Лист Мёбиуса

История создания Листа Мёбиуса. Таинственный   и   знаменитый   лист   Мёбиуса   (иногда   говорят:   "лента   Мёбиуса") придумал   в   1858   г.   немецкий   геометр   Август   Фердинанд   Мёбиус   (1790­1868),   ученик "короля математиков" Гаусса (приложение 1). Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс   и   многие   другие   из   тех,   кому   математика   была   обязана   своим   развитием.   В   те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие   поразительной   красоты.   Это   открытие   односторонних   поверхностей,   одна   из которых ­ лист Мёбиуса. В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.   Существует   интересная   легенда   об   открытии   листа     Мёбиуса.     Мёбиус   был профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные   статьи,   лекции,   работа.   Все   как   у   обычного   профессора   университета. Рассеянного   доброго   чудака   студенты   боготворили.   Он   любил   ошарашивать   их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро… На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как­ то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса. На   пороге   комнаты   появилась   любимая   жена.   Правда,   она   была   не   в   хорошем расположении   духа.   Правильнее   сказать,   она   была   разгневана,   что   для   мирного   дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть  парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.                  Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”1 Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.                    Открытая   поверхность   получила   математическое   обоснование   и   имя   в   честь описавшего ее математика и астронома.          Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка­профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление   в   цех,   было   пришивание   к   подолу   юбки   тесьмы   в   форме   ленты   Мёбиуса. Оценили   по   достоинству   невольное   изобретение   Марты   и   учителя.   Неугомонным нерадивым   ученикам   предлагалось   покрасить   стороны   ленты   Мебиуса   в   разные   цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.           Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.            Лист Мёбиуса – поверхность, получающаяся при склеивании двух противоположных сторон   АВ   и   А'В'   прямоугольника   АВ   А'В'   так,   что   точки   А   и   В   совмещаются соответственно с точками В' и А'2.  1«Куда спешила Чёрная Королева» Наталья Карпушина / «Наука и жизнь» №12, 2014. – стр. 88 2 Математический энциклопедический словарь, главный редактор Ю.В. Прохоров /М.: «Советская энциклопедия», 1988. – стр. 361 Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием топология. Топология – раздел математики, имеющий своим назначением выяснение и исследование в рамках   математики   идеи   непрерывности3.   Топологические   исследования   служат неисчерпаемым источником занимательных моделей самого необычайного свойства.          Свойства листа Мёбиуса. Односторонность. Непрерывность. Связность. 1. У листа Мёбиуса – всего одна сторона. 2. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная. 3. Лист   Мёбиуса   двусвязан,   так   как   если   разрезать   его   вдоль,   он   превратится   не   в   два отдельных кольца, а в одну целую ленту. 4. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение. 5. «Хроматический номер»­ это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности   так,   чтобы   каждая     из   них   имела   общую   границу   со   всеми   другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.     «Хроматический номер»  Неориентированность. Эксперименты над листом Мёбиуса. Закрасим полностью одну строну колец. У кольца одна сторона закрашена, а другая Для определения свойств ленты Мебиуса проведены следующие опыты. Объекты опытов – обычная лента и лента Мёбиуса (приложение 2): 1. Отметим точку на стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в отмеченную точку. У обычного кольца линия проходит вдоль одной стороны, сходясь в точке начала, вторая сторона остается чистой. У ленты Мёбиуса линия проходит по всей ленте, заканчиваясь в исходной точке. Вывод: лист Мёбиуса непрерывен. 2. – нет. у ленты Мёбиуса – лента закрашена целиком.  Вывод: кольцо имеет две поверхности, а лента Мёбиуса – одну. Закрасим непрерывной линией только один край кольца и ленты Мёбиуса. У кольца 3. один   край   кольца   закрашен,   а   второй   не   закрашен.   У   ленты   Мёбиуса   –   линия   края непрерывно закрашена на всём кольце. Вывод: лента Мёбиуса имеет один край. 4. Отправим   бумажного   солдатика   вдоль   пунктира,   идущего   по   кольцу   и   ленте Мёбиуса. Пройдя по кольцу солдатик вернулся в исходную точку без изменений, солдатик на ленте Мебиуса, дойдя до исходной точки, перевернулся, т.е. превратился в зеркальное отражение. А чтобы вернуться к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное» путешествие. Вывод: лист Мёбиуса неориентирован. 5. Разрежем кольцо и ленту Мёбиуса пополам вдоль. Из кольца получилось два более узких кольца. Из ленты Мёбиуса – одно кольцо с двумя  полуоборотами и вдвое длиннее. 3 Математический энциклопедический словарь, главный редактор Ю.В. Прохоров /М.: «Советская энциклопедия», 1988. – стр. 582 Разрежем   ленту   с   четырьмя   полуоборотами   пополам   вдоль.   Получим   два Разрежем  ленту с тремя полуоборотами  пополам  вдоль.  Получим  одно большое Разрежем ленту с двумя полуоборотами пополам вдоль. Получим два сцепленных Вывод: лист Мёбиуса двусвязан, при этом односторонность не сохраняется. 6. кольца с двумя полуоборотами, вдвое уже. 7. кольцо, связанное узлом. 8. сцепленных кольца с двумя полуоборотами, вдвое уже. 9. кольцо, связанное узлом. Вывод: лента с количеством полуоборотов больше одного не имеет свойств листа Мёбиуса. При разрезании лент с четным числом полуоборотов получаем два сцепленных кольца, а при разрезании лент с нечетным числом полуоборотов – одно кольцо, завязанное в узел.  Разрежем ленту с пятью полуоборотами пополам вдоль.  Получим одно большое 1 3 10. Разрежем кольцо и лист Мёбиуса отступив от края   . Из кольца получим два кольца одно уже и вдвое длиннее, а другое шире, длина осталась той же. Из листа Мёбиуса получим два сцепленных кольца. Одно кольцо с двумя полуоборотами, и другое с одним полуоборотом. Вывод: одно кольцо – это лента Мёбиуса, а другое – нет. Кольцо с длинной в два раза больше   получилось   из   краев   исходной   ленты.   Другое   –   лист   Мёбиуса   –   состоит   из центральной части исходного листа Мебиуса. 11. Проведем многократные разрезания кольца и ленты Мёбиуса. Из кольца с каждый раз получается кольцо, по шире уже предыдущего. Из листа Мёбиуса при разрезании на чётное число полосок получаются большие сцепленные кольца с двумя полуоборотами, а при   разрезании   на   нечётное   число   полосок   получаются   несколько   колец   с   двумя полуоборотами и одно кольцо с одним полуоборотом – лист Мёбиуса, который получается из центральной части исходного листа Мёбиуса. 12. Склеим   два   кольца   перпендикулярно   друг   другу.   Склеим   две   ленты   Мёбиуса перпендикулярно   друг   другу.   Разрежем   получившиеся   фигуры   вдоль   посередине.   Из первой фигуры получили квадрат, а из второй – две фигуры по форме, напоминающие сердце. 13. Склеим   кольцо   и   лист   Мёбиуса   перпендикулярно   друг   другу.   Разрежем   вдоль пополам. Получим квадрат, у которого две параллельные стороны имеют один полуоборот. Вывод:   фигуры,   получившиеся   в   двенадцатом   и   тринадцатом   опытах,   получились, благодаря двум перпендикулярным разрезам (все фигуры имеют прямые углы). 14. Рассмотрим   двойной   лист   Мёбиуса,   он   получается,   если   две   полоски   бумаги, перекрутить их, повернув как единое целое на пол­оборота и соединить концы. Просунув палец между полосками бумаги и обводя им вокруг них до тех пор, пока не возвратимся в исходную точку. Этим мы докажем, что фигура состоит из двух отдельных лент. Отметим точку   между   бумажными   лентами   и   проведём   линию   по   поверхности   ленты.   Проводя линию, мы обнаружим, что метка находится над линией и чтобы вернуться необходимо обойти ещё раз вокруг полосок. Вывод: две полоски представляют собой одну большую ленту. Она представляет собой двухстороннюю поверхность, два её края идут параллельно друг другу и описывают два полных оборота. Применение листа Мёбиуса. 1. Применение в науке и технике (приложение 3). В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий   изобретатель   Никола   Тесла   изобрел   резистор   Мебиуса,   состоящий   из   двух скрученных   на   1800 проводящих   поверхностей,   который   может   противостоять   потоку электрического   тока   без   создания   электромагнитных   помех.   На   основе   исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее   форму   повторяют   при   создании   полосы   ленточного   конвейера   и   красящей   ленты   в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи.   Это  позволяет  значительно  увеличить  срок  их   службы,  так  как  изнашивание происходит более равномерно. Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая,   в   отличие   от   обычных,   срабатывающих   в   противоположном   направлении,   не меняет направление  срабатывания.  Применяется  она в стабилизаторе  рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение. Кроме  того,   знак   лента   Мебиуса   используется   в  разнообразных   торговых   марках   и логотипах. Самый известный из них ­ это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов. Патенты выданные на изобретения, использующие свойства ленты Мёбиуса: В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632. Изобрели   магнитофон   —   и   сразу   же   нашлись   сообразительные   люди,   которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с   магнитофона   и   не   меняя   их   местами,   а   значит,   время   непрерывного   звучания увеличивается   ровно   вдвое.   (Речь   идет,   разумеется,   о   так   называемой   «непрерывной ленте»,   то   есть   замкнутой   в   кольцо,   вроде   автоматических   телефонных   часов   или милицейских   лозунгов   о   безопасности   движения,   передаваемых   через   репродукторы патрульных машин.). В   1969   году   советский   изобретатель   А.   Губайдуллин   получил   авторское свидетельство   №   236278   на   бесконечную   шлифовальную   ленту,   работающую   обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса   на   два   вращающихся   ролика   и   покрыть   ее   крупинками   твердого   абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали  сотрудники  НИИ автоматизации черной металлургии  Г. Буйный   и   В.   Изотов   в   своем   устройстве   для   магнитной   дефектоскопии   (им   выдано авторское свидетельство № 259449). В   1963   году   патентное   ведомство   США   зарегистровало   целых   два   «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только малая часть примеров использования этой удивительной поверхности.  В генетике есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты   Мебиуса   и   только   поэтому   генетический   код   так   сложен   для   расшифровки   и восприятия. Более того ­ такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти ­ спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса,   в   частности   отражение   в   зеркале   ­   это   своеобразный   перенос   во   времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника!                  Российский математик Евгений Старостин и его коллега Герт ван дер Хейден из Университетского Колледжа в Лондоне решили загадку, которая озадачила математиков в течение более чем 75 лет. Они поняли, как можно предсказать трехмерную форму фигуры, которую образовывает полоса Мёбиуса.          Полоса сделана так, что математики называют её «развёртывающеёся поверхностью». Это значит, что она может быть сплющена, при этом её форма не разрушится (в отличие от сферы – полоса образующая её непременно сломается при сплющивании).  Если полоса формирует   петлю   Мёбиуса,   то   при   разъединении   концов   она   может   вернуться   в первоначальное   состояние,   подобно   эластической   резинке   затрачивая   на   это   минимум энергии.                   Как   это   не   парадоксально,   для   решения   поставленной   задачи,   учёным   не потребовались   суперкомпьютеры   со   сверхмощным   вычислительным   аппаратом   –   они использовали   математические   формулы,   выведенные   лет   двадцать   назад.   Старостин   в интервью   Nature   сказал   следующее:   «Если   вы   попробуете   выписать   уравнения, необходимые для понимания формы полосы Мёбиуса, без этих старых математических инструментов, то вы застрянете – это крайне сложно, я пробовал, и у меня не получилось».                  Используя старые уравнениями, два исследователя показали, что форма ленты Мёбиуса зависит от длины и ширины прямоугольника, образующего петлю.     Ученые,   специализирующиеся   в   биологии,   медицине,   физике,   астрономии   и   других областях, могли бы использовать модель. «Уравнения применимы к любой прямоугольной полосе,   которая   скручивается   и   сгибается»4,   ­   говорит   Джон   Маддокс,   математик   в швейцарском Технологическом институте в Лозанне.           Они могли бы быть полезны при проектировании углеродных нанотрубок. Тот же самый   подход   мог   бы   применяться   при   изучении   биологических   молекул,   помочь   в создании   сложных   лекарств.   Открытие   даже   объясняет,   почему   шнур   от   телефонной трубки скручивается влево или вправо.     В   астрономии   ученые   высказывают   предположения   о   том,   как   выглядит   наша вселенная. Одно из них о том, что наша Вселенная  ­ это перекрученное пространство.        Астрономы пока не пришли к единому мнению относительно того, замкнута ли наша Вселенная, как полагал Эйнштейн, или открыта. Ответ на этот вопрос зависит от того, какова масса  Вселенной. Согласно  общей теории  относительности, масса приводит к искривлению   пространства   ­   чем   больше   масса,   тем   больше   кривизна   пространства. Большинство специалистов по современной космологии считают, что массы Вселенной недостаточно для столь сильного искривления пространства, которое привело бы к его замыканию.  Но  вопрос   пока  остается  открытым,   поскольку  ни   природа­вещества,  ни распределение его плотности во Вселенной не известны. Не исключено, что во Вселенной имеется "скрытая масса", вполне достаточная для замыкания пространства. (Например, подозревают,   что   нейтрино   обладают   положительной   массой   покоя,   в   то   время   как раньше их масса покоя считалась равной нулю.)             Не   существует   никаких   данных,   позволяющих   утверждать   о   том,   будто   наше пространство   перекручено,   как   лист   Мёбиуса.   Тем   не   менее,   ученые,   занимающиеся космологией,   охотно   рассматривают   различные   модели   пространства,   в   том   числе   и модели с кручением5.  4 http://www.pravda.ru/ - электронная газета. – 06.07.2007 5 «Какую форму имеет наша Вселенная?» А.Мадера / «Наука и жизнь» №8, 2002. – стр.55 2. Лист Мёбиуса в литературе (приложение 4). Удивительные   свойства   листа   Мёбиуса   вдохновляют   не   только   ученых, изобретателей, но и писателей, и поэтов. Чаще встречается в фантастической литературе. Классической   книгой   о   жизни   в   двумерном   пространстве   по   праву   считается "Флатландия" Эдвина Э. Эббота. Ее продолжение  ­ "Сферландию"  ­ написал  Дионис Бюргер.     Фантастический рассказ Г. Уэллса "История Платтнера" ­ о человеке, побывавшем в четвертом измерении и вернувшемся на Землю своим зеркальным двойником ­ с сердцем, расположенным справа.     А в рассказе известного писателя­фантаста Артура Кларка « Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете , изогнутой в виде листа Мебиуса.           Наиболее мне полюбившееся стихотворение о листе Мёбиуса написала Наталья Юрьевна Иванова. Лист Мёбиуса Лист Мебиуса ­ символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары: Познай любовь и ненависть изведай, Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай. Ты в одночасье насладись победой И горечь пораженья испытай. На грани бесконечного блаженства Испытывая суеверный страх, Найдешь свой путь. Достигнув совершенства, Окажешься в таинственных мирах. И, вдохновленный этим дерзновеньем, По экспоненте поднимаясь в высь, Ты ощутишь восторг освобожденья, Почувствуешь, как возникает Мысль. Покажется, что распростерлась Вечность, Что взломан Мироздания пароль. И вдруг твое стремленье в бесконечность Тебя вернет к исходной точке: в ноль. Как о порог, об этот ноль споткнешься. Но как бы ни был прежний путь тернист, Вновь выбирай (и ты не ошибешься!) Путь в бесконечность – Мёбиуса лист оо Наиболее известным произведением, где мы можем увидеть в сюжете использование свойств ленты Мёбиуса  ­ это сказка Льюиса Кэролла (Льюис Кэролл это псевдоним. Его настоящее имя ­ Чарльз Лютвидж Д джсон ) «Приключения Алисы в стране Чудес». оо Всем   известно,   что  Чарльз   Лютвидж   Д джсон   был   математиком,   который   с интересом   работал   над   математической   логикой.   Достижения   Доджсона   в   области математической   логики   намного   опередили   свое   время.   Он   разработал   графическую технику решения логических задач, более удобную, чем диаграммы математика, механика, физика и   астронома Леонарда   Эйлера или   английского   логика   Джона   Венна.   Особого искусства Доджсон достиг в решении так называемых «соритов». Сорит — это логическая задача, представляющая собой цепочку силлогизмов, у которых изъятое заключение одного силлогизма   служит   посылкой   другого   (к   тому   же   оставшиеся   посылки   перемешаны; «сорит» по­гречески означает «куча»). Свои достижения в области математической логики Ч.   Л.   Доджсон   изложил   в   двухтомной   «Символической   логике»   и   —   в   облегченном варианте для детей — в «Логической игре». «Приключения   Алисы   в   стране   Чудес»   ­   это   яркий   пример   использования математической логики, а поскольку героиня произведения попадает в необычный мир, где пространство   обладает   загадочными   и   необычными   свойствами,   то   автор   использовал загадочную, необычную модель – лист Мёбиуса.  Я   перечитала   эту   сказку   и   проанализировала   текст.   В   данном   произведении встречается свойство односторонности, непрерывности и неориентированности. Свойство непрерывности ленты Мёбиуса мы можем наблюдать в сюжете «скачки на перегонки». В состязании участвовали Алиса, разные птицы и звери. Проигравших в забеге не оказалось, а были одни победители. Пытаясь определить, кто же стал победитель, птица Додо размышлял о том, как из одной точки попасть в другую не переходя через край. В итоге принял мудрое и справедливое решение: «Победили все!»6. Свойство неориентированности мы можем наблюдать в сцене безумного чаепития. Это могло произойти только на ленте Мёбиуса в условиях застывшего времени. Шляпник рассказывает Алисе о том, что время на них обилось и теперь всегда показывает время вечернего чаепития. Если   «вмонтировать»   в   ленту   двумерные   часы   и   заставить   их   совершить   по   ней полный оборот, то взглянув на часы, мы увидим, что стрелки на циферблате движутся с той же скоростью, но в обратную сторону. И какое же из двух направлений движения правильное? Чарльз   Лютвидж   Д джсон   решил   этот   вопрос   главой   «Безумное   чаепитие».   Во­ первых часы должны показывать одно и тоже время, а во­вторых, стрелки на циферблате должны быть в положении, которое сохранилось бы при зеркальном отражении, например показывали   шесть   часов   ровно   (образовывали   развернутый   угол).    «С   тех   пор   время 6 «Приключения Алисы в стране Чудес» Льюис Кэролл. / Москва ЦТР МГТ ВОС, 1992/ - стр.59 оо рассердилось на меня, ­ и не делает того, что мне хочется. У нас теперь всегда шесть часов.»7 В этом произведении нашла и свое отражение математическая идея непрерывности (фигуру нельзя разрезать склеивать, а можно растягивать, сгибать) в главе «Поросёнок и перец». Доводя эту идею до крайности, Доджсон утверждает, что свойства геометрической фигуры могут распространяться и на ребенка. Таким образом, когда Алиса берет ребенка Герцогини, она превращается в свинью. Алиса на всем протяжении своего путешествия сталкивается с разными предметами. Во­первых, повёрнутые в пространстве на пол­оборота — 180 градусов; во­вторых, такие, у которых   левая   и   правая   половинки   поменялись   местами.   На   страницах   книги   часто встречаются подобные «отражения», к которым Алиса никак не могла привыкнуть и не переставала им удивляться. Известно, что для того, чтобы стать самим  собой двумерному существу на листе Мёбиуса, необходимо пройти дважды по нему. Алисе   в   стране   чудес   довелось   поучаствовать   в   «беге   по   кругу»   с   подобными правилами. Этот бег устроила Алисе Черная Королева. «Позже когда Алиса размышляла об этом дне, она… только помнила, что они бежали, крепко взявшись за руки, и Королева так неслась вперёд, что Алиса едва за ней поспевала, Королева всё время только кричала: ­ Быстрее! Быстрее! Когда   они,   наконец,   остановились,   Чёрная   Королева   предложила   девочке передохнуть. Оглядевшись по сторонам, Алиса изумилась: ­ Неужели мы не стронулись с места ни на шаг? ­ Ну, конечно, нет, ­ ответила Королева. – А ты чего хотела?.. Здесь, знаешь ли, приходиться бежать со всех ног, чтобы только остаться на том же месте! Если же хочешь попасть в другое место, тогда нужно бежать, по меньшей мере, вдвое быстрее!»8   Всё   становиться   понятным,   если   устроить   состязание   между   Алисой   и   Чёрной Королевой, в котором каждая из них побежит в привычных для себя, точнее для своего мира условиях: первая – по кольцу, а вторая – по ленте Мёбиуса, склеенным из одинаковых полосок бумаги. Пусть они стартуют одновременно и к концу забега должны вернуться в исходное   положение.   Очевидно,   что   Чёрной   Королеве   для   того,   чтобы   победить   в состязании, придётся поспешить и прямо со старта бежать вдвое быстрее, чем Алисе. 3. Применение в искусстве (приложение 5). Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства   листа   демонстрировались   даже   в   цирке,   где   подвешивались   яркие   ленты, склеенные   в   виде   листов   Мёбиуса.  Фокусник   закуривал   сигарету   и   горящим   концом дотрагивался   до   средней   линии   каждой   ленты,   которая   была   выполнена   из   калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую ­ в две ленты,   продетая   одна   в   другую.   (В   этом   случае   фокусник   разрезал   лист   Мёбиуса   не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины). У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. 7 «Приключения Алисы в стране Чудес» Льюис Кэролл. / Москва ЦТР МГТ ВОС, 1992/ - стр.131 8 «Приключения Алисы в Зазеркалье» Льюис Кэролл. / Росмен - Пресс, 2002/ - стр.139 Целую   серию   скульптур   в   виде   листа   Мебиуса   создал   скульптор   Макс   Билл. Довольно   много   разнообразных   рисунков   оставил   Мауриц   Эшер.   Особенно   интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.  В 2009 году  Лиза Рэй написала картину «Корабль дураков в бесконечности». Немало памятников посвящено ленте Мёбиуса: памятник во Франкфурте­на­Майне (Германия),  памятник   в   Минске   (Беларусь),  памятник   в   Москве   около   кинотеатра «Горизонт»,   сскульптура,   украшающая   окрестности   здания   центра   физических исследований в американском штате Иллинойс.  Поражает   своим   решением   и   красотой   проект   новой   библиотеки   в   виде   листа Мёбиуса в Астане (Казахстан).                    В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция. Гоночный трек в одном из эпизодов мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса. Заключение Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, односторонняя поверхность и сейчас привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.  В   ходе   данного   исследования   мною   была   прочитана   и   переработана   большая разнообразная   информация,   посвященная   объекту   моего   исследования,   я   проводила сравнение   различных   источников   и   анализировала   прочитанное,   я   перечитала   и проанализировала сказку Льюиса Кэролла «Алиса в стране Чудес» с учётом полученных новых знаний.  Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса.   В своей работе я описала свойства этой удивительной поверхности – листа Мебиуса, показала его значимость на практике,  показала,  что  сказка  «Алиса   в  стране  Чудес»   не  фантастическая   история,  а математически   обоснованная   реальность.   Таким   образом,   используя   теоретические   и эмпирические методы, (опираясь на теорию о ленте Мебиуса, на её конструирование) мне удалось добиться следующих результатов: 1.Лента Мебиуса имеет один край. 2.Лента Мебиуса имеет одну сторону. 3.Лента Мебиуса топологический объект. 4.Один   край   и   одна   сторона   ленты   Мебиуса   не   связаны   с   его   положением   в пространстве, не связаны с понятиями расстояния. 5.Лента Мебиуса представляет собой неориентированную поверхность. Я   сумела   получить   интересный   математический   материал.   По   результатам исследования о ленте Мёбиуса я составила и провела внеурочное занятие с учениками 4 класса МБОУ «Средней общеобразовательной школы №1 им. Л.М. Поземского». Данная тема   ребят   заинтересовала,   и   они   хотели   самостоятельно   продолжить   эксперименты, спрашивали какую литературу можно прочитать, чтобы побольше узнать о листе Мёбиуса.  Я планирую продолжить исследования по использованию свойств листа Мёбиуса в литературе. №04 апрель 2016