Кривые третьего порядка

Исследование кривых линий  третьего порядка методом  дифференциальной геометрии                                                                                                                      Выполнила:                                                                                                                    Ахметдинова Виктория Александровна

Кубика - плоская кривая 3-го порядка, т. е. множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты х 0, x1, x2 которых удовлетворяют однородному уравнению третьей степени.  Общее уравнение кривой третьего порядка     При помощи элементарных преобразований Ньютон  приводит общее уравнение кривой к одной из четырех  форм: A.  B.  C.  D.

Декартов лист •Определим параметризацию.  (3 ta 2 ( t 2  )1  )1  at 6  2 t 2 ) ( t  1 Линия задана в произвольной параметризации. •Найдем производные до третьего порядка включительно:  ' rt         (3 ta 2 ( t at 6  2 t 2  )1  )1 ; 2 ) '' rt         ( t  ''' rt         (2(6 t 4  )1 2 tat ( 2  36 t (( t 2  3()1 tа 2 ( t 2  )1  4 )1 ((6 t t 2   ()1 ta ( t 2 2  3  (2)1 ta  )1 2  ))1 ; 2 3(6 ta  2 ( t  )1 )1 ( t  4  3( t  4 2 )1 2 3( tа  )1 3  8 t 2  ()1 ta 2  ))1 ; ))1

у  х  1 (3 ta 2 ( t 2 3 аt  t  2 )1  )1   3 аt  t 1 at 6  2 t ) ( t 2 2 2 ((6 t t 2   х  ()1 ta ( t 2 3 аt  1 t  2 )1  )1 2 2 (2 ta  ))1  3 •Уравнение касательной:  2 2  у •Уравнение нормали: 3 аt  1 t  2 ta 3(6  2 ( )1 t •Уравнение бинормали: )1 3 (2(6 t 4  )1 2 tat ( 2   х  )1 t ( 2 3 аt  t 1  3( t  4 2 )1 4  8 t 2  ()1 ta 2  ))1  36 t (( t 2  у  3()1 tа 2 ( t 2 2 3 аt  t 1  2 )1  4 )1  2 3( tа  ))1

•Уравнение соприкасающейся плоскости: х  у  3 аt  1 t аt 3  t 1 2 2 2  (3 ta 2 ( t t ((6 t 2  2  )1  )1  ()1 ta ( t 2 (2 ta  ))1 2 2  3   )1 )1 2 6 at  2 ( t t ) 2 3(6 ta  2 ( t )1 3  )1 •Спрямляющая плоскость: х  аt 3  t 2 1  (3 ta 2 ( t 2  )1  )1       у  2 2 аt 3  t 1 ((6 t t 2   ()1 ta ( t 2 2  3   )1 )1 2 (2 ta  ))1  (3 ta 2 ( t at 6  2 t ( t        ( t ) at 6  2 t ta (3 2 ( t 2  )1  )1  2 2 2 t )1 3   3(6 ta   2 ( t )1   2 ((6 t ()1 ta ( t ()1 ta ( t  )1  3  ta 3(6  2 ( t  )1  ((6 t t  2 2  2  2 ) 2  )1  )1  3  )1  )1  )1  )1 2 2 2 (2 ta  ))1 2 (2 ta   3    ))1   

Циссоида Диоклеса •Определим параметризацию.  at2  )1 2 2 (t  a(3t 3 t( 2  )1 2  t)  1 .  Линия задана в произвольной параметризации. •Найдем производные до третьего порядка.             at2  2 )1 (t  2 a(3t )1 3 2 t) t( a(3t 2  2 (t 2 t3((2  t(t3)1  3 3 t( t)          )1  )1 3 )1 a(3t 2 r ' '  t    ; 2 2 ; '  r  t . r ' ' '  t         12 t((t 2  )1 a(3t 2 t( 2  )1  4 )1  2 a(3t  ))1 ;  3 t( 1  4 t) t3(2(6 6  t3 4  2 t  2 at)1   2 3t  1  t5( 3  t)а)а( 2  ))1 . 6  4 t  t3 2   1 a(3t 2  )).1

a  2 t at2  )1 2 1 2 х   (t  у   t(t a(3t 3 t( a  2  t)  2 •Уравнение касательной: •Уравнение нормали:  )1 )1 2 у  a  2 t(t )1  3 t(t3)1  3 3 t( t) х  2 2 t a(3t 2  2 (t a   )1 1 )1 3  t3((2 2  )1 a(3t 2  t)а)а( 2  ))1  Уравнение бинормали: 12 t((t 2  )1 х  a(3t 2 t( t 2 a  2 1   )1  4 )1  2 a(3t  ))1 у    1  4 t) 3 t( t3(2(6 6  t3 4  2 t  2 at)1 t(t  3t  a  2 )1  1 2  t5( 6  4 t  t3 2   1 a(3t 2  )).1