каковы ее свойства? 23. Что называется плотностью вероятности системы двух с.в.? Каково ее основное свойство? Какая связь между функцией и плотностью распределения системы двух с.в.? 24. Каковы числовые характеристики системы двух с.в.? Что они  характеризуют? 25. Какие с.в. называются некоррелированными? Являются ли  независимые с.в. некоррелированными? А наоборот? 26. Что называется композицией законов распределения? 27. Сформулировать законы больших чисел Чебышева и Бернулли. 28. Сформулировать центральную предельную теорему Ляпунова. 29. Что называется случайным процессом с дискретным временем? С  непрерывным временем? 30. Что называется математическим ожиданием, дисперсией и  корреляционной функцией случайного процесса? 31. Какой случайный процесс называется марковским? Что называется,  марковской цепью? 32. Что называется эмпирической статистической функцией  распределения с.в.? Как строится гистограмма? Что она характеризует? 33. Что называется доверительным интервалом для неизвестного  математического ожидания нормально распределенной с.в.? Как находится  доверительный интервал для оцениваемого параметра, при известном  среднеквадратическом отклонении  в том случае, когда  неизвестно, а  и 33 число испытаний невелико? 34. Какой вид имеет доверительный интервал для дисперсии? 35. Какова схема применения критерия согласия Пирсона? 36. Какова схема применения критерия согласия Колмогорова?  Типовые задания практикумов по решению задач 1) При бросании игральной кости вычислить вероятность события «Выпало 2 очка». 2) В   мешочке   имеется   5   одинаковых   кубиков.   На   всех   гранях   каждого кубка написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вытянутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». 3) По   цели   произведено   20   выстрелов,   причем   зарегистрировано   18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель. 4) В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу   извлекает  3   детали.  Найти   вероятность   того,   что   все   извлеченные детали окажутся окрашены. 5) В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат. 6) При бросании монеты вычислить вероятность выпадения «решки». 7) Пять   различных   книг   расставлены   наудачу   на   одной   полке.   Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом. 8) В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны   9   студентов,   найти   вероятность   того,   что   среди   отобранных студентов 5 отличников. 9) При   испытании   партии   приборов   относительная   частота   годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов. 10) В конверте среди 100 фотокарточек находится одна розыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. 11) В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг. 12) При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения четного числа очков. 13) В корзине находятся 20 красных, 15 зеленых шаров. Найти вероятность того, что из 4 выбранных наудачу шаров будет 3 зеленых. 14) На каждой из шести карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. После тщательного   перемешивания   берут   по   одной   карточке   и   кладут последовательно   рядом.   Найти   вероятность   того,   что   получится   слово «Биржа». 15) Отдел   технического   контроля   обнаружил   пять   бракованных   книг   в 34 партии   из   случайно   отобранных   100   книг.   Найти   относительную   частоту появления бракованных книг.  16) В партии из ста банок консервов 12 бракованных. Найти вероятность того, что три взятые банки консервов окажутся бракованными. 17) В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат. 18) При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения нечетного числа очков. 19) В   коробке   пять   одинаковых   изделий,  причем   три   из   них   окрашены. Наудачу   извлечены   два   изделия.   Найти   вероятность   того,   что   среди   двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие. 20) В   ящике   100   деталей,   из   них   10   бракованных.   Наудачу   извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных. 21) В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных   деталей.   Чему   равна   относительная   частота   появления стандартных деталей. 22) В   канцелярии   народного   суда   находится   26   дел,   среди   которых   17 уголовных.  Наудачу  для  проверки  документации  извлекается  5 дел. Найти вероятность того, что взятые наудачу дела окажутся не уголовными. 23) На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 40 деталей, второго ­ 35 деталей, третьего – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность, что она нестандартная? 24) В  урну, содержащую 2  шара,  опущен  белый  шар,  после  чего  из  нее наудачу извлечен  один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется   белым,   если   равновозможны   все   возможные   предположения   о первоначальном составе шаров (по цвету). 25) В   ящике   содержится   12   деталей,   изготовленных   на   заводе   №1,   20 деталей   на   заводе   №2   и   18   деталей   на   заводе   №3.   Вероятность   того,   что деталь,   изготовленная   на   заводе   №1,   отличного   качества,   равна   0,9;   для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны   0,6   и   0,9.   Найти   вероятность   того,   что   извлеченная   наудачу   деталь окажется отличного качества. 26) Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий   конвейер.   Производительность   первого   автомата   вдвое   больше производительности   второго.   Первый   автомат   производит   в   среднем   60% деталей   отличного   качества,   а   второй  –  84%.   Наудачу   взятая   с   конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 27) В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием   К,   30%   ­   с   заболеванием  L,   20%   ­   с   заболеванием   М. 35 Вероятность полного излечен6ия болезни К равна 0,7. Для болезней L и М эти вероятности   соответственно   равны   0,8   и   0,9.   Больной,   поступивший   в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. 28) В   пирамиде   5   винтовок,   три   из   которых   снабжены   оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. 29) В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автомата и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета   автомат   не   выйдет   из   строя,   равна   0,95.   для   полуавтомата   эта вероятность   равна   0,8.   Студент   производит   расчет   на   наудачу   выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. 30) В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95. Для винтовки без оптического прицела 0,8. Стрелок поразил мишень их наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? 31) Изделие   проверяется   на   стандартность   одним   из   двух   товароведов. Вероятность того, что изделие опадет к первому товароведу равна 0,55,а ко второму­   0,45.   Вероятность   того,   что   стандартное   изделие   будет   признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил первый товаровед. 32) Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту   перфокарт.   Вероятность   того,   что   первая   перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того,   что   ошиблась   первая   перфораторщица.   (предполагается,   что   оба перфоратора были исправны). Типовые задания контрольных работ: Задание   1.  В   цехе   работают   6   мужчин   и   4   женщины.   По   табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины. Задание   2.  В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг. Задание  3.  Была   проведена   одна   и   та   же   контрольная   работа   в   трех параллельных группах. В 1­ой группе, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, выполненных на «отлично»; во 20ой, где 28 учащихся – 6 работ, в 3­ей, где 27 36 учащихся – 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется выполненной на «отлично». Задание   4.  Число   грузовых   автомашин,   проезжающих   по   шоссе,   на котором   стоит   бензоколонка,   относится   к   числу   легковых   машин, проезжающих   по   тому   же   шоссе   как   3:2.   Вероятность   того,   что   будет заправляться   грузовая   машина   равна   0,1.   для   легковой   машины   эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. Задание 5.  В партии из 24 изделий шесть ­ дефектных. Произвольным образом   выбрали   пять   изделий.   Написать   закон   распределения   дискретной случайной величины X­ числа дефектных изделий из избранных. Типовые задания для проведения промежуточной аттестации обучающихся Промежуточная аттестация по дисциплине «Теория вероятностей и  математическая статистика» проводится в форме экзамена. Задания 1 типа Теоретические вопросы на знание базовых понятий предметной  области дисциплины: 1.   Пространство   элементарных   событий.   Вероятность   события   как функция на множестве элементарных событий. 2. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. 3.   Вычисление   вероятностей   сложных   событий   по   формулам   полной вероятности и Бейeса. Априорные и апостериорные вероятности. 4. Повторение опытов. Испытания Бернулли. Формулы для вычисления вероятностей   появления   события   m   раз   в   n   независимых   опытах   в неизменных и изменяющихся условиях опытов.  5. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения и его формы: ряд распределения, функция и плотность распределения. 6.   Начальные   и   центральные   моменты   случайной   величины. Математическое   ожидание,   дисперсия,   среднее   квадратическое   отклонение. Квантиль, процентная точка. 7. Многомерная случайная величина (случайный вектор). Ее плотность и функция распределения, начальные и центральные моменты. 8. Условный закон распределения, условные числовые характеристики случайных величин. Зависимость, независимость, корреляционная зависимость случайных   величин.   Корреляционный   момент   (ковариация),   коэффициент корреляции. 37 9.   Биномиальное   распределение   случайной   величины   и   его вероятностные характеристики. 10.   Распределение   Пуассона   и   его   вероятностные   характеристики.   Пуассоновское   приближение Пуассоновский   поток   и   поле   точек. биномиального распределения. 11. Геометрическое распределение и его вероятностные характеристики. 12.   Нормальное   (гауссово)   распределение   и   его   вероятностные характеристики.   Условия   возникновения   нормального   распределения (центральная предельная теорема). Нормальное приближение биномиального распределения. 13.   Табличные   функции,   связанные   с   нормальным   распределением: нормированные   нормальные   плотность   и   функция   распределения,   функция Лапласа­Гаусса.   Вычисление   вероятности   попадания   нормальной   случайной величины   на   отрезок   (симметричный   отрезок   относительно   центра рассеивания). 14.   Математическое   ожидание   и   дисперсия   функции   случайных аргументов,   суммы   случайных   аргументов,   линейной   функции   случайных аргументов. 15. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и его применение для доказательства теорем Чебышева и Маркова. 16.   Понятие   генеральной   совокупности.   Выборка   из   генеральной совокупности,   выборочный   метод   исследований.   Функция   правдоподобия. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.   Выборочная   функция   (статистика). 17.   Оценка   параметра   эффективность,   несмещенность,   Свойства   оценки: распределения. состоятельность. Доверительный интервал, доверительная вероятность. 18. Точечные и интервальные оценки параметров распределений: 18.1. вероятности случайного события; 18.2. математического ожидания случайной величины; 18.3 дисперсии случайной величины; 18.4.  корреляционного момента и коэффициента корреляции. 19. Статистическая проверка гипотез. Правило статистической проверки гипотез. Статистические критерии проверки гипотез. Ошибки, возникающие при проверке гипотез: ошибки первого и второго рода. Мощность и уровень значимости статистического критерия. 20.   Проверка   непараметрических   гипотез.   Статистики   хи­квадрат Пирсона, Колмогорова. Процедура проверки непараметрических гипотез. 21. Проверка параметрических гипотез: 21.1. сравнение двух дисперсий. 21.2. сравнение двух математических ожиданий.  Задания 2 типа Теоретические вопросы, позволяющие оценить степень владения,  38 обучающегося принципами предметной области дисциплины, понимание их  особенностей и взаимосвязи между ними: Задание 1. Сформулировать определения понятий ­  сочетания,  размещения, перестановки и решить задачи:  1)  Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр  1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?  2)  Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий  различного профиля можно составить для 5 претендентов?  3)  Сколькими  способами собрание, состоящее из 18 человек, может  выбрать из своего состава председателя собрания и секретаря? 4)  Сколькими способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30  человек? 5)  Cколько  двузначных  чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9  так,чтобы  в  каждом  числе не  было одинаковых  цифр? Задание 2. Классическое определение вероятности. Формула. Решить  задачи: 1) Пять различных книг расставлены  наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом. 2)    В  группе  12  студентов, среди  которых 8  отличников. По  списку наудачу отобраны 9 студентов, найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников. 3)   При   испытании   партии   приборов   относительная   частота   годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов. 4)  В конверте среди 100 фотокарточек находится одна розыскиваемая. Из   конверта   наудачу   извлекают   10   карточек.   Найти   вероятность   того,  что среди них окажется нужная. Задание 3. Сформулировать   теоремы умножения  и  сложения   вероятностей и решить задачи: 1)   Среди   100     лотерейных       билетов     есть   5   выигрышных.   Найти   окажутся   наудачу   выбранные     билета   вероятность   того,   что   выигрышными.    2   2) На стеллаже   библиотеки   в   случайном порядке   расставлено   15 учебников, причем   5 из   них   в   переплете. Библиотекарь берёт наудачу 3 учебника. Найти вероятность  того, что  хотя  бы один  из  взятых  учебников окажется  в  переплёте. 3) Два спортсмена   независимо   друг   от   друга   стреляют   по одной мишени. Вероятность попадания в  мишень  первого ­0.7,  второго­0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена? 4) Отдел технического контроля проверяет  на  стандартность  по  двум 39 параметрам  серию  изделий.  Было установлено, что  у 8  из   25  изделий  не выдержан   только первый параметр, у   6   изделий ­только   второй, а   у   3 изделий  не  выдержаны  оба   параметра. Наудачу берется  одно из  изделий. Какова вероятность  того, что  оно не  удовлетворяет  стандарту? 5)   От здания     аэровокзала к   трапам самолётов   отправились   два автобуса.     Вероятность своевременного   прибытия   каждого   автобуса   к трапам  равна  0,95. Найти  вероятность  того, что хотя  бы один  из  автобусов прибудет  вовремя.  Задание 4. Сформулировать теоремы Байеса, полной вероятности и  решить задачи: 1) На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 40 деталей, второго ­ 35 деталей, третьего – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность, что она нестандартная? 2)   В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен  один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется   белым,   если   равновозможны   все   возможные   предположения   о первоначальном составе шаров (по цвету). 3)   В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей   на   заводе   №2   и   18   деталей   на   заводе   №3.   Вероятность   того,   что деталь,   изготовленная   на   заводе   №1,   отличного   качества,   равна   0,9;   для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны   0,6   и   0,9.   Найти   вероятность   того,   что   извлеченная   наудачу   деталь окажется отличного качества. 4)  Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий   конвейер.   Производительность   первого   автомата   вдвое   больше производительности   второго.   Первый   автомат   производит   в   среднем   60% деталей   отличного   качества,   а   второй  –  84%.   Наудачу   взятая   с   конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 5)  В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием   К,   30%   ­   с   заболеванием  L,   20%   ­   с   заболеванием   М. Вероятность полного излечен6ия болезни К равна 0,7. Для болезней L и М эти вероятности   соответственно   равны   0,8   и   0,9.   Больной,   поступивший   в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. Задание 5.  Дать   определение   математического   ожидания   дискретной с.в. и решить задачи: 1) Найти   математическое   ожидание   дискретной   случайной величины X, заданной законом распределения: 40 X р 1 0 4 0 7 0 2 1 0     ,35 ,08   Найти   математическое   ожидание   дискретной   случайной ,22 ,35 2) величины Z,. если известны математические ожидания X и Y: Z=3X+2Y+8 М(Х)=3 3) M(Y)=4   В   комнате   установлены   4   независимо   работающих светильника. Вероятность перегорания лампочки  при включении 0,2. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X­ числа   перегоревших   лампочек   при  одном  одновременном   включении светильников. Задания 3 типа Задания на анализ ситуации из предметной области дисциплины и  выявление способности обучаемых выбирать и применять  соответствующие принципы и методы решения практических проблем,  близких к профессиональной деятельности: 1.  Электронный   блок   состоит   из   шести   независимо   работающих элементов,   вероятность   отказа   которых   равна   0,12.   Составить   закон распределения случайной величины X ­ числа отказов элементов блока. 2.  Построить   многоугольник   распределения   дискретной   случайной величины X, описанной в задаче первой. 3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от   другого.   Вероятность   отказа   любого   элемента   в   течение   некоторого времени равна 0,002. Найти вероятность того, что за указанное время откажут три элемента. 4. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна   0,8.   Стрелку   выдают   патроны   до   тех   пор,   пока   он   не   промахнется Требуется составить закон распределения дискретной случайной величины X ­ числа патронов, выданных стрелку. 5. В корзине пять белых и три черных шара. Наудачу извлекают четыре шара. Составить закон распределения случайной величины X ­ числа белых шаров   среди   выбранных.   Найти   числовые   характеристики   полученной случайной величины. 6.  Дискретная случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0;1). ( ) F x   0,   2 при x  / 6 1/ 6, xпри x    1, при x 3  2   3 41     7. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95  неизвестного математического ожидания, а нормально распределенного  признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее  квадратическое отклонение  =5, выборочная средняя х n=25 σ в=14 и объем выборки  8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10: Вари анта xi 2 Част ­ 2 1 1 2 2 3 2 4 2 5 1 ота ni Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально  распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней  при помощи доверительного интервала. 9. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99  неизвестного математического ожидания а нормально распределенного  признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее  σ квадратическое отклонение  , выборочная средняя х σ в=10,2, n=16; б)  =5, х в=16,8, n=25 =4, х в и объем выборки n: а)  σ 10.  По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой  физической величины найдены среднее арифметическое результатов  измерений хв=30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=6.  Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного  интервала с надежностью  =0,99. Предполагается, что результаты измерений  распределены нормально. γ 42