математика

Урок – факультатив

Тема : «Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром»

Цель: формировать умения решать квадратные уравнения с параметром с использованием теоремы Виета; развивать логическое мышление, Умение работать в проблемной ситуации.

Ход  урока

1.      Актуализация теоретических знаний.

- Какое уравнения называется квадратным?

- Сформулируйте теорему Виета.

- Какие квадратные уравнения называются приведёнными?

- квадратными или линейными называется уравнение b(b-3)x² + (6b – 2)x – 18 = 0:

а) при b = 6; б) b= 0; в) b= 0,5; г) b= 3?

2. Объяснение нового материала.

- При решении квадратных уравнений с параметром часто используют теорему Виета. Обычно в таких заданиях не требуется нахождение самих корней уравнения, а только нахождение значений параметров, при которых выполняется наложенное условия. Вспомним теорему ещё раз.

Теорема Виета. Если х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bx + с =0, а, то сумма корней равна , а их произведение равно .

      х₁ + х₂ =

       х₁ · х₂ =

Обратное утверждение. Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁ + х₂ = , х₁ · х₂ = , то эти числа  - корни  уравнения ах² + bx + с =0, а

Пример 1. Найти корни уравнения и коэффициент р, если известно , что сумма квадратов корней уравнения х² + px + 20 = 0 равна 104.

Решение : из теоремы Виета имеем:

      х₁ + х₂ =

       х₁ · х₂ = .

Кроме того, из условия мы знаем, что х₁² + х₂² = ибавим к обеим частям уравнения 2 х₁х₂ и получим: х₁² + х₂² + 2 х₁х₂  =  + 2 х₁х₂;

(х₁ + х₂)² = 104 + 2 · 20;

х₁ + х₂ = ;

р =

Решим систему        х₁ + х₂ =              при полученных значениях р.

                                      х₁ · х₂ = ,

При р = 12

х₁ + х₂ =  ,     х₁ = -10

х₁ · х₂ = .           х₂ = -2.

При р = -12

х₁ + х₂ =  ,         х₁ = 10

х₁ · х₂ = .           х₂ = 2.

Проверим, будет ли дискриминант при таких значениях р положительным:  D = 144 – 4 · 20 = 64, 64

Ответ : р = при При р = 12  х₁ = -10, х₂ = -2; при р = -12  х₁ = 10, х₂ = 2.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых один из корней уравнения

 х² - (2а + 1)х  + а² = 0 в 9 раз больше другого.

Решение: пусть х₁ и х₂ - корни данного уравнения. Тогда задача сводится к следующей системе:

х₁ + х₂ =

 х₁ · х₂ = а²,

х₁ = 9х₂

D .

Найдём из этой системы значения а. Так как х₁ = 9х₂, получаем:

9х₂ + х₂ =

        9х₂ · х₂ = а²,

10х₂ = 

        9х₂² = а²,

9 · ()² = а²,

36а² + 36а + 9 = 100а²,

64а² - 36а – 9 = 0,

а₁ =  а₂ =

При этом D = (2а +1)² -4а² = 4а + 1.

4а + 1 

Оба найденных значения а удовлетворяют этому неравенству.

Пример 3. ( Ученики выполняют задание самостоятельно со следующей проверкой).

Найти все значения параметра  а, при которых уравнение 2х²  -  (а + 1)х + (а – 1) = 0 имеет два корня, разность которых равна их произведению.

Решение: задача сводится к решению системы

х₁ + х₂ =

 х₁ · х₂ =,                   

х₁ - х₂ = х₁ · х₂      

D .

х₁ + х₂ =

х₁ - х₂ = ,         х₁ = х₂ =

Теперь найдём  а:     2а – 2 = а,    а = 2.

Найдём дискриминант исходного уравнения: D = (а + 1)² - 8(а – 1) = а² - 6а + 9 = (а – 3)², который больше нуля при всех значениях а , кроме а = 3. Следовательно неравенство D  выполняется для а = 2.

Ответ: а = 2.

4а + 1 

Оба найденных значения а удовлетворяют этому неравенству.

Пример 3. Найти все значения параметра  а, при которых корни уравнения

(а – 2)х² - 2ах + а + 3=0 положительны. В ответ записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих неравенству |a|

Решение. Мы не можем утверждать, что  данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольное значение а – 2 = 0, а = 2. Имеем два случая.

При а =2 уравнение примет вид: -4х +5 = 0, х = 1,25.

х |2|значит а = 2 удовлетворяет нашим условиям.

При а  данное уравнение является квадратным. Получим следующую систему:

х₁ + х₂ =

х₁ · х₂ =

,

.

Откуда а(-.

Кроме того, нужно не забыть потребовать, чтобы дискриминант исходного уравнения:

 D =(2а)² - 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 –а) был неотрицательным. Получим а(-

Итак, а(-. Условию |a| то есть а[-10 соответствует а[-10. Выпишем целые значения параметра а , удовлетворяющие полученному решению  и указанному условию: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, 2, 3 ,4, 5, 6. Таких значений 12.

Ответ: а(-

( В этом примере мы как раз сталкиваемся с необходимость проверки неотрицательного дискриминанта, на что требуется обратить внимание учащихся).

3.      Закрепление пройденного материала.

1)      Найти все значения параметра  а, при которых корни уравнения х₁ и х₂

х² - 2х + а =0 удовлетворяет условию 7х₂ - 4х₁ = 47.

2)      Найти все значения параметра  а, при которых один из корней уравнения

х² - (2а – 1)х + а² + 2=0 в два раза больше другого.

3)      Найти все значения параметра  а, при которых отношение  корней уравнения

х² - ах – 16 =0 равно -4.

4)      Найти все значения параметра  а, при которых один корень уравнения

4х² - 3х + а =0 равен квадрату другого.

5)      Найти все значения параметра  а, при которых сумма квадратов корней уравнения

3х² - 2а(х  - 1) - 2 =0 равна произведению корней этого уравнения.

6)      Найти все значения параметра  а, при каждом из которых больший корнь уравнения

х² - (20а – 3)х + 100а² - 30а = 0 в шесть раз больше, чем его меньший корень.

Ответ : 1) -15; 2) -4; 3) -6; 6; 4) -13,5; 0,5; 5) Решений нет. Решениями системы являются а₁ = 3; а₂ = 1,5, но при каждом из этих значений дискриминант квадратного уравнения отрицателен.6) при а =

4.      Самостоятельная работа по теме «Решение квадратных уравнений с параметром».

1)      Решите уравнение (а + 3)х² - 2(а +5)х + 2а + 7=0.

2)      Найти все значения параметра  а, при которых разность квадратов корней уравнения

х² - 12х + а =0 равна 288.

3)      Найти все значения параметра  m, при которых сумма квадратов корней уравнения

х² - (m – 2)х – m – 3 =0 равна 18.

Ответ: 1) при а = -3  х = -; при а(- корней нет; при а  х=  ;  2) а = -108; 3) m = 4; m = -2.

5.      Домашнее задание.

1)      При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х² - (р²+4р – 5)х – р =0 равна 0. Ответ: 1; - 5.

2)       При каких значениях параметра р произведение корней квадратного уравнения

х² -3х +( р²-7р +12)=0 равна 0. Ответ: 3; 4.

3)      Дано уравнение х² -(р + 1)х +(2 р²-9р -12)=0. Известно, что произведение корней равно

-21. Найдите значения параметра р. Ответ: 3; 1,5.

             4)  Один из корней уравнения   2х² - 14х + р =0 больше другого в 2,5 раза. Найдите все       значения параметра р и корни уравнения.  Ответ: 2 и 5 при р = 20.

Литература :

1. Айвазян Д.Ф. Математика. 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: Учитель, 2009.
2. Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.
3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005.
4. Дорофеев В.Ю. Пособие по математике для поступающих в СПбГУЭФ. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2003.
5. Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 [Текст] / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспектива, 1990.-с. 2-38.
6. Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами [Текст]: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.
7. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. – 2003. №1 -с. 18-20.
8. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. – 2003. №2. -с. 10-14.
9. Карасев В. Решение задач с параметрами [Текст] / В. Ка-расев, Г. Левшина, И. Данченков // Математика. – 2005. №4. -с. 38-44.
10. Косякова Т. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры [Текст] / Т. Косякова // Математика. – 2002. №22. -с. 15-18.
11. Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. - М.: АРКТИ, 2000.-с. 48.
12. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. – М.: Школа-Пресс, 1995.