Математика 6 класс Решение текстовых задач Презентация 1

Линейное уравнение с одной переменной

Рассмотрим пример: «Количество книг на первой полке в 4 раза больше чем количества книг во второй полке, если 15 книг из первой полки переложить во вторую полку, то двух полках будет поровну. Сколько книг во второй полке?»

Ход решения:

Пусть обозначим количество книг во второй полке через х. Тогда количество книг в первой полке будет 4х. Если переложить 15 книг из первой полки во вторую, то первой полке будет 4х-15 книг, а во второй полке х+15 книг. По условию задачи, после переложении книг в обеих полках количество книг будет одинаковым.

Тогда, 4х-15=х+15
Мы составили уравнение с одной переменной для нахождения количества книг во второй полке. Такие равенства называются уравнением с одной переменной или с одним неизвестным.
Уравнение- теңдеу - equation

Нам следует решить уравнение 4х-15=х+15, т.е. найти значение переменной х при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными)  Это число называется решение уравнения или корень уравнения.
Корень уравнения- Теңдеудің түбірі
Root of equation

Определение. Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными).

Множество решении уравнения могут состоять из одного, двух, трех и т.д. корней. А также может быть пустое множество или бесконечно много решении.
Например, уравнение х+2=7 имеет только один корень 5.
Уравнение х+5=3+х не имеет решении.
Уравнение у-3=-3+у имеет бесконечно много решении

Пример.
Уравнение (х-2)(х-4)(х-7)=0 имеет 3 корней: 2, 4 и 7. Потому, что каждая скобка представляет собой множитель. Если любой из множителей будет нулем, то получим верно равенство 0=0.

Уравнения, имеющие одни и те же корни (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), называют равносильными.
Например: уравнения 5х=25, 3х=15 и 4х-2х=10 – равносильные. Корни одинаковые: х=5
Уравнения, не имеющие корни, тоже являются равносильными.

1 свойство:
Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен, содержащий неизвестное (в частности, одночлен или число), то полученное уравнение равносильно данному.
Пример: Уравнение 17+х=22 имеет единственный корень 5. Прибавив к обеим частям уравнения, например, число -3, получим новое уравнение 14+х=19, которое также имеет единственный корень 5 и поэтому равносильно данному уравнению 17+х=22.
.

2 свойство:Если обе части уравнения умножить на одно и то же не равное нулю число, то новое уравнение будет равносильно данному.Пример: Например, уравнение х-2,5=0,5, у которого единственный корень 3, после умножения обеих частей на 2 дает новое уравнение 2х-5=1, имеющее также только корень 3. Уравнение 3х=36, имеющее только один корень 12 после умножения обеих частей на  1 3 1 1 3 3 1 3  дает уравнение х=12 у которого единственный тот же корень.

Рассмотрим самую первую задачу. По условию задач решим уравнение.
4х-15=х+15 по 1-му свойству: 4х-х=15+15
3х=30 по 2-му свойству: х=30:3
x=10 число 10 – корень уравнения.

Применив свойства уравнения, многие уравнения можно привести к виду aх=b.Уравнение вида aх=b называется линейным уравнением с одной переменной. Где a и b – некоторые числа. х – переменная.Пример. 5х=-3, -0,2х=0

В линейном уравнений aх=b число а –это коэффициент (сoefficient), а число b– свободный член(аbsolute term).

При решении уравнении вида aх=b могут быть следующие случаи:
если 𝑎𝑎≠0, то обе части уравнения делим на а и получаем равенство 𝑥𝑥= 𝑏 𝑎 𝑏𝑏 𝑏 𝑎 𝑎𝑎 𝑏 𝑎 .В таком случае уравнение имеет только один корень.
если а=0; 𝑏𝑏≠0 , то уравнение будет виде 0𝑥𝑥=𝑏𝑏. Равенство вида 0𝑥𝑥=𝑏𝑏 не имеет значение при никаких значениях х.
если a=0 и b=0, то уравнение будет виде 0x=0. Корень уравнения 0х=0 является любое число. Уравнение имеет бесконечно много корней.

Задание. Применив свойства корней, привидите уравнение в линейный вид:а) 3х – 11 = 5х + 7;

Решение:а) 3х – 11 = 5х + 7;3х – 5х =7 + 11;–2х = 18.

2х + 2 = 2х + 2;
2х – 2х = 2 – 2;
0 · х = 0.

–8х + 11 = 24 – 8х;
–8х + 8х = 24 – 11;
0 · х = 13.

б) a = 0; b = 0 – имеет бесконечно много корней, потому, что равенство 0 · х = 0 верно для любых значениях х.

Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.
Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
Если же a отлично от нуля, то
коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b,
после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения 

Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков: