Конспект элективного курса по математике "Средние величины"(7 класс)

Средние величины.

Цель: повторение, изучение и обобщение материала по теме «Описательная статистика»

Задачи: - научить учащихся вычислять моду, медиану, среднее арифметическое, размах числового ряда;

               - сформировать умение использовать характеристики для описания числовых рядов;

                - развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике. 

Ход занятия

1.     Средние величины

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследовании.

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Рассмотрим средние величины: среднее арифметическое, моду, медиану.

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

В статистике эту величину называют еще средним значением или выборочным средним. В большинстве реальных исследований именно среднее арифметическое несет наиболее важную информацию об изучаемом явлении. Достаточно вспомнить выражения: «средний балл», «средняя зарплата», «средний доход», хорошо знакомые и понятные большинству людей.

Рассмотрим пример: Пусть ученик получил в течение первой учебной четверти следующие отметки по алгебре: 5, 3, 4, 4, 5, 5 , 4, 5, 4, 5.

Найдем его средний балл, то есть среднее арифметическое всех членов ряда:  

Модой числового ряда называют число, которое встречается в этом ряду наиболее часто.

Найдем моду для нашего примера. Она равна  .

Именно эта величина, скорее всего, будет главным ориентиром для учителя при выставлении итоговой оценки.

В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды у ряда может вообще не быть. Например, тот же ученик получил по русскому языку следующие отметки: 3, 4, 2, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у него нет моды.

Ряд, имеющий единственную моду, называют унимодальным, а ряд, у которого нет моды (или мод несколько) – полимодальным.

Еще одной важной средней характеристикой числового ряда является его медиана – число ряда, которое делит его ровно пополам.

Медианой числового ряда называют число этого ряда (или полусумму двух его чисел), слева и справа от которого на числовой прямой лежит одинаковое количество членов ряда.

Чтобы найти медиану числового ряда, нужно его сначала упорядочить – составить ранжированный ряд. В нашем примере с оценками он выглядит так: 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Если ряд содержит нечетное число членов, то нужно взять число, которое находится посредине, если ряд содержит четное число членов, то нужно взять два средних числа и найти его полусумму, например,

Особенности средних величин

Далеко не всегда имеет смысл вычислять все три характеристики, так как во многих ситуациях какая-то характеристика может не иметь никакого содержательного смысла.

Задача

Гвозди в магазине продают на вес. Чтобы оценить, сколько гвоздей содержится в 1 килограмме, Вася решил найти массу одного гвоздя. Для повышения точности он взвесил на лабораторных весах несколько разных гвоздей и получил следующий ряд чисел (масса гвоздей в граммах): 4,47; 4,44; 4,64; 4,32; 4,45; 4,32; 4,54; 4,58.

Какую из характеристик ему следует взять в качестве оценки веса одного гвоздя? Найдем все три характеристики.

,

4,32; 4,32; 4,44; 4,45; 4,47; 4,54; 4,58; 4,64

Мо=4,32,              .

Самой подходящей по смыслу характеристикой является среднее арифметическое. Несильно отличается от него и медиана, которая тоже пригодна для оценки средней массы. А мода здесь не подойдет, поскольку все значения полученного ряда разные, и совпадение двух чисел 4,32 вряд ли отображает какую-то закономерность в изготовлении гвоздей.

Таким образом, при формальном существовании всех трех характеристик разумно использовать только одну них.

Приведем пример, когда мода содержит больше полезной информации.

Пример. Перед нами ранжированный ряд, представляющий данные о времени дорожно-транспортных происшествий на улицах города в течение одних суток (в виде ч: мин):

0:15, 0:55, 1:20, 3:20, 4:10, 6:30, 7:15, 7:45, 8:40, 9:05, 9:20, 9:40, 10:15, 11:30, 12:10, 12:15, 13:10, 13:50, 14:10, 14:20, 14:25, 15:20, 15:45, 16:20, 16:25, 17:05, 17:30, 17:45, 17:55, 18:05, 18:15, 18:45, 18:50, 19:45, 19:55, 20:30, 20:40, 21:30, 21:45, 22:10, 22:35.

Как и для любого ряда, в данном случае мы можем найти среднее арифметическое – оно равно 13:33. Однако, вряд ли имеет какой-то смысл утверждение типа «аварии на улицах города происходят в среднем в 13 часов 33 минуты». В то же время, если сгруппировать данные этого ряда в интервалы, можно найти такой временной интервал, когда происходит наибольшее количество ДТП (такую характеристику называют интервальной модой). Получив такую характеристику, соответствующие службы должны серьезно проанализировать, почему именно в этот временной интервал происходит наибольшее количество происшествий, и попытаться устранить их причины.

И, наконец, пример, где удобнее пользоваться медианой.

На школьной спартакиаде проводится несколько квалификационных забегов на 100 метров, по результатам которых в финал выходит ровно половина от числа всех участников. Перед вами результаты всех спортсменов. Какой результат позволяет пройти в финал?

15,5; 16,8; 21,8; 18,4; 16,2; 32,3; 19,9; 15,5; 14,7; 19,8; 20,5; 15,4.

Проранжируем ряд:

14,7; 15,4; 15,5; 15,5; 16,2; 16,8; 18,4; 19,8; 19,9; 20,5; 21,8; 32,3.

Здесь для ответа на вопрос нужно вычислить медиану: . Спортсменов, которые имеют результат выше найденного, будет как раз половина от числа всех участников. А вот результат выше среднего арифметического, которое равно:

, еще не позволяет рассчитывать на выход в финал: в списке есть спортсмен с результатом 18,4, который не попадает в финал. Мода этого ряда равна Мо=15,5 и дает слишком завышенную оценку для «среднего результата».