Математика в живописи Леонардо до Винчи. Доклад

Числовые функции Числовые функции Алгебра – 9 По учебнику А.Г Мордкович

Область определения и область значений функции Способы задания функции: аналитический, гра фический, табличный Словесный способ задания функции Свойства функции Смотр знаний Чётные и нечётные функции Степенные функции с натуральным показателем Степенные функции с отрицательным целым  показателем Как построить график функции  y = mf(x), если  известен график функции y = f(x) Повторение. Подготовка к контрольной работе № 4

Проверка теоретических знаний и  практических умений: 1. Функция считается  заданной, если: а) указана формула; б) нарисован график; в) задана область  определения; г) указано правило y = f(x) и  задана область определения  функции. 2. Область определения  функции обозначается  __________  Область значений функции  обозначается ___________ 3. 4. Переменную х называют  ______________,  а переменную y ­ _________ 5. Если область определения  функции  y = f(x) совпадает с областью  выражения  f(x), то такую  область определения  называют ________________ 6. Найдите область  определения функции y =  а) (­; 7)  (7; );  б) (­ ;  ); в) (­ ; ­3/8]  (7; ) 8 x 7 3

7. Дан график функции y = f(x). Укажите область  определения и множество значений функции: а) D(f) =(­ 5; 7);     E(f) = (­ 3; 5); б) D(f) = [­ 5; 7],     E(f) = (­3; 5); в) D(f) = [­ 5; 7],     E(f) = [­ 3; 5]; г) D(f) = (­; ),  E(f) = [­ 3; 5]

8. Укажите область определения и область значений  функции, изображённой на рисунке: а) D(f) =[­ 6; 0)(1; 7]   E(f) = [­ 5; 3)  (3; 5); б) D(f) =[­ 6; 0](1; 7]   E(f) = (­ 5; 3)  (3; 5); в) D(f) =[­ 6; 7]   E(f) = [­ 5; 3)  (3; 5);   г) D(f) =[­ 6; 0)(1; 7]   E(f) = (­ 5; 3)  (3; 5];

9. Задайте функцию с  указанными областью  определения и областью  значений: D(f) = [­6; 7],  E(f) =[­ 4; 5] 10. Найдите область  определения функции и  постройте график: 4 x        y =    2 x 2

Проверь себя: 9. Например, такой: 1. г); 2. D(f); 3. E(f); 4. независимая  переменная  (аргумент); зависимая  переменная 5. естественной 6. б); 7. в); 8. а);

10. Сначала найдём область  определения. Дробь  определена, если  знаменатель не равен 0.  Поэтому: 2 – x  0;                   x  2 Преобразуем правую часть  функции:   y = = 2 x 2 )(2 x  ( x 4 x  )2 ( x   = )2  ( x  )2 x  2 Имеем  окончательно: y = ­ x – 2 Заполним таблицу  значений: x y 0 ­2 ­ 2 0 Построим график с  учётом D( f ):

Способы задания функции I. y = ax2 + bx + c      y =  4x      y =  3 x 5 а н а л и т и ч е с к и й     f(x) =        2  x 2 x  x 3 3 при при при ;4 ;0  x   x 6 4  0 x 6

Способы задания функции II.  ­ график функции линия x  ];[ ba Прямая, параллельная oy  и пересекающая линию F в  одной точке M (x; f(x)) => на отрезке  [a; b] задана функция                 y = f (x)     г р а ф и ч е с к и й  Проекция линии F на ось х

Не всякая линия на координатной плоскости  рассматривается как график некоторой функции 2 x 2  y 9 y  9 x 2 Является  графиком Не является  графиком y  9 x  2

1. 2. 3. 4.

Способы задания функции          x y =  x 0 0 1 1          x y = x2 ­ 3 9 ­ 2 4          x y = x3 1 1 4 2 2 8 9 3 3 27 ­ 1 1 16 4 0 0 25 5 1 1 36 6 2 4 49 7 3 9 4 64 5 125 6 216 7 343 III. Табличный

Проверим себя: Проверим себя: 2. Функция задана  графически.Задайте её  аналитически. 1. Функция задана  формулой s = 60t, где s –  путь в км,  t – время в  часах.  Найдите:   а) s(1), s(3,5), s(5); б) t, если s = 2400 км; в) s, если t = 30 мин.; г) t в мин., если s = 600 м

Закрепление 1. Выполните задания     № 236, №237, №241,  №242.  Проверьте решения: № 241 s = 90t № 236 а) функция; № 237 а) y = x + 2: 2 x 2 г)  )( xf         ч 1 4 а) s(1) = 90*1= 90(км); б) s = 1800м, 1800 = 90t     t = 1800 : 90 = 20 (ч); в) t = 15 мин =          ;    s = 90 *      = 22,5 (км); г) s = 450 м = 0,45 км 0,45 = 90 * t t = 0,45/90= 1/200 ч=  1/200ч*60 мин= = 0,3 мин  1 4 ч при ;2 приx  2 приx  x  2 ;2

4 x  4 2 2  3 2 .0 4 x   x 3 ;04 x   22 2 ( ;04) x ) (3 x  x замена ; ( a )   2 a a ;04 3  0431 c a __ Вернёмся   ).1 x 1  ).2 4 x  2 x Ответ   2  a 1 ,1 a : x 2 2 2  4 1 замене  к решения  ;4 2 x  : a 2 x нет , :  ;0

Домашняя работа: П. 8, № 238, № 242          № 243(г), 245

Способы задания функции Функция y = f(x) задана на  множестве всех действительных  чисел с помощью следующего  правила: каждому числу х ставится  в соответствие наибольшее из всех  целых чисел, которые не  превосходят х, т.е. определяется  условиями: а) f(x) – целое число;  б) f(x)  х  (f(x) – не превосходит х); в) f(x) + 1 > х (f(x)  ­ наибольшее  целое, не превосходящее х) х = 2, 534 => f(x) = 2 ( 2 – целое  число, 2 < 2,534,  3 > 2,534) D( f ) = ( ­ ; ),   E( f ) = Z  ( множество целых чисел)

Способы задания функции 1. Функция f(x) задана на  множестве всех целых чисел с  помощью правила: каждому  числу х ставится в  соответствие цифра единиц  квадрата числа х. Найдите:  а) f(73); б) f(­ 6);  в) f( ­ 3);  г) f(12) ) а) f(73) = 32 = 9; б) f( ­6) = 62 = 36; в) f( ­3) = 32 = 9; г) f( 12) = 22 = 4  4;6;9  ( fE 2. Функция f(x) задана на  множестве всех целых чисел с  помощью правила: каждому  числу х ставится в соответствие  целая часть квадратного корня  из числа х. Найдите: а) f( 1); б) f( 8);  в) f( 15);  г) f( 22)   )1( ;1]1[   )8( ;2 ]8[   )15( ]15 [ ;3   )22( [ 4 ]22  ( fE ) f f f f 4;3;2;1 IV. С л о в е с н ы й

Выполните самостоятельно: 1). № 249 2). Функции y = f(x)  поставлены в  соответствие  остатки от деления  числа М на 15.  Укажите область  значений этой  функции Решение:      № 249 X: 0, 1,2,3,4,5, 6, 7, 8, 9­ цифры, на которые окан­ чиваются целые числа. y: 02 = 0;  12 = 1;  22 = 4; …;     82 = 64; 92 =81 => E(f) =  2). Остатки от деления на 15:  0, 1, 2, 3, 4,…, 13, 14 =>  ( fE 9;6;5;4;1;0 14;13;12  ) 6;5;4;3;2;1 ;...;

Итог урока: 1. Способы задания  функции; 2. В чём состоит каждый  способ; 3. Придумайте словесный  способ задания функции Д/з: № 244, № 240         № 246, 250

Разминка 1. F(x) = 7 – 3x Найти: f(­ 1);  f(0);  f(2). 2. Задайте функцию  формулой: x x )( xf 2     приx приx   0 0 4. Укажите промежутки  возрастания – убывания  функции. 5. Найти наименьшее и  наибольшее значение функции на  [­1; 2] 3. Являются ли  равносильными заданные  неравенства: а) a > b и 0.3a > 0.3b; б) a > b и – 2a + 4 > ­ 2b + 4?

Свойства функции Свойства функции Функция считается заданной, если указана её область определения Функция считается заданной, если указана её область определения 1. Функцию y=f(x)  называют  возрастающей на D(f),  возрастающей если для любых  x1 < x2  выполняется  неравенство f(x1) < f(x2) (x1 > x2 => f(x1) > f(x2) )

Свойства функции Свойства функции 2. Функцию y=f(x)  убывающей  называют убывающей  на D(f), если для любых             x1 < x2   выполняется  неравенство                      f(x1) > f(x2) (x1 > x2 => f(x1) < f(x2) )

Свойства функции Свойства функции «Возрастающая функция» «Убывающая функция» Исследовать функцию  на монотонность –  исследовать функцию  на возрастание –  убывание. Монотонная функция  Пример 1. Исследовать функцию  на монотонность:              y = 5 – 2x. Пусть x1 < x2 . Тогда        ­ 2x1 > ­ 2x2 ; далее имеем     5 ­ 2x1  > 5 ­ 2x2   f(x1)  >  f(x2) => y = 5 – 2x –  убывающая функция

Свойства функции Свойства функции 3. Функцию y = f(x)  называют ограниченной  снизу на D(f), если  существует число m такое,  что f(x) > m 4. Функцию y = f(x)  называют ограниченной  сверху на D(f), если  существует число M такое,  что f(x) < M

Пример 2. Исследовать на  ограниченность функцию  y  9 x 2 3 y = 3 Свойства функции Свойства функции Решение Обратимся к графику  функции. Замечаем, что  значения функции  меньше или равны 3.  Значит, функция  ограничена сверху  прямой y = 3. Но значения функции  больше  или равны 0.  Значит, функция  ограничена снизу   прямой y = 0

5. Число m называется  наименьшим  значением функции  y = f(x) на D(f), если: ­  в D(f) существует      такая точка x0 ,     что f(x0 ) = m; ­ для всех х их D(f)    выполняется равенство   f(x)  f(x0 )               yнаим  6. Число Mназывается наибольшим значением функции  y = f(x) на D(f), если: ­  в D(f) существует  такая точка x0 , что f(x0 ) = M; ­ для всех х их D(f)  выполняется равенство f(x)  f(x0 )                                       yнаиб

Полезные утверждения:   1) Если у функции существует  yнаим,    то она ограничена снизу; 2) Если функция не  ограничена сверху, то  yнаиб  не существует 3) Если у функции существует  Yнаиб,  то она ограничена сверху ограничена сверху; 4) Если функция не ограничена  снизу, то   yнаим  не существует

Свойства функции Свойства функции 7. Функция выпукла  вверх на промежутке Х,  если часть графика лежит  выше проведённого  отрезка 8. Функция выпукла вниз  на промежутке Х, если  часть графика лежит ниже  проведённого отрезка

Свойства функции Свойства функции Непрерывность функции на промежутке Х  означает, что график функции на этом промежутке –  сплошная линия, не имеет проколов и скачков

Свойства функции: Свойства функции: •Область определения  функции; •Монотонность (возрастание – убывание); •Ограниченность  (сверху – снизу); •Нахождение наибольшего и  наименьшего значений  функции; •Непрерывность  •Выпуклость функции (вверх –  вниз); •Область значений

Узнай функцию: 1). y = x; 2). y = 3; ).5  y 3). y = x – 2; )4 y  x 3 2 x 6). y = / x / 7). y = ­ x ­ 2

Узнай функцию: k > 0 ось параболы   k < 0 о с ь   п а р а б о л ы y = ax2 + bx + c x  b 2 a

Подготовка к смотру знаний 1. § 9 – основные определения,  замечания, советы; 2. Повторить изученные функции,  их графики, свойства. Стр. 81 –  87. 3. По учебнику разобрать пример 4

1. 1. D(f) = [­3; 5]; 2.возрастает   при х[­3;0]  [1; 5]; убывает при х  [0;1]; 3. Ограниченная; 4. yнаим = ­ 2 при х = ­ 3,     yнаиб = 4 при х = 5; 5. Непрерывна; 6. Выпукла вниз при  x  [ ­3; 0], выпукла вверх  при x  [ 1; 5]; 7. E(f) = [ ­ 2; 4]

2.  Найдите наибольшее и наименьшее  значения функции: a) y = ­ 3х + 4, х [­1; 2]; б) № 271 (а) а) функция убывает, значит yнаим  = y(2) = ­3*2 + 4 = ­ 2; yнаиб = y(­1) = ­3 * (­1) + 4  = 7;  x 0  b 2 a б) № 271 y = x2 + 4x ­ 3 – парабола с осью  2 симметрии  yнаим =  y(­2) = (­2)2 + 4*(­2) – 3=           = 4 – 8 – 3 = ­ 7; yнаиб – нет;  

3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Из предложенных функций выберите  только возрастающие на D(f): y = 7x + 2; y = ­ 3x + 1; y = x2 ; y = / x /; y = ­ x2; y = 6; y = 11 + 2x 8.  y 5 x y 9.   3   x 4 9 10. y 1 x 1),  7),  8), 10) – возрастающие на D(f)

Чётные и нечётные функции Чётные и нечётные функции   1. y = f(x) – чётная, если     f(­x) = f(x) Пример. Доказать, что  y = х4 ­ чётная функция Решение f(x) = х4  f(­x) = (­x)4 = x4, т.е. f(­x) = f(x) =>  f(x) = x4 – чётная  функция  2.График чётной функции  симметричен  относительно оси y y = / x/ Верно и обратное утверждение

Чётные и нечётные функции Чётные и нечётные функции 3. y = f(x) – чётная функция. Постройте её график

Чётные и нечётные функции Чётные и нечётные функции 4. y = f(x) – нечётная,  если     f(­x) = ­ f(x) Пример. Доказать, что ­ нечётная.  y Решение 3 f x 3 3 x   x x x    ) 5 ) ( 5 ( ( 3 ) 5 5   x x    3 3 x 3 3 x     т.е. f(­x) = ­ f(x) ­  нечётная 5. График нечётной функции  симметричен относительно  начала координат Верно и обратное утверждение

Чётные и нечётные функции Чётные и нечётные функции 6. y = f(x) – нечётная функция. Постройте её график

Чётные и нечётные функции Чётные и нечётные функции 8. Если функция  чётная или  нечётная, то её  область определения  D(f) – симметричное  множество 7. Если числовое  множество Х вместе с  каждым своим элементом  х содержит и  противоположный  элемент –х, то Х  называют  симметричным  множеством.  (­ ; ),  (­2; 2),  [­5; 5] [0; ), ( ­2; 5),  [ ­5; 5) См. алгоритм  исследования  функции на  чётность в  учебнике, стр. 89

Чётные и нечётные функции Чётные и нечётные функции 9. Исследовать на чётность функцию: в) y = x3, x (­5; 5) D(f) = ( ­5; 5) –  симметричное множество и  (­  x)3 = ­ x3 =>  y = x3 ­ чётная . а) y = /x/, x[ ­2; 2]     D(f) = [ ­2; 2] –  симметричное множество и /  ­ x/ = / x /. Значит, y = /x/ ­  чётная. б) а) y = /x/, x[ ­3; 3)     D(f) = [ ­3; 3) –  несимметричное множество  => функция не является ни  чётной, ни нечётной  г) y = x3, x (­5; 5) D(f) = ( ­5; 5] –  несимметричное  множество => функция не  является ни чётной, ни  нечётной

Завершающий урок. Подготовка к  контрольной работе I. Устно: 1. Найдите область  определения функции y  1  24 x 2. Исследуйте на  ограниченность: а)  б)  y y  2 x  2 x 2 2   5 x 3  x  1 ;7 3. Выберите из предложенных  функций y y ; ;23 x    x ; 2 y 2 x  x ;2 y  ;24 x y  y ; 3 x ; yx 2     x x 2 3 y 7 а) только убывающие; б) только возрастающие; в) чётные; г) нечётные

1. Найдите область  значения функции: а) б)   x ;3 2 ; y y 2 x 4 Повторение 1.а) график функции –  парабола, О’(0; 3), ветви –  вверх.  E(f) = [3;); б) а) график функции –  парабола, О’(0; 4), ветви –  вниз.  E(f) = (­ ; 4];

2. Исследуйте на  чётность  функцию 3 x x y x     x x при при x x   0 0 Повторение 2. D(f) = (­ ; 0)  (0; ) –  симметричное множество. y (  x ) x ) )  3 x x   (3 x  x )( xy  ( y Значит, функция нечётная  и ограниченная: при при 3 3   0 0 y  x x    

Повторение 3. Постройте и  прочитайте график  функции y      x 2 , 3 x  ,2 x x  1  3 x 2. O’ (x0; y0) –  координаты вершины  параболы.   x      2  12 b 2 a 0  1 1 y0 = y( ­ 1) = (­1)2 + 2*(­1) = ­ 1 1.  ­ гипербола O’ (­ 1; ­ 1) Парабола ветвями  направлена вверх.

Свойства: 1. D(f) = (­ ;0]  (0; ); 2.возрастает    при х [­1;0]  (0; );    убывает при х [­ ;­ 1]; 3. Ограничена сверху на     промежутке (0; ); 4. yнаим и yнаиб  ­ нет; 5. Претерпевает разрыв      при х = 0; 6. Выпукла вниз     при х  (­ ; 0]; выпукла    вверх при х  (0; ) ; 7. Ни чётна, ни нечётна; 8. E(f) = (­ ; )

Тест – 3 (ответы) В – 1 ГБАГВБВ В – 2  БАБАГВВ В – 3 ГАВБББА В – 4 ББААГВА Д/з: № 223(в);   № 285 (а, б);   № 295 (б, г)

Степенные функции  с натуральным показателем Функцию вида y = xn , где  n = 1, 2, 3, 4 …, называют  степенной функцией с  натуральным  показателем. Примеры:  y = x;       y = x2;  Как выглядят  графики функций  y = x3;     y = x4;     y = x5 … ? Каковы их свойства?

Функция y = x4  1. D(f) =(­; ) –  симметричное множество  => проверим на чётность: y(­x) = (­x)4 = x4 = y(x) =>  чётная, т.е. симметрична  относительно оси y  2. Таблица значений: x y 0 0 1 1 2 16 1 2 1 16 3 2 81 16 3. Построим график на луче [0; ) и  добавим к нему линию,  симметричную относительно оси y 1 0 Прочитайте свойства этой функции

Функция y = x2n  График функции с  чётным показателем  – параболы,  симметричные  относительно оси y. Свойства функции с  чётным показателем:

графика функции.  Укажите свойства этой  Функция y = x3  Проведите аналогичную  работу по построению  функции. Рассмотрите  график и свойства  функции с  нечётным  показателем y = x2n + 1

Решение упражнений в  классе:  № 306(в, г) № 309 (в, г) № 307 (в, г) Д/з: № 305 (б),         № 306 (а),         № 308 (а)

Функции y = x ­ n  График функции  y 1 x гипербола гипербола Функцию y = x ­ n  называют степенной  функцией с  отрицательным  целым показателем  ( n – натуральное число) x n 1 x n y 1 nx

Функция  y  1 2 x   Рассмотрим функцию  y  1 2 x Что может быть  графиком этой  функции? 1. D(f) =(­; 0)  (0; ) –  симметричное множество =>  проверим на чётность: 1 ( y 2 x  1 x   x ) )( xy ( 2 ) => чётная, т.е. симметрична  относительно оси y ; 2. Заполним таблицу значений: x y 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 1 4 1 9 3. Построим график на открытом  луче (0; ) и добавим к нему  линию, симметричную  относительно оси y

Свойства: 1. D(f) = (­ ;0)  (0; ); 2.возрастает    при х (­ ;0)     убывает при х  (0; );; 3. Ограничена снизу осью  ох; 4. yнаим и yнаиб  ­ нет; 5. Претерпевает разрыв      при х = 0; 6. Выпукла вниз; 7. Чётная;  8. E(f) = (0; )

Функция  y 2 nx Приведите примеры  таких функций: Постройте  их графики y  y  1 4 x 1 6 x y  1 8 x Вертикальная  асимптота Горизонтальная  асимптота

Функция y  n 2( Постройте  их графики  )1 x Приведите примеры  таких функций: y 1 x Вертикальная  асимптота y  y  1 3 x 1 5 x Горизонтальная  асимптота Прочитайте свойства

Закрепление 1. Разберите пример 1  на стр. 104, сделайте  записи в тетради; 2. Запишите в тетрадь  построение графика  функции из примера  2 на стр. 105; 3. № 333 (в,г) Д/з: № 333( а, б),           № 336 (а, б)