Конспект элективного курса по математике "Объединение и пересечение событий"(7 класс)

Объединение и пересечение событий. Несовместные события. Правило сложения вероятностей

Цель: изучение математического описания случайных событий

Задачи:- дать понятия: объединение и пересечение событий, несовместные события;

             - учить решать задачи на объединение и пересечение событий;

             - учить решать задачи на правило сложения вероятностей;

             - развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике.

Ход занятия

1.     Объединение и пересечение событий

Объединение событий

Пусть А и В – два события, относящиеся к одному случайному опыту. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию – объединению событий А и В, которое обозначается .

Событие  наступает, если наступает хотя бы одно из событий А или В, то есть это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.

Пример. Продавщица выбирает два костюма для того, чтобы поместить их в витрине магазина. В ассортименте есть черные (Ч) и синие (С) костюмы. Элементарные события этого случайного опыта представляют собой пары костюмов, которые мы можем условно обозначить парами букв, указывающих цвета выбранных костюмов: ЧС, ЧЧ, СС, СЧ.

Событие А состоит в том, что первый костюм черного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события ЧС и ЧЧ.

Событие В состоит в том, что второй костюм черного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события СЧ и ЧЧ.

Объединению событий  в этом случае благоприятствуют элементарные события, благоприятствующие хотя бы одному из двух событий А и В, то есть элементарные события ЧС, ЧЧ и СЧ (т. е. хотя бы один костюм черного цвета).

Задача

Событию А благоприятствуют 17 элементарных событий, событию В – 32 элементарных события. Причем, эти события не имеют общих  элементарных событий . Всего в опыте 60 различных элементарных событий.

а) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

б) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

в) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

г) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

Решение.

а) 60-32=28;

б) 60-17=43;

в) 60-(17+32)=11;

г) (28+43)-11=60.

Пересечение событий

Возьмем два события – А и В. Предположим, что есть элементарные события, благоприятствующие и А, и В. Взяв все эти элементарные события, мы получим новое событие – пересечение событий А и В, которое обозначается . Событие наступает, если наступают оба события – А и В.

Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными, а их пересечение – пустым множеством. Оно обозначается символом Æ. То есть =Æ.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0.

Пример. События «8 Марта приходится на пятницу» и «8 Марта приходится на субботу» являются несовместными в одном и том же году.

Задача

В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют 6 элементарных событий, событию В – 8 элементарных событий. При этом два элементарных события благоприятствуют событию .  Сколько элементарных событий благоприятствует событию:

а) «событие А наступает, а В – нет»;

б) «событие В наступает, а А – нет».

Решение.

а) 6-2=4;

б) 8-2=6.

2. Несовместные события. Правило сложения вероятностей

Несовместные события – это события, которые не имеют общих благоприятных элементарных событий.

Вероятность одновременного их наступления равна 0, то есть .

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей:.

Пример. Игральную кость бросают дважды. Событие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.

Решение:

Составим таблицу элементарных событий, благоприятствующих каждому их этих событий.

События А и В несовместны.

.

Тогда вероятность события  равна .

Задача

События А и В несовместны. Найдите вероятность их объединения, если:

а) Р(А)=0,2;  Р(В)=0,4;

б) Р(А)=0,5;  Р(В)=0,2;

в) Р(А)=1-a;  Р(В)=1-b, где , ;

г) Р(А)=;  Р(В)=ab, где .

Решение.

а)

б)

в)

г)

Домашнее задание.

Составить 5 различных задач на отыскание вероятности событий.