Конспект элективного курса по математике "Случайные опыты"(7 класс)

Случайные опыты. Элементарные события.

Статистическая вероятность

Цель: изучение математического описания случайных событий

Задачи: - ввести понятия: случайный опыт, элементарные события, статистическая вероятность;

- учить решать задачи на выявление случайных, элементарных событий;

- развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике.

Ход занятия

1. Случайные опыты. Элементарные события

Как известно, в повседневной жизни, в практичной и научной деятельности мы наблюдаем различные явления, которые называем событиями.

Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Случайное событие является следствием очень многих обстоятельств, точно учесть которые невозможно. Например, если один раз бросить монету, то нельзя сказать, что упадет она «орлом» кверху или нет. Если же бросить монету 1000 раз, то примерно 500 раз появится «орел». Такие опыты проводились много раз. В таблице приведены результаты некоторых из них.

Бюффон Жорж Луи Леклерк (1707-1788) – французский естествоиспытатель, первым стал заниматься задачами на геометрические вероятности.

Пирсон Карл (Чарльз) (1857-1936) – английский математик, философ. Основные его труды относятся к математической статистике.

Случайное событие может осуществиться только при определенных условиях. Если нет таких условий, то нет и события. Например, «орел» появляется только при бросании монеты.

Те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие, принято называть случайным опытом, или экспериментом. В теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспериментом, в том числе: невозможные, которые никогда не могут произойти; достоверные, которые происходят при каждом эксперименте.

Каждый эксперимент имеет свой исход, то есть значение наблюдаемого признака, непосредственное получение по окончании эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.

Необходимо четко различать понятия исход эксперимента и событие.

Пример 1.  Бросание игральной кости. Исход эксперимента: номер верхней грани кубика; возможно 6 разных исходов.

События:

А – выпало четное число очков (исходы 2, 4, 6);

В – выпало число очков, кратное 3 (исходы 3, 6);

С – выпало более 4 очков (исходы 5, 6).

Если бросили кубик, и выпало 1, то не наступило ни одно из указанных событий; если выпало 6, то наступили все три события одновременно.

Таким образом, в результате опыта могут произойти различные случайные события. Событие А состоит из трех более простых событий, события В и С – из двух.

События, которые нельзя разделить на более простые, называют элементарными событиями.

В каждом опыте можно выделить такие элементарные события, из которых состоят все остальные события. В результате опыта наступает только одно элементарное событие (исход).

Пример 2.  1) Бросание одной игральной кости – 6 элементарных событий.

2)    Бросание двух игральных кубиков.

Элементарным событием в данном случае является пара чисел. Количество элементарных событий: .

Устное упражнение.

Определить вид события (невозможное, достоверное, случайное) в данном эксперименте: из списка журнала 9 класса выдран один ученик:

1)     это мальчик;

2)     выбранному ученику 15 лет;

3)     выбранному ученику 15 месяцев;

4)     этому ученику больше двух лет.

Решение задач

1.      Сколько элементарных событий при четырех бросаниях монеты?

Решение: одно бросание сопровождается двумя исходами, значит, при четырех бросаниях количество исходов .

Ответ: 16.

2.      Игральную кость бросают трижды. Найти число элементарных событий, при которых в сумме выпало:

а) 2 очка;

б) 3 очка;

в) 4 очка;

г) 18 очков.

Решение:

а) событие невозможное;

б) необходимый исход: 1 1 1 – возможен только один;

в) необходимые для условия задачи исходы: 1 1 2; 121; 211;

г) возможен только один исход: 6 6 6.

3. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

а) день рождения моего друга – число меньшее, чем 32; (д)

б) на уроках физкультуры ученики решали математические задачи; (н)

в) на уроках математики ученики решали примеры; (д)

г) из отрезка [1, 2] наугад взяли 1 число, оно оказалось смешанным; (с)

д) вверх подкинули монету, и она упала на землю «орлом». (с)

2. Статистическая вероятность

Событие называется случайным, если при некотором комплексе условий оно может либо произойти, либо не произойти.

Вероятность случайного события – это числовая мера его правдоподобности. Отношение числа тех опытов, в которых событие С произошло, к общему числу проведенных опытов называется частотой случайного события С в этой серии экспериментов.

Пусть проведена серия из n испытаний и подсчитано число случаев, в которых событие А произошло.

Относительной частотой случайного события называется отношение числа случаев появления этого события к общему числу испытаний.

То есть, относительная частота события – это дробь , в которой m – число тех испытаний, в которых событии произошло, n – общее число испытаний. Так как m и n – неотрицательные числа и , то относительная частота удовлетворяет неравенствам .

Событие называется достоверным, если в рассматриваемом испытании оно обязательно произойдет. Событие называется невозможным, если в рассматриваемом испытании оно произойти не может.

Очевидно, что относительная частота достоверного события равна единице, а относительная частота невозможного события равна нулю.

Таким образом, вероятность – это предельное значение частоты в бесконечной серии экспериментов.