Конспект урока по геометрии на тему "Теорема об измерении вписанного угла" (8 класс)

Конспект урока по теме : «Теорема об измерении вписанного угла» (8 класс) «Геометрия 7-9» Шарыгин И.Ф. Дополнительная литература: Геометрия 7-11 классы Программа УМК И.Ф. Шарыгин для общеобразовательных школ. 2011 г., В. А. Гусев, А. И. Медяник Дидактические материалы по геометрии для 7, 8 и 9 классов. Цели: - обучающая: сформулировать и доказать теорему об измерении вписанного угла, научить учащихся решать задачи с помощью изученной теоремы. - развивающая :продолжить  развивать логическое мышление, наблюдательность, речь , память и внимание. - воспитывающая: воспитывать аккуратность, самостоятельность, умение работать в коллективе. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом. Метод обучения: частично-поисковый - учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знаний; метод наблюдения. Оборудование: доска, мел, раздаточный материал. Ход урока. Подготовительный этап. (7 минут) Цель: повторить ранее пройденный материал необходимый для изучения темы. Метод обучения: репродуктивный Форма: коллективная, беседа. Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами изучим, как измеряется вписанный угол, но для начала давайте вспомним некоторые определения и свойства. Дайте определение центрального и вписанного угла, укажите на каких рисунках изображены центральные, а на каких вписанные углы(задание1): 1 Ученики: а,б – вписанные, по определению вписанного угла – вершина расположена на окружности, а стороны угла пересекают окружность. а,г – центральные, по определению центрального угла – вершина лежит в центре окружности. Так же сегодня нам понадобится градусная мера дуги окружности. Чему она равна? Ученик: 360° Учитель: а кто сможет дать определение равнобедренного треугольника и перечислить его свойства? Ученик: треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным, углы при основании равны и медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Учитель: И, наконец, сформулируйте, пожалуйста, определение и свойство внешнего угла треугольника. Ученик: Определение: Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними углами треугольника. Свойство: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, с ним не смежного. Учитель: Замечательно. Мотивационный этап. Цель: заинтересовать учащихся и убедить их в необходимости изучения материала. Метод обучения: частично-поисковый, объяснительно иллюстративный. Форма: беседа, объяснение, рассказ. 2 Мы только что повторили определения и свойства центрального угла и определение вписанного угла. Вспомнили, как они выглядят. Давайте теперь решим такую задачу. Внимательно следите за моими рассуждениями: «Вершина А угла ВАС лежит на окружности с центром О (АС – диаметр окружности). Найдите величину этого угла, если величина дуги ВС равна 50°» (задание2) Дано: ω (О,R) A є ω (O,R) ВС = 50° Найти: ВАС 1. ВОС – внешний угол АОВ (определение внешнего угла треугольника) Решение: 50° О А ? В С 2. ВОС = ОАВ + ОВА 3. АОВ – равнобедренный (определение равнобедренного треугольника) 4. ОАВ = ОВА => ВОС = 2 ОАВ 5. ОАВ = ½ ВОС = ½*50° = 25° Отлично, путем последовательных рассуждений мы пришли к ответу. Давайте внимательно посмотрим, связан ли внешний угол ОАВ как-то с градусной мерой угла? – Ученик: Да, он равен половине дуги, на которую опирается. Учитель: Верно! Таким образом, мы с вами сформулировали теорему о вписанном угле. Интересно, что теорема о вписанном угле треугольника вместе с доказательством практически в том же виде, как и в современных учебниках, приводится в «Началах» Евклида. Но она была известна еще Гиппократу Хиосскому в Vв. до н.э. А о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, знали даже вавилоняне. Считают, что это утверждение доказал Фалес. Теперь давайте и мы с вами докажем эту теорему. Основная часть урока. 3 Цель: сформулировать утверждение, доказать этого утверждения, научить применять теорему к решению задач. Метод обучения: объяснительно иллюстративный Форма: беседа, объяснение. Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. Учитель: Выделите в теореме, что дано, и что требуется доказать. Ученик: Дано: вписанный угол АВС. Доказать: АВС = АС  1  2 Учитель: Относительно луча ВО вписанный угол может быть расположен 3мя способами. Он может лежать по одну сторону от ОВ, он содержит ОВ и ОВ совпадает с одной из сторон угла. Поэтому, чтобы доказать теорему, нам нужно будет рассмотреть 3 случая. Доказательство: 1) Одна из сторон угла совпадает с лучом ВО. Соединим точки А и О получим центральный угол Рассмотрим треугольник АВС. Что это у нас за треугольник получился? Ученик: равнобедренный Учитель: Как вы это определили? Ученик : т.к. АО=ОВ Учитель: а что следует из того, что треугольник равнобедренный? Ученик: 1 = 2   Учитель: А угол АОС для треугольника АОВ является каким? И чему равен ? Ученик: внешним и равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, т.е 1+ 2   4 Учитель: Тогда имеем АОС = 1+   2 =  АС, а 1=   2 ,  следовательно АВО= 1=   АС 1  2 Теперь рассмотрим второй случай доказательства теоремы, когда стороны угла лежат по разные стороны от луча ВО. Из каких углов состоит угол АВС? Ученик: АВD и СВD   Учитель: А из первого пункта следует, что АВD =  1  2 АD  СВD = 1  2 DС. А чему тогда будет равен весь угол АВС? Ученик: сумме этих углов Учитель: А значит АВD = СВD = АD +  1  2  DС =  АВС= АС И, 1  2 1  2 наконец, рассмотрим случай, когда стороны угла лежат по одну сторону от луча ВО. Как можно представить угол АВС? Ученик: в виде разности углов АВD и СBD. Учитель: Верно, тогда аналогично первым двум случаям нашего доказательства получим: АD и АВD=  1  2 Соответственно   СВD= АВС= CD. АС. 1  2 1  2 Что и требовалось доказать. 5 Давайте еще раз сформулируем теорему. Ученик: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. Теперь давайте применим эту теорему в решении задач. Посмотрите на рисунок и найдите устно величину угла ABC. Ученик: Дуга АС =90° По теореме о вписанном  угле  АВС= 1  2 АС, значит АВС=  *90°= 45° 1 2 Учитель: Молодцы теперь немного усложним задачу. Посмотрите на распечатку. Найдем чему равна величина дуга или градусная мера дуги, не обозначая дуги и углы. Буквы а и б мы сделаем в классе, в и г пойдут вам на дом.(задание 3) По теореме о вписанном угле находим угол х: *128°= 64° х=  1 2 Ученик: а)Третья дуга равна 360°-152°- 80° = 128° б) Дуга на которую опирается угол в 30° по теореме о вписанном угле равна 30°*2=60°. Теперь мы можем вычислить третью дугу: 360°-125°- 60°=175° Итоги урока. Цель: подвести итоги, еще раз сформулировать изучаемое утверждение. Метод обучения: репродуктивный. Давайте подведем итоги нашего урока. Сегодня мы не только вспомнили что такое вписанный угол, но и изучили его главное свойство. Теперь вы знаете, что вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. 6 Сегодня все очень хорошо работали. Особенно хочется отметить …, которые получают сегодня оценки… Домашнее задание. Цель: закрепление изученного материала, повторение доказательства теоремы. Форма: индивидуальная 1. Еще раз внимательно прочитать доказательство теоремы об измерении вписанных углов. 2. Распечатки - задачи на готовых чертежах в) и г) 3. Учебник Шарыгин И.Ф. 7-9 стр.126 §5,2 №1 Решение задач 2. Задачи на готовых чертежах в) 1. 360°-112°-180° = 68° (определение и свойство градусной меры дуги окружности, условие) 2. *68°= 34°(определение и свойство вписанного угла) х=  1 2 Ответ: 34 ° г) 1. 20°*2=40° (определение и свойство вписанного угла) 2. 360°-215°-40°= 105° Ответ: 105° 3.Учебник стр.126 №1. Дано: ω (О,R) АB =2x BС = 3x АС = 7x    l =360° ABC  ACB  CAB – вписанные  Найти: ABC-?  7 ACB-? CAB-?   Решение: 1. 2х+3х+7х = 360° 2. 3. 12х = 360° х = 30°(определение и свойство градусной меры дуги, условия 2-5,метод уравнений, тождественные преобразования) АВ = 2х = 60°  BС = 3x = 90° АС = 7x = 210°  (Тождествен.  преобраз.)  ABC = АВС= АС = 1  2 1 2 1 2 *210° = 105°  ACB= АСB= AB = 1  2 *60°=30°  CAB= 1  2 *90° = CB = 1 2 45° (определение и свойство вписанного угла, тождественные преобразования) Материалы учащимся: Задание1 8 Задание 2 «Вершина А угла ВАС лежит на окружности с центром О (АС – диаметр окружности). Найдите величину этого угла, если величина дуги ВС равна 50°» Дано: ω (О,R) A є ω (O,R) ВС = 50° Найти: ВАС 6. ВОС – внешний угол АОВ (определение внешнего угла треугольника) Решение: 50° О С А ? В 7. ВОС = ОАВ + ОВА 8. АОВ – равнобедренный (определение равнобедренного треугольника) 9. ОАВ = ОВА => ВОС = 2 ОАВ = ½ ВОС = ½*50° = 10. ОАВ 25° Задание3 9