Конспект урока по математике "Правильные многогранники"

Урок по теме: «Правильные многогранники».       Тип урока: изучение нового материала.       Продолжительность урока: 1 час 30 минут Цель урока: дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых   многогранников,   рассмотреть   свойства   многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников.      Задачи урока: 1. Формирование   пространственных   представлений,   математической культуры, культуры общения.  2. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных, полуправильных, звездчатых многогранников.  3. Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету   через   использование   информационных   технологий   и осуществление межпредметных связей. 4. Воспитание   общетрудовых   умений,   графической   культуры,   умения работать в группе. Оборудование:  компьютер,   проектор,   презентация,   карточки,   модели правильных многогранников, компьютеры, принтер, компьютерный тест.  Подготовительная работа: учащиеся готовят рефераты и сообщения на 5-6 минут по   предложенным   темам: «Правильные   многогранники   в философской   картине   мира   Платона»,  «Кубок   Кеплера», «Икосаэдро­ додекаэдровая структура Земли», «Архимедовы тела», Правильные многогранники и химия. (5 минут) Правильные многогранники в биологии.(5 минут) Искусство и правильные многогранники. (3 минуты) Ювелирные украшения.(2 минуты) Ход урока. 1.Орг.момент. 2. Целеполагание (2 минуты). Слайд 1­2 Учитель:   Есть   в   школьной   геометрии   особые   темы,   которые   ждешь   с нетерпением,   предвкушая   встречу   с   невероятно   красивым   материалом.   К таким   темам   можно   отнести   тему   "Правильные   многогранники".   Здесь   не только   открывается   удивительный   мир   геометрических   тел,   обладающих неповторимыми   свойствами,   но   и   интересные   научные   гипотезы.   Ни   одни геометрические   тела   не   обладают   таким   совершенством   и   красотой,   как правильные   многогранники.   Сегодня   на   уроке   мы   узнаем   и   увидим   много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера­ Пуансо? И многие   ­   многие   другие…   И,   наконец:   где,   зачем   и   для   чего   нам   нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел. 3. Изучение нового материала.  Объяснение нового материала учителем. (5 минут). Слайд 3­9.   Учитель:   Мне   хотелось   бы   начать   со   слов   Бертрана   Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой ­ красотой отточенной   и   строгой,   возвышенно   чистой   и   стремящейся   к   подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Название  “правильные”  идет   от   античных   времен,  когда   стремились   найти гармонию,   правильность,   совершенство   в   природе   и   человеке.   Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны,   правильные   многогранники   –   это   многогранники,   ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками. ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК­ выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и  в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. ТЕТРАЭДР   –   правильный   многогранник,   поверхность   которого   состоит   из четырех правильных треугольников. ГЕКСАЭДР   (КУБ)   –   правильный   многогранник,   поверхность   которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов ОКТАЭДР   –   правильный   многогранник,   поверхность   которого   состоит   из восьми правильных треугольников. ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников. ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:  «эдра» ­ грань  «тетра» ­ 4  «гекса» ­ 6  «окта» ­ 8  «икоса» ­ 20 «додека» ­ 12 Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13­я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем   Платоном,   четыре   из   них   олицетворяли   4   стихии:   тетраэдр   – огонь,   куб   –   землю,   икосаэдр   –   воду,   октаэдр   –   воздух,   пятый   же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по­латыни стали   называть   quinta   essentia   (квинта   эссенция),   означающее   все   самое главное, основное, истинную сущность чего­либо. Сообщение   ученика   по   теме:   «Правильные   многогранники   в философской картине мира Платона» (6 минут). Слайд 10­11. Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они   занимают   видное   место   в   философской   картине   мира,   разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).  Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» ­ огня, земли, воздуха и воды,   а   атомы   этих   «стихий»   имеют   форму   четырёх   правильных многогранников.   Тетраэдр   олицетворял   огонь,   поскольку   его   вершина устремлена   вверх,   как   у   разгоревшегося   пламени;   икосаэдр   –   как   самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества   ­   твёрдым,   жидким,   газообразным   и   пламенным.   Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации. Учитель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда  жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630). Доклад ученика по теме: «Кубок Кеплера» (6 минут). Слайд 12­14. Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения,   предположил,   что   существует   связь   между   пятью   правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса.   В   сферу   орбиты   Марса   вписывается   додекаэдр,   в   который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который   вписывается   сфера   Меркурия.   Такая   модель   Солнечной   системы получила   название   «Космического   кубка»   Кеплера.   Результаты   своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой  гипотезы.  Однако  её  следы просматриваются  в третьем  законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца. Сегодня   можно   с   уверенностью   утверждать,   что   расстояния   между планетами   и   их   число   никак   не   связаны   с   многогранниками.   Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по   которым   она   устроена   так,   а   не   иначе,   до   сих   пор   не   известны.   Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука. Доклад учащегося по теме: «Икосаэдро­додекаэдровая структура Земли» (6 минут). Слайд 15 Идеи   Платона   и   Кеплера   о   связи   правильных   многогранников   с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80­х гг. высказали московские инженеры  В.  Макаров  и  В.  Морозов. Они считают,  что ядро  Земли имеет форму   и   свойства   растущего   кристалла,   оказывающего   воздействие   на развитие   всех   природных   процессов,   идущих   на   планете.   Лучи   этого кристалла,   а   точнее,   его   силовое   поле,   обуславливают   икосаэдро­ додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре   как   бы   проступают   проекции   вписанных   в   земной   шар   правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.  Многие   залежи   полезных   ископаемых   тянутся   вдоль   икосаэдро­ додекаэдровой   сетки;   62   вершины   и   середины   рёбер   многогранников, называемых   авторами   узлами,   обладают   рядом   специфических   свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская   культура   и   другие.   В   этих   точках   наблюдаются   максимумы   и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В   этих   узлах   находятся   озеро   Лох­Несс,   Бермудский   треугольник. Дальнейшие   исследования   Земли,   возможно,   определят   отношение   к   этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. Учитель: А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.  4. Практическая работа (15 минут). Слайд 16. Работа в группах. Деление на группы производится заранее, учитывая уровень подготовки детей, так же их желание. Задания дифференцированные. Более подготовленные   учащиеся   входят   в   1   и   3   группу,   4­5   группа­   ученики, которые хорошо работают в графическом редакторе. Можно разделить между 4 и 5 группой многогранники (2 одной группе и 3 другой). Развертки, которые получатся, необходимо распечатать учащимся для выполнения дом. задания. 1 группа­ доказать, что правильных многогранников 5. 2 группа­ заполнить таблицы и сделать вывод.(модели). Правильные многогранники Граней Число Вершин Рёбер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Правильные многогранники Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Число Граней + Вершин (Г+В) Рёбер (Р) 3 группа­ вывести формулы полной поверхности правильных многогранников. Sтет  . a 32 Sгек  26a Sокт  . 2 2 a 3 Sикос  . 5 2 a 3 4­5 группы­ нарисовать развертки (на компьютере). 5. Отчет групп о работе (15 минут). Слайд 17­23. Один представитель группы отчитывается о результатах у доски (3­4 минуты для каждой группы). Учащиеся делают соответствующие записи в тетради. ­ формулы площадей; ­ теорему Эйлера.(Г+В­Р=2) 6. Дополнительные сведения. Учитель:   Кроме   пяти   правильных   многогранников   существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда. Доклад ученика по теме: «Архимедовы тела» (5 минут). Слайд 24­27.              Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом. Кроме   полуправильных   многогранников,   из   правильных   многогранников   – Платоновых   тел   можно   получить   так   называемые   правильные   звездчатые многогранники.  Их   всего   четыре.   Первые   два   были   открыты   И.  Кеплером (1571  – 1630  гг.),  а  два   других   были   построены   почти   двести   лет   спустя французским   математиком   и   механиком   Луи   Пуансо   (1777   –   1859   гг.). Именно   поэтому   правильные   звездчатые   многогранники   получили   название тел   Кеплера   –   Пуансо.   В   работе   «О   многоугольниках   и   многогранниках» (1810   г.)   Луи   Пуансо   перечислил   и   описал   все   правильные   звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения   их   ребер   или   граней,   исследуется   вопрос,   из   каких   именно правильных   многогранников   могут   быть   получены   правильные   звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).  Учитель:  Луи   Кэрролл   писал:   "Правильных   многогранников   вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать? Слайд 28. 7. Доклады учащихся (сопровождаются компьютерными презентациями) (15 минут). Слайд 29­ 46. Правильные многогранники и химия. (5 минут) Правильные многогранники в биологии.(5 минут) Искусство и правильные многогранники. (3 минуты) Ювелирные украшения.(2 минуты) 9. Рефлексия (7­8 минут). При   наличии   времени   учитель   проводит   компьютерное   тестирование рефлексия   усвоения   учебного   материала),   если   времени   мало,   то   только рефлексию учебной деятельности, а на следующем уроке ­ тест. № Вопрос 1 Правильных многогранников существует ровно… 2 Гранями тетраэдра являются правильные… 3 Сколько существует правильных звездчатых  многогранников? 4 Правильные многогранники называют телами … 5 Какого правильного многогранника не существует? 6 Сколько ребер у гексаэдра (куба)? 7 Треугольная пирамида называется также … 8 Форму икосаэдра имеют … 9 Для выпуклого правильного многогранника с числом вершин В,   граней Г и ребер Р выполняется следующее равенство: В+Г­Р=... Ответ ­ рефлексия деятельности учащихся на уроке. ­Что понравилось на уроке? ­Какой материал был наиболее интересен? ­   Оцените   свою   работу   на   уроке:   плохо   работал,   хорошо,   отлично. Поднимите руки, кто работал плохо? Почему? И т.д. ­ Связь геометрии, с какими науками вы увидели сегодня на уроке? ­В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками? ­ Как вы думаете, пригодятся ли вам знания данной темы в вашей будущей профессии?  8. Подведение итогов. Выставление оценок (2 минуты). 10. Домашнее задание. Изготовить   модели   5   правильных   многогранников.   По   желанию   ­ полуправильных и звездчатых (дополнительная оценка). (Учащимся можно распечатать развертки многогранников, которые нарисовали 4 и5 группы) Примечание: Уроку предшествует очень большая подготовительная работа. Некоторые учащиеся получают задание подготовить рефераты и сообщения по   конкретным   темам   геометрии,   химии,   биологии,   МХК.   При   этом учитываются   индивидуальные   особенности   детей,   их   профессиональные наклонности. Учителя­предметники проверяют рефераты и оценивают работу учащихся.   Таким   образом,   оценки   учащиеся   могут   получить   не   только   по геометрии   за   работу   на   уроке,   но   и   по   другим   предметам   за   подготовку реферата. Во время практической работы и после представления сообщений, рекомендуется   выключать   проектор.   На   втором   уроке   следует   сделать динамическую паузу. Учитель сам должен определить её время проведения. Это   могут   быть   упражнения   для   глаз   (без   использования   компьютера)   и несколько двигательных упражнений.