Мастер-класс по подготовке к ОГЭ "Решение уравнений n-й степени с помощью схемы Горнера"

мастер – класс  Решение уравнений п­й степени с помощью схемы Горнера Учитель: Глинова Марина Михайловна, первая квалификационная категория Класс: 9 Цель мастер­класса: изучение и отработка на практике способа разложение многочленов на множители с помощью схемы Горнера. Формируемые УУД: Предметные: Знать способы разложения многочлена на множители: группировка, вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения. Уметь применять знания, умения и навыки при разложении многочленов на множители. Метапредметные: Коммуникативные: формирование действий учебного сотрудничества в ходе групповой работы и работы в парах;  Регулятивные:  формирование   целевых   установок   учебной   деятельности; выстраивание алгоритма действий; удержание цели деятельности до получения её результата. Познавательные:  произвольно   и   осознанно   владеть   всеми   способами разложения многочленов на множители (изучаемых в курсе алгебры 7 класса) Личностные: формирование   познавательного   интереса; самоконтроля;      мотивации   к   навыков   самоанализа   и самосовершенствованию.   (слайд1 ) Я долго думала, что же мне показать на мастер­классе? чему я могу  научить и как удивить вас, выпускников основной школы? (слайд 2) Сначала я хотела показать   вам один из способов умножения многозначных чисел. Умножать начинают в начальной школе, но и в 5, а порой и в 9 классе всегда найдется ученик для кого данная операция дается с трудом… Да и сильный   ученик   очень   часто,   допустив   ошибку   при   вычислениях,   при проверке – в 50% случаев допускает ту же ошибку. Как вы умножаете многозначные числа? ( в столбик) Я так и думала, и хотела познакомить вас с умножением в «прямоугольнике». Но передумала, так как считаю, что знание таблицы умножения, устранит эту проблему. (слайд3 ) Затем   я   хотела   показать   вам   нахождение   площадей   геометрических фигур. (Данная тема – обязательное задание в ЕГЭ, а теперь и в ГИА.Для математиков она очень актуальна: фигур множество, соответственно формул площадей – тоже – а дети их если сразу не выучили, то потом, обязательно забудут.)                                           (Слайд 4) Мне хотелось показать одну единственную формулу (формулу Пика) с помощью   которой   даже   слабый   ученик   всегда   может   посчитать   площадь фигур – одну формулу он всегда запомнит. Но, потом подумала, что скорее всего вы с ней знакомы и легко вычисляете площадь фигур, используя эту формулу. Определиться с темой мне помогла одна ситуация, возникшая на уроке  в 8 классе, при работе с заданием 21 части 2 ОГЭ. Математика   очень   многогранная   наука   и   охватить   все   в   ней   просто невозможно. Давным­давно   один   восточный   владыка,   просвещенный   и   мудрый, пожелал   узнать   все   о   математике   всех   времен   и   народов.   Вызвал   он приближенных и объявил им свою волю.  ­   Повелеваю,­   молвил   он,­   написать   мне   все   о   математике.   Как   она возникла, какой была раньше, какой стала теперь, какой будет в будущем. Собрать мне все математические знания, что есть в мире,А самое главное ответьте на вопрос  – что это… математика. И дал на это пять лет сроку.  Со всего царства были собраны мудрейшие из мудрецов, и им объявили желание владыки.  Миновало пять лет, и явились приближенные во дворец.  ­ О, великий господин, срок названный тобой ничтожно мал. Мы не успели собрать   даже   тысячной   доли   тех   знаний,  о   которых   ты   говорил,   и   мы   не успели дать ответ на твой главный вопрос. Рассердился владыка, но выглянув в окно увидел, что перед дворцом выстроился караван верблюдов такой длинный, что конец его терялся где­то за горизонтом. И на каждом верблюде нагружено по два громадных тюка. А в каждом тюке было по десять толстенных томов.  ­ Вы смеетесь надо мной! ­ рассердился владыка. ­ Да ведь я до конца своей жизни не успею прочесть и десятой доли того, что они собрали! Нет, пусть напишут мне краткую историю математики.  ­ Пусть напишут мне самое­самое главное. Сколько времени нужно на это?  ­ Завтра, о владыка. Ты получишь то, что желаешь! ­ Завтра? ­ удивился правитель.­ Хорошо.  ... Едва солнце взошло на лазурном небе, как владыка потребовал к себе мудреца. Мудрец вошел, неся в руках маленький ларец из сандалового дерева; ­ Ты найдешь в нем, овладыка, самое главное в математике всех времен и народов, ­ произнес мудрец. Но прежде, чем мы откроем ларец и прочитаем, что там написано, я хочу предложить вам решение одной задачи, которая вызывает затруднение у каждого   девятиклассника,   который   с   ней   сталкивается   при   подготовке   к ОГЭ. Это и будет тема моего мастер­класса: решение уравнений n­х степеней с помощью схемы Горнера (В школе мы не решаем уравнения п­й степени используя   данную   схему   –   но   своим   наиболее   «продвинутым»   ученикам, ориентированным   на   высокий   результат,   я   ее   обязательно   показываю)   И решила показать данную схему и вам. Вопрос: Уравнения какой степени вы умеете решать? (первой, второй, третьей (если можно вынести неизвестное за скобки или применить способ группировки) ­ я предлагаю вам следующее уравнение: х3 + 4х2 – 9х – 36 = 0 ­ Какой способ решения здесь применим? (разложение на множители способом группировки) ­   Откройте   вариант   10   задание   21?   Разберем   данное   уравнение. Применим ли здесь способ группировки? ­ Вот здесь нам и поможет схема Горнера. ­ Любой многочлен можно разложить по формуле Р(х)=(х­а)М(х) +R, где а – корень многочлена, М(х) – многочлен степени п­1, а R – остаток. ­ Найдем корень многочлена. Что называется корнем многочлена? ­ Рассмотрим наш многочлен. Каков его свободный член? (­400) Корень многочлена – один из делителей числа 400. Приведите примеры. Первая группа подставляет вместо х число 1, вторая 2, третья ­4. ­Итак, многочлен обращается в нуль при х=4.Первый множитель при разложении равен (х­4). Работаем со схемой Горнера:  х4 ­ х2 + 40х – 400 = 1х4 ­ 0х3 – 1х2 + 40х ­ 400 4 А0 1 с0 = а0  с0 =1 А1 0 с1=а1+а с◦ 0 с1= 0+4∙1 = 4 А2 ­1 с2=а2+а с◦ 1 с2= ­1 +4∙4 = 15 А3 40 с3=а3+а с◦ 2 с3=40 +4∙15= 100 А4 ­400 С4=а4+а с◦ 3 С4=   ­400+ 4∙100 = 0 ­   В   таблице   представлены   коэффициенты   многочлена   М(Х),   степень которого   п­1.   Дан   многочлен   четвертой   степени,   многочлен   М(х)   –   будет третьей степени. х4 ­ х2 + 40х – 400 = (х­4)(1х3 + 4х2 + 15х + 100) + 0 х4 ­ х2 + 40х – 400 = (х­4)(х3 + 4х2 + 15х + 100)  ­ Разберем многочлен (х3  + 4х2  + 15х + 100) по алгоритму. Делители числа 100: 1, ­1, 2, ­2. 4,5,10 и т.д ­ Подставляем и определяем, что корень уравнения равен ­5. Значит множитель равен (х+5) Работаем со схемой Горнера: х3 + 4х2 + 15х + 100 А2 15 А0 1 А1 4 А3 100 с3=а3+а с◦ 2 с3=100   +(­5)∙20= 0 ­5 с0 = а0  с0 =1 с1=а1+а с◦ 0 с1= 4+(­5)∙1 = ­1 с2=а2+а с◦ 1 с2= 15 +(­5)∙(­ 1) = 20 Получаем:   х4 ­ х2 + 40х – 400 = (х­4)(х+5)(х2– х + 20) ­ Когда произведение равно нулю? Х­4=0 х=4 Ответ х=4, х=­5 х+5=0  х=­5       х2– х + 20=0  Д=­79 (нет решения) А теперь вы в группах разберете аналогичное задание самостоятельно. Вариант 3, задание 21. (работа в группах) Удивительно, но вот  такой вот  замечательный  и достаточно  простой способ   решения   сложного   уравнения   и,  кто   знает,    может   быть   и  он   был записан мудрецами в тех толстенных томах  И согласитесь, что охватить все математические знания невозможно. Но мы перед собой такую цель не ставим, она нереальна. А в жизни нужно ставить лишь реальные цели, чтобы можно было их достичь.  Какую цель мы поставили перед началом работы? Достигли ли мы ее? Все ли у вас получилось? Давайте подведем итог нашей работы. (Слайд: рефлексия) Сегодня я постаралась доказать, что познание начинается с удивления. И может быть кто­то из вас посмотрит на математику совсем по­другому… Еще много разных задач было у мудрецов в том караване, но что, же самое главное поместили они в ларец? Как вы думаете? Правитель   открыл   крышку   ларца.   На   бархатной   подушке   лежал маленький клочок пергамента. Там была написана всего лишь одна фраза: «Математика ­ это удивление, а через удивление познается мир». И я желаю вам : «Позвольте себе удивляться каждый день, познавайте мир». aохn+ а1хn­1 + a2xn­2 …= (x­a)( cохn­1+ c1хn­2 + c2xn­3 …) + R «Математика ­ это  удивление, а через удивление познается мир». Планируемый результат: должны научиться раскладывать  многочлены на множители (с помощью схемы Горнера) aохn+ а1хn­1 + a2xn­2 …= (x­a)( cохn­1+ c1хn­2 + c2xn­3 …) + R а0  а1  а2  а3  а4  а  с0 = а0  с1=а1+а×с0  с2=а2+а×с1  с3=а3+а×с2 С4=а4+а×с3  Вариант 3задание 21 __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ _________________________________________________________ ______________________= (х        )(                              ) а0  а1  а2  а3  а4  а  с0 = а0  с1=а1+а×с0  с2=а2+а×с1  с3=а3+а×с2 С4=а4+а×с3 а а а  а0 1 с0 = а0  а1 0 с1=а1+а с◦ 0 а2 ­9 с2=а2+а с◦ 1 а3 60 а4 ­100 с3=а3+а с◦ 2 С4=а4+а с◦ 3 а0  а1  а2  а3  а4  с0 = а0  с1=а1+а×с0  с2=а2+а×с1  с3=а3+а×с2 С4=а4+а×с3  а0 1 с0 = а0  а1 0 с1=а1+а с◦ 0 а2 ­9 с2=а2+а с◦ 1 а3 60 а4 ­100 с3=а3+а с◦ 2 С4=а4+а с◦ 3