Конспект и презентация к уроку математики "Способы решения логарифмических уравнений"

ФИО  Место работы Должность Предмет Класс Тема урока  Базовый учебник Тема:    «Способы решения логарифмических уравнений». Учитель математики Алгебра и начала математического анализа 10 «Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014  Цель  урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы  решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений. Задачи: ­ обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в  вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений; ­развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения; ­воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету Тип урока:  урок изучения нового материала.   Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран. Структура и ход  урока: Организационный момент. I. Учитель. ­ Здравствуйте, садитесь! уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и  свойства логарифмов. (слайд № 1) II. Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических  Устная работа. Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической  функции:  1. Разминка по теории:  1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)  2. От любого ли числа можно найти логарифм?  3. Какое число может стоять в основании логарифма?  4.  Функция y=log0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?  5.  Какие значения может принимать логарифмическая функция?  6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными? 7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3) 8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4) 2. Работа по карточка(3­4 ученика):  Карточка №1:  Вычислить: а) log64 + log69 =                                                б) log1/336 – log1/312 =                             Решить уравнение: log5х = 4 log53 – 1/3 log527 Карточка №2:                              Вычислить: а) log211 – log244 =                                                 б) log1/64 + log1/69 =                           Решить уравнение: log7х = 2 log75 + 1/2 log736 – 1/3 log7125. Фронтальный опрос класса (устные упражнения)  Вычислить: (слайд № 5) 1. 2. log216  lоg3 √3 6. 7. log814 + log 832/7 log35  ∙ log53 1 3. 4. 5. log71   log5 (1/625)  log211  ­ log 244 8. 5 log  49  5 9. 8 lоg  5 ­ 1  8 10. 25 –log  5 10  Сравнить числа: (слайд № 6) 1. 2. Выяснить  знак выражения log0,83 ∙ log62/3. (слайд № 7) log½ е и log½ ;π log2 √5/2 и log2√3/2. III. Проверка домашнего задания: На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить  ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся. IV. Изучение нового материала: Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется  логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение   loga х =с (а > 0, а≠ 1) Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8) 1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9) loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение  х = ас.  На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых: по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется  число, по данному числу и логарифму определяется основание.    Примеры: log2 128= х,         log16х = ¾,                 logх 27= 3, 2х= 128,               х =16 ¾   ,                   х3 =27, 2х = 27,                 х =2 3  ,                       х3 = 33   , х =7  .                   х = 8.                          х =3. С классом решить следующие уравнения: а) log7(3х­1)=2 (ответ: х=3 1/3) б) log2(7­8х)=2 (ответ: х=3/8). 2. Метод потенцирования. (слайд № 10) Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не  содержащему их т.е.  loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.  Пример: Решите уравнение    =  ОДЗ: 3х­1>0;                     х>1/3 6х+8>0. 3х­1=6х+8 ­3х=9 х=­3 ­3 >1/3 ­ неверно Ответ: решений нет. 2 С классом решить следующее уравнение: lg(х2­2) = lg х (ответ: х=2) 3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд  №11) Пример: Решите уравнение   =log2(6­х) ОДЗ: 6­х>0; х>0; х≠1; log2х2>0; х2>0. Решение системы: (0;1) Ụ  (1;6).  = log2(6­х) х2 = 6­х х2+х­6=0 х=­3 не принадлежит ОДЗ. х=2 принадлежит ОДЗ. Ответ: х=2  С классом решить следующее уравнение:  =   (ответ: х=1) 4. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12) Пример:  Решите уравнение  log16х+ log4х+ log2х=7 ОДЗ: х>0 ¼ log2х+½ log2х+ log2х=7 7/4 log2х=7 log2х=4 х=16 – принадлежит ОДЗ. Ответ: х=16. С классом решить следующее уравнение:  +   =3 (ответ: х=5/3) 5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13) Пример: Решите уравнение  log2 (х +1)  ­  log2 (х ­2 ) = 2. ОДЗ: х+1>0; х­2>0.         х>1. 3 Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем   log2 = 2, откуда следует   = 4. Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 ­ верно Ответ: х = 3. С классом решить следующие уравнения:  (х +1) + log5 (х +5) = 1 (ответ: х=0). а)log5  б)log9( 37­12х ) log7­2х 3   =  1,  37­12х >0,                 х< 37/12,  7­2х >0,                     х< 7/2,                     х< 7/2,   7­2х≠ 1;                     х≠ 3;                         х≠ 3;         log9( 37­12х ) / log3 (7­2х )  =  1,         ½ log3( 37­12х ) = log3 (7­2х ) ,          log3( 37­12х ) = log3 (7­2х )2 ,         37­12х= 49 ­28х +4х2  ,         4х2­16х +12 =0,           х2­4х +3 =0,   Д=19,   х1=1,   х2=3,  3 –посторонний корень . Ответ: х=1 корень уравнения.     в) lg(х2­6х+9) ­ 2lg(х ­ 7) = lg9.  (х2­6х+9) >0,     х≠ 3,  х­7 >0;               х  >7;             х  >7.         lg ((х­3)/(х­7))2 = lg9  ((х­3)/(х­7))2    = 9, (х­3)/(х­7) = 3,                                 (х­3)/(х­7)= ­ 3 , х­ 3 = 3х ­21 ,                                    х ­3 =­ 3х +21, х =9.                                                       х=6 ­   посторонний корень. Проверка показывает 9 корень уравнения.                  Ответ : 9 6. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)   Пример: Решите уравнение    lg2х ­ 6lgх+5 = 0. ОДЗ: х>0. Пусть lgх = р, тогда р2­6р+5=0. р1=1, р2=5. Возвращаемся к замене: lgх = 1,                                                 lgх =5 х=10, 10>0 – верно                              х=100000, 100000>0 – верно Ответ: 10, 100000 2 х  + log6 х  +14 = (√16 – х2)2 +х2, С классом решить следующее уравнение:    log6       16 – х2  ≥0  ;      ­ 4≤ х ≤ 4;         х >0 ,                    х >0,                О.Д.З. [ 0,4).          log6       log6       заменим log6 х  = t  2 х  + log6 х  +14 = 16 – х2 +х2,          2 х  + log6 х  ­2 = 0 4 t 2 + t ­2 =0 ;        D = 9 ;      t1 =1 ,  t2 = ­2.   log6 х = 1 , х = 6  посторонний корень .   log6 х = ­2, х = 1/36 , проверка показывает  1/36 является корнем .                                                 Ответ : 1/36. 7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15) Пример: Решите уравнение log4(2х­1)∙ log4х=2 log4(2х­1) ОДЗ:  2х­1>0;   х >0.      х>½. log4(2х­1)∙ log4х ­ 2 log4(2х­1)=0 log4(2х­1)∙(log4х­2)=0 log4(2х­1)=0    или    log4х­2=0 2х­1=1                        log4х = 2 х=1                             х=16 1;16 – принадлежат ОДЗ Ответ: 1;16 С классом решить следующее уравнение: log3х ∙log3(3х­2)= log3(3х­2) (ответ: х=1) 8. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16) Пример: Решите уравнения                                            log  3 x х 2 x 3 Прологарифмируем обе части  уравнения  по основанию 3.  Получим      log3      =  log3 (3х)                                                . получаем :    log3 х2 log3 х   =  log3 (3х),                        2log3 х log3 х   =  log3 3+ log3 х,                        2 log3                       2 log3 заменим log3 х  = р ,     х >0    2 р 2 + р ­2 =0 ;     D = 9 ;   р1 =1 ,  р2 = ­1/2   log3 х  = 1 ,  х=3, log3 х  = ­1/ 2 , х= 1/√3.                        2 х    =  log3 х +1, 2 х   ­  log3 х ­1=0, Ответ: 3 ;  1/√3 С классом решить следующее уравнение:     log2 х  ­ 1                        х             =   64 (ответ:  х=8 ; х=1/4) 9. Функционально – графический метод. (слайд № 17) Пример: Решите уравнения:   log3 х = 12­х. 5 Так как функция у= log3 х возрастающая , а функция у =12­х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное  уравнение на этом интервале имеет один корень. Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log3 х и  у =12­х. При  х=10  заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10. С классом решить следующее уравнение: 1­√х =ln х (ответ : х=1). V. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое  настроение рисунком). (слайд № 18,19) Определить метод решения уравнения: 2 2  log x 5( log3  4 log3 x 2 x log )1 2 log 3  ( x 3 x log)2 log9 x 5  log38 log2 x ( 3 27  3  ( x  2 log 4 )2 log )2  log ( x  1)3 2 5( x 3  )3 log 7( x  )5 3 lg3 xx  lg5 x VI.  ,0 0001 log 1  x 2 x 2 log2 х  log2 x 2  1 Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1) Литература 1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы  к уроку математики/  А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2­е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002  2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16,  17, 20, 21, 47. 3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших  классов/ Н.М. Скоркина.  – Волгоград: Учитель, 2004 4. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10  класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3­е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо­на­Неве», 2004 5. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.­М.: Наука,  1987  6