Исследование кривых линий
третьего порядка методом
дифференциальной геометрии
Выполнила:
Ахметдинова Виктория Александровна
Кубика - плоская кривая 3-го порядка, т. е. множество точек
плоскости (проективной, аффинной, евклидовой),
однородные координаты х 0, x1, x2 которых удовлетворяют
однородному уравнению третьей степени.
Общее уравнение кривой третьего порядка
При помощи элементарных преобразований Ньютон
приводит общее уравнение кривой к одной из четырех
форм:
A.
B.
C.
D.
Декартов лист
•Определим параметризацию.
(3
ta
2
(
t
2
)1
)1
at
6
2
t
2
)
(
t
1
Линия задана в произвольной параметризации.
•Найдем производные до третьего порядка включительно:
'
rt
(3
ta
2
(
t
at
6
2
t
2
)1
)1
;
2
)
''
rt
(
t
'''
rt
(2(6
t
4
)1
2
tat
(
2
36
t
((
t
2
3()1
tа
2
(
t
2
)1
4
)1
((6
t
t
2
()1
ta
(
t
2
2
3
(2)1
ta
)1
2
))1
;
2
3(6
ta
2
(
t
)1
)1
(
t
4
3(
t
4
2
)1
2
3(
tа
)1
3
8
t
2
()1
ta
2
))1
;
))1
у
х
1
(3
ta
2
(
t
2
3
аt
t
2
)1
)1
3
аt
t
1
at
6
2
t
)
(
t
2
2
2
((6
t
t
2
х
()1
ta
(
t
2
3
аt
1
t
2
)1
)1
2
2
(2
ta
))1
3
•Уравнение касательной:
2
2
у
•Уравнение нормали:
3
аt
1
t
2
ta
3(6
2
(
)1
t
•Уравнение бинормали:
)1
3
(2(6
t
4
)1
2
tat
(
2
х
)1
t
(
2
3
аt
t
1
3(
t
4
2
)1
4
8
t
2
()1
ta
2
))1
36
t
((
t
2
у
3()1
tа
2
(
t
2
2
3
аt
t
1
2
)1
4
)1
2
3(
tа
))1
•Уравнение соприкасающейся плоскости:
х
у
3
аt
1
t
аt
3
t
1
2
2
2
(3
ta
2
(
t
t
((6
t
2
2
)1
)1
()1
ta
(
t
2
(2
ta
))1
2
2
3
)1
)1
2
6
at
2
(
t
t
)
2
3(6
ta
2
(
t
)1
3
)1
•Спрямляющая плоскость:
х
аt
3
t
2
1
(3
ta
2
(
t
2
)1
)1
у
2
2
аt
3
t
1
((6
t
t
2
()1
ta
(
t
2
2
3
)1
)1
2
(2
ta
))1
(3
ta
2
(
t
at
6
2
t
(
t
(
t
)
at
6
2
t
ta
(3
2
(
t
2
)1
)1
2
2
2
t
)1
3
3(6
ta
2
(
t
)1
2
((6
t
()1
ta
(
t
()1
ta
(
t
)1
3
ta
3(6
2
(
t
)1
((6
t
t
2
2
2
2
)
2
)1
)1
3
)1
)1
)1
)1
2
2
2
(2
ta
))1
2
(2
ta
3
))1
Циссоида Диоклеса
•Определим параметризацию.
at2
)1
2
2
(t
a(3t
3
t(
2
)1
2
t)
1
.
Линия задана в произвольной параметризации.
•Найдем производные до третьего порядка.
at2
2
)1
(t
2
a(3t
)1
3
2
t)
t(
a(3t
2
2
(t
2
t3((2
t(t3)1
3
3
t(
t)
)1
)1
3
)1
a(3t
2
r
' '
t
;
2
2
;
'
r
t
.
r
' ' '
t
12
t((t
2
)1
a(3t
2
t(
2
)1
4
)1
2
a(3t
))1
;
3
t(
1
4
t)
t3(2(6
6
t3
4
2
t
2
at)1
2
3t
1
t5(
3
t)а)а(
2
))1
.
6
4
t
t3
2
1
a(3t
2
)).1
a
2
t
at2
)1
2
1
2
х
(t
у
t(t
a(3t
3
t(
a
2
t)
2
•Уравнение касательной:
•Уравнение нормали:
)1
)1
2
у
a
2
t(t
)1
3
t(t3)1
3
3
t(
t)
х
2
2
t
a(3t
2
2
(t
a
)1
1
)1
3
t3((2
2
)1
a(3t
2
t)а)а(
2
))1
Уравнение бинормали:
12
t((t
2
)1
х
a(3t
2
t(
t
2
a
2
1
)1
4
)1
2
a(3t
))1
у
1
4
t)
3
t(
t3(2(6
6
t3
4
2
t
2
at)1
t(t
3t
a
2
)1
1
2
t5(
6
4
t
t3
2
1
a(3t
2
)).1