Математика в живописи Леонардо до Винчи. Доклад

Применение
показательной
функции

Когда корабль подходит к берегу с него бросают на пристань канат. Здесь его обматывают несколько раз вокруг столба и таким образом удерживают им останавливающийся корабль. Как же удаётся одному человеку удержать корабль?
Оказывается ему помогает сила трения. Если обмотать канат один раз вокруг столба, то из-за трения каната о столб можно удержать силой силу , большую, чем в а раз. Отношение зависит от материала, из которого

сделаны канат и столб. Каждый новый оборот каната вокруг столба увеличивает отношение сил ещё в а раз. Таким образом, если обернуть канат два раза то отношение удерживаемой и удерживающей сил будет равно . Вообще, если число оборотов равно x (x может и не быть целым числом), то

Канаты, на которых опускают груз в шахты, невыгодно делать одинаковой толщины на всём их протяжении. Лучше всего придать канату такую форму, чтобы в любом его сечении на 1 см приходилась одинаковая нагрузка.
ПЛОЩАДЬ ИЗМЕНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ КАНАТА:



- площадь нижнего сечения каната,

- площадь сечения на расстоянии x от нижнего сечения,

- удельный вес материала, из которого сделан канат,

- вес опускаемого груза.

Вертикальный разрез такого каната имеет форму, изображенную
на рисунке. Такой канат называют канатом равного сопротивления
разрыву. Этот канат имеет меньший объём, чем канат с постоянным сечением,
поэтому на него идёт меньше материала.

x

Путь, который проходит точка, совершающая колебания, выражается такой формулой:



,

где А – амплитуда колебания, ω - частота колебаний, α – начальная фаза колебаний.

График затухающего колебания изображен на рисунке:

Если сопротивление среды очень большое
( скажем, если маятник качается не в воздухе, а в масле), то колебаний не будет совсем – выведенный из положения равновесия маятник медленно будет опускаться, приближаясь к положению равновесия. В этом случае закон его движения задаётся формулой вида


,




где А1 и А2 зависят от начального положения и начальной скорости маятника.

При электрических колебаниях так же происходят затухание колебания из-за наличия сопротивления цепи.

Если собрать электрическую схему, как на рисунке, и выключить ток, то из-за наличия катушки сила тока будет нарастать медленно, так как в цепи возникает ток самоиндукции, направленный в противоположную сторону. Расчёты показывают, что сила тока I зависит от времени по следующей формуле:

Здесь R- сопротивление цепи, L - самоиндукция катушки, V0 – напряжение тока.

Процесс выключения постоянного тока похож на процесс его включения. Он описывается более простой формулой:









Заметим, что функция
убывает и стремится к нулю, а потому через некоторое время после выключения тока приборы покажут, что в цепи тока нет.

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.
Рассмотрим падение парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что
F=kU
через t секунд скорость падения будет равна:

U=mg/k(1-e-kt/m)

Обратите внимание на сходство этой формулы с формулой для силы тока. Через некоторый промежуток времени e-kt/m станет очень маленьким числом и скорость падения будет в точности равна mg/k, т.е. падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта.
Написанная формула пригодна не только для случая падения парашютиста, но и для изучения падения капель дождевой воды, пушинки и т.д.

Этим и объясняется, почему пушинка падает медленнее камня:
у неё маленькая масса, а площадь поверхности довольно большая,
и воздух оказывает значительное сопротивление падению.

Если сначала температура чайника равнялась Т0 , а температура чайника равнялась Т1, то через несколько секунд температура Т чайника выразится формулой:

Т=(Т0-Т1)е +Т1

где k – число, зависящее от формы чайника и материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нём находится.

Тот факт, что самые различные явления описываются похожими уравнениями, часто используется на практике:
Движение жидкости описывается теми же уравнениями, что и движение электричества(движение нефти под землёй – движение электричества);
Измеряя напряжение и силу тока в разных точках собранной цепи, можно узнать, где выгоднее всего поставить буровую вышку, куда надо накачивать воду, чтобы усилить выход нефти и т.д. Такое изучение одних явлений при помощи других, описываемых теми же самыми уравнениями, называется  моделированием явлений

THE END

Авторы работы:
Андреев Илья;
Коновалова Александра;
Белецкая Ирина;
Слюсарева Елена