Математика 6 класс Решение текстовых задач Ресурс 1

Ресурс 1

Теоретическая часть

Рассмотрим пример: «Количество книг на первой полке в 4 раза больше чем количества книг во второй полке, если 15 книг из первой полки переложить во вторую полку, то двух полках будет поровну. Сколько книг во второй полке?

Ход решения:

Пусть обозначим количество книг во второй полке через х. Тогда количество книг в первой полке будет 4х. Если переложить 15 книг из первой полки во вторую, то первой полке будет 4х-15 книг, а во второй полке х+15 книг. По условию задачи, после переложении книг в обеих полках количество книг будет одинаковым.

Тогда, 4х-15=х+15

Мы составили уравнение с одной переменной для нахождения количества книг во второй полке. Такие равенства называются уравнением с одной переменной или с одним неизвестным.

Нам следует решить уравнение 4х-15=х+15, т.е. найти значение переменной х при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными)
 Это число называется решение уравнения или корень уравнения.

Определение. Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными).

Уравнения, имеющие одни и те же корни (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), называют равносильными.

Например: уравнения 5х=25, 3х=15 и 4х-2х=10 – равносильные. Корни одинаковые: х=5

Уравнения, не имеющие корни, тоже являются равносильными.

При решении уравнении, применяют следующие свойства:

1 свойство:

Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен, содержащий неизвестное (в частности, одночлен или число), то полученное уравнение равносильно данному.

Пример: Уравнение 17+х=22 имеет единственный корень 5. Прибавив к обеим частям уравнения, например, число -3, получим новое уравнение 14+х=19, которое также имеет единственный корень 5 и поэтому равносильно данному уравнению 17+х=22.

2 свойство:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же не равное нулю число, то новое уравнение будет равносильно данному.

Пример:

Например, уравнение х-2,5=0,5, у которого единственный корень 3, после умножения обеих частей на 2 дает новое уравнение 2х-5=1, имеющее также только корень 3. Уравнение 3х=36, имеющее только один корень 12 после умножения обеих частей на  дает уравнение х=12 у которого единственный тот же корень.

Рассмотрим самую первую задачу. По условию задач решим уравнение.

4х-15=х+15         по 1-му свойству: 4х-х=15+15

 3х=30                  по 2-му свойству: х=30:3

 x=10                    число 10 –  корень уравнения.

Теперь можем ответить на поставленный нам вопрос. Во второй полке было 10 книг.

Применив свойства уравнения, многие уравнения  можно привести к виду aх=b.

Уравнение вида aх=b называется линейным уравнением с одной переменной. Где a и b – некоторые числа. х – переменная.

Пример. 5х=-3,   -0,2х=0

При решении уравнении вида aх=b могут быть следующие случаи:

1. если , то обе части уравнения делим на а и получаем равенство  .В таком случае уравнение имеет только один корень.
2. если а=0; , то уравнение будет виде . Равенство вида не имеет значение при никаких значениях х.
3. если a=0 и b=0, то уравнение будет виде 0x=0. Корень уравнения 0х=0 является любое число. Уравнение имеет бесконечно много корней.

Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

-          Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.

-          Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.

-          Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.

-          Если же a отлично от нуля, то

-          коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b,

после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения 

Задание. Применив свойства корней, привидите уравнение в линейный вид:

а) 3х – 11 = 5х + 7;

Решение:

а) 3х – 11 = 5х + 7;

3х – 5х =7 + 11;

–2х = 18.

б) 2 (х + 1) = 2х + 2;

2х + 2 = 2х + 2;

2х – 2х = 2 – 2;

 0 · х = 0.

в) –8х + 11 = 8 (3 – х).

–8х + 11 = 24 – 8х;

–8х + 8х = 24 – 11;

0 · х = 13.

Найдите коэффициенты a и b и найдите корни уравнения?
а) a = –2; b = 18 – один корень х = –9, обе части делим (–2).
б) a = 0; b = 0 – бесконечно много корней, потому, что равенство 0 · х = 0 верно для любых значениях х.
в) a = 0; b = 13 – не имеет корней,потому, что равенство 0 · х = 13 не выполняется при никаких значениях х.

Работа с учебником.

№842, №843 (составить уравнение и решить)