Конспект элективного курса по математике "Распределение вероятностей случайной величины"(7 класс)

Распределение вероятностей случайной величины. Математическое ожидание случайной величины

Цель: изучение случайных величин

Задачи:- дать понятия: случайная величина, распределение случайной величины;

              - учить приводить примеры случайных величин;

             - учить составлять таблицы распределения случайной величины;

             - развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике.

Ход занятия

1. Распределение вероятностей случайной величины

Случайная величина – это величина, значение которой зависит от случая. В ходе некоторого случайного опыта или наблюдения величина применяет то или иное значение. Рассмотрим следующие примеры.

1.      Наблюдая движение городского транспорта, замечаем, что число машин, проезжающих за один час через не6который перекресток, под влиянием случайных обстоятельств меняется в течении суток.

2.      Рост наудачу выбранного человека можно рассматривать как случайную величину, измеряя его, например в сантиметрах.

3.      Срок службы телевизора или стиральной машины – величина случайная. Срок службы отсчитывается в днях от момента выпуска или продажи. Свойства этой случайной величины важны, например, при установлении гарантийного периода на новый прибор.

Эти примеры отличаются по конкретному содержанию, но у них есть общие черты.

1)     В каждом примере речь идет о величине, которая характеризует некоторое случайное событие.

2)     Каждая из этих величин может принимать переменное числовое значение в зависимости от случайного исхода испытания.

Случайная величина возникает как результат случайного опыта. Предположим, что случайная величина Х в некотором опыте может принимать несколько значений. Чтобы полностью описать случайную величину Х, надо указать, с какими вероятностями она принимает эти значения. Указать вероятность каждого значения можно с помощью таблицы, графика, диаграммы или формулы.

Пример. Игральную кость бросают дважды. Результаты элементарных событий представлены в таблице. По горизонтали указано число очков, выпавшее на первой кости, по вертикали – на второй.

Сумма выпавших очков – случайная величина. Возможные значения этой суммы – натуральные числа от 2 до 12. составим таблицу распределения вероятностей случайной величины.

Эта информация называется законом распределения случайной величины. Закон распределения можно задавать разными способами. Основное свойство распределения заключается в том, что сумма всех вероятностей равна 1. Объясняется это тем, что сумма вероятностей значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента.

Такие случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами.

В природе значения многих случайных величин изменяются непрерывно. Например, время безотказной работы прибора или изделия (телевизора, автомобиля или стиральной машины) может оказаться любым (положительным) числом. Такие случайные величины называются непрерывными.

Вернемся к формуле Бернулли .

Пусть случайная величина S – число успехов в серии из n испытаний Бернулли. S может принимать значения от 0 до n. Тогда событие  состоит в том, что в результате серии испытаний наступило k успехов. Формула дает распределение случайной величины S. Это так называемое биномиальное распределение вероятностей, или распределение Бернулли.

Пример. Таблица распределения Бернулли для n=16 при p=0,5.

Как видно из таблицы, распределение вероятностей симметрично относительно значения 0,196. Это объясняется тем, что вероятности успеха и неудачи одинаковы: p=q=0,5.

Задача 

В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найдите ее.

Решение

1-0,05-0,08-0,2-0,2-0,08-0,05=0,34

2. Математическое ожидание случайной величины

Задача

Выпущено 100 лотерейных билетов. 40 билетов принесут их владельцам по 100 р., 10 билетов – по 500 р., 5 билетов – по 1000 р. Остальные билеты безвыигрышные. Какой средний выигрыш соответствует одному билету?

Выигрыш является случайной величиной, которая может принять значения 0, 100, 500, 1000 с вероятностями соответственно 0,45, 0,4, 0,1, 0,05. Распределение этой случайной величины можно представить таблицей:

Если покупатель приобрел бы все 100 билетов, то:

0 р. он выиграл бы 45 раз,

100 р. он выиграл бы 40 раз,

500 р. он выиграл бы 10 раз,

1000 р. он выиграл бы 5 раз.

Всего  рублей.

Выигрыш, соответствующий одному билету, в 100 раз меньше, он равен: (р.).

Для того, чтобы лотерея приносила доход своим устроителям, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш. Предположим, что билет будет стоить 150 р. Все билеты будут проданы за 15000 р., на выплату выигрышей будет потрачено 14000 р., таким образом, доход от лотереи составит 1000 р. Так устроены все лотереи: среднее значение выигрыша на один билет меньше цены этого билета.

Рассмотрим общий случай. Пусть Х – случайная величина. Распределение вероятностей случайной величины Х задано таблицей:

Математическим ожиданием случайной величины Х называют число

Математическое ожидание называют также ожидаемым значением случайной величины Х, средним значением случайной величины.

Свойства математического ожидания.

1.     Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(С)=С.

2.     Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

3.     Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: .

4.     Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Задача

В таблице дано распределение случайной величины Х. найдите математическое ожидание этой величины.

а)

б)

Домашняя работа

Составить таблицу распределения случайной величины и найти ее математическое ожидание.