Лекция. Системы счисления. Представление числовой информации в позиционных системах счисления

  • pdf
  • 08.01.2025
Публикация на сайте для учителей

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Иконка файла материала Л 3.pdf

Лекция 3. Системы счисления. Представление числовой информации в позиционных системах счисления

Цель лекции: ознакомить слушателей с основными принципами систем счисления и способами представления числовой информации в позиционных системах. План 

1.      Понятие системы счисления. Области применения.

2.      Определение позиционной системы счисления.

3.      Десятичная система счисления.

4.      Двоичная система счисления.

5.      Шестнадцатеричная система счисления.

6.      Другие системы счисления.

7.      Преимущества и недостатки позиционных систем счисления.

 

                                   1.     Понятие системы счисления. Области применения.

Система счисления - это способ представления чисел с использованием определенных символов и правил записи. Это система, которая позволяет описать количество объектов или измерить их величину.

У каждой системы счисления есть базис – число, которое используется для формирования числовых значений. В наиболее распространенной системе счисления - десятичной системе - базис равен 10, поскольку для записи чисел используются 10 цифр: от 0 до 9.

Однако помимо десятичной системы, существуют и другие системы счисления, которые используют различные базисы. Например, в двоичной системе счисления (бинарной системе) базис равен 2, и для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Двоичная система широко применяется в компьютерах и цифровых технологиях.

Еще одним примером системы счисления является шестнадцатеричная система, использующая базис 16. В этой системе, помимо десятичных цифр от 0 до 9, используются также шесть букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Шестнадцатеричная система часто используется в программировании и компьютерных науках.

Все системы счисления имеют общие принципы записи чисел, но различаются по базису и используемым цифрам. Они позволяют представлять числа различными способами и выполнять разные математические операции. Изучение разных систем счисления имеет практическую значимость и помогает лучше понять основы математики и информатики.

Системы счисления необходимы для представления и обработки числовых данных. Они представляют способ записи чисел, используя различные символы или цифры. Вот некоторые области, где применяются системы счисления:

1.                  Математика: Системы счисления используются в математике для выполнения арифметических операций, решения уравнений и доказательства математических теорем.

2.                  Компьютеры: В компьютерах используется двоичная система счисления (система с основанием 2) для представления и обработки информации. Это возможно, потому что компьютеры основаны на электронных компонентах, которые могут иметь только два состояния (включено/выключено, 0/1).

3.                  Электроника: В электронике системы счисления используются для представления аналоговых и цифровых сигналов, кодирования и передачи информации.

4.                  Физика: Системы счисления используются в физике для моделирования физических процессов и анализа данных, полученных из экспериментов и наблюдений.

5.                  Финансы: В финансовой сфере системы счисления используются для представления денежных сумм, валютных курсов, процентных ставок и других финансовых параметров.

6.                  Телекоммуникации: Системы счисления применяются для передачи и хранения данных в сетях связи. Например, это может быть использование шестнадцатеричной или восьмеричной системы счисления при передаче данных в компьютерных сетях.

7.                  Криптография: В криптографии системы счисления используются для шифрования и дешифрования данных. Криптография требует сложных математических операций, которые могут быть облегчены с помощью правильно выбранных систем счисления.

В целом, системы счисления играют важную роль в различных областях, где требуется работа с числами и их представление. Они позволяют нам эффективно обрабатывать, интерпретировать и анализировать числовые данные.

 

2.   Определение позиционной системы счисления

Разряд числа - это позиция цифры в числе относительно его начала (не учитывая знака). Каждая позиция в числе имеет свой разряд и влияет на его значение.

В позиционных системах счисления, таких как десятичная система (основание 10) или двоичная система (основание 2), каждая позиция представляет определенную степень основания. Например, в десятичной системе разряды идут с право на лево, и каждая позиция имеет степень 10: единицы (10^0), десятки (10^1 - "десять в степени один"), сотни (10^2) и т. д.

Алфавит позиционных систем состоит из допустимых символов для записи чисел. В десятичной системе это цифры от 0 до 9, в двоичной системе - 0 и 1.

Порядок разрядов определяет важность каждой позиции и влияет на значение числа. Цифра в каждом разряде умножается на соответствующую степень основания и суммируется с другими разрядами, чтобы получить общее числовое значение. Например, число 532 в десятичной системе можно разложить на 5 * 10^2 + 3 * 10^1 + 2 * 10^0.

Порядок разрядов очень важен, поскольку изменение порядка цифр может привести к значительным изменениям значения числа. Например, перестановка цифр 532 даст число 235, которое имеет совершенно другое значение.

Таким образом, понимание и правильное использование порядка разрядов являются фундаментальными аспектами при работе с позиционными системами счисления.

3.   Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления основание равно 10, а алфавит знаков состоит из 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Примеры чисел и их разрядная структура

Примеры чисел в десятичной системе счисления:

     456

     123

     789 Разрядная структура каждого числа:

     456: 4 × 10^2 + 5 × 10^1 + 6 × 10^0

     123: 1 × 10^2 + 2 × 10^1 + 3 × 10^0

     789: 7 × 10^2 + 8 × 10^1 + 9 × 10^0

Значение каждого разряда и положение цифры в числе

В десятичной системе счисления каждый разряд имеет значение, которое зависит от его позиции в числе. Чем дальше от начала числа, тем меньше значение разряда.

     Первый разряд (единицы): 10^0 = 1

     Второй разряд (десятки): 10^1 = 10 Третий разряд (сотни): 10^2 = 100 и так далее...

Метод деления на основание

Метод деления на основание используется для изменения разрядности числа. Например, чтобы изменить разрядность числа 456 с десятков в сотни, мы делим его на 10:

456 ÷ 10 = 45.6

Метод умножения на основание

Метод умножения на основание используется для изменения разрядности числа. Например, чтобы изменить разрядность числа 45.6 с сотен в десятки, мы умножаем его на 10:

45.6 × 10 = 456

Сравнение чисел в десятичной системе

В десятичной системе счисления числа сравниваются по их значению.

Например:

     456 > 123, потому что 456 имеет большее значение, чем 123

     789 < 890, потому что 789 имеет меньшее значение, чем 890

В десятичной системе счисления сравнение чисел производится по их разрядной структуре, начиная с младшего разряда (единицы) и заканчивая старшим разрядом (сотни, тысячи и так далее).

 

4.   Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит знаков состоит из 2 символов: 0 и 1.

Примеры чисел и их разрядная структура

Примеры чисел в двоичной системе счисления:

                101

                110

                111 Разрядная структура каждого числа:

                101: 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0

                110: 1 × 2^2 + 1 × 2^1 + 0 × 2^0

                111: 1 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0

Понятие об отрицательных числах в двоичной системе и способы их записи

В двоичной системе счисления отрицательные числа могут быть представлены с помощью знака минус (-) или с помощью дополнительного кода.

                С помощью знака минус: -101, -110, -111

                С помощью дополнительного кода: 101 -> 010 (дополнительный код для

101), 110 -> 001 (дополнительный код для 110)

Методы перевода чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот Методы перевода чисел из десятичной системы в двоичную:

                Метод деления на 2: 12 (десятичное) -> 1100 (двоичное)

                Метод умножения на 2: 12 (десятичное) -> 1100 (двоичное) Методы перевода чисел из двоичной системы в десятичную:

                Метод сложения разрядов: 1100 (двоичное) -> 12 (десятичное)

                Метод умножения на 2 в степени разряда: 1100 (двоичное) -> 12 (десятичное)

Арифметические операции в двоичной системе

Арифметические операции в двоичной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, но с учетом двоичного алфавита знаков. Сложение: 101 + 110 = 1001 Вычитание: 110 - 101 = 001

                Умножение: 101 × 110 = 11110 Деление: 11110 ÷ 101 = 110

 

5.   Шестнадцатеричная система счисления

 

В шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, а алфавит знаков состоит из 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F.

Примеры чисел и их разрядная структура

Примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления:

       A2C

       3F1

       E5D

Разрядная структура каждого числа:

       A2C: A × 16^2 + 2 × 16^1 + C × 16^0

       3F1: 3 × 16^2 + F × 16^1 + 1 × 16^0

       E5D: E × 16^2 + 5 × 16^1 + D × 16^0

Понятие об использовании шестнадцатеричной системы в компьютерной технике и программировании

Шестнадцатеричная система широко используется в компьютерной технике и программировании, потому что она позволяет легко представлять двоичные числа в более компактной и удобной для чтения форме. Шестнадцатеричные числа используются для представления адресов памяти, кодов ошибок, цветов в графике и других данных.

Преобразования чисел из двоичной или десятичной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Преобразования чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную:

       Метод группировки двоичных разрядов: 11010110 (двоичное) -> D6 (шестнадцатеричное)

       Метод умножения на 16 в степени разряда: 11010110 (двоичное) -> D6 (шестнадцатеричное)

Преобразования чисел из десятичной системы в шестнадцатеричную:

       Метод деления на 16: 250 (десятичное) -> FA (шестнадцатеричное)

       Метод умножения на 16 в степени разряда: 250 (десятичное) -> FA (шестнадцатеричное)

Преобразования чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную или десятичную: Метод разложения шестнадцатеричного числа на двоичные разряды: FA (шестнадцатеричное) -> 11111010 (двоичное)

       Метод умножения на 2 в степени разряда: FA (шестнадцатеричное) -> 250 (десятичное)

Шестнадцатеричная система счисления является удобной для представления двоичных чисел, потому что каждый шестнадцатеричный разряд может быть легко преобразован в четыре двоичных разряда. Это позволяет легко переводить числа между шестнадцатеричной и двоичной системами счисления.

 

6.   Другие системы счисления

В восьмеричной системе счисления основание равно 8, а алфавит знаков состоит из 8 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Преобразования чисел

Преобразования чисел из двоичной системы в восьмеричную:

  Метод группировки двоичных разрядов: 11010110 (двоичное) -> 326 (восьмеричное)

  Метод умножения на 8 в степени разряда: 11010110 (двоичное) -> 326 (восьмеричное)

Преобразования чисел из десятичной системы в восьмеричную:

  Метод деления на 8: 250 (десятичное) -> 372 (восьмеричное)

  Метод умножения на 8 в степени разряда: 250 (десятичное) -> 372 (восьмеричное)

Преобразования чисел из восьмеричной системы в двоичную или десятичную:

  Метод разложения восьмеричного числа на двоичные разряды: 372 (восьмеричное) -> 111010010 (двоичное)

  Метод умножения на 2 в степени разряда: 372 (восьмеричное) -> 250 (десятичное)

Системы счисления с произвольным основанием

Понятие

Система счисления с произвольным основанием - это система счисления, в которой основание может быть любым целым числом, большим или равным 2.

Примеры

  Двоичная система счисления (основание 2)

  Восьмеричная система счисления (основание 8)

  Шестнадцатеричная система счисления (основание 16)

  Десятичная система счисления (основание 10)

  Система счисления с основанием 3: 102 (тройное) -> 11 (десятичное)

  Система счисления с основанием 5: 234 (пятеричное) -> 59 (десятичное)

Преобразования чисел между системами счисления с произвольным основанием могут быть выполнены с помощью методов деления, умножения и группировки разрядов, аналогично преобразованиям между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

 

7. Преимущества и недостатки позиционных систем счисления

 

Преимущества:

               Позиционные системы счисления позволяют легко выполнять арифметические операции.

               Они используются в компьютерах для представления числовой информации.

Недостатки:

               Позиционные системы счисления могут быть сложными для понимания и использования.

               Они могут иметь ограничения в представлении очень больших или очень маленьких чисел.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

Задача 1: Преобразуйте десятичное число 512 в шестнадцатеричное.

Решение:

 

Задача 2: Преобразуйте двоичное число 10101110 в восьмеричное.

Решение:

 

Задача 3: Преобразуйте шестнадцатеричное число A2C в десятичное.

Решение:

 

Задача 4: Преобразуйте число 234 (основание 5) в десятичное.

Решение:

 

Задача 5: Преобразуйте десятичное число 27 в число в системе с основанием 3.

Решение: