КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ

§ 7. КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ 1. Энергия и импульс фотона соответственно равны: r E=h ,pω  r hω c  — циклическая  частота   излучения;  ω h  2 2.Закон сохранения энергии при фотоэффекте: где  h ; h — постоянная Планка: hw= A+ mw 1 2 2 макс = A+eU ; 3 где A — работа выхода электрона из металла. Максимальная   кинетическая   энергия   электрона  может  быть  определена через запирающее напряжение на фотоэлементе: 3. Световое давление, возникающее за счет передачи фотонами  2 m 1   2 макс eU ; 3 импульса при соударении с преградой: p=(1+R)N =I hω c 1+R c ; h   — импульс фотона;  N — число фотонов, падающих  на  где  c единичную площадку в единицу времени; R — коэффициент отражения  (по энергии); / — световой поток, падающий на единичную площадку в  единицу времени. 4.   Эффект   Комптона   —   изменение   длины   волны   рентгеновского излучения при рассеянии на свободных электронах: β , (1­cos ) λ Δ = h m e =  0  — угол  рассеяния;  β где  0,00242 нм). ВОПРОСЫ h m e 0 Λ  — комптоновская  длина волны (Λ =  1. Изобразите вольтамперную характеристику вакуумного фото­ элемента при освещении его монохроматическим светом. Как изменится  вид вольтамперной характеристики, если, не меняя величины светового  потока, изменить длину волны падающего света? 2. Как изменится вольтамперная характеристика фотоэлемента, если,  не меняя длину волны падающего света, увеличить световой поток? 3. Начертите   график,   показывающий   зависимость  величины  ω запирающего напряжения  U3 от циклической частоты  некоторый металл излучения. Здесь же покажите, как  падаю щего на ω  для металла, имеющего большую работу выхода.  зависит и’з от  Как при   этом   изменилась   «красная   граница»   фотоэффекта?   Как, пользуясь таким графиком, определить постоянную Планка? Как   интенсивность   монохроматического   светового   потока  связана с энергией фотонов, входящих в состав данного потока? Как объясняется возникновение светового давления с волновой  точки зрения? Эффект  Комптона  наблюдается  при  рассеянии фотонов  на свободных электронах. Какие электроны в веществе можно считать  свободными? Почему эффект  Комптона   не   наблюдается  при  рассеянии  видимого света? Примеры решения задач 1.   Световой   поток,   состоящий   из  п  =   5­104  фотонов   света, обладающих   энергией,   соответствующей   длине   волны   λ  =   300   нм, падает на фоточувствительный слой, чувствительность которого  k = 4,5 мА/Вт. Найдите количество  фотоэлектронов, освобождаемых таким импульсом света. Р е ш е н и е Чувствительностью   фотоэлемента   принято   называть   величину фототока, вызванного световым потоком единичной мощности i ф Pk= ; Время облучения фотокатода светом и время протекания фототока  одно и то же (процесс без инерционный). Энергия импульса,  содержащего п квантов: E=nh =nh2ω π ; c λ Мощность,  переданная  этим  импульсом фотокатоду, где t — время облучения. Заряд,  переносимый  N электронами,  вырванными  импульсом  света с катода, q = Ne. Этот заряд создает фототок i tф= Ne ; где   t — то   же   время   облучения;е — заряд   электрона. Следовательно,   чувствительностьфотоэлемента   может   быть выражена так: k= λ Ne t tnhc×2 π = λ Ne ×2 cπ nh откуда N= knh×2 cπ eλ ; Подстановка числовых данных приводит к результату: N = 930. 2. Поверхность металла освещается светом с длиной волны λ = 350 нм.   При   некотором   задерживающем   потенциале   фототок  становится равным   нулю.   При   изменении   длины   волны   на   50   нм  задерживающую разность   потенциалов   пришлось   увеличить   на  0,59   В.   Считая постоянную   Планка   и   скорость   света   известными,  определите   заряд электрона. Р е ш е н и е Явление   фотоэффекта   описывается   уравнением   Эйнштейна,   вы­ ражающим закон сохранения энергии для одного фотона и электрона: h =A+ω 2mυ 2 ; 2 где  h  — энергия фотона;  А —­ работа выхода для данного металла;  m  —кинетическая энергия электрона. 2 Энергия электрона  U3 — разность потенциалов между катодом и анодом, полностью  задерживающая фототок. Если при изменении длины волны света, вызывающего фототок, пришлось m  — может быть заменена  выражением  eU3,где  2 2 увеличить запирающий потенциал, значит, длина волны уменьшилась. Дважды записываем уравнение Эйнштейна: h 2 =A+lU ,h c λ 3 π c2π λ λ =Δ =A+l(U +ΔU) 3 ; откуда и π h×2 c( ­ 1 1 ­Δλ λ λ )=eΔU ; e= h×2 cπ ΔU ( ­ 1 ­Δλ λλ 1 ) . Вычисления дают: e= 1,6*10­19 Кл. 3.   Определите   давление   лучей   Солнца:   а)   на   поверхность   черного тела, помещенного на таком же расстоянии от Солнца, как и Земля; б) на   поверхность   тела,   отражающего   все   лучи;   в)   на  поверхность стеклянной   пластинки,   отражающей   4%   энергии   солнечных   лучей   и поглощающей   6%   этой   энергии.   Угол   падения   лучей   во   всех   случаях равен нулю, интенсивность солнечной радиации  I0  =1,35*10 ­ 3  Дж*м ­2*с ­ 1. Р е ш е н и е Световое давление на поверхность тела с коэффициентом отражения R  рассчитывают по формуле: p  I c (1  R ) ; где I — интенсивность светового потока; с — скорость света. а)  p  a p  á 0I c 02 I c б) в) Давление на стеклянную пластинку возникает в результате отражения и поглощения света; свет, проходящий через пластинку, давления не создает. Следовательно, âp  p 1  p 2 ; где  р1 — давление, оказываемое при отражении света, а р2 — давление,  оказываемое при поглощении света. I 2 , 1 c p 2 I 1  и                                                   где                                                      Вычисления дают: р3 = 6,3*10­7 Н/м2.   4 10 I ,  I 2 ; 0 I   2 6 10 2   7 6,3 10 Í 2 I c p 3 . 2 ì p 1  ; 0 4.   Длина   волны   рентгеновского   излучения,   падающего   на  вещество   со свободными   электронами,   λо  =   0,003   нм.   Какую   энергию   приобретает комптоновский электрон отдачи при рассеянии фотона под углом 60°? Из закона сохранения энергии следует:   2   0 Эффект Комптона описывается формулой:  ­ h c 2    2 E эл  h c откуда    0,0024 0,5  í ì Eэл = 120 кэВ.      (1 cos  0,0012 í ì  ) , . После вычислений имеем:  4. Покажите, что свободный электрон при движении в вакууме  не может полностью поглотить фотон и не может излучать энергию. Р е ш е н и е Свободный электрон не может поглотить фотон и не может излучать энергию; это утверждение вытекает из законов сохранения энергии и импульса. а) Закон сохранения энергии для фотона и свободного электрона:  h  m c 0 2 ( 1 2   (1 )  1),    ( ) c ;                                                    (1) Закон сохранения импульса: uur uuuuur h   m c     uuuuur  m 0 2   1  ;  или                                           m 0 2  1 (так как эти импульсы анти параллельны).   h  c .                                                 (2) Совместное решение уравнений (1) и (2) дает два значения для β :    =   1   (после   раскрытия   неопределенности).   Но   элект  = 0 и β рон   не   может приобрести   скорость,   равную   скорости   света,   и,  обладая   импульсом,   не может   иметь   скорость,   равную   нулю,   следовательно,   оба   значения   лишены физического смысла. β б) Для излучающего электрона закон сохранения энергии выглядит так: 2 m c mc  ,    h 2 0 m  m 0 2  1  m 0 ,   следовательно,   предположение    о   воз­ но      можности излучения свободным электроном энергии также лишено смысла. Задачи для самостоятельного решения 7.1.Селеновый фотоэлемент имеет чувствительность по току, равную 200 мкА/лм. Принимая, что такая чувствительность имеет место   при   освещении   фотоэлемента   монохроматическим   светом с длиной волны 550 нм, определите число фотонов, приходящихся на 1 электрон, участвующий в фототоке.  Ответ  4. 7.2.Определите энергию одного фотона: а) для красного света (λ, = 600 нм); б) для жестких рентгеновских лучей (  λ = 0,1 А).  Ответ  ; ) 1,25 10 эВ б эВ .    2 а ) 4 7.3.Средняя длина волны излучения  лампочки  накаливания о λ = 12­102 А. Найдите число фотонов, испускаемых 200­ваттной лампочкой в единицу   времени   (считать,   что   вся   потребляемая  мощность   идет   на излучение).  Ответ    Nфотонов 1,21 10 21 . 7.4.Найдите   массу   фотона:    а)   монохроматического    света (λ = 5*10­7 м); б) рентгеновских лучей (  λ = 0,025 нм); в) гамма­ лучей (λ = 1,24*10­3 нм).  Ответ   ; ) 8,8 10  ; )1,8 10 )4,4 10 кг б кг в кг    36  30 а 30 .  7.5.Какова длина волны света, масса фотона которого равна массе покоящегося электрона?  Ответ  0,0024  .нм 7.6.Найдите импульс фотона (λ = 500 нм). Сравните его с импульсом  молекулы водорода при комнатной температуре. Массу молекулы водорода  считать равной 2,35*10­7 кг.  Ответ  3 7 10 .   2 P H P Ф 7.7.При какой длине волны импульс фотона будет равен импульсу молекулы  водорода при комнатной температуре?  Ответ  0,127  .нм 7.8.  Монохроматический пучок параллельных световых лучей падает нормально на щель и создает на экране   дифракционную картину. Найдите энергию и импульс фотонов светового потока, если ширина щели b = 5 мм, а первый минимум возникает в на правлении угла   Ответ   EэВ ;  pкг м с 1,27 10   30  / . φ  = 6°.  2,35 10  3 7.9.На дифракционную решетку с постоянной d = 3*10­5 м падает    нормально   плоский   монохроматический  световой   поток.  Углы дифракции, отвечающие двум соседним максимумам на экране,  соответственно   равны   φn = 23°35'   и   φn+1 = 36°52'. Вычислите энергию  фотонов данного светового потока.  эВ . 2,07 ) а E   Ответ  hc  1  d   sin sin 7.10. Чему   равны   максимальные   скорости   фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цезия и платины   излучением с длиной волны: а) λ1 = 185 нм; б) λ2 = 422,7 нм?   , м с платина   7,05 10 макс / ;    5  Ответ а)   )  макс  5 6,05 10 макс 4   1,3 10  / м с цезий м с цезий  / , б 7.11. «Красная   граница» фотоэффекта   для   калия  соответствует  длине волны λ о = 577 нм. Вычислите минимальную энергию кванта,  необходимую для освобождения фотоэлектрона из данного металла.  Ответ 2,15 эВ. 7.12. «Красная граница» для цезия λ 0 = 6,6*10­7 м. Найдите:   а) работу выхода электронов из цезия; б) максимальную скорость и  энергию электронов, вырываемых из цезия излучением с длиной волны λ  = 220 нм.  Ответ а) А = 1,88 эВ;  б   ) макс 1,15 10  6 м с Е / ,  3,75 . эВ макс 7.13. Медный шарик, удаленный от других тел, облучают моно­ хроматическим светом с длиной волны λ = 2*10­4 м. До какого  максимального потенциала зарядится шарик, теряя фотоэлектроны?  Ответ  Ф макс  hc eh  Ф вых  1,72 . В 7.14. Плоскую цинковую пластинку освещают излучением со сплошным спектром, коротковолновая граница которого соответствует  длине волны λ = 30 нм. Вычислите, на какое максимальное расстояние  от поверхности пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне  пластинки имеется задерживающее однородное электрическое поле с  напряженностью Е = 10 В/см?  Ответ  lсм  макс 3,76 . 7.15. Фотоэффект  у  некоторого  металла  начинается  при  частоте  падающего света v0 = 6* 1014с­1.  Определите частоту света, при  которой  освобождаемые  им с  поверхности данного  металла электроны    полностью   задерживаются   разностью   потенциалов   в 3 В. Найдите  работу выхода для данного металла.   А = 2,48 эВ. 15 1,33 10  Ответ   1 ,с    7.16. При освещении некоторого металла излучением с длиной волны λ1 = 279 нм задерживающий потенциал равен 0,66 В, при длине  волны λ 2 = 245 нм задерживающий потенциал становится равным 1,26  В. Считая заряд электрона и скорость света известны ми, определите  постоянную Планка и работу выхода электрона из данного металла.  Ответ h = 6,55   10­3  Дж   с,   А = 3,74  эВ. 7.17. Квант света длиной волны λ = 232 нм освобождает с поверхности платинового электрода фотоэлектрон. Определите импульс,  сообщаемый при этом электроду, если известно, что фотоэлектрон  вылетает навстречу падающему кванту.  Ответ   1,38 10 25 кг м с .  / 7.18. Интенсивность   параллельного   монохроматического   светового  потока I = 30 Дж/(м2*с). Определите, пользуясь квантовыми представлениями, импульс, переносимый данным потоком за время  с через площадку S = 100 см2.  Ответ   5 10 9 кг м с . /  τ  = 5  7.19. Найдите   величину   нормального  давления   на   плоскую поверхность при отражении параллельного светового потока с  интенсивностью I = 3,5*103 Дж/(м2­с), если коэффициент отражения R = 0,6, а угол падения i = 60°.  Ответ   1,3 10 5  2 Н м . 7.20. Часть  стенки   колбы  электролампы   накаливания,   представляющей сферу  радиусом r = 4 см,  посеребрена  и  является зеркально отражающей. Лампа потребляет мощность 50 Вт, из которых 90%  идет на излучение. Что больше: давление газа в колбе (10­8 мм рт. ст.)   или  световое давление на посеребренную часть стенки?  Ответ Давление света в 11 раз больше давления газа в колбе. 7.21. Поверхность площадью 100 см2 каждую минуту получает 63 Дж  световой энергии.  Найдите световое давление в случаях, когда поверхность: а) полностью отражает все лучи и б) полностью поглощает все падающие на нее лучи.  Ответ  2 Н м / Н м б з ; )   3,5 10   7 10 ) а з  7 / .  7 2 7.22. Прибор П. Н. Лебедева для исследования светового давления на  твердые тела состоял из легкого подвеса на тонкой нити, к которому были  прикреплены тонкие и легкие крылышки, имевшие форму кружка диаметром  5 мм. Одно из крылышек было зачернено, а другое оставалось блестящим.  Подвес помещался в откачанном сосуде, образуя весьма чувствительные  крутильные весы. Определите  силу  светового  давления   на   зачерненный    кружок, если каждую минуту падает на него поток лучистой энергии  W = 6,3 Дж.  Ответ  3,5 10 H 10 F   . 7.23. Прибор П. Н. Лебедева для измерения светового давления (см. предыдущую задачу) был снабжен зеркальцем, которое служило для  зеркального отсчета угла закручивания нити подвеса. В одном из опытов отклонение зайчика по шкале, удаленной от зеркальца на расстояние 1,2 м, было равно 76 мм. Диаметр кружка 5 мм,  расстояние от центра кружка до оси вращения 9,2 мм. Коэффициент отражения  света от блестящего  кружка  R = 0,5. Постоянная   кручения  нити  k = 2,2* 10­11  Н­м/рад.  Определите: а) световое давление на блестящий кружок; б) интенсивность па дающего света.   Ответ  pН м I   2 7,7 10 Дж м с 3,85 10  / , . 6 2  2   7.24. Найдите световое давление на зачерненный кружок, если угол поворота нити в приборе П. Н. Лебедева (см. задачи 7.22 и 7.23) составил  10'.  Ответ  3,55 10 pН м   / .  7 2 7.25. Длина волны света, падающего на вещество со свободными электронами, X = 0,003 нм.  Какую энергию приобретут электроны отдачи  при рассеянии кванта под углом  Ответ 120 кэВ.  = 60°? β   7.26. При   облучении   вещества   со   свободными   электронами рентгеновыми лучами с длиной волны λ. = 0,01 нм было обнаружено под углом  β чение с длиной волны λ в   по отношению к первоначальному излучению излу λ + 0,0024 нм. Найдите угол рассеяния   и энергию, переданную электронам отдачи.  Ответ  7.27.  2  При облучении вещества фотонами с длиной волны 0,05 А кэВ . 24 β Е  , рассеяние фотонов происходит под углом β = 20°. Каков импульс электрона отдачи?  Ответ   эдPкг м с 1,6 10   22 / .  7.28.  Первоначальная   длина    волны    падающего    излучения λ = 0,003 нм, скорость электрона отдачи равна 0,6 c (с — скорость света). Определите изменение длины волны и угол рассеяния фотона.  Ответ   ,0 68 20 .   ,cos0 1 0,00135 V  нм   o V  m c 0 h 7.29.Найдите длину  волны,  соответствующую фотону,   если известно, что энергия рассеянного фотона и электрона отдачи равны между  собой при угле φ = 90° между направлениями их движении.  Ответ  0,0242  .нм 7.30.В одном из опытов по наблюдению комптоновского рас β сеяния  было  обнаружено,   что   угол   рассеяния  фотона   а электрон отдачи описал окружность радиусом   = 1,5 м в маг нитоном поле с индукцией В = 2*10­2 Тл. Найдите длину волны, соответствующую падающему фотону, если магнитное поле перпендикулярно   = 60°, ρ плоскости движения электрона.  Ответ  0 013 б  . нм изошло под  углом   250 кэВ?  Ответ Е = 143   кэВ. β 7.29. Какова энергия рассеянного фотона, если рассеяние про  = 120°  и энергия падающего фотона была