Курсовая работа по математике

МИНОБРНАУКИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт математики, механики и компьютерных наук  им. И.И. Воровича Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии средней школы. Курсовая работа Выполнила:  Падафет Наталья Николаевна  студентка 5 курса 52 группы  заочная форма обучения специальность: 050100 Руководитель: И.А.Михайлова Ростов­на­Дону   2016г. Оглавление Введение...................................................................................................................2 I. Проблема изучения геометрических величин в педагогической литературе и в школьной практике...............................................................................................7 1.1. Исторический аспект возникновения понятия величины..............................7 1.2. Понятие величины в науке и в школьном курсе геометрии........................11 1.3. Этапы изучения геометрических величин в школьном курсе геометрии...19 II. Методика изучения геометрических величин в школьном курсе геометрии24 2.1. Методика изучения длин в школьном курсе планиметрии..........................24 2.2. Методические особенности изучения мер углов в 5-9 классах...................28 2.3. Методика изучения площадей и объемов плоских фигур...........................29 Заключение.............................................................................................................33 Список используемой литературы........................................................................35 Приложение 1.........................................................................................................38 Приложение 2.........................................................................................................39 Введение Каждое поколение людей предъявляет свои требования к школе. Если до   недавнего   времени   важнейшей   ее   задачей   было   вооружить   учащихся 2 знаниями и умениями, то теперь задачи школы иные. На данном этапе в связи с введением ФГОС второго поколения, целью образования становится: Общекультурное,   личностное   и   познавательное   развитие   учащихся, обеспечивающее   умение   учиться.   Одна   из   основных   целей   преподавания математики   заключается   в   том,   чтобы   научить   детей   учиться.   Выбор геометрического материала в обучении математики младших школьников не случайный. Геометрия давно и прочно вошла в систему общего образования во всех странах. Исторически геометрия является «матерью» всей сегодняшней математики.   Цели   и   результаты   обучения   геометрии   не   ограничиваются рамками предметных знаний, предусмотренных программой, поскольку сам процесс изучения геометрии имеет ничем не заменимое воздействие на общее развитие   личности:   формирование   мыслительных   процессов,   восприятия, воображения, памяти, внимания.         Несмотря   на   общепризнанную   важность   изучения   геометрии   в школе, кризис в обучении геометрии школьников в настоящее время имеет общемировой характер. Большинство ученых при этом приходит к выводу, что принципиальным тормозом в деле геометрического образования является установившееся   за   многие   годы   положение   курса   геометрии   в   школе, систематическое   изучение   которого   начинается   в   7­м   классе.   Элементы геометрических   заданий,   которые   ребенок   получает   до   этого,   никакой пропедевтической базы фактически не составляют. Изучение геометрического материала   в   современной   начальной   школе   преследует   в   основном практические   цели,   сопровождая   курс   арифметики,   а   с   точки   зрения   В   большинстве   программ геометрии   имеет   случайный   характер. геометрический материал не представляет целостного, обоснованного курса.   в   основном Более   того,   в   курсе   математики   начальной   школы, рассматриваются плоскостные фигуры, тогда, как ребенок­дошкольник имеет большой   опыт   общения   с   объемными   фигурами.   Должной   подготовки   к 3 изучению   систематического   курса   геометрии   не   ведется.   Поэтому «большинство   учащихся   испытывают   трудности   при   овладении систематическим курсом геометрии, будучи мало к нему подготовленными» (Шадрина   И.В.   «Обучение   геометрии   в   начальной   школе»)   И.Ф.Шарыгин отмечает:   «Положение   геометрии   по   сравнению   с   другими   школьными предметами   в   своем   роде   уникально:   ни   один   предмет   первоклассники   не готовы   воспринимать,   как   наглядную   геометрию.   В   тоже   время   ни   один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием как геометрию.» («О курсе наглядной геометрии в младших классах.»). Согласно требованиям, предъявляемым   к   современной   школе,   обучение   в   ней   должно   быть   творческого мышления, ориентировано   на   развитие   продуктивного, обеспечивающего   возможность   самостоятельно   приобретать   новые   знания, применять   их   в   многообразных   условиях   окружающей   действительности. Продуктивному мышлению посвящено немало работ, среди которых следует отметить   исследование,   проведенное   группой   отечественных   ученых   под руководством C.JI. Рубинштейна. В этом исследовании, отдельные вопросы в котором изучались психологами Л.В. Брушлинским, A.M. Матюшкиным, К.В. Славской,   JI.A.   Анцыферовой   и   др.,   содержится   не   только   описание специфики   продуктивного   мышления   и   уровней   его   развития,   но   и практические способы, приемы его формирования у учащихся, в тесной связи с развитием их учебной деятельности. Итак,   как   показывает   практика,   для   значительной   части   учащихся геометрия   все   еще   остается   наиболее   трудным   предметом,   что   вызывает необходимость поиска путей совершенствования методики его преподавания и   соответствующей   проработки   данных   вопросов   на   этапе   начального обучения.   Различные   аспекты,   связанные   с   обучением   геометрии, рассматривались   в   исследованиях   А.Д. Александрова,   Г.Д.   Глейзера,   В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, Н.Ф. Четверухина, А.К. Артемова, JI.H. Ерганжиевой, 4 С.Ю.   Дивногорцевой   и   др.Большое   значение   для определения   содержания обучения   геометрическому   материалу   имеют   работы   A.M. Пышкало,   Ю.М. Колягина, Б.Б. Журавлева, М.И. Зайкина, В.В. Покровского, В.В. Ветрова и профессиональной др.Проблеме совершенствования     подготовки будущего учителя   математики,   в   том   числе   учителя   начальных классов,   посвятили   ряд   своих   работ   Ф.С. Авдеев,   Т.К.   Авдеева,   Н.Б. Истомина, Г.Л. Луканкин, В.А. Оганесян, С.В. Степанова, О.В. Тарасова, Л.Б. Шалева и др Таким образом, актуальность проблемы определяется необходимостью поиска   путей   развития   продуктивного   мышления   младших школьников в процессе обучения геометрии. В настоящее время педагогов­исследователей и ученых   методистов   привлек   огромный   развивающий   и   образовательный потенциал   геометрии.   Одной   из   узловых   проблем   методики   преподавания математики   в   начальной   школе   является   содержание   и   методы   изучения начального курса геометрии.  Как сделать, чтобы это учение не превратилось в горькую пытку? Что придумать, чтобы предмет стал любимым? Как учить геометрии?   Эти   вопросы   всегда   волновали   меня,   заставляя   искать   и пробовать, что­то накапливать в своем опыте. Величина  —  одно  из  основных  математических   понятий.  Изучение   в курсе  математики   средней   школы  величин   и  их  измерений   имеет  большое значение   в   плане   развития   школьников.   Это   обусловлено   тем,   что   через понятие   величины   описываются   реальные   свойства   предметов   и   явлений, происходит   познание   окружающей   действительности;   знакомство   с зависимостями   между   величинами   помогает   создать   у   детей   целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. 5 Объект   исследования:  процесс   изучения   геометрических   величин   в курсе геометрии средней школы. Предмет исследования:  методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы. Цель   работы  заключается   в   описании   методики   изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы. Задачи: 1. Рассмотреть историю развития геометрических величин. 2. 3. Охарактеризовать понятие геометрической величины. Установить роль и место величин, их измерений в процессе обучения. 4. Описать   методику   изучения   геометрических   величин   в   курсе геометрии средней школы. Данная   работа   состоит   из   введения,   двух   глав,   заключения,   списка используемой литературы и двух приложений. В   первой   главе   рассматриваются   теоретические   основы   изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы, а именно, история возникновения и развития геометрических величин, роль и место величин, их измерений   в   процессе   изучения.   Во   второй   главе   описывается   методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы. 6 I. Проблема изучения геометрических величин в педагогической литературе и в школьной практике 1.1. Исторический аспект возникновения понятия величины Понятие величины впервые появилось в философской литературе и связывалось   с   действительными   числами.   Число   генетически   возникло   в процессе счета предметов и измерений величин (длин, площадей, объемов и др.).   На   это   обстоятельство   указывал   еще   древнегреческий   философ Аристотель.   Предметом   изучения   математики   до   XVII   в.,   как   известно, являлись   постоянные   величины.[11]   Позднее,   когда   встала   задача математического описания процессов и движений в физике и астрономии, были   введены   переменные   величины.   До   середины   прошлого   века математика имела дело с величинами, но изучала не конкретные свойства отдельных величин, а общие свойства и отношения объектов математической природы,   абстрагированные   от   качественного   содержания.   Даламбер   в знаменитой  французской  энциклопедии  (XVIII   в.)  определяет   математику как "науку, изучающую свойства величин, поскольку они перечисляются и измеримы".  Однако как в философской, так и в математической литературе того времени   определения   понятия   величины   в   большинстве   случаев   имели описательный характер. Например, Л. Эйлер называл величиной "все то, что способно   увеличиваться   или   уменьшаться".   В   процессе   своего   развития понятие   величины   подвергалось   ряду   обобщений.   Еще   Евклидом   в   книге "Начала"   дано   первое   обобщение   таких   конкретных   понятий,   как   "длина отрезка", "площадь", "объем" и т. д., в виде аксиом. Эти аксиомы косвенно определяют понятие положительной скалярной величины. Расширение этого понятия   привело   в   дальнейшем   к   понятиям   скалярной,   векторной   и тензорной величин.  7 Ограничимся рассмотрением двух основных видов величин: скалярных и векторных, которые нашли широкое применение в школьном обучении. Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание   треугольника   делилось   пополам   и   умножалось   на   высоту;   для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади  S  прямоугольника со сторонами  а,  b, с,  d (рис. 1) применялась формула S=                 a a+c 2 ∙b+d 2 ,    b                           d                  c                             рис.1 т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым. Для   определения   площади  S  равнобедренного   треугольника  АВС,  в котором  |АВ|   =   |АС|,   египтяне   пользовались   приближенной   формулой: . Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной   |АВ|   и высотой   |СД|   треугольника, иными словами, чем   ближе   вершина  В  (и  С)  к   основанию  D  высоты   из  А.  Вот   почему приближенная формула применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине. Понятие угла на протяжении веков не оставалось без изменений, оно обобщалось   и   расширялось   под   влиянием   запросов   практики   и   науки. 8 Градусная   система   измерения   углов,   в   которой   за   единицу   принят   угол, равный   1 360   части   угла,   соответствующего   полному   обороту   одной стороны угла около его вершины, восходит к III ­ II тысячелетиям до н. э., к периоду возникновения шестидесятеричной системы счисления в вавилонской математике. Шестидесятеричное   градусное   измерение,   как   и   шестидесятеричные дроби, проникло далеко за пределы ассиро­вавилонского царства и получило широкое   распространение   в   странах   Азии,   Северной   Африки   и   Западной Европы.   Они   применялись,   в   частности,   в   астрономии   и   связанной   с   ней тригонометрии. Гиппарх, Птолемей и другие древнегреческие астрономы употребляли таблицы, в которых давались величины хорд, соответствующих данным дугам. Хорды (как и дуги) измерялись градусами, минутами и секундами, при этом один   градус   составлял   обычно   шестидесятую   часть   радиуса.   Индийцы заимствовали через греков вавилонское градусное измерение дуг, но вместо хорд   они   измеряли   линии   синусов   и   косинусов.   Градусным   измерением пользовались и ученые стран Ближнего и Среднего Востока, внесшие большой вклад в развитие тригонометрии. Выдающийся   немецкий   математик   и   астроном  XV  в.   Региомонтан отступил  от  шестидесятеричного  деления  радиуса  и за  единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса, что позволило выражать   синусы   целыми   числами,   а   не   шестидесятеричными   дробями. Аналогично   поступали   и   многие   последовавшие   за   ним   европейские математики.[11] Во   время   буржуазной   революции   конца  XVIII  в.   во   Франции   была введена наряду с метрической системой мер и  центезимальная  (сотенная) система измерения углов, в которой прямой угол делился на 100 градусов, 9 градус­ на 100 минут, минута ­ на 100 секунд. Эта система применяется и поныне в некоторых геодезических измерениях но всеобщего употребления пока не получила. В   связи   с   возникновением   и   развитием   теории   пределов   и математического анализа с целью придать многим формулам возможно более простой вид в тригонометрии ввели радианное измерение дуг и углов. Термин «радиан» происходит от латинского radius — радиус. Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров   египтяне   и   вавилоняне,   китайцы   и   индийцы   вычисляли   путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов и площадей фигур. В более позднее   время,   когда   геометрия   сформировалась   как   наука,   был   найден общий подход к вычислению объемов многогранников. Среди   замечательных   греческих   ученых  V—IV  вв.   до   н.   э.,   которые разрабатывали   теорию   объемов,   были   Демокрит   из   Абдеры   и   Евдокс Книдский. Евклид   не   применяет   термина   «объем».   Для   него   термин   «куб», например, означает и объем куба. В XI книге «Начал» изложены среди других и теоремы, следующего содержания. 1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. 2. Отношение   объемов   двух   параллелепипедов   с   равными высотами равно отношению площадей их оснований. 3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам. Теоремы   Евклида   относятся   только   к  сравнению  объемов,   так   как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом 10 практических   руководств   по   геометрии.   В   произведениях   прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур. Таким образом, в данном разделе была рассмотрена краткая история возникновения   величины,   краткая   история   измерения   углов,   площадей плоских   фигур.  Приведены   наиболее   яркие   примеры   измерения   различных величин (углов, площадей, объемов). 1.2. Понятие величины в науке и в школьном курсе геометрии Величины   являются   составной   частью   содержания   многих   наук: математики, физики, химии, астрономии, биологии и др. Без величин изучение природы   ограничивалось   бы   лишь   наблюдениями   и   оставалось   на описательном   уровне.   Известно,   например,   что   при   нагревании   тела расширяются. Это явление было известно с древних времен. Введение таких величин, как температура и объем, установление зависимости между ними позволило   значительно  обогатить  знания  об  этом  явлении. Каждый  объект имеет   много   различных   свойств,   которые   отражены   в   соответствующих величинах.   Например,   свойству   инертности   соответствует   величина, называемая   массой,   свойству   пространственной   протяженности   ­   длина, свойству   проводника   препятствовать   прохождению   электрического   тока   ­ сопротивление.   Величины   тесно   связаны   с   понятием   измерения.   Результат измерения выражается числовым значением величины. Измерения являются одним   из   путей   познания   природы   человеком,   объединяющим   теорию   с практической деятельностью человека. Говоря о важности понятия величины для математики, нельзя не вспомнить слова Ф. Энгельса: "Математика ­ это наука о величинах; она исходит из понятия величины." Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время. Раскрываемое в математике, оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, 11 Н.Я. Виленкин замечает: "Понятие величины является основным, когда речь идет   о   приложениях   математики" [6] .   Современная   математика,   давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.  К трактовке понятия величины существует несколько подходов. I.   Геометрические   величины   могут   трактоваться   как   действительные числа,   которые   характеризуют   геометрическую   фигуру   с   точки   зрения   ее размеров ­ длин отрезков, величин углов, площади и объема. Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются   скалярными   величинами.   Такими,   к   примеру,   являются   длина, площадь, объём, масса и другие. Важно   заметить,   что   для   характеристики   значения   одних   величин достаточно   числа   (например,   площадь,   объем),   а   значение   других   величин характеризуется еще и направлением (например, скорость). Геометрические величины, изучаемые в школе, являются скалярными аддитивными   величинами.   Каждая   из   них   может   быть   определена аксиоматически,   что   сделано   практически   во   всех   школьных   учебниках геометрии: 1)   формулируется   неотрицательность   (иногда   ­   положительность) величин; 2)   показывается   равенство   соответствующих   величин   для   равных геометрических фигур; 3) формулируется свойство аддитивности. Таким образом, с помощью аксиом 1)­3) определяется сама величина, а не ее значения. Для нахождения числовых значений геометрических величин требуется введение еще одной аксиомы: 4) существует единица измерения (отрезок длиной 1, квадрат площадью 1, куб объема 1, угол, величина которого 1). 12 II.   С   точки   зрения   теории   множеств,   все   геометрические   величины являются   примерами   одного   из   основных   определяемых   аксиоматически общематематических   понятий   ­   меры   множества.   Пусть   дано   некоторое семейство множеств А, В, С, …, являющихся подмножествами некоторого универсального   множества   У.   Говорят,   что   на   этом   семействе   множеств определена мера, если каждому из них поставлено в соответствие некоторое действительное число m(A), удовлетворяющее аксиомам: 1) m(A)≥0, m(A) = 0 тогда и только тогда, когда А ­ пустое множество; 2) среди данных множеств существует такое множество Е, что m(E) = 1; 3) равные множества имеют равные меры: (А=В) следует, что (m(A) = m(B)); 4)   мера   двух   непересекающихся   множеств   А   и   В   равна   сумме   мер данных множеств m(A)+m(B); 5) если m(A) = m(B), а m(В) = m(С), то m(A) = m(С). Легко   проверить   конкретный   смысл   этого   определения   для   понятий длины отрезка, величины угла, площади фигуры, объема тела. Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним   из   путей   познания   природы   человеком,   объединяющим   теорию   с практической деятельностью человека. Роль и значение измерений в процессе развития естественных и технических наук непрерывно возрастает, так как растет число и качество различных измерений величин. Существует два основных способа измерения геометрических величин:  непосредственное;  косвенное. Непосредственное измерение ­ сравнение данной величины с выбранной единицей измерения ­ основано на 1­й и 2­й аксиомах меры, соответствует первоначальному наглядному представлению, например, о длине отрезка как 13 числе, показывающему, сколько раз единица длины или ее часть укладывается (содержится) в этом отрезке, и состоит в выполнении следующих шагов: 1.Выбрать   единицу   измерения   (это   можно   сделать   на   основе   2­й аксиомы). 2.Сравнить данное множество с единицей измерения; число (на основе 1­й аксиомы), показывающее, сколько раз единица измерения содержится в данном   множестве,   есть   его   мера   (длина   отрезка,   величина   угла,   площадь фигуры, объем тела). Таким образом, в результате измерения величины находят некоторое число  х  которое   называют   числовым   значением   данной   величины  а  при единице   измерения  е:  а   =   х   ∙   е,   где  х  ­   число.   Следовательно,   величина задается с помощью чисел и единиц измерения. Например, 7 кг = 7∙1кг, 12 см =12∙1 см, 15ч =15∙1ч. Кроме того, определив умножение величин можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. 3.Можно   убедиться,   что   полученное   таким   образом   число удовлетворяет   аксиомам   3­5   и   дает   возможность   выполнять   сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление на число измеряемых множеств и их мер. Говоря   о   геометрических   величинах,   следует   четко   различать   саму геометрическую   фигуру,   величину,   и   числовое   значение   этой   величины. Например: Геометрическая Величина Значение фигура Отрезок АВ: А                       В Длина   отрезка Числовое значение величины АВ: АВ = 4 см длины отрезка АВ: 4 14 Отличие длины отрезка от числового значения длины в том, что первое остается неизменным, а второе зависит от выбранной единицы измерения. [15] Для   практической   реализации   непосредственного   измерения   единица измерения наносится на материальные носители и получаются измерительные приборы: масштабная линейка, транспортир, палетка и др. Заметим,   что   способ   непосредственного   измерения   не   всегда   удобен (например, для измерения площади палеткой) и даже не всегда осуществим (например, для измерения объема). Поэтому используют косвенное измерение геометрических   величин,   которое   состоит   в   том,   что   непосредственно измеряются только величины тех элементов геометрических фигур ­ отрезков, углов, для которых это сделать легко и практически удобно, а площадь и объем   затем   вычисляются   на   основе   аксиом   меры   с   помощью   специально установленной   зависимости   между   всеми   геометрическими   величинами данной фигуры. Ниже   рассматриваются   методы   установления   такой   зависимости, называемые методами косвенного измерения геометрических величин. 1)Метод равновеликости равносоставленных фигур, используемый для определения   геометрических   величин   многоугольников   и   многогранников, основан на 3­й и 4­й аксиомах (конкретизируемых как свойства площадей и объемов)   и   следующей   из   них   теореме:   равносоставленные   фигуры равновелики (две фигуры называются равновеликими, если их площади или объемы равны; две фигуры называются равносоставленными, если каждую из них можно разбить на соответственно равные части). Для многоугольников, в частности,   справедлива   и   обратная   теорема:   равновеликие   многоугольники всегда равносоставлены. Примерами применения этого метода являются доказательства формул площади   параллелограмма   (преобразованного   в   прямоугольник),   трапеции (достроенного   до   треугольника),   формул   объема   призмы;   геометрическая 15 иллюстрация   законов   действий   над   числами   и   формул   тождественных преобразований (последние, в частности могут быть использованы для вывода формулы площади прямоугольника на основе известной формулы площади квадрата). 2)   Метод   предельного   перехода   основан   на   определении геометрических   величин   некоторых   фигур,   которые   не   могут   быть определены и измерены непосредственно (длина окружности или дуги) или составлены   из   многоугольников   (площадь   круга)   или   многогранников (площади   боковой   поверхности   и   объемы   круглых   тел)   как   предела последовательности   соответствующих   значений   геометрических   величин, вписанных   в   данную   фигуру   или   описанных   около   нее   фигур   при неограниченном   увеличении   числа   определяющих   их   элементов   (например, сторон многоугольников). Впервые этот метод применяется для определения длины окружности и формулы ее вычисления. Рассуждения выстраиваются следующим образом: так   как   единица   измерения   длины   (единичный   отрезок)   не   совмещается   с дугой окружности, можно вначале измерить длину окружности приближенно, например, как периметр вписанного (или описанного) в нее многоугольника. Чтобы   увеличить   точность   приближенного   вычисления,   увеличивают (например,   удвоением)   число   сторон   многоугольника   и   вычисляют   его периметр; теоретически этот процесс можно продолжить бесконечно. Таким образом,   получается   бесконечная   последовательность   длин   периметров, вписанных в окружность многоугольников  Р1 ,  Р2 ,  Р3 ,…, Рn  , которая при  п ∞   возрастает   и   ограничена   сверху   (например,   периметром   любого → описанного многоугольника) и, следовательно, по теореме К. Вейерштрасса имеет предел. Этот предел называется длиной окружности и его вычисление приводит к формуле C=2 r. Аналогичные рассуждения можно провести для π 16 определения   и   вывода   формулы   площади   круга,   боковой   поверхности   и объема цилиндра, конуса, усеченного конуса. 3) Метод интегрального исчисления для вычисления площадей фигур, ограниченных   сверху   и   снизу   графиками   непрерывных   неотрицательных функций   и   объемов   круглых   тел   основан   на   теоремах   математического анализа   о   вычислении   площади   криволинейной   трапеции   и   объема   тела вращения по формулам S= ∫ f(x)dx   b a и  V= ∫ S(x)dx . b a Примером   непосредственного   применения   метода   интегрального исчисления является вывод формулы для вычисления объема пирамиды в 11 классе. Одна   и   та   же   фигура   может   иметь   несколько   разных   формул   для вычисления ее площади (объема) для разных частных случаев (так, например, известно   около   десятка   формул   площади   треугольника).   На   формулах вычисления   площадей   и   объемов   геометрических   фигур   основан   метод площадей (и объемов) для вычисления длин отрезков или величин углов. Суть метода площадей (объемов): 1) запишите две или более формул площади (объема) данной фигуры, в одной из них известны все элементы, а в другую входит неизвестный элемент (элементы); 2)   составьте   уравнение   (систему   уравнений)   на  основе   того,  что   эти формулы выражают одну и ту же величину; 3)   решите   полученное   уравнение   (систему   уравнений)   и   найдите искомые элементы. Разновидности метода площадей (объемов):  одна фигура заменяется другой, которая ей равновелика и более удобна для решения задачи; 17  отношение   отрезков   заменяется   отношением   площадей треугольников с общей вершиной (если они известны), основаниями которых являются рассматриваемые отрезки. Данный метод и его разновидности используются и для доказательства свойств   геометрических   фигур   (например,   таким   методом   доказывается свойство биссектрисы угла). Как и при использовании этого метода, так и других,   используют   дополнительные   построения   и   общие   методы доказательства теорем. В   процессе   обучения   геометрии,   можно   выделить   некоторые конкретные направления использования измерений. Наряду   с   изучением   конкретных   величин   в   школе   важно,   чтобы учащиеся   получили   достаточно   полное   и   в   то   же   время   доступное представление о:     понятии величины, способах ее измерения; роли и месте величин в познании природы; свойствах величины, ее видах; сути математической обработки результатов измерений и т.д. Понимание   этих   вопросов   способствует   формированию   у   учащихся научного   мировоззрения.   Изучая   величины,   учащиеся   знакомятся   также   с основными   метрологическими   понятиями:   размер,   значение,   размерность величины, эталоны единиц измерения и т.д.  Таким   образом,   в   данном   разделе   рассмотрено   несколько   трактовок понятия величины, рассмотрены способы измерения геометрических величин: способ   непосредственного   измерения   и   способ   косвенного   измерения геометрических   величин.   Этапы   изучения   геометрических   величин   в школьном   курсе   геометрии   будут   подробно   рассмотрены   в   следующем разделе. 18 1.3. Этапы изучения геометрических величин в школьном курсе геометрии Показ учащимся приложения математики к решению жизненно важных задач   способствует   повышению   у   них   интереса   к   обучению,   возбуждает творческую   работе.  Одним из важных звеньев процесса обучения в школе является приобретение самостоятельность активность   и     в   учащимися знаний, умений и навыков в измерении геометрических величин. При   изучении   геометрических   величин   главную   роль   играют   основные понятия:   длина   отрезка,   длина   ломаной,   периметр   многоугольника, расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми, π длина окружности, число  ; длина дуги, величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности, понятие о площади плоских фигур, площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные   формулы),   формулы,   выражающие   площадь   треугольника:   через две   стороны   и   угол   между   ними,   через   периметр   и   радиус   вписанной окружности, формула Герона, площадь четырехугольника, площадь круга и площадь   сектора,   связь   между   площадями   подобных   фигур,   объем   тела, формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса. Идейно­содержательная линия «Измерение геометрических величин» входит   в   состав   геометрической   линии   школьного   курса   математики   и изучается с 1 класса по 11 класс. Рассмотрим, какое место отводят авторы современных учебников по геометрии измерениям и измерительным приборам в своих книгах, и какие этапы изучения измерений в школе можно выделить.  Этапы   изучения   измерений   в   школе:   пропедевтический   курс   (1­6 классы), основная школа (7­9 классы), старшая школа (10­11 классы). На   первом   этапе,   в   пропедевтическом   курсе,   который   охватывает начальную школу и младшие классы среднего звена, учащиеся знакомятся с различными   геометрическими   фигурами,   приобретают   начальные   навыки 19 изображения   этих   фигур   с   помощью   линейки,   циркуля,   угольника.   С процессом измерения учащиеся знакомятся на наглядно­интуитивном уровне. Школьники приобретают опыт непосредственного измерения, нахождения и сравнения длины отрезка, площадей плоских фигур, а также знакомятся с различными единицами измерения и переводом из одних единиц измерения в другие.  На этом  же этапе  учащимся приводятся  формулы для косвенного измерения  периметра  многоугольника, площадей  плоских  фигур (квадрата, прямоугольника).  На   данном   этапе   можно   выделить   следующие   шаги формирования представлений учащихся о величинах: 1. Выяснение и уточнение представлений школьника о данной величине (обращение к опыту ребенка). 2. Сравнение   однородных   величин   (визуально,   наложением, приложением, путем использования различных мерок). 3. Знакомство   с   единицей   измерения   данной   величины   и   с измерительным прибором. 4. Формирование измерительных умений и навыков. 5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования. 6. Знакомство   с   новыми   единицами   величин,   перевод   однородных величин в другие, выраженные в других единицах измерения. 7. Сложение   и   вычитание   величин,   выраженных   в   единицах   двух наименований. 8. Умножение и деление величин на число. Таким   образом,   учащиеся   усваивают,   что   для   величин   существуют отношения равенства и неравенства, их можно складывать, делить на доли, измерять. То есть на интуитивном уровне отрабатываются свойства величины. Существенное   расширение   объема   геометрических   знаний   учащихся связано с понятием угла и с задачей измерения величин углов. Непростым 20 является   само   введение   понятия   угла,   его   необходимо   мыслить   сразу неограниченным.   Дальнейшая   практическая   работа   по   сравнению   углов наложением, опора на жизненные представления учащихся об углах между стрелками   часов   и   др.,   позволит   прийти   к   выводу,   что   величина   угла   не зависит от «длины сторон» угла. Таким образом, учащиеся приходят к мысли о величине угла и специальном инструменте для ее измерения (транспортире). Терминологическая трудность связана с тем, что специального термина для обозначения величины угла не существует. Практическое измерение позволит избежать трудностей, связанных с теорией вопроса.  Таким образом, на этом этапе речь идет лишь о прикладной стороне вопроса.   Однако   уже   на   этом   этапе   обсуждаются   некоторые   свойства конкретной величины. На втором этапе, основная школа 7­9 классы, изучается большое число теоретических фактов, с помощью которых проводится косвенное измерение геометрических величин. Переходя к этому этапу необходимо мотивировать переход от непосредственного к косвенному измерению. Для этого полезно вспомнить   об   инструментах,   с   помощью   которых   измеряются   длины отрезков(линейка), углы (транспортир) и др. Также на этом этапе изучается большинство   теорем,   позволяющих   производить   косвенные   измерения геометрических величин(длин отрезков, углов, площадей). На третьем этапе, в старшей школе, от измерений длин отрезков, углов, площадей переходят к измерению объемов геометрических тел, применяя при этом знания начал математического анализа. Изучение   косвенного   метода   измерения   величин   требует   четкого различия   между   понятием   величины   и   понятием   числа.   Учащиеся   должны понимать, что числа в своем историческом развитии возникли в результате счета   предметов   и   измерения   величин.   Таким   образом,   возникает необходимость   ознакомить   учащихся   с   историческими   сведениями, 21 связанными   с   историей   возникновения   величин,   первыми   единицами измерения длины на Руси, включить во внеурочную деятельность проекты, связанные с историей измерения величин.  Измерить величину – значит,  сравнить ее с другой величиной, принятой за единицу измерения. Таким образом, процесс измерения величин состоит из двух этапов:  Из данного рода величин выбирается некоторая величина, которую называют единицей измерения.  Осуществляется процесс измерения – сравнение данной величины с выбранной единицей измерения. В результате измерения величины находят некоторое число – числовое значение данной величины при выбранной единице измерения.  Таким образом, в данном разделе рассмотрены этапы изучения величин в   школьном   курсе   геометрии.   Дана   краткая   характеристика   каждому   из этапов.   Приведены   некоторые   свойства   величины,   с   которыми   учащиеся должны ознакомиться. Актуализирована целесообразность изучения истории возникновения   величины,   которую   можно   включить   как   во   внеурочную деятельность, так и во время урока, расширив кругозор учащихся и пробудить интерес к изучению математики. В первой главе были изучены следующие вопросы: исторический аспект возникновения понятия величины, определено понятие величины в школьном курсе   геометрии,   выделены   этапы   изучения   геометрических   величин.   Во второй главе целесообразно рассмотреть методику изучения геометрических величин.  В первой главе были изучены следующие вопросы: исторический аспект возникновения понятия величины, определено понятие величины в школьном курсе   геометрии.   Во   второй   главе   целесообразно   рассмотреть   методику изучения геометрических величин. 22 23 II. Методика изучения геометрических величин в школьном курсе геометрии 2.1. Методика изучения длин в школьном курсе планиметрии. Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды, на двух различных этапах. На   первом,   экспериментальном,   этапе   в   начальных   классах (пропедевтический   курс   1­6   классы)     учатся   измерять   длины   отрезков, площади простейших плоских фигур и объёмы простейших пространственных тел. На этом этапе не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия. Методика изучения геометрической величины на этом этапе достаточно широко освещена в литературе. Остановимся   на   некоторых   вопросах   методики   изучения геометрической   величины   на   втором   этапе   (основная   школа   7­9   классы   и старшая школа 10­11 классы). Школьная теория измерения геометрических величин должна строиться с   сохранением   некоторой   общей   схемы.   Это   относится   прежде   всего   к определению понятий: «длина», «площадь», «объем». Повторение одной и той же   схемы   определения   способствует   обобщению,   формирования   такого представления: из аналогии вытекает, что эти понятия относятся к одному более общему понятию, связывающему их. Раскрытие этой связи в процессе обучения   способствует   более   глубокому   пониманию   и   прочности   знаний. Каждое   из   трёх   понятий   определятся   как   вещественное   число, удовлетворяющее   условиям,   которые   характеризуют   общие   понятия   меры множества. Например, теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме: 24 ∙определение   длины   отрезка   как   вещественного   числа, удовлетворяющего условиям 1)­4) понятия меры; ∙ описание процедуры измерения отрезка; ∙   установление   существования   и   единственности   длины   отрезка   при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда; ∙   установления   существования   отрезка,   длина   которого   при   данном   наперед   заданному выборе   единицы   измерения   равна   любому, положительному числу (с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности). Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет   особых   трудностей.   Это   можно   сделать   именно   в   связи   с установлением свойства 4. Случай, когда наперед заданное число рационально, аксиома Кантора не применяется,   а   используется   элементарное   построение.   Если   это   число иррационально, например х=2,313113111311113…, то поступаем так: введем на прямой систему координат (начало 0, направления единицу измерения).Мы можем   построить   точки   А1   и   В1 ,   где   А1   =   2,3;   В1   =   2,4   – приближения с точностью 0,1. Если существует точка М, то О А1