Лекция по математике на тему: Линейные дифференциальные уравнения

Лекция №7. Тема занятия: Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные однородные уравнения дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Цель занятия: Вспомнить понятие – дифференциальное уравнение 1 и 2 порядка. Познакомить с Методами Бернулли и Лагранжа. 7.1.  Однородные дифференциальные уравнения Определение. Функция  F x y ( , )  называется однородной функцией степени    m , если для   выполняется тождество 0m  F tx ty ,   m t F x y ,                                        (14)  . Пример 1.  Рассмотрим функцию  F x y ,  2  x  xy  2 . y Решение.  Данная функция однородная степени  .   2m  Покажем это.    Вычислим   F tx ty ,  2 2 t x   2 t xy 2 2 t y  2  t  2 x  xy  y 2   Пример 2.  Проверить, является ли данная функция   2 t F x y ,   ,т.е. m  2. однородной?  ,F x y   2 x  2 y Решение.    F tx ty ,   2 2 t x 2 2 t y   2 t  2 x  2 y   t x 2 2  y Данная функция является однородной степени  m = 1. Определение.  Дифференциальное уравнение первого порядка   t F x y ,   .  P x y dx Q x y dy   ,  ,                                        (15)  0 называется   однородным,   если    ,и P x y   , Q x y      однородные   функции   одной   и   той   же степени. Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:                                              (16)  F x y ,  y    x . Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:                                                (17) y y     x f . Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y x  t ,где t  ( ), t x  (18) тогда                      y  xt ,  y   t xt  ,где  t  dt . dx                         (19) Подставляя   (18)   и   (19)   в   уравнение   (17),   получим   уравнение   с   разделяющимися переменными относительно     и  x . t Пример 3.  Решить уравнение xdy  ydx  ydy . Решение.  Разделив данное уравнение на произведение   , получим x dx        y  y x  y x y  , ( x  0). Выразим    у'  y   y  y x y x   y 1  y  x  y x   y  y x  y x 1 . Получили однородное уравнение. Сделаем замену:  t , y  xt ,  y   t xt  ,где y x  t  dt . dx Тогда        t  t x  t  t 1 .                               Получили уравнение с разделяющимися переменными. Далее   t x  t  t 1    t  t x 2 t t   t  1 t    t x 2 t  1 t  x dt dx  2 t  1 t  t  1 2 t dt  dx x . Интегрируя последнее равенство, получим  t  1 2 t dt   dx x   dt 2 t   dt t   dx x    1 t ln t   c ln x . Умножим последнее равенство на  (1) 1 t  ln t    c ln x   1 t ln t  ln x   1 t ln tx  c . Подставив вместо   t  y x ,  получим общее решение уравнения x y  ln y  c .      Пример 4.  Решить уравнение xy    x e y x  y . Решение.  Учитывая, что x  0,  разделим данное уравнение на  х: y   e y x  y x . y   e y x  y x . y x  t , y  xt ,    t  t x y . Подставим в преобразованное уравнение  t , y  xt ,  y   t  t x . y x Учитывая, что    t dt dx , тогда  x dt dx  .t e Разделим переменные   t  e dt  dx x . Интегрируя, получим  t  e +ln c    ln x  t e  ln  t  e =ln c    ln x e  t ln x c x   ln c    t ln ln c  x . Вернемся к старым переменным  y x  ln ln c  x    y x ln ln   общий интеграл уравнения. c  x 7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение.  Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.                Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:    y P x y Q x                                          (20)  , где   P x  и   Q x    непрерывные функции от   x . Замечание 1    .   y  и   y  входят в уравнение (20) только в первой степени. Замечание   2.   P x   или    Q x   могут   быть   постоянными   числами,   если   же   они одновременно являются константами, то уравнение   (20)   будет уравнением с разделяющимися переменными. Пример 5.  Рассмотрим дифференциальное уравнение  xy  e x  dx  xdy  0. Решение. Полагая, что х  0, разделим обе части равнения на  , получим x dx Перенесем слагаемое  xe x y  xe x   y  0.  в правую сторону, тогда y  y   xe x . Данное уравнение является линейным, так как содержит у   и   у' только в первой степени, Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение нелинейное относительно  y  является линейным относительно  x  и  . Такое уравнение имеет вид:   yx и  xy    x P y x Q y     ,  (21) где    P x  и    Q y   непрерывные функции от  x или могут быть константами. Пример 6. Определить тип уравнения y   1  . 2 y 2 x воспользовавшись тем, что   тогда Решение.  Это уравнение нелинейное относительно  у  и  у'. Представим его в другом виде, y   1  x . 1  x  1  2 y 2 x    x 2 x  2 y    x 2 x   y 2 . Получили уравнение линейное относительно  x  и  yx  P y    2,        Q y  y  2. Решение линейного уравнения  (20)  (метод подстановки) Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от   x  y u x     v x    y    u x    v x    u x     v x  . Подставим  у и  у' в уравнение  (20):  u v          v u P x u v Q x                                  (22)  . Собираем слагаемые при  v   в первой степени (можно при  u):   v u P x u           v u Q x  . Выберем функцию u такой, чтобы множитель при  v   обращался в  . 0  u P x u           v u Q x 0  . Таким образом, получим систему        u P x u     v u Q x 0 Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными относительно x  и  u , найдем искомую функцию   . ( )u x Так как одна из неизвестных функций    и  ( ) v x ( )u x  может быть выбрана произвольно, то в качестве    ( )u x   возьмем любое частное (ненулевое) решение уравнения    u P x u   0   , а в качестве   v x ( )   возьмем общее решение второго уравнения системы    , в которое,    v u Q x  прежде чем решать его, подставим найденную функцию   . ( )u x Общее решение уравнения (20)  запишем в виде   y u x     v x  , подставив найденные функции. Замечание    . Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель  u  в первой степени, то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале  , а потом  . ( )u x ( ) v x Пример 7. Решить задачу Коши y   2  1 x y   x   2 1 , y (0) 1.  Решение.  Данное уравнение линейно относительно у  и  у' .  P x   2  x 1 ,  Q x    x   2 1 . Решение ищем в виде   y u v ,  y       u v u v ,где   u u x ,    v v x .  Подставим  у  и  у'  в уравнение    uv    v u 2  1 x     x u v  2  1 . Вынесем  v   в первой степени за скобки v u   2  1 x  u       v u x  2  1 . Полагаем  u   2 u  1 x  0 , тогда     v u x  21 .  Таким образом, получим систему u   u 2  1 x    v u x  0,  2  1 . Решаем   первое   уравнение   системы,     Это   уравнение   с   разделяющимися u   u 2  x 1  0. переменными.  u  2 u  1 x    0  u 2 u  1 x  du dx  2 u  1 x  du u  2 x dx  1 . Интегрируя полученное уравнение, имеем ln u  2ln x  1. (постоянную   интегрирования   при   нахождении     не   вводим,   т.к.   достаточно   найти   любое ( )u x (ненулевое) частное решение уравнения   ). u   u 2  x 1  0 Далее  ln u  ln  x  2  1   u x    x  2  1 . Подставим    u x   x   21  во второе уравнение системы и найдем  v :            v   x 2   1   x 2   1   1  v  dv dx  . Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы: dv   dx    v x    x c . Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид:  y u x v x        x 21    x  c  . Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие      найдем  с. (0) 1, y Подставив   и  x  0 0 у  0 1  в общее решение линейного уравнения, получим 1     0 1 2  0       1. 1 1 c c c  Тогда частное решение линейного уравнения при     имеет вид: 1с  y   x   1 2  x   1   x  3  1 . Пример 8.  Решить задачу Коши y   y y 2 y  ln   y x , y (0) 1.  Решение.  Данное уравнение нелинейно относительно   y и   . xy Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что  y   : 1  x 1  x  y y 2 y  ln   y x   x  2 y  ln    2 ln  x y   1 x y    x   y x    2 ln y  1. y y x y Полученное уравнение линейно относительно   x   и  . x y Решение будем искать в виде   x u v ,где  u u y ,    v v y .   Тогда   x      v u  u v .    Подставим   x  и   x  в уравнение   x x y   2 ln y  1.  2ln y   1 v u  u   y     v u 2ln y   1  u v uv     y  v u  0, u  u y   v u 2ln y  1. Вначале решаем первое уравнение системы   0  u    u y du dy    u y du u    dy y  u    u y du u    dy y  ln u   ln y  ln u  ln 1 y   u 1 y   x dx  частное решение первого уравнения системы. Подставим  x dx  u y  1 y  во второе уравнение системы      v u 2ln y  1 :  v v 1   y  2  2ln ln y y    1  v 2 ln y y     y v  2 ln y y   y dy  y dy   y dy . Вычислим отдельно каждый интеграл:      a ) 2  y ln y dy  u  ln , y du  dy y dv  ydy , v   y dy        2 y 2            2 2 y 2  ln y 1  2  2 y dy   y 2  y  ln y ydy   2  y  ln y     ; c 2 y  2 б)  y dy   2 y 2  c . Подставляя решение этих двух интегралов в  v ,  получим v  2 y  ln y  2 y 2  2 y 2   c y 2  ln y  c . Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения (23) имеет вид:   x u y    v y   1  y 2 y  ln y   c   ln y y c  y . Воспользуемся начальными условиями   y  (0) 1   и найдем  c . x   ln y y c     y 0 1 ln1 c    1 c 0 (ln1 0).  Тогда частное решение линейного уравнения (23) при     имеет вид: 0c  x   ln y y  0 y   y ln . y 7.3. Уравнение  Бернулли Определение. Уравнение вида    y P x y Q x                                          (24)  y ,n        называется уравнением Бернулли, где    P x     и     Q x   непрерывные функции от    x ,    , 0n  . 1n  Замечание. При    0n   получается линейное уравнение первого порядка относительно  y , а при  и   xy 1n   получается уравнение с разделяющимися переменными.  Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом: Разделим все члены уравнения  (24)  на   ny  y  0    P x Q x                                  (25)  .  n y  y  y   1 n Сделаем замену:  z  y  1. n Тогда    z    1  n y  n   y  y  n    y 1  z  n . Подставим    z и  z  n 1    в уравнение  (25)  вместо     n 1 и y  n y  y :    z  n 1    z P x Q x     . Умножим полученное уравнение на   : (1 )n    1  z   n z P x       1   n Q x                                   (26)  . Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно   z   и   .    z Решив его, найдем общий интеграл уравнения  (26). Далее, подставив    1 z  1 n y ,  получим общее решение уравнения Бернулли (24).   Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку   y u x    v x  ,  не преобразовывая их в линейные. Пример 9.  Решить задачу Коши xy    y 2 ln ,  x y y  (1) 1. Решение.  Разделим уравнение на   x x  , 0. y   y x  x ln x  y 2 . Получим   уравнение   Бернулли,   т.   к.   в   правую   часть   входит  у  и  у',    P x   1 x ,        n  2, ( n  0, n  1) .  Q x   ln x x , Решение ищем в виде:   y u v ,где  u u x ,    v v x         (см. Замечание),  y       u v u v . Подставим   y   и   y  в уравнение       получим y   y x  x ln x  y 2 ,     u v v u  u v x x ln  x   uv  2 . Вынесем за скобки    в первой степени v u   u  x     v u ln x x 2  u 2  v . Полагая, что  , имеем   u    u x 0   v u ln x x 2  u 2  v . Запишем систему уравнений u    u x   v u 0, x ln x 2  u 2  v . Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.  u       0 u  u x du u    dx x u x  ln u   ln x  ln u  ln 1 x   u du u    dx x  1 x . Подставим   1u x  во второе уравнение системы и найдем её общее решение.   v u    x ln x  dv dx 2  u ln x 2 x  v x ln 2    v x ln x  2 x dv 2 v 2   v  2 v x ln     u v x ln x   2 x dv 2 v  dx  1 x dx . 2    v Интегрируя левую часть уравнения, получаем dv 2 v     1 v c . Интеграл,   стоящий  в  правой  части   равенства,  найдем  с  помощью  формулы  интегрирования   по частям       u dv  u v     vdu . Вычислим:              ln x 2 x dx  u  ln , x du  dv  dx 2 x , v   dx x dx 2 x   1 x Окончательно получим    ln 1 x x   dx 2 x 1   x ln x 1  x .     c 1 v 1 x ln x 1 x      1 v 1 x ln x   1 x c . Умножим последнее равенство на (1) и выразим из него функцию v . 1 v  x ln x  1 x   c ln x cx   1 x  v  x   1 . cx ln x Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид: x   1 1   ln x   y u x   v x x    ln x 1   1 . cx cx Воспользуемся начальными условиями  у(1) = 1  и найдем  c . y  1   1 cx ln x   1   1 1  1 c c (ln1 0)  1   ln1 1 1      1 c c 0. Подставив  с = 0  в общее решение уравнения, найдем его частное решение:   y  1 x ln  1 7.4. Уравнение  в полных дифференциалах. Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида  P x y dx Q x y dy     , ,                                       (27)  0 называется   уравнением   в   полных   дифференциалах,   если   его   левая   часть   является   полным дифференциалом некоторой функции   , то есть  u x y ,   P x y ,   u  x ,                     Q x y ,   u  y .                             (28) Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие                                                      (29)  P  y  Q  x . Нахождение общего решения уравнения Если выполняется условие  (29),  то уравнение  (27)  может быть записано в виде du x y ,    0,где du x y ,     u  x dx   u  y dy Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид                                                    (30)  u x y ,  c , где c    произвольная постоянная. Функция   u x y ,     может быть найдена, используя уравнения  (28). Интегрируя   равенство       u  x  P x y ,      по     x     при   фиксированном     y     и   учитывая,   что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от  y ,  получим  u x y ,     P x y dx  ,                                (31)   c y  . Затем,   дифференцируя   найденную   функцию       по     y     и   подставляя   её   в   равенство  u x y ,  , найдем   .  c y    u  y  Q x y ,  Подставим   функцию     в   уравнение   (31),   получим    интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.  u x y  c y  , ,   которая   является   общим Замечание.  Для   нахождения   общего   решения   уравнения     (27)     можно  было   начать   с   при фиксированном   x .  Тогда постоянная интегрирования интегрирования равенства    u  y  Q x y ,  может зависеть от   x . Пример 10.  Решить уравнение  y e dx   y  x e 2  y dy  0. Решение.   P x y ,   e y ,  Q x y ,    x e y  2 . y Проверим условие (29):  P  y  e y ,  Q  x  e y . Следовательно,   левая   часть   уравнения   есть   полный   дифференциал   некоторой   функции  и решение будет иметь вид:  u x y ,  Воспользуемся условиями  (28). Тогда    u  x  e y ,  u  y   y  x e  2 y  u x y ,  c .  . Проинтегрируем первое соотношение по  х:  c y  u x y y e dx    ,     x e y   c y  . Затем продифференцируем     u x y ,    x e y   c y    по   y :     u  y   x e y    c y  . Так как       u  y  Q x y ,  ,  то получим y  x e    c y  y   x e  2 . y Отсюда    c y     2 y  c y    2  ydy   y 2  c . Пусть     c y    2 . y Тогда   u x y ,    x e y 2  y   и общий интеграл уравнения имеет вид       y  x e 2  y  c . Уравнения Лагранжа и Клеро. Некоторые дифференциальные уравнения  первого порядка приходиться решать  методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся  уравнение Лагранжа:   y   ( x y  )  ( y  )                            (32) и уравнение Клеро:   y  где    ,  ­ известные функции от  y   yx (y                                    (33)  ) , запишем уравнение в Уравнение (32)  интегрируется  следующим образом: обозначая   y . Дифференцируя полученное уравнение по x, имеем  p виде    y    ( x p ) ( p ) p   ( p )    ( x ( p )   ( p )) dp dx Откуда получим       ( p   ( p )) dx dp   ( x p )   ( p )  ­ линейное уравнение относительно x  и    dx dp Если его решение будет     x  ,( Cpf )   ,   то общее решение  уравнения (32)  записывается в виде:    x                       ), ,( Cpf     x ) y p ( ) , ( ( Cpf                            () p p ( )  p )    Уравнение (32) может иметь особое решение, вида    y   ( xp ) 0   ( p ) 0 , где  0p  ­ корень уравнения Уравнение   Клеро   является   частным   случаем   уравнения   Лагранжа   при       .   Его ) y ( y общее   решение   имеет   вид       y  Cx (C ,   особое   решение   получается   путем   исключения ) параметра   р   из уравнений:    y x   px (   ( ) p p ) Пример 11.  Решить уравнение Лагранжа.    y  2) y 1( y x ( ) Решение:  Пусть  . Тогда имеем:    y  p y  1( x .   p )  2 p Дифференцируя по х, приходим к уравнению    y  1( p )  xp  2 pp  Откуда:  ( x  )2 pp  01     ,    т.е.     ( x  )2 p dp dx  1 x x p 2    x 2 dx dp p Решим  последнее  уравнение  методом  Бернулли.  Пусть   p Находим  v  ,   сгруппируем,   приравняем   скобку   к   нулю   и   разделим   переменные,   получим: x  , получаем       uv 2 vuvu uv . Выбираем простейшее решение:            Тогда:    v  pe p   eu p 2  p pe u 2 Отсюда:     u u x y y  p (2  pe 2 C  p p p 2   pe  pe 2  uv e  1( p ) x  22( p dp  2 e  p 2(  p  Ce   p 1)(  p )  2 p p pe  e p )  C p 2 e  22 C ) p  Ce  p Таким образом, общее решение уравнения имеет вид (в параметрической форме):     22 x  y 22( p p   Ce Ce  p  p                      2 1)( p ) p  