"Логические задачи"(2класс,математика)

Использование логических задач на уроках математики в начальной школе. Введение Данная  работа  посвящена  теоретическим   и   практическим   аспектам внедрения  в  начальный   школьный   курс   математики   логических   задач. Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами. Никто не будет спорить с тем,  что  каждый  учитель  должен  развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в  методической   литературе, в объяснительных записках к учебным  программам.  Однако,  как это  делать, учитель  не  всегда  знает.  Нередко  это  приводит  к  тому,  что   развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому  большинство учащихся,  даже  старшеклассников,   не   овладевает    начальными   приемами  логического мышления (анализ, сравнение, синтез,  абстрагирование и др.) Роль математики в развитии логического мышления  исключительно  велика. Причина  столь  исключительной  роли  математики  в том,  что   это   самая теоретическая наука из  всех  изучаемых  в  школе.  В   ней  высокий  уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом  изложения знаний  является способ восхождения от абстрактного к  конкретному.  Как  показывает  опыт,  в младшем школьном возрасте одним  из эффективных  способов  развития  мышления является решение школьниками нестандартных логических задач. Кроме того, решение нестандартных логических  задач  способно  привить интерес ребенка к  изучению  «классической»  математики.  В  этом   отношении весьма характерен  следующий  пример.  Крупнейший  математик   современности, создатель  московской  математической  школы,  академик   Николай  Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике   сплошные  двойки.  Учитель прямо сказал родителям Н.Н. Лузина, что их сын  в математике безнадежен,  что он туп и  что  вряд  ли  он  сможет  учиться  в   гимназии.  Родители  наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле­еле перешел в следующий класс. Однако репетитор этот оказался человеком  умным  и  проницательным.  Он заметил невероятную  вещь:  мальчик  не   умел  решать  простые,  примитивные задачи, но у него иногда  вдруг  получались  задачи  нестандартные,  гораздо более сложные и трудные.  Он  воспользовался  этим  и  сумел  заинтересовать математикой  этого,  казалось  бы,  бездарного  мальчика.  Благодаря  такому  творческому  подходу  педагога  из  мальчика  впоследствии  вышел  ученый   с мировым именем, не только много сделавший для  математики,  но  и   создавший крупнейшую советскую математическую школу. Значительное  место  вопросу  обучения  младших  школьников  логическим задачам  уделял в  своих  работах  известнейший  отечественный  педагог  В.Сухомлинский.  Суть его размышлений сводится к изучению  и  анализу  процесса решения детьми  логических  задач,  при  этом  он  опытным  путем   выявлял  особенности мышления детей. О работе в  этом  направлении  он  так  пишет   в своей прекрасной книге "Сердце отдаю детям": "В  окружающем  мире  ­   тысячи задач. Их придумал народ, они живут  в  народном  творчестве  как  рассказы­ загадки". Сухомлинский  наблюдал  за  ходом   мышления   детей,   и   наблюдения подтвердили, "что прежде  всего  надо  научить  детей  охватывать   мысленным взором ряд  предметов,  явлений,  событий,  осмысливать  связи   между  ними…Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что   неумение  осмыслить, например, задачу  ­  следствие  неумения   абстрагироваться,  отвлекаться  отконкретного. Надо научить ребят мыслить  абстрактными  понятиями"  ([11],  с.124). Вот одна из задач, которые  дети  решали  в  школе  Сухомлинского:  "С одного берега на другой надо перевезти волка, козу и  капусту.   Одновременно нельзя ни перевозить, ни оставлять вместе на берегу волка  и   козу,  козу  и капусту.  Можно  перевозить  только  волка  с  капустой   или    же   каждого "пассажира"  в  отдельности.  Можно  делать  сколько  угодно    рейсов.   Как перевезти волка, козу и капусту, чтобы всё обошлось  благополучно?" Интересно,   что   задача   о   волке,   козе   и   капусте    подробно проанализирована в книге немецкого ученого А. Ноумана "Принять  решение ­  но как?", где в популярной форме изложены основы  теории   принятия  решений.  В книге приведена картинка, на которой изображены   волк,  коза  и  капуста  на берегу реки, а также графическая схема решения  задачи, отражающая  состояния "пассажиров" на обоих берегах, а также переезды через реку туда  и  обратно. Тем самым шуточная задача является  первым  звеном  в  построении   серьезной математической дисциплины. Проблемой внедрения в школьный  курс  математики  логических  задач  не только исследователи в области педагогики и  психологии,  но  и  математики­ методисты. Поэтому при написании  работы  использовалась   специализированная литература как первого, так и второго направления. Данная  работа  состоит  из  двух  глав.  В   первой   рассматриваются теоретические аспекты использования логических задач на уроках  математики  в начальной  школе,  во  второй  –  практико­методологические   аспекты  такого использования.  В  приложениях  к  работе   приведены    условия   конкретных логических задач, взятых из различных источников. Глава I. Теоретические аспекты использования логических задач на  уроках математики в начальной школе. 1.1 Логико­психологические проблемы начальной математики как учебного предмета В последнее время у нас  и  за  рубежом  часто  обсуждается  вопрос  о недостатках традиционных  программ  преподавания  математики  в  школе.   Этипрограммы   не   содержат   основных   принципов   и   понятий    современной математической науки,  не  обеспечивают  должного  развития   математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и  цельностью по отношению  к начальной, средней и высшей школе. Во многих странах и в международных  организациях  ведется  работа  по усовершенствованию учебных программ.  Выдвигаются  различные   предложения  о путях рационального изложения современных  математических понятий в  школьных курсах (в основном для средней  школы). Построение  математики  как  целостного  учебного  предмета  ­   весьма сложная  задача,  требующая  приложения  совместных   усилий    педагогов   и математиков, психологов  и  логиков.  Важным  моментом   решения  этой  общей задачи является выделение понятий,  которые  должны   вводиться  в  начальном курсе изучения математики в школе.  Эти  понятия   составляют  фундамент  для построения всего учебного предмета. От  исходных понятий,  усвоенных  детьми, во многом зависит общая  ориентировка в математической действительности,  что в свою очередь существенно влияет на последующее продвижение в этой   области знания. Многие трудности усвоения математики в начальной  и   средней  школе, представляется,  проистекают,  во­первых,   из­за    несоответствия   знаний, усваиваемых учащимися, тем  понятиям,  которые   действительно  конституируют математические  построения,  во­вторых,  из­ за  неверной  последовательности введения общематематических понятий в  школьные курсы. В последнее время при модернизации программ  особое   значение  придают подведению  теоретико­множественного  фундамента  под   школьный  курс   (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас,  и  за   рубежом).  Реализация  этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах)  неизбежно  поставит ряд трудных вопросов перед детской  и   педагогической  психологией  и  перед дидактикой, ибо сейчас  почти  нет   исследований,  раскрывающих  особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от  усвоения  счета  и числа, которое исследовалось весьма многосторонне). В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках  (работы  Н.Бурбаки).   Это обстоятельство тесно связано с  определением  природы  самой   математической абстракции, способов ее выведения,  т.е.  с  логической   стороной  проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного  предмета. С поступлением ребенка в школу в  его  жизни  происходят   существенные изменения,  коренным  образом   меняется   социальная    ситуация   развития, формируется учебная деятельность, которая  является   для  него  ведущей.  На основе   учебной   деятельности   развиваются     основные    психологические новообразования младшего школьного возраста. Обучение выдвигает  мышление  в центр  сознания  ребенка.  Тем  самым    мышление   становится   доминирующей функцией. Мыслительная деятельность людей совершается  при  помощи  мыслительных  операций:   сравнения,   анализа,   синтеза,   абстракции,    обобщения    и  конкретизации. Сравнение – это  сопоставление  предметов  и  явлений  с  целью  найти сходство и различие между ними. Анализ – это мысленное расчленение  предмета или явления на  образующие его части, выделение в нем отдельных  частей, признаков и свойств. Синтез –  это  мысленное  соединение  отдельных элементов,  частей  и признаков в единое целое. Анализ и синтез неразрывно связаны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания. Анализ и синтез – важнейшие мыслительные операции. Абстракция – это мысленное выделение существенных свойств и  признаков предметов  или  явлений  при  одновременном  отвлечении  от   несущественных. Абстракция лежит в основе обобщения. Обобщение – мысленное объединение предметов и явлений в группы по  тем общим   и   существенным   признакам,   которые   выделяются   в    процессе абстрагирования.  Процессам  абстрагирования  и   обобщения    противоположен процесс конкретизации. Конкретизация – мыслительный переход от общего к  единичному,  которое соответствует  этому  общему.  В  учебной  деятельности  конкретизировать  – значит привести пример. Мышление ребенка дошкольного возраста наглядно­ образное,  предмет  его мысли – предметы  и  явления,  которые  он   воспринимает  или  представляет. Навыки анализа у него элементарны, в  содержание обобщений и  понятий  входят лишь внешние и часто  несущественные признаки. С началом обучения в  школе  у  ребенка  не   только  расширяется  круг представлений и понятий, но и сами представления и понятия становятся  более полными и точными. Форма обобщающей деятельности школьников на разной ступени обучения не  остается постоянной. Вначале она строится обычно на внешней аналогии,   затем основывается на классификации признаков, относящихся к внешним   свойствам  и качествам  предметов,  и,  наконец,  учащиеся  переходят  к    систематизации существенных признаков. В процессе обучения в школе совершенствуется и способность  школьников формулировать суждения  и  производить  умозаключения.  Суждения   школьников развиваются  от  простых  форм  к  сложным  постепенно,  по   мере  овладения знаниями. Первоклассник в большинстве случаев судит о   том  или  ином  факте односторонне, опираясь на единичный внешний признак или  свой  ограниченный опыт. Его суждения, как правило, выражаются в  категорической  утвердительной форме.  Высказывать  предположения,   выражать  и,   тем   более,   оценивать вероятность, возможность наличия того  или  иного  признака,  той  или  иной причины ребенок еще не может. Умение рассуждать, обосновывать и  доказывать  то  или  иное  положение более  или  менее  уверенно  и   правильно  тоже  приходит  постепенно  и   в результате специальной  организации учебной деятельности. Развитие мышления, совершенствование  умственных операций,  способности рассуждать прямым  образом  зависят  от  методов  обучения.  Умение  мыслить логически,  выполнять  умозаключения   без  наглядной   опоры,   сопоставлять суждения по определенным правилам ­  необходимое условие  успешного  усвоения учебного  материала.  Широкие   возможности  в  этом   плане   дает   решение логических задач. 1.2 Психологические предпосылки использования нестандартных  логических задач на уроке математики в начальной школе. Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов"  детского   мышления  с общематематическими и общелогическими понятиями. На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции" и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть  связаны сформированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий  и  их  место  в   аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения  уже хорошо  развитой  и "натренированной" в математике  головы.  Однако   некоторые  свойства  вещей, фиксируемые этими понятиями,  так  или  иначе   проступают  для  ребенка  уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные. Прежде всего следует иметь в виду, что от момента  рождения до 7  ­  10 лет  у  ребенка   возникают   и   формируются    сложнейшие   системы   общих представлений об окружающем мире и  закладывается  фундамент   содержательно­ предметного мышления. Причем на сравнительно  узком   эмпирическом  материале дети выделяют общие схемы ориентации в  пространственно­временных и причинно­ следственных зависимостях вещей.  Эти схемы служат своеобразным каркасом  той "системы координат", внутри  которой ребенок начинает все  глубже  овладевать разными свойствами   многообразного  мира.  Конечно,  эти  общие  схемы  мало осознаны и в малой степени  могут  быть  выражены  самим  ребенком  в   форме отвлеченного суждения. Они,  говоря  образно,  являются  интуитивной формой организации  поведения  ребенка  (хотя,   кoнечно,   все   более   и    более отображаются и в суждениях). В  последние  десятилетия  особенно  интенсивно  вопросы  формирования интеллекта   детей   и   возникновения   у   них   общих   представлений   о действительности, времени и  пространстве  изучались  известным   швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его   работы  имеют  прямое отношение к проблемам развития математического  мышления ребенка. В одной из своих последних книг, написанной совместно  с  Б.  Инельдер ([10]),  Ж.  Пиаже  приводит   экспериментальные   данные   о   генезисе   и формировании у  детей  (до  12  ­  14  лет)  таких  элементарных  логических структур,  как  классификация   и   сериация.   Классификация   предполагает выполнение операции включения  (например,  А  +  А'  =  В)  и  операции,  ей обратной  (В  ­  А'  =  А).  Сериация  ­  это   упорядочение   предметов   в систематические ряды (так, палочки разной длины  можно  расположить  в   ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех  последующих). Анализируя  становление  классификации,  Ж.  Пиаже   и   Б.    Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания  "фигурной   совокупности", основанной лишь на пространственной  близости  объектов,   дети  переходят  к классификации,   основанной   уже   на   отношении    сходства   ("нефигурные совокупности"), а затем  к  самой  сложной  форме  ­  к  включению  классов, обусловленному  связью  между  объемом   и    содержанием   понятия.   Авторы специально рассматривают вопрос о  формировании классификации  не  только  по одному, но и по двум­трем  признакам, о формировании у детей умения  изменять основание классификации при добавлении новых элементов.  Аналогичные   стадии авторы находят и в процессе становления сериации. Эти исследования  преследовали  вполне  определенную  цель  ­  выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде  всего   такого их  конституирующего  свойства  как  обратимость,   т.е.   способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость  имеет  место   тогда, когда "операции и действия  могут  развертываться  в  двух   направлениях,  и понимание одного из этих направлений вызывает  ipso  facto   (в  силу  самого факта) понимание другого" ([10], стр. 15). Ж.  Пиаже   считает,   что   психологическое   исследование   развития арифметических и геометрических операций в сознании  ребенка  (особенно   тех логических операций, которые осуществляют  в  них  предварительные   условия) позволяет точно соотнести  операторные  структуры  мышления  со   структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Так, алгебраическая структура   ("группа")    соответствует    операторным     механизмам    ума, подчиняющимся одной из  форм  обратимости  ­  инверсии  (отрицанию).  Группа имеет четыре  элементарных  свойства:  произведение   двух  элементов  группы также дает элемент группы; прямой операции  соответствует одна и только  одна обратная;  существует  операция    тождества;   последовательные   композиции ассоциативны. На языке  интеллектуальных действий это означает: координация двух систем действия  составляет новую  схему,  присоединяемую  к предыдущим; операция может развиваться в двух направлениях; при возвращении к  исходной точке мы находим ее неизменной; к одной и той же точке  можно   прийти  разными  путями,  причем  сама  точка остается неизменной. Структуре  порядка  соответствует   такая   форма   обратимости,   как взаимность  (перестановка  порядка).  В  период  от  7  до  11  лет  система отношений, основанная на  принципе  взаимности,  приводит  к  образованию   в сознании ребенка структуры порядка. Рассмотрим   основные   положения,    сформулированные    Ж.    Пиаже, применительно  к  вопросам  построения   учебной  программы.  Прежде   всего, исследования Ж. Пиаже показывают,   что  в  период  дошкольного  и  школьного детства у ребенка формируются  такие операторные структуры мышления,  которые позволяют ему оценивать  фундаментальные характеристики  классов  объектов  и их отношений.  Причем уже на  стадии  конкретных  операций  (с  7  ­  8  лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно   важно для понимания  теоретического  содержания  учебных  предметов,  в   частности математики. Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика  не учитывали  в  достаточной  мере  сложного  и  емкого  характера  тех  стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет. Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры  прямо  соотносит  с  основными математическими структурами.  Он  утверждает,  что  математическое   мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных  структур (и  при  этом остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство  можно  выразить  и в такой форме:  не  "знакомство"  с  математическими   объектами  и  усвоение способов действия с  ними  определяют   формирование  у  ребенка  операторных структур ума, а предварительное  образование этих структур (как  "координации действий")   является   началом   математического   мышления,    "выделения" математических структур. Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже,  позволяет  сделать  ряд существенных выводов применительно к  конструированию  учебной  программы  по математике. Прежде  всего,   фактические  данные  о  формировании  интеллекта ребенка с 7 до 11 лет  говорят о том, что  ему  в  это  время  не  только  не "чужды" свойства  объектов, описываемые  посредством  математических  понятий "отношение ­ структура" но последние  сами  органически  входят  в   мышление ребенка. Традиционные задачи начальной  школьной  программы  по  математике  не учитывают  этого   обстоятельства.   Поэтому   они   не   реализуют   многих возможностей, таящихся в  процессе  интеллектуального  развития  ребенка.   В этой  связи  практика  внедрения  в  начальный  школьный   курс    математики логических задач должна стать нормальным явлением. Материалы,  имеющиеся  в  современной  детской  психологии,  позволяют положительно оценивать  общую  идею  внедрения  в  учебные  программы   таких задач, в основе  которого  лежали  бы  понятия  об  исходных   математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие  трудности, так  как  еще нет опыта построения такого учебного предмета.  В   частности,  одна  из  них связана  с  определением  возрастного  "порога",  с которого   осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо,  по этим программам  можно  учить  лишь  тогда,   когда  у  детей  уже  полностью сформировались операторные структуры (с 14 ­ 15 лет). Но если  предположить, что реальное математическое мышление   ребенка  формируется  как  раз  внутри того  процесса,  который  обозначается  Ж.  Пиаже  как  процесс  складывания операторных  структур,  то  эти  программы  можно  вводить  гораздо   раньше (например, с 7 ­ 8 лет), когда у  детей  начинают  формироваться  конкретные  операции с  высшим  уровнем  обратимости.  В  "естественных"  условиях,   при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только  и складываются к 13 ­ 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их  формирование  путем более раннего введения такого учебного материала,  усвоение которого  требует прямого анализа математических структур? Представляется, что такие возможности есть. К 7 ­ 8 годам у детей  уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и  путем  обучения   по соответствующей программе, в которой свойства математических   структур  даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее   подвести  детей  к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые  это  осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств. При этом важно  учитывать  следующее  обстоятельство.  Есть  основания полагать,  что  особенности  мышления   на   уровне   конкретных   операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 ­ 11 годам,  сами  неразрывно  связаны  с   формами организации  обучения,  свойственными  традиционной  начальной   школе.   Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе  предельно   эмпирического содержания, зачастую  вообще  не  связанного  с  понятийным   (теоретическим) отношением к объекту. Такое  обучение  поддерживает  и   закрепляет  у  детей мышление, опирающееся  на  внешние,  прямым   восприятием  уловимые  признаки вещей. Таким  образом,  в  настоящее   время   имеются   фактические   данные, показывающие  тесную  связь   операторных  структур   детского   мышления   и общематематических и  общелогических структур,  хотя  "механизм"  этой  связи далеко  не  ясен  и  почти  не  исследован.  Наличие  этой  связи  открывает принципиальные    возможности    для    построения    учебного     предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур ­ к их сложным   сочетаниям". И  значительное  место  в  таком  построении  должно   принадлежать  широкому применению в процессе обучения младших  школьников  нестандартных  логических задач. Глава II. Методика использования логических задач на уроках  математики в начальной школе 2.1 Интегрированное обучение и развитие мышления в простой игре Общее соображение  о  важности  широкого  внедрения  в  школьный  урок математики    нестандартных    логических    задач    дополним     описанием соответствующих   методических   установок.   Ниже    рассмотрим     методику использования на уроках  математики  в  начальной  школе   специального  типа логических  задач,  связанных  с  внедрением  в  сознание   ребенка  основных понятий  математической  логики.  Эта  методика  была   разработана   ведущим отечественным методистом А.А. Столяром. "Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого класса, ­ учить рассуждать, учить мыслить", ­ писал  А.А.  Столяр  ([9],  c. 11).  Для  достижения  наилучших  результатов  в  освоении  учащимися   основ логического  мышления  и  в  изучении  геометрических  фигур   А.А.    Столяр использовал  в  своей  практике  игру  с   кругами,   рассмотрение    которой произведено ниже. Игра с кругами, созданная на основе известных кругов Эйлера, позволяет обучать  классифицирующей  деятельности,  закладывает  понимание   логических операций: отрицания ­ не, конъюнкции ­ и, дизъюнкции  ­  или.   Перечисленные логические  операции  имеют  важнейшее  значение,  так  как    различные   их комбинации  образуют  всевозможные  и  сколь   угодно    сложные   логические структуры. Из функциональных элементов,  реализующих логические операции  не, и, или, конструируются схемы  современных ЭВМ. К  концу  дошкольного  возраста   у   ребенка    проявляются   признаки логического  мышления.  В  своих  рассуждениях  он   начинает   использовать логические операции и на их основе  строить   умозаключения.  Очень  важно  в этот период научить ребенка логически  мыслить и обосновывать свои  суждения. Для игры с кругами нужны нарисованные на  бумаге  один,  два  или  три пересекающихся  круга  разного   цвета,   разноцветные   обручи   и   наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и   буквами русского  алфавита.  В  принципе  необязательно  использовать   круги,  можно работать с любыми замкнутыми плоскими  фигурами.  В  этом   случае  замкнутые области выделяются на монтажной панели,  к  примеру,   цветными  веревочками. Возможна также работа на компьютере со  специальной компьютерной  программой. Комплексное обучение, сочетающее  игры с обручами со всем  классом,  игру  за столом в группе и  индивидуальную работу за  компьютером,  является  наиболее эффективным. Приведем несколько примеров заданий  для  игры  "Круги".   Предлагаемая методика игрового обучения взята из работы ([9]). Она  может   использоваться начиная с первого класса. 1. Задачи с одним кругом Цель работы над задачами  с  одним  кругом  ­  учить  классифицировать предметы по  одному  признаку,  понимать  и  применять  логическую   операцию отрицания не. Игра проводится со всем классом или группой. У  учеников в руках наборы квадратов, кругов  и  треугольников  разных  цветов и  размеров.  В  центре игровой площадки помещен обруч или на доске  нарисован круг. Учитель: ­ Покажите треугольные фигуры. ­ Покажите красные фигуры. ­ Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга. ­ Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне круга. Ученики выборочно выполняют эти простые задания. Надо быть  готовым  к тому, что здесь необязательно сразу  будут  правильные  результаты.  Понятия "внутри"  и  "вне"  у  многих  детей  в  этом  возрасте  еще  не   полностью  сформированы. Учитель: ­ Положите внутрь круга треугольные фигуры. Ученики случайным образом  (например, с закрытыми глазами) выбирают  по одной геометрической фигуре  из своего набора и по  очереди  помещают  их  на заданное место. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в   случае ошибки  поднимают  руку  и  говорят:  "Стоп".  Ошибка  обсуждается   со  всей группой. После того как все фигуры размещены, учитель задает два новых вопроса. Учитель: ­ Какие геометрические фигуры лежат внутри круга? Ученик: ­ Внутри круга лежат треугольные фигуры. Этот ответ содержится в самом условии только  что  решенной  задачи  и формулируется обычно без особого труда. Правильного ответа на второй   вопрос приходится ждать дольше. Учитель: ­ Какие геометрические фигуры лежат вне круга? Правильный ответ ученика: ­ Вне круга лежат нетреугольные фигуры. Возможные неправильные ответы: ­ вне круга лежат большие фигуры  (но  и  внутри  круга  могут  лежать большие фигуры); ­ вне круга лежат красные фигуры  (но  и  внутри  круга  могут  лежать красные фигуры); ­ вне круга лежат квадраты  (не  описывает  все  фигуры,  лежащие  вне круга). Ответ: ­ вне круга лежат квадраты и круги ­ является правильным, но наша цель в данном случае ­ охарактеризовать свойство фигур, лежащих вне круга,   через свойство фигур внутри круга. Возможно, потребуется уточнение к  условию задачи: ­ Выразите свойство всех фигур, лежащих вне круга, одним словом. Очень трудно бывает учителю  удержаться  от  произнесения  правильного ответа самому. На уроке, проводимом А.А.  Столяром,  мы  удивились,  как   он умел ждать правильного ответа от детей. Если мы хотим  заниматься   развитием логики у детей,  а  не  добиваться  механического  запоминания,  то спешить нельзя. В дальнейшем в  игру  вносятся  варианты  вопросов   различной  степени трудности. В частности, можно задавать вопросы на  подсчет  количества  фигур с определенным признаком. Эту игру нужно провести в простом варианте 3­5 раз перед  переходом  к игре с двумя кругами, но возвращаться  к  ней  с  более  сложными  заданиями  следует неоднократно. Примеры заданий. При выполнении каждого из этих заданий очень важно не только правильно разложить фигуры или карточки, но и правильно ответить на вопросы: ­ Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат внутри круга? ­ Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат вне круга? 1. В круг положите все красные фигуры. Вне круга лежат некратные фигуры. 2. В круг положите все круглые фигуры. Вне круга лежат некруглые фигуры. 3. В круг положите все некруглые фигуры. Скорее всего ученики сразу дадут  правильный ответ:  "Вне  круга  лежат круглые фигуры". Однако возможен и  ответ:  "Вне  круга  лежат  НЕ  Некруглые фигуры". Эта задача помогает  ввести и обсудить понятие двойного отрицания. Игру с кругами можно использовать и для изучения свойств чисел,  букв, звуков. Вот несколько таких примеров. 4. В круг положите все числа, большие 5. Вне круга лежит и число 5,  поэтому  ответ  "Вне  круга  лежат  числа, меньшие 5" будет неверным. Правильный ответ: "Вне круга лежат числа не  больше 5". 5. В круг положите все числа, делящиеся на 2 (3, 5...). Эта задача может быть  использована для  изучения  признаков  делимости чисел. 6. В круг положите все гласные буквы. Вне круга кроме согласных букв лежат еще Ь и  Ь,  поэтому  ответ  "Вне круга лежат согласные буквы" не будет  верным. Правильный ответ: "Вне круга лежат негласные буквы". 7. В круг положите все буквы, смягчающие согласные. Не надо думать, что игра с одним кругом содержит только очень  простые задания. Попробуйте правильно ответить на вопрос: "Какие  фигуры  лежат   вне круга, если внутри круга лежат фигуры, являющиеся  одновременно   красными  и треугольными?" Сравните свой ответ с ответом в конце статьи. Если ваши ученики освоили рассмотренные выше задачи, можно  перейти  к следующему этапу игры с более сложными заданиями: 8. В круг положите все числа, делящиеся на 2 и на 3 одновременно. Вне круга лежат числа, не делящиеся на 2 или не делящиеся на 3. 9. В круг положите все числа, делящиеся на 2 или на 3. Вне круга лежат числа, не делящиеся ни на 2, ни на 3. 10. В  круг  положите  все  геометрические  фигуры,  которые  являются красными или треугольными. Вне  круга  лежат  геометрические  фигуры,   являющиеся   одновременно некратными и нетреугольными. 11. В круг положите все гласные буквы, обозначающие один звук. При работе с небольшими  группами  или  при  индивидуальной  работе  с учащимися за  столами,  можно  разобрать  обратные  задачи.  В  этом  случае геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на  столе   или закрепляются на монтажной панели, а затем ученикам дается задание с   помощью веревочки объединить все фигуры, соответствующие одному  признаку. Например: Учитель: ­  Проведите  замкнутую  линию  так,  чтобы  внутри  были  только  все треугольники. Замкнутая  линия  проводится  с  помощью   тоненькой    веревочки   или карандаша. Далее можно обсуждать с учениками те же  вопросы,  что  и  приведенные выше в задачах  с  кругами.  Перед  такой  игрой  необходимо  предварительно изучить и закрепить понятие замкнутой линии. Один  из  наиболее   эффективных способов усвоения этого понятия ­ работа в графическом  редакторе,  связанная с заливкой областей.  Достаточно  один  раз  испортить   свой  рисунок  из­за заливки незамкнутой области, как это понятие твердо  формируется  в  сознании ребенка. 2. Задачи с двумя кругами Цель  работы  над  задачами  с  двумя   кругами   ­   развить   умение классифицировать  предметы  по  двум   свойствам,   понимать   и   применять логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и. У учащихся в руках тот же раздаточный  материал,  но  теперь  они  уже будут работать с двумя кругами или обручами разных цветов с   пересекающимися областями. Синий, красный Перед решением задач необходимо выполнить ряд упражнений для выявления замкнутых областей,  ограниченных  проведенными  окружностями.  Лучше   всего такие упражнения проводить на групповых занятиях с использованием  обручей. Учитель: ­ Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку)  внутри  синего,  но вне красного круга. ­ Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри красного,  но вне синего круга. ­ Прыгните и приземлитесь (поставьте  мелом  точку)  внутри  синего  и внутри красного кругов. ­ Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку)  вне  синего  и  вне красного кругов. Ученики по очереди выполняют задания, наблюдая  друг  за  другом.  При выполнении этих упражнений в первый раз ошибки встречаются  довольно   часто. В случае ошибок важно добиться правильного объяснения от других   учеников  и понимания этого объяснения всеми учениками. Учитель: ­ Обведите границу области внутри синего, но вне красного круга. ­ Обведите границу области внутри красного, но вне синего круга. ­ Обведите границу области внутри синего и внутри красного кругов. ­ Обведите границу области вне синего и вне красного кругов. После   успешного   выполнения   подготовительных   упражнений   можно приступить к решению задач. 1. В красный круг  поместите  все  красные  фигуры,  а  в  синий  круг поместите все треугольные фигуры. Так же как и при решении  задач  с  одним  кругом,  ученики  случайным образом выбирают по одной  геометрической  фигуре  из  своего  набора  и  по очереди помещают их в одну из областей. Все  дети  наблюдают  за   действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят:   "Стоп".  Ошибка обсуждается со всей группой. Если в процессе  выполнения   задачи  кто­то  из учеников совершил ошибку, которая осталась незамеченной, то  учитель  может оставить ее до последнего обсуждения, но при решении   первых  задач  учителю лучше участвовать в игре вместе со всеми и самому   произнести:  "Стоп".  При первом решении задачи  полезно  также  просить   каждого  ученика  объяснить, почему он кладет фигуру именно на это место. Ученик: ­ Красный круг должен лежать внутри  красного  круга,  потому  что  он красный, но вне синего круга, потому что он нетреугольный. ­ Синий квадрат должен лежать вне обоих кругов (вне красного ­  потому что он некрасный, вне синего ­ потому что нетреугольный). ­ Красный  треугольник  должен  лежать  внутри  обоих  кругов  (внутри красного ­ потому что он красный, внутри синего ­ потому что треугольный). Если дети в процессе первой игры не догадываются,  как  им  поступить, или не могут объяснить  свои  действия,  то  учитель  должен  помочь  им.  В дальнейшем они уже не должны испытывать затруднений. После задачи с расположением фигур ученики отвечают на четыре вопроса: Какие фигуры лежат: ­ внутри обоих кругов; ­ внутри синего, но вне красного круга; ­ внутри красного, но вне синего круга; ­ вне обоих кругов? Фигуры надо называть, опираясь на два свойства ­ цвет и форму. Учитель: ­ Какие фигуры лежат внутри обоих кругов? Ученик: ­ Внутри обоих кругов лежат все красные треугольные фигуры. Учитель: ­ Какие фигуры лежат внутри синего, но вне красного круга? Ученик: ­ Внутри синего, но вне красного круга лежат все треугольные некрасные фигуры. Учитель: ­ Какие фигуры лежат внутри красного, но вне синего круга? Ученик: ­ Внутри красного, но вне синего круга лежат все красные нетреугольные фигуры. Учитель: ­ Какие фигуры лежат вне обоих кругов? Ученик: ­ Вне обоих кругов лежат все некрасные и нетреугольные фигуры. Второй  и  третий  вопросы,  как  показывает  опыт,  в  самом   начале проведения игр  с  двумя  кругами  вызывают  наибольшие  затруднения.   Можно помочь ребятам посредством наводящих вопросов. Учитель: ­ Какие фигуры лежат внутри красного круга? Ученик: ­ Красные. Учитель: ­ Какие фигуры лежат вне синего круга? Ученик: ­ Нетреугольные. Учитель: ­ Значит, внутри красного круга, но вне синего круга лежат все красные нетреугольные фигуры. При работе с детьми первого класса, особенно по программе 1­4,  наряду с логическими задачами можно ставить и задачи подсчета фигур. Сколько фигур лежит: ­ внутри обоих кругов; ­ внутри синего, но вне красного круга; ­ внутри красного, но вне синего круга; ­ вне обоих кругов? Можно усложнить вопрос, добавив к подсчету фигур их признак: Сколько зеленых фигур лежит вне обоих кругов? Далее приводится несколько задач без разбора их  решений  и  вариантов диалога с учениками. Перед каждой задачей определяется набор   геометрических фигур, букв или чисел, с которыми предстоит работать. 1. В красный круг положите все  квадратные  фигуры,  а  в  синий  круг положите все зеленые фигуры. 2. В красный круг положите все желтые фигуры, а в синий круг  положите все зеленые фигуры. 3. В красный круг положите  все  маленькие  фигуры,  а  в  синий  круг положите все круглые фигуры. 4. В красный круг положите все круглые фигуры, а в синий круг положите все квадратные фигуры. В этой задаче область пересечения обоих кругов также остается  пустой, так как нет фигур одновременно круглых и квадратных. 5. В красный круг положите все большие фигуры, а в синий круг положите все прямоугольные фигуры. 6. В красный круг положите все числа, делящиеся на 3, а в  синий  круг положите все четные числа. 7. В красный круг положите все числа больше 5, а в синий круг положите все числа, меньше 10. Для рассмотренного класса задач, как  и  для  задач  с  одним  кругом, полезно  в  процесс  обучения  включить  обратные  задачи.  В  этом   случае геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на  столе   или закрепляются  на  монтажной  панели,  а  затем   ученикам   дается    задание обьединить  с   помощью   двух   веревочек   разного   цвета   все    фигуры, соответствующие одному признаку, заключив их внутри замкнутых  фигур. Например: Учитель: ­ Красной  веревочкой  объедините  все  треугольные  фигуры,  а  синей веревочкой объедините все красные фигуры. Вопросы для обсуждения с учащимися  аналогичны  приведенным  выше  для прямых задач с двумя кругами. Обратные задачи  также  развивают   способность классифицировать  предметы  по  двум   свойствам,   правильно   использовать логическую операцию конъюнкции, выражаемую  союзом  и.  Эти  задачи   требуют большей внимательности. Выше были приведены только некоторые задачи, затрагивающие интуитивное понимание основных логических конструкций математики. Материал для   подобных задач  может  быть  взят  и   из   других   учебных   предметов   (например, природоведения). Умение классифицировать по трем признакам и  применять  более  сложные логические операции отрабатывается на играх с тремя кругами. 2.2 Организация различных форм работы с логическими задачами Выше неоднократно  утверждалось,  что  развитие  у  детей  логического мышления – это одна из важных  задач  начального  обучения.  Умение   мыслить логически,  выполнять  умозаключения  без  наглядной   опоры,    сопоставлять суждения по определенным правилам – необходимое условие   успешного  усвоения учебного материала. Основная работа для развития логического  мышления  должна  вестись  с задачей. Ведь в любой  задаче  заложены  большие  возможности  для   развития логического мышления. Нестандартные логические задачи –  отличный  инструмент для такого развития. Существует значительное  множество  такого  рода  задач; особенно  много  подобной   специализированной  литературы  было  выпущено  в последние годы. Конкретные примеры логических задач приведены в   приложениях 1 и 2. Однако что зачастую наблюдается  на  практике?   Учащимся  предлагается задача, они знакомятся с нею и  вместе  с  учителем   анализируют  условие  и решают ее. Но извлекается ли из такой  работы   максимум  пользы?  Нет.  Если дать эту задачу через день­два, то часть   учащихся  может  вновь  испытывать затруднения при решении. Наибольший  эффект  при  этом  может  быть  достигнут   в   результате применения различных форм работы над задачей. Это (методика подробно описана в работе [4]): 1. Работа  над  решенной задачей. Многие учащиеся  только  после  повторного  анализа  осознают  план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике.   Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается. 2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению  задач разными способами в  основном  из­за  нехватки  времени.  А  ведь  это  умение свидетельствует о достаточно высоком математическом  развитии.   Кроме того, привычка нахождения другого способа решения  сыграет   большую  роль  в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем учащимся,   а  лишь  тем,  кто любит математику, имеет особые математические  способности. 3. Правильно организованный способ анализа задачи ­ с вопроса  или  от данных к вопросу. 4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку"). Учитель  обращает  внимание  детей  на  детали,  которые  нужно  обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие  в  этой   ситуации. Разбиение  текста  задачи  на  смысловые  части.  Моделирование  ситуации  с  помощью чертежа, рисунка. 5. Самостоятельное составление задач учащимися. Составить задачу: 1) используя слова:  больше  на,  столько,  сколько, меньше в, на столько больше, на столько  меньше;  2)  решаемую  в  1,  2,  3 действия; 3) по  данному  ее  плану  решения,  действиям  и  ответу;  4)  по выражению и т.д. 6. Решение задач с недостающими или лишними данными. 7. Изменение вопроса задачи. 8. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать  те  выражения,  которые   являются ответом на вопрос задачи. 9. Объяснение готового решения задачи. 10. Использование приема сравнения задач и их решений. 11. Запись двух решений на доске ­ одного верного и другого неверного. 12.  Изменение  условия  задачи  так,  чтобы  задача  решалась  другим действием. 13. Закончить решение задачи. 14. Какой вопрос и  какое  действие  лишние  в  решении  задачи  (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче). 15. Составление аналогичной задачи с измененными данными. 16. Решение обратных задач. Систематическое  использование  на  уроках  математики  и   внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на  развитие   логического мышления,  организованных  согласно  приведенной   выше    схеме,   расширяет математический  кругозор  младших  школьников  и   позволяет  более  уверенно ориентироваться в простейших закономерностях  окружающей их  действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни. Заключение Важнейшей  задачей  математического  образования  является  вооружение учащихся общими приемами мышления, пространственного  воображения,   развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение  логично   рассуждать, усвоить  навыки   алгоритмического   мышления.   Каждому    важно   научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, отчетливо  выражать свои мысли,  а с  другой  стороны  ­  развить  воображение  и   интуицию   (пространственное представление,  способность  предвидеть   результат   и   предугадать   путь решения). Именно  математика  предоставляет  благоприятные  возможности   для воспитания  воли,  трудолюбия  ,  настойчивости  в  преодолении   трудностей, упорства в достижении целей. Сегодня  математика  как  живая  наука  с   многосторонними   связями, оказывающая  существенное  влияние  на  развитие  других  наук  и  практики,  является базой научно­технического прогресса и важной  компонентой   развития личности. Одной из основных целей изучения математики  является  формирование  и развитие   мышления   человека,   прежде   всего,   абстрактного   мышления, способности  к  абстрагированию  и   умения   "работать"   с   абстрактными, "неосязаемыми" объектами. В процессе изучения математики в  наиболее   чистом виде   может   быть   сформировано   логическое   (дедуктивное)     мышление, алгоритмическое мышление, многие качества  мышления  ­  такие,  как  сила  и гибкость, конструктивность и критичность и т.д. Поэтому  в  качестве  одного  из  основополагающих   принципов   новой концепции в "математике для всех" на первый план выдвинута  идея   приоритета развивающей функции обучения математике. В  соответствии  с   этим  принципом центром методической системы  обучения  математике   становится  не  изучение основ математической науки как  таковой,  а   познание  окружающего  человека мира  средствами  математики  и,  как   следствие,  к  динамичной   адаптации человека к этому миру, к социализации  личности. Основной целью математического образования должно быть  развитие умения математически,  а  значит,  логически  и   осознанно    исследовать   явления реального мира. Реализации этой цели может и должно   способствовать  решение на  уроках  математики  различного  рода   нестандартных  логических   задач. Поэтому  использование  учителем  начальной  школы  этих  задач  на   уроках математики является не только желательным,  но  даже  необходимым   элементом обучения математике. СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ 1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый  раз,  когда  он  делает  два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За  какое  время  он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду? 2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке.   Только он успел нарисовать 5 цифр: 12345 как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре  в  это  место   пришёл другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что: 12345 = 60 Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был   решён правильно. 3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если   известно, что она является числом не простым, а составным? 4. Сколько лет сиднем просидел на печи Илья Муромец? Известно, что  если   бы он просидел ещё 2 раза по столько, то его  возраст  составил  бы   наибольшее двузначное число. 5. Барон Мюнхгаузен  пересчитал  число  волшебных  волос  в  бороде   старика Хоттабыча. Оно оказалось  равным  сумме  наименьшего   трёхзначного  числа  и наибольшего двузначного. Что это за число? 6. Раздели самое маленькое четырёхзначное  число  на  наименьшее  простое  и узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница   Гингема из повести­сказки А. Волкова "Волшебник Изумрудного города". ЗАЧЁРКИВАНИЕ, ПРЕВРАЩЕНИЕ, ОТГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ 7. Угадай число от 1 до 28, если в его написание не входят цифры 1, 5  и  7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3. 8. Отгадай число от 1 до 58, если в его написание не входят цифры 1, 2 и  3; кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7. 9. Преврати в числе 123 одну цифру в пятёрку так, чтобы  получившееся   число делилось на 9. Каково оно? 10. Вычти из произвольного двузначного  числа  сумму  его  цифр.  Всегда  ли  разность разделится на 3? А на 9? МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ 11. Напиши такое трёхзначное число, чтобы первая цифра была по крайней   мере на 2 больше, чем третья.  Например:  311.  Запиши  его  цифрами  в   обратном порядке: 113. Из первого  вычти  второе:  получится  198.  Это   число  снова напиши наоборот: 891. И два последние числа сложи. 891 + 198 = 1089 Удивительное дело: какие бы числа мы ни брали, в ответе  всегда будет 1089! Теперь предложи провести все эти  действия  с  числами   кому­то  из  друзей. Представляешь, как он удивится, когда  ты,  не   спрашивая  у  него,  сколько получилось в результате (как это бывает в   других  математических  фокусах), сам назовёшь ответ! Для эффекта  можешь  сообщить  его  не  сразу,  а  через несколько секунд, как бы что­то подсчитывая в уме. Почему так происходит? 12. Попроси товарища задумать  какое­нибудь  двузначное  число,  вычесть  из него сумму его  цифр,  зачеркнуть  в  полученном  результате  одну  цифру  и  сообщить, какое число осталось. После этого ты тотчас скажешь,  какая   цифра зачёркнута! Для этого ты всего­навсего из 9 вычтешь  оставшееся   однозначное число. Пример: 97 – 16 = 81, 8 зачёркивается и друг говорит,  что  осталось  1.  Ты выполняешь в уме вычитание и получаешь в результате зачёркнутую цифру: 9 – 1 = 8. Почему так происходит? Приложение 2. Примерные задания для детей, мотивированных к интеллектуальной деятельности, в возрасте от 6 до 10 лет Эти задания были использованы на занятиях по  комплексной  развивающей программе в группе "ШСМ­чик"  в  Зеленоградском  Психолого­медико­ социальном Центре в 1999/2001 уч. году Мельченко И.В. 1. Сидели на скамеечке 4 девушки: Ольга, Наталья,  Людмила  и  Оксана. Оксана сидела рядом с Ольгой, А Наталья была в синем платье. Людмила  была  в зеленом. Оксана была не последней. Красное платье Ольги хорошо  сочеталось  с синим платьем одной из подруг. Платья  у  девушек  были   красного,  желтого, синего и зеленого цветов. Нарисуйте,  в  каком  порядке   сидели  девушки,  и какого цвета у них  были  платья.  Если  можно,  дайте   несколько  вариантов правильных ответов. 2. На столе лежало 5 синих и 7 красных  карандашей.  Девочка  взяла  6 карандашей. Взяла ли она хоть 1  красный  карандаш?  Докажите  (Нарисуйте   и объясните). 3. Посмотрите на схему: Догадайтесь,  каких  животных  мы  можем  поместить  в  заштрихованную область нашей схемы. Докажите. Перечислите животных и напишите  объяснение. 4. Есть 5 квадратов,  выложенных  с  помощью  спичек.  Переложите  три спички так, чтобы  получилось  три  прямоугольника,  и  не  осталось  лишних  спичек. 5. У Кати был день рожденья. Вечером должны были прийти гости. Катя  с мамой испекли торт и решили  заранее  порезать  его  на  части,  чтобы  всем хватило по кусочку, включая Катю и маму. Мама разрезала торт  пополам.   Катя каждую половину разрезала еще раз пополам. Дальше резать было  сложно ­  торт сыпался, крошился,  и  она  отдала  нож  маме.  Мама  каждый   кусочек  торта разрезала еще на 3 одинаковые части. Сколько гостей должно было прийти к Кате? Объясните. 6. Найди закономерность в расстановке чисел  в  квадрате  (6  х  6)  и заполни пустые клетки. |1      |       |7    |      |13    |16  | |19    |22   |      |28  |31    |34  | |        |40   |43  |      |49    |      |       |55    |       |      |      |67    |70  | Ответ: число + 3 = следующее число |1    |4    |7   |10  |13 |16 | |19  |22  |25 |28  |31 |34 | |37  |40  |43 |46  |49 |52 | |55  |58  |61 |64  |67 |70 |