Лекция по теме "Степени и корни"
Оценка 4.8

Лекция по теме "Степени и корни"

Оценка 4.8
Домашнее обучение +1
pdf
математика
8 кл—9 кл
04.09.2017
Лекция по теме "Степени и корни"
Данный ресурс может быть использован в период повторения и обобщения материала в 9 классе и при подготовке к ОГЭ по математике. Можно разместить материал (или ссылку на него) на сайте или блоге педагога. Также лекция может быть рекомендована обучающимся при использовании технологии "перевернутый класс".
степени и корни.pdf

Понятие степени.

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n  называется число, записываемое как аn  и определяемое по правилу

 

Некоторые степени чисел 2,3,4,5

2° = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

3° = 1

31 = 3

32 = 9

33 = 27

34 = 81

35 = 243

36 = 729

4° = 1

41 = 4

42 = 16

43 = 64

44 = 256

 

 

5°= 1

51 = 5

52 = 25

53 = 125

 54 = 625

 

Определение. Степенью числа а (а ≠ 0) с целым показателем m называется число, записываемое как аm и определяемое по правилу

 

Выражения «нуль в нулевой степени» и «нуль в отрицательной степени» не определены.

Если основанием степени является обыкновенная дробь, то удобно использовать правило, которое следует непосредственно из определения:

 

Примеры.

1.  Соотнесите выражения с их значениями

 

Решение. По определению степени с натуральным показателем 

                                                                                 23 2 = 2 2⋅        = 4.

                                                                                                      3 3     9

По определению степени с целым показателем

− 94 1 = 1 =1:− 94  =1⋅− 94 = − 94.

По определению степени с целым показателем

                                                 − 2 2 = −  32 2 = −      32   ⋅ − 32  = 94.

3

Ответ:  А1,Б3, В2 2. Расположите выражения  51; 151;5 ;0  512 в порядке возрастания их

значений. 

Решение.  Найдем значение каждого числового выражения.

По определению степени с целым показателем:  

По определению степени с целым показателем: 151 = 1 =1: 15 =1 5⋅      = 5

По определению степени с целым показателем: 50 = 1.

По определению степени с натуральным показателем:  152 = 1 15 5⋅ = 251 .

                                                             1        1

         Сравним значения    ,5,1,     заданных числовых выражений: 

                                                             5       25

 

1 2

   3. Вычислите:   443 :45 + 2012 .0

Решение.  Преобразуем каждое слагаемое, используя свойство степеней. 

1 2

   В выражении  4 перейдем к степени с натуральным показателем:

14 2 =  142 = 42.

В выражении 4-3 · 4-5 применим свойство деления степеней:

4-3 · 4-5 = 4-3 – (-5) = 42.

По определению степени с целым показателем 20120 = 1.

В итоге получим  142 43 :45 + 20120 = 42 42 +1.

Ответ: 1.

 

Квадратные корни

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а, то есть выполняются условия:

               a 0,

2

               ( a) = a            при любом а 0.

Свойства арифметического квадратного корня.

1)  Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей, то есть если           а ≥ 0, b ≥ 0, то ab = a b .

2)  Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, то есть если а ≥ 0, b > 0, то

 

3)  При любом значении а и натуральном k верно равенство

a2k = ak .

Таблица квадратов чисел от 11 до 25

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

212=441

222=484

232=529

242=576

252=625

Таблица кубов чисел от 2 до 6

23 = 8

33 = 27

43 = 64

53 = 125

63 = 216

 

Применение свойств арифметического квадратного корня

          1. Вычислите:    81 0,0001.

1) ±0,09      2) 0,09       3) 0,03      4) другой ответ

Решение.

1 способ

Подкоренное выражение равно 0,0081. Так как 0,092 = 0,0081, то по определению арифметического квадратного корня 0,0081 = 0,09.

2 способ

          По свойству (1) получим    81 0,0001⋅ =   81⋅   0,0001 = 9 • 0,01 = 0,09. 

Ответ: 2.

2. Вычислите:  .

1) 25      2) ±5       3) 5          4) другой ответ 

Решение.

1 способ

Применим свойство (2). Внесем и число 125, и число 5 под общий корень.

125 125 = = 25 = 5.

                                                                                       5          5

2  способ

В числителе разложим 125 на множители и вынесем множитель из-под знака корня.

              125       25 5⋅     5 5

                          =            =        = 5.

                  5           5          5

Ответ: 3.

3.   Вычислите:  (3 2)2

Решение.

Возведем во вторую степень каждый из множителей произведения (3 2)2 = −( 3)2 ( 2)2 = 9 2⋅        =18. 

Ответ: 18.

4.   Вычислите:  .

1) 2,2       2) ± 2,2        3) 0,44         4) другой ответ 

Решение.

Чтобы вычислить значение арифметического квадратного корня из смешанного числа, переведем смешанное число в неправильную дробь и применим свойство (2):

                   21       4 25⋅ + 21      121      121    11      1

               4     =                   =         =         =     = 2   = 2,2.

                   25            25             25        25      5       5

Ответ: 1.

Если сразу не удается вычислить значение корня, то часто помогает разложение подкоренного выражения на множители.

 

            5. Найдите значение выражения 12 15 20⋅  ⋅       

Решение.

1  способ (непосредственно) 12 15 20⋅ ⋅ = 3600 = 60.

2  способ (с помощью разложения на множители)

              12 15 20⋅  ⋅              = 4 3 3 5 2 10⋅ ⋅ ⋅ ⋅          ⋅          =   4 9 100⋅      ⋅        = 2 3 10⋅ ⋅           = 60. 

Ответ: 60.

 

Предостережение. При возведении в квадрат произведения возводите в степень все множители. Сокращение дроби выполняйте аккуратно.

 

Совет. Запишите «квадрат» (и даже куб) умножением двух (трех) скобок, не возводя в степень. Ответ будет без корня. Обязательно сократите дробь.

 

6.               5 12⋅          = 60 = 3.                                                          Ответ: 3.

                         20           20

7.               Найдите значение выражения (3 5)2

15

 .                               Ответ: 3.

8.               2 2 5 3⋅   ⋅        6 = 2 5⋅      ⋅        2 3 6⋅ ⋅        =10⋅  36 =10 6⋅    = 60 .       Ответ: 60.

9.                .                                                                 Ответ:  .

10.          36 24 52 =        36 ⋅     24 ⋅     52 = ( 3 )3 2 ( 2 )2 2 ⋅         52 =

               = 3 2 5 27 4 5 5403 2 ⋅                                   =     ⋅        ⋅        =       .                                                  Ответ: 540.

11.          Найдите значение выражения: (5 3)2 .

15

 .                                                      Ответ: 5.

Понятие степени. Определение

Понятие степени. Определение

Примеры. 1. Соотнесите выражения с их значениями

Примеры. 1. Соотнесите выражения с их значениями

Решение. Найдем значение каждого числового выражения

Решение. Найдем значение каждого числового выражения

В итоге получим  14  − 2 − 4 − 3 :4 − 5 + 2012 0 = 4 2 − 4 2 +…

В итоге получим  14  − 2 − 4 − 3 :4 − 5 + 2012 0 = 4 2 − 4 2 +…

Вычислите: 81 0,0001 ⋅

Вычислите: 81 0,0001 ⋅

Ответ: 18. 3. Вычислите:

Ответ: 18. 3. Вычислите:

Ответ: 3 . 20 20 7

Ответ: 3 . 20 20 7
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.