1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

ПЛАН УРОКА

Организационный момент.

Объявление темы и цели урока.

Актуализация знаний в форме самостоятельной  работы на решение простейших тригонометрических уравнений;

 Объяснение нового материала;

1) обобщение, выводы;

2)   изучение теории по учебнику.

Закрепление нового материала.

1) обучающая самостоятельная работа в тетрадях, упражнения на слайдах

Подведение итогов.

Домашнее задание.

1 мин

2 мин

7 мин

20мин

12 мин

2 мин

1 мин

Этапы урока

Содержание урока

Психолого-педагогическое обоснование

Учитель

Ученик

1. Оргмомент.

Здравствуйте, дети! Садитесь.

Начинаем урок алгебры. Прочтите эпиграф к сегодняшнему уроку.

Как вы его понимаете?

Дети читают.

- Узнаем что-то новое, нам ещё неизвестное.

-  С помощь изученного решим что-то другое и т.д.

Эмоциональный настрой на урок.

Вызываю мотивацию узнать новое.

2. Тема и цели урока.

Сегодня на уроке продолжим работу над изучением раздела «Тригонометрические уравнения», познакомимся с новыми видами тригонометрических уравнений, и выясним, по каким признакам их  подразделяют. Тема для вас очень важная, как вы думаете, почему я так считаю? К концу урока вы  должны решить самостоятельно три уравнения нового вида, и  если понадобится моя помощь, то не стесняйтесь обращаться за ней.

Возможные ответы:

Такие уравнения придется решать на выпускном экзамене…

Возможно пригодятся мне в техникуме или ВУЗе …

Согласно психологопедагогической характеристике у большей части класса социальная мотивация, поэтому для многих главная учебная цель - успешно сдать выпускные экзамены.

Мотивирую долговременное запоминание. Создаю условия для принятия цели.

3.  Актуализация знаний

 Любой день надо начинать с зарядки, а урок с разминки. Повторим пройденный материал. Установите соответствие между уравнениями и ответами:

УРАВНЕНИЯ:

1.      2 sinx=1

2.       sinx=1

3.      -2 cosx=1

4.      -2 sinx=1

5.      -2cosx=

6.      sin(2x)=0

7.      соs(2x)=1

8.      tg(4x)= -1

9.      cos2x=

10.  sin3x=

11.  cos3x=

12.  sin2x=

ОТВЕТЫ:

1.      +

2.     (-1)ⁿ   +,

3.      +,

4.     (-1)ⁿ   +,

5.     (-1)ⁿ   +,

6.     (-1)ⁿ   +,

7.      +

8.     (-1)ⁿ⁺¹   +,

9.      +

10. ,

11. ,

12.  +

Дети расставляют цифры в заранее приготовленные бланки, после меняются бланками и по слайду проводят взаимное оценивание:

12заданий – оценка 5

9-11 заданий – оценка 4

6-8 заданий – оценка 3

менее 6 заданий – оценка 2

Ученики выполняют упр. самостоятельно.

Проверка – взаимопроверка.

Формирую умение общаться друг с другом, посредством включения в групповую работу с распределением обязанностей, рецензирования ответов, организация взаимоконтроля и взаимопроверки.

 4. Работа по теме урока.

 Объяснение нового материала

чтение выводов по учебнику

обобщение, выводы

Рассмотрим основные виды тригонометрических урав­нений и способы их решений.   Для большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений, после  чего они сводятся к решению простейших уравнений вида sinx=а, cosх=а, tgх=а, ctgх=а.

Во время объяснения вы слушаете, а записи в тетради делайте после обсуждения pешения упражнения на доске. Каждый ученик должен вос­произвести это решение в тетради по памяти.

Учитель, проходя по классу, контролирует  процесс воспроизведения по памяти  записей в тетради и оказывает помощь детям с низким уровнем развития слуховой и визуальной памяти.

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим:

1)аsin² х + bsinх + с =0, а≠0 решаются заменой. Пусть t = sin х, 1,

Тогда уравнение примет вид

at²+bt+c=0

2) а cos²x + bsinх + с =0, а≠0  можно свести к квадратному относительно

sinх, если заменить  cos²x на 1 - sin² х

Аналогично поступают с уравнениями:

1)а cos²x + bcosx + с =0, а≠0

2) а sin²х + bcosx + с =0, а≠0 

Откройте учебники на 323-324 и найдите основные принципы решения уравнений, сводящихся к алгебраическим.

Далее на доске разбираются два примера.

а)8 cos²x +6sinx-3=0

Как это уравнение преобразовать к записи  с  использованием одной тригонометрической функции?

б)При каких значениях х принимают равные значения функции

у=1+ cosх;   у= - cos2х

 Уравнения вида

 asin х + Ьсоs х = 0,

asin² х + b sin х cos х + ccos² х = 0

В каждом слагаемом левых частей этих уравнений сумма степеней синуса и косинуса одна и та же. В первом уравнении она равна1. Такие уравнения называют однородными.

Уравнение

asin х + Ьсоs х = 0, называется однородным уравнением первой степени от­носительно sin х и cos х.

При а≠0 равносильно atg х + b = 0.

Уравнение

asin² х + b sin х cos х + ccos² х = 0

называется однородным уравнением второй степени от­носительно sin х и cos х.

Если а≠0, то разделим обе части уравнения на cos²х≠0. Получаем уравнение

atg² х + btg х + с = 0.

Если a= 0, то уравнение  принимает вид  b sin х cos х + c cos² х = 0

и решается разложением на множители левой части: cos х (bsin х + ccos х) = 0.

Уравнение вида

asin х + Ьсоs х = с,

где а и b не равны нулю одновременно, может быть све­дено к однородному, если sin х и cos х заменить по фор­муле двойного аргумента, а правую часть умножить на sin² +cos² 

Получаем:

2аsin cos  +b(cos² sin²

 sin² +cos² 

 (b + с) sin² - 2asin cos  - (b -c) cos² =0.

Далее уравнение решается как обычное однородное уравнение второй степени.

 Решите уравнение

1)3sin² х + sin х cos х =2cos² х.

Прежде, чем  дети поделят равенство на cos² х, учитель обосновывает то,

что cos х≠ 0.

Докажем методом от противного, что cos х≠ 0.

Пред­положим, что cos х =0, тогда из уравнения  видно, что и sin х = 0, что невозможно, так как не выполняется тож­дество sin² х + cos² х = 1.

2)Уравнение такого вида

 sin 2х + sin² х =0

является однородным, если sin2х заменить по формуле двойного аргумента, то есть привести уравнение к виду

2sin х cos х + sin² х = 0.

Здесь отсутствует член, содержащий cos²х. Поэтому, что­бы степень уравнения не понизилась, делим все на cos²х≠0;

уравнение tg²х + 2tgх = 0 - это неполное квадратное уравнение относительно tgх. Решаем его, разложив ле­вую часть на множители:

tg х (tg х + 2)  = 0.

Отсюда tg х = 0 или tg х = - 2,

то есть х= ,

или

х  = - arctg 2 + ,

Можно данное уравнение решать не переходя к тангенсу, а сразу разложить на множители.

3)Уравнение

3sin² х - 4sin х cos х + 5cos² х = 2

тоже приводится к однородному, если правую часть ум­ножить на выражение sin² х + cos² х, равное 1, Это урав­нение в результате приводится к виду

sin² х - 4sin х cos х + 3cos² х = 0.

4)Решите уравнение

1 + cos х +   cos 2х = 0.

Решение. Выражение 1 + cos2х заменим выражением 2cos² х. Тогда уравнение принимает вид

2cos² х + cos х =0.

Разложим левую часть этого уравнения на множители:

cos х (2cos х + 1)=0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, то есть

cos х = 0, х =

2cos х + 1 = 0,

 2cos х =  - 1,

 cos х = -

x =  +;

Ответ:

x =  +; х =

НА ЗАМЕТКУ:

1. При решении однородных уравнений обязательно нужно обосновывать, что cos х≠ 0. В этом примере дан один из способов обоснования, в других при­мерах это делается другим способом.

2.При решении уравнения можно не вводить новую переменную, а решать квадратное уравнение относитель­но

tg х.

3.При решении тригонометрических уравнений, ре­шаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: выне­сение общего множителя за скобки, группировка, приме­нение формул сокращенного умножения и деления, ис­кусственные приемы.

Во время объяснения у доски решения уравнений учащиеся ничего не записывают в тетрадях. Весь класс смотрит на доску и мысленно прора­батывает каждый этап решения. После объяснения учителя, один из учеников устно проговаривает последовательность решения. После чего решение с доски убирается, а учащиеся по памяти воспроизводят решения в тетради.

Дети работают с учебником, учатся находить и выделять главное.

Поиск нужного преобразования не займёт много времени у детей.

Заменяя cos²х  на 1- sin²х получаем

8(1- sin²х)+6 sinх-3=0

8 sin²х-6 sinх-5=0

Пусть sinх= t. Тогда

8t² – 6t-5=0

 t₁        t₂= -

Уравнение sinх=  корней не имеет, так как

sinх не может быть больше 1.

 sinх=

х=(-1)ⁿ⁺¹   +,

Ответ: х=(-1)ⁿ⁺¹   +,

Для нахождения значений х решим

тригонометрическое уравнение

1+ cosх = - cos2х

Дети подбирают нужное преобразование

cos2х=2 cos²х-1 и получают неполное квадратное уравнение относительно cosх, которое решается вынесением множителя за скобки.

2 cos²х+ cosх=0

Ответ: +;

В процессе лекции после решения каждого задания один ученик должен дать обобщение или сделать вывод. Другие ребята могут дополнять ответ.

Решение.

3sin² х + sin х cos х - 2cos² х = 0.                                 (*)

Имеем однородное тригонометрическое уравнение вто­рой степени. Разделив почленно обе части уравнения на cos² х, получим  3tg² х + tg х - 2  = 0.

Для решения уравнения обо­значим tg х через т, имеем

3 т ² +т-2=0

 т₁= -1; т₂=2/3

tg х = - 1,

 х = arctg (- 1) +  ;

х = -  +

tg х=2/3

х  = arctg 2/3 + ,

Ответ:

х = -  +

х  = arctg 2/3 + ,

Данное уравнение   дети дорешивают самостоятельно по ранее проговоренному алгоритму.

Ответ: х=  +

х  = arctg 3 + ,

Дети должны узнать по-другому сформулированное задание, воспользоваться предложенной заменой,

продолжить преобразования и назвать ответ. Задание конспектируют в тетрадь.

Ответ: +;

  Использую коллективный способ обучения старшеклассников - лекцию. Выбор репродуктивного метода работы как основного (повтори…, воспроизведи…) на уроке обусловлен психологопедагогической характеристикой класса.

Репродуктивный метод должен сочетаться с другими методами.

Для поиска решения задач использую частично-поисковый.

При его использовании школьники привлекаются к созданию гипотезы, решению задач путем наблюдения...

Учащиеся повторяют, сделанные выводы и записывают их в тетрадь. Работа по развитию зрительно-слуховой памяти.

Форма работы с заданием, если возникли затруднения, – это система наводящих вопросов:

Какие  формулы зависимости между синусом и косинусом вы знаете?

Какая нам подойдёт?  И т.д.

Погружение в нестандартную ситуацию.

1.                              Применение частично-поискового метода. Частично-поисковый метод учения является сочетанием восприятия объяснений учителя учеником с его собственной поисковой деятельностью по выполнению работ требующих самостоятельного прохождения всех этапов познавательного процесса.

2.                              Развитие мышления на этапе применения знаний к решению математических и учебных задач. Большинство справится с поставленной задачей, пусть и не с самого начала. Возникнет ситуация успеха.

Развиваю устную и письменную математическую речь на этапе применения знаний: формулировка приёмов, используемых при решении; правильное оформление решений типовых задач по образцам, приведённым в учебнике или тетради.

5. Закрепление нового материала.

  Обучающая самостоятельная работа с опорой на конспект .

Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой и объяснением (два ученика  выполняют работу на
крыльях доски). Во время работы учитель оказывает помощь слабоуспевающим учащимся.

 а)2 sin² х + sin х-1=0

б)3sin² х-5 sin х-2=0

а)3sin² х+ sinх cos х= 2cos² х

б)2cos² х-3 sin х cos х +sin² х=0

сos5х –cos3х=0

Дети выполняют задание с помощью   конспекта лекции и опорных карточек с формулами.

Дети выполняют обучающую самостоятельную работу по вариантам:

I под буквой а; II под буквой б. Третье задание для всех.

Обучаю  работе по алгоритму, работе с конспектом.

Обратная связь  даёт возможность выяснить, как дети поняли новый материал. Если задание решено не правильно, прошу объяснить, как ребёнок размышлял, помогаю найти ошибку. Организую помощь в деятельности ученика, проявляю внимание к его деятельности.

При такой форме работы у детей вырабатывается математическая зоркость, чувство взаимопомощи. Учу работать самостоятельно, пользуясь конспектом-подсказкой.

Обращаю внимание на то, что домашнее упражнение выполняется аналогично.

Индивидуальная работа с  учащимися.

6. Подведение итогов урока.

Что нового узнали на уроке?

Почему необходимо хорошо и быстро научиться распознавать  виды тригонометрических уравнений?

Как определить  какие преобразования лучше выполнить?

Учитель хвалит и оценивает ребят, справившихся с заданием обучающей самостоятельной работы лучше всего, не забывая подбодрить остальных, ведь впереди ещё два урока на отработку умений и навыков.

Ученики правильно делают выводы и обобщения, так как поняли новый материал.

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим:

1)аsin² х + bsinх + с =0, а≠0 решаются заменой.

2) а cos²x + bsinх + с =0, а≠0  можно свести к квадратному относительно

sinх, если заменить  cos²x на 1 - sin² х

Уравнение 

 asin х + b соs х = 0,

 называется однородным уравнением первой степени от­носительно sin х и cos х.

При а≠0 равносильно atg х + b = 0.

Уравнение

asin² х + b sin х cos х + ccos² х = 0

называется однородным уравнением второй степени от­носительно sin х и cos х.

Если а≠0, то разделим обе части уравнения на cos²х≠0. Получаем уравнение atg² х + btg х + с = 0.

Если a= 0, то уравнение  принимает вид  b sin х cos х + c cos² х = 0

и решается разложением на множители левой части: cos х (bsin х + ccos х) = 0.

-Это экономит время.

При решении однородных уравнений обязательно нужно обосновывать, что cos х≠ 0.

При решении уравнения можно не вводить новую переменную, а решать квадратное уравнение относитель­но

tg х.

При решении тригонометрических уравнений, ре­шаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: выне­сение общего множителя за скобки, группировка, приме­нение формул сокращенного умножения и деления, ис­кусственные приемы.

Организация самоанализа собственной деятельности учащихся.

Создание ситуации успеха и обстановки, вызывающей положительные эмоции

7. Домашнее задание.

Параграф 4(стр322-326) прочитать Стр327: № 50(4), 51(2;4),53(4). выполнять при помощи опорного конспекта сегодняшнего урока.

Дети записывают домашнее задание в дневник.

Рекомендации и советы на что обратить внимание,  мною  будут даны при контроле  выполнения самостоятельной работы в классе.