Исследовательская работа "Арифметика песочных часов"

МБОУ Новосёлковаская СОШ                                   Арзамасского района Работа реферативного характера с элементами              самостоятельного поиска Тема: «Арифметика песочных часов»                                                      Выполнила ученица 10 класса                                                      Усанова Анна Владимировна                                                      Руководитель:                                                      Филатова Анастасия Николаевна                                                       учитель математики первой                                                       квалификационной категории.                              Нижегородская область                               Арзамасский район                                д.Бебяево д.40В novoselkii                                         2014­2015    @   mail  .  ru   Введение. Летом я отдыхала в лагере и за победу в одном из конкурсов мне подарили  чисто символический подарок – песочные часы. Стоят они у меня на столике и  навели меня на следующие мысли: когда появились песочные часы, принцип их  работы и разнообразия, а также их арифметика. Трудно представить себе современную жизнь без возможности точно  ориентироваться в окружающем нас мире. За свою историю человек  изобрел множество  видов часов: солнечные,  огненные, водяные, песочные, механические, электрические, электронные,  атомные….    Солнечные часы теперь можно встретить на зданиях как украшение. Об огненных часах напоминают свечи на новогодних елках. Водяные и песочные часы заявляют  о себе в восклицании: ваше время истекло! Правда, кое­где в процедурных  кабинетах поликлиник еще сохранились песочные часы на 3, 5 и 10 минут. Но и  там они не могут составить конкуренцию электрическим и электронным таймерам, которые вытесняют эти изобретения тысячелетней давности, как ЭВМ и  микрокалькуляторы вытесняют конторские счеты и арифмометры.       Но все­таки мне хочется  поразмышлять немного о песочных часах –  стеклянном баллончике с перетянутой по осиному талией, через которую из одной  половинки часов в другую пересыпается мелкий прокаленный песок.             Цель: 1.Проследить историю возникновения различных видов часов. 2.Подобрать и проанализировать литературу по данной теме. 3.Разобраться в арифметике песочных часов. Раз – секунда пролетела, Оглянуться не успела. Шестьдесят секунд промчались – И минутой оказались. Ну а шестьдесят минут Целый час с собой ведут. Час за часом двадцать раз И четыре про запас – Сутки полные проходят День и ночь с собой уводят. Содержание. I. II. Введение 1.История часов 2.Арифметика песочных часов.     III.     Заключение.  Литература  IV. История часов.    Когда мы употребляем слово «часы», при этом имеем в виду механизм для  измерения времени. Но известно ли вам, что человек изобрел множество способов  измерять время еще до того, как были придуманы первые механические часы.  Сначала люди измеряли время в восходах и заходах солнца. Уменьшение или,  наоборот, увеличение тени, падающей от различных предметов — палок, камней,  деревьев, помогало человеку, пусть очень приблизительно, ориентироваться по  времени. Звезды также служили людям в качестве гигантских часов, ведь человек  давно заметил, что ночью в разное время видны разные звезды. Древние египтяне делили ночь на двенадцать временных промежутков,  каждый из которых начинался с восходом одной из двенадцати звезд. Кстати, на  столько же промежутков делили египтяне и день. Получается, что наше деление  суток на двадцать четыре часа основывается на представлениях древних египтян.  Египтяне, между прочим, создали и так называемые теневые (мы их называем  солнечные) часы. Они представляли из себя простую деревянную доску с  отметинами. Теневые часы, разделенные на двенадцать дневных промежутков, и  стали первым изобретением человека, предназначенным для измерения времени. В других механизмах для измерения времени люди стали использовать огонь  и воду. Оказывается, время можно измерить при помощи горящей свечи с  надрезами по краям. Ведь за равные промежутки времени сгорают равные части  свечи. И если зарубками отметить часть, сгорающую за, допустим, минуту, то с  помощью свечи можно будет довольно точно измерять время. В других часах  использовались вода и тарелка или блюдо. Если в блюде проделать небольшую  дыру и положить его на воду, то через некоторое время вода заполнит блюдо и оно  затонет. Если знать, что вода заполняет блюдо за, допустим, пятнадцать минут, то с помощью и этого нехитрого приспособления можно будет измерять время. Около 140 года до нашей эры древние греки и римляне придумали способ  усовершенствования водяных часов. В контейнер с водой, уровень которой  постепенно поднимался, они помещали поплавок. Поплавок специальным  приспособлением прикреплялся к зубчатому колесу — шестеренке. Когда вода  достигала определенного уровня, колесо проворачивалось на один зубец.  Одновременно поворачивалась и прикрепленная к нему стрелка. Первые настоящие механические часы были изобретены более тысячи  четырехсот лет тому назад. В этих часах к механизму крепилась катушка с цепочкой и грузом на конце. Под действием груза катушка вращалась, цепочка  разматывалась. С помощью нескольких шестеренок и регулятора движение  передавалось на стрелку, которая двигалась по циферблату. Примерно две тысячи лет тому назад человек изобрел еще один прибор для  измерения времени — песочные часы. Они состояли из двух сообщающихся  сосудов с песком. Сосуды эти можно было переворачивать, и тогда песок из  верхнего через узенькое отверстие начинал пересыпаться в нижний. Если один из  сосудов наполнить таким количеством песка, чтобы тот пересыпался в нижнюю  часть ровно за один час, то тогда и с помощью этого приспособления можно было  довольно точно следить за временем. Арифметика песочных часов. В энциклопедической литературе я узнала следующую информацию о  песочных часах. Пес чные час оо ыо  — простейший прибор для отсчёта промежутков времени,  состоящий из двух сосудов, соединённых узкой горловиной, один из которых  частично заполнен песком. Время, за которое песок через горловину пересыпается  в другой сосуд, может составлять от нескольких секунд, до нескольких часов. Одним из первых упоминаний о таких часах является обнаруженное в Париже сообщение, в котором содержится указание по приготовлению тонкого песка из порошка чёрного мрамора, прокипячённого в вине и высушенного на солнце[1]. На кораблях применялись четырёхчасовые песочные часы (время одной вахты) и 30- секундные для определения скорости корабля по лагу. В настоящее время песочные часы используются при проведении некоторых  врачебных процедур, в фотографии, а также в качестве сувениров. В операционных системах Windows символ песочных часов, в который  обращается указатель мыши используется для индикации занятости системы. ? — символ песочных часов в Юникоде (HOURGLASS, код  U+231B ). Недостатком песочных часов является короткий интервал времени, который  можно измерить с их помощью. Часы, получившие распространение в Европе,  обычно были рассчитаны на работу в течение получаса или часа. Встречались часы, работающие в течение 3 часов, очень редко — 12 часов. Для увеличения интервала  измерения составлялись наборы песочных часов в одном корпусе (футляре). Точность песочных часов зависит от равномерной зернистости и сыпучести  песка, формы колбы, качества её поверхности. Колбы заполнялись отожжённым и  просеянным через мелкое сито и тщательно высушенным мелкозернистым песком.  В качестве исходного материала также использовались  молотая яичная скорлупа, цинковая и свинцовая пыль. При длительном использовании точность песочных часов ухудшается из­за повреждения песком  внутренней поверхности колбы, увеличения диаметра отверстия  в диафрагме между колбами и дробления песчаных зёрен на более мелкие. Песочные часы…           Если это ­ трехминутные часы, то песок пересыпается за три минуты. Если их тут же перевернуть, то можно отмерить 6 минут. Еще раз перевернув их в момент  полного пересыпания песка, можно дождаться окончания девятиминутного  интервала. Понятно, что таким образом можно отмерить любое целое число минут,  кратное трем.          Ну а если у меня есть пара песочных часов­ трехминутные и пятиминутные, ­  то  я смогу еще отмерять время, кратное 5 минутам. Таким образом, я могу  отмерить 3,5,6,10 минут…  Кроме того, можно отмерить и 8 минут: сначала  отсчитаем 5 минут на одних часах, а потом 3 минуты на других. А 11 минут? Тоже  можно, потому что 11= 2*3+5. И 12 минут отмерить можно, так как 12= 4*3. Хочу  проверить можно ли отмерить и 13, и 14, и 15 минут.         А может быть, я смогу отмерять любое целое число минут, больше 7? Конечно же! Если мы умеем отмерять 8, 9, и 10 минут, то добавляя по 3 минуты, получим  11,12 и 13 минут, добавляя еще по 3 минуты, получим 14, 15 и 16 минут и т.д.         Замечу, что заодно я показала, что всякую сумму в целое число рублей,  большую семи рублей, можно уплатить купюрами достоинством в 3 и 5 рублей. На  бумажных деньгах доказательство можно провести и иначе.          Пусть мы можем уплатить некоторое число рублей, большее семи; покажем,  что в таком случае мы можем уплатить сумму и на 1 рубль большую. Отсюда, как  говорят, по индукции – и будет следовать наше утверждение.  Действительно, если в имеющейся сумме есть купюра в 5 рублей, то,  заменив ее  двумя «трешками», мы увеличим сумму на 1 рубль. Если же в сумме нет ни одной  «пятерки», то там не менее трех «трешек» ( сумма больше семи). Заменив три  «трешки» двумя «пятерками», мы и в этом случае увеличим сумму на 1 рубль.  Доказательство окончено.          Но вернусь к песочным часам. Если у нас на руках только пятиминутные и  десятиминутные часы, то, как нетрудно понять, с их помощью мы сможем  отмерять только промежутки времени, кратные 5 минутам. И вообще, если у нас  есть к­ минутные и m­ минутные песочные часы, то время, отмеренное с их  помощью, будет кратно НОД(к, m)­ наибольшему общему делителю чисел к и m.  Числа 3 и 5 взаимно просты, их наибольший общий делитель равен 1; числа 3 и 10  тоже взаимно просты. Оказывается, что с помощью трехминутных и  десятиминутных песочных часов можно отмерить любое целое число минут,  большее семнадцати. Действительно, 18=6*3, 19=10+3*3, 20=2* 10. А дальше, как  и прежде, добавляем нужное число раз трехминутные интервалы. Ну а в общем случае? Оказывается, что если числа k и m взаимно просты, то  при помощи k­ минутных и m­ минутных часов можно отмерить любое целое  количество минут, большее km­ k­m.  Заметчу, кстати, что 3*5­3­5=7, а 3*10­3­ 10=17, т.е. трехминутными и пятиминутными часами можно отмерить любой  целочисленный интервал времени, больший семи минут; а трехминутными и  десятиминутными часами ­ любой целочисленный интервал времени, больший  семнадцати минут, что мы и видели раньше.         Докажем, что ровно km­k­m минут с помощью k­минутных и m­минутных  часов при взаимно простых числах k и m отмерить нельзя. В самом деле, пусть мы  смогли это сделать, «запуская» k­ минутные часы x раз, а m­минутные ­ у раз.  Тогда km­k­m=xk + ym, или k(x+1)=m(k­1­y) .Так как k и m взаимно просты, число  k­1­y должно делиться на k( причем k­1­y>0 ). Но k­1­y