Материал к уроку алгебры в 8 классе на тему "Теорема Виета"
Оценка 4.7 (более 1000 оценок)

Материал к уроку алгебры в 8 классе на тему "Теорема Виета"

Оценка 4.7 (более 1000 оценок)
Презентации учебные +2
ppt
математика
8 кл
07.01.2017
Материал к уроку   алгебры в 8 классе на тему "Теорема Виета"
Опорный конспект к уроку алгебры в 8 классе "Теорема Виета"
Публикация является частью публикации:
1-мое Теорема Виета.ppt

Теорема Виета Брянский городской лицей №1 имени

Теорема Виета Брянский городской лицей №1 имени

Теорема Виета

Брянский городской лицей №1 имени А.С.Пушкина

Урок в 8 физико-математическом классе

6 февраля 2015

Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями

Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями

03.09.2020

«Мне приходится делить своё время
между политикой и уравнениями.
Однако уравнения, по-моему,
гораздо важнее, потому
что политика существует только для данного
момента, а уравнения будут
существовать вечно».

Франсуа Виет

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, a  0 где a, b, с 

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, a  0 где a, b, с 

Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2+bx+c=0, a  0
где a, b, с  R.
Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент,
b - второй коэффициент,
с - свободный член.

Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с 

Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с 

Приведенное уравнение

Если в уравнении вида:
ax2+bx+c=0,
где a, b, с  R старший коэффициент а = 1,
то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным
(р=b/a, q=c/a).

Замени квадратное уравнение равносильным

Замени квадратное уравнение равносильным

2х2 + 14х – 12 = 0
х2 + 7х – 6 = 0
2. 1/2 х2 – 4х + 6 = 0
х2 – 8х + 12 = 0
2х2 + х – 7 = 0
х2 + 0,5 х – 3,5 = 0
4. 2х2 + х + 7 = 0


Замени квадратное уравнение
равносильным

Проверим! Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Проверим! Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Проверим! Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Уравнение

Корни

Сумма
корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

х2–2х–5=0

3x2–x–2=0

3х2+х–2=0

х2+рх+q=0

ax2+bx+c=0

Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Уравнение

Корни

Сумма
корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

х2–2х–5=0

3x2–x–2=0

3х2+х–2=0

х2+рх+q=0

ax2+bx+c=0

Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Заполни таблицу (найти корни уравнения, сумму и произведение корней)

Уравнение

Корни

Сумма
корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

4 и 2

6

8

х2–2х–5=0

2

-5

3x2–x–2=0

3х2+х–2=0

х2+рх+q=0

р

q

ax2+bx+c=0

Вывод 1: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену

Вывод 1: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену

Вывод 1:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.

Вывод 2: Сумма корней неприведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, деленному на старший, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену, деленному на старший

Вывод 2: Сумма корней неприведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, деленному на старший, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену, деленному на старший

Вывод 2:

Сумма корней неприведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, деленному на старший, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену, деленному на старший.

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение…

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение…

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0  равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.
Т. е.  x1 + x2 = –и   x1 x2 = q

(доказательство: смотри тетрадь и учебник (М), стр. 197)

Теорему Виета тебе Я запомнить легко помогу

Теорему Виета тебе Я запомнить легко помогу

Теорему Виета тебе
Я запомнить легко помогу.
Сумма корней - минус p,
Произведение q.

03.09.2020

В каком из следующих уравнений сумма корней равна 7; произведение равно 12; сумма равна 7 и произведение равно 12

В каком из следующих уравнений сумма корней равна 7; произведение равно 12; сумма равна 7 и произведение равно 12

1). х2 + 7х – 3 = 0
2). х2 – 6х + 12 = 0
3). х2 +12х – 7 = 0
4). х2 – 7х + 12 = 0

В каком из следующих уравнений
сумма корней равна 7;
произведение равно 12;
сумма равна 7 и произведение равно 12.

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

03.09.2020

Квадратные уравнения

X1

X2

X1 + X2

X1 ∙ X2

x2 – 15 x + 14=0

x2 +15 x + 14=0

x2 - 8 x + 7 = 0

x2 + 8 x + 7 = 0

х2 + 9 x + 20 =0

х2 -9 x + 20 =0

7x2 + 8 x + 1= 0

7x2 - 8 x + 1= 0

15

-15

8

-8

-9

9

-8/7

8/7

14

7

20

1/7

По праву достойна в стихах быть воспета

По праву достойна в стихах быть воспета

03.09.2020


По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе a.

Способ запоминания теоремы Виета

Обратная теорема Виета Если числа m и n таковы, что их сумма равна – р , а произведение равно q , то эти числа являются…

Обратная теорема Виета Если числа m и n таковы, что их сумма равна – р , а произведение равно q , то эти числа являются…

Обратная теорема Виета

Если числа m и n таковы, что их сумма
равна –р, а произведение равно q, то эти
числа являются корнями уравнения
х 2+рх+q=0

Доказать, что числа 5 и -3 – корни приведенного квадратного уравнения: числа -5 и 3 – корни приведённого квадратного уравнения:

Доказать, что числа 5 и -3 – корни приведенного квадратного уравнения: числа -5 и 3 – корни приведённого квадратного уравнения:

х2 - 2х - 15 = 0;

х2 + 2х – 15 = 0

Доказать, что числа 5 и -3 – корни приведенного квадратного уравнения:

числа -5 и 3 – корни приведённого квадратного уравнения:

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения? а ) х 2+ 3 х – 40 = 0, х 1 = –8, х 2 = 5; б)…

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения? а ) х 2+ 3 х – 40 = 0, х 1 = –8, х 2 = 5; б)…

Правильно ли найдены корни
квадратного уравнения?
а) х2+ 3х – 40 = 0, х1 = –8, х2 = 5;

б) х2+ 2х – 3 = 0, х1 = –1, х2 = 3;

в) 2х2 – 5х – 3 = 0, х1= –1, х2 = 3.

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

03.09.2020

Квадратные уравнения

X1

X2

X1 + X2

X1 ∙ X2

x2 – 15 x + 14=0

15

14

x2 +15 x + 14=0

-15

x2 - 8 x + 7 = 0

8

7

x2 + 8 x + 7 = 0

-8

х2 + 9 x + 20 =0

-9

20

х2 -9 x + 20 =0

9

7x2 + 8 x + 1= 0

-8/7

1/7

7x2 - 8 x + 1= 0

8/7

1

14

-1

-14

7

1

-7

-1

-5

-4

5

4

-1

-1/7

1

1/7

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

03.09.2020

Квадратные уравнения

X1

X2

X1 + X2

X1 ∙ X2

1

14

-1

-14

7

1

-7

-1

-5

-4

5

4

-1

-1/7

1

1/7

x2 – 15 x + 14=0

x2 +15 x + 14=0

x2 - 8 x + 7 = 0

x2 + 8 x + 7 = 0

х2 + 9 x + 20 =0

х2 -9 x + 20 =0

x2+8/7x +1/7= 0

x2– 8/7x+1/7= 0

15

-15

8

-8

-9

9

-8/7

8/7

14

7

20

1/7

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

Квадратные уравнения X1 X2 X1 +

03.09.2020

Квадратные уравнения

X1

X2

X1 + X2

X1 ∙ X2

x2 – 15 x + 14=0

1

14

15

14

x2 +15 x + 14=0

-1

-14

-15

x2 - 8 x + 7 = 0

7

1

8

7

x2 + 8 x + 7 = 0

-7

-1

-8

х2 + 9 x + 20 =0

-5

-4

-9

20

х2 -9 x + 20 =0

5

4

9

7x2 + 8 x + 1= 0

-1

-1/7

-8/7

1/7

7x2 - 8 x + 1= 0

1

1/7

8/7

Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему, обратную теореме

Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему, обратную теореме

Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему, обратную теореме Виета:

а) х2– 6х + 5 = 0;
б) х2 – 7х + 12 = 0;
в) х2 – х – 12 = 0.

2) Составьте приведенные квадратные уравнения, если его корни равны:
а) х1= –3, х2 = 1;
б) х1 = –3, х2 = –4;
в) х1 = 5, х2 = 6.

Следствие 1. Сумма коэффициентов квадратного уравнения ax2 + bx+c =0 равна нулю тогда и только, когда один корень уравнения равен 1, а второй с/а

Следствие 1. Сумма коэффициентов квадратного уравнения ax2 + bx+c =0 равна нулю тогда и только, когда один корень уравнения равен 1, а второй с/а

Следствие 1.

Сумма коэффициентов квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равна нулю
тогда и только, когда
один корень уравнения равен 1,
а второй с/а.

Следствие 2. Сумма старшего коэффициента и свободного члена квадратного уравнения ax2 + bx+c =0 равна среднему коэффициенту тогда и только, когда один корень уравнения равен…

Следствие 2. Сумма старшего коэффициента и свободного члена квадратного уравнения ax2 + bx+c =0 равна среднему коэффициенту тогда и только, когда один корень уравнения равен…

Следствие 2.

Сумма старшего коэффициента и свободного члена квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равна
среднему коэффициенту
тогда и только, когда
один корень уравнения равен -1,
а второй –с/а.

Отец" алгебры, или Франсуа Виет

Отец" алгебры, или Франсуа Виет

"Отец" алгебры, или Франсуа Виет

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений.
Родился в 1540 году в городе
Фонтене ле-Конт провинции Пуату.
Отец Виета был прокурором. По традиции сын стал юристом, окончив университет в Пуату.

1540-1603 г.

С 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.

Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки,

Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки,




Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы.
В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV.

Но главной страстью Виета была математика

Но главной страстью Виета была математика


Но главной страстью Виета была математика.
Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других.

Стевин Симон
(1548-1620)-нидерландский математик и инженер). 

Архимед
(287-212 г.
до н. э.)

Джироламо Кордано (1501-1576) 
итальянский математик, философ и врач  

Диофант
Александрийский

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

У самого Виета алгебраические символы еще были мало похожи на наши. Например, современную запись уравнения х3+3bx=d Виет записывал так:




A cubus + B planum in A3 aequatur D solido.

Но главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода

Но главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода

Но главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Виет не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа,
а действия над ними.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый…

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый…

«Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид».

Ф. Виет

Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений

Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений

Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.
Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения была известна Кордано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения, - древним вавилонянам.

Отец" алгебры, или Франсуа Виет

Отец" алгебры, или Франсуа Виет

"Отец" алгебры, или Франсуа Виет

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений.
Родился в 1540 году в городе
Фонтене ле-Конт провинции Пуату.
Отец Виета был прокурором. По традиции сын стал юристом, окончив университет в Пуату.

1540-1603 г.

С 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.

Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки,

Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки,




Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы.
В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV.

Но главной страстью Виета была математика

Но главной страстью Виета была математика


Но главной страстью Виета была математика.
Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других.

Стевин Симон
(1548-1620)-нидерландский математик и инженер). 

Архимед
(287-212 г.
до н. э.)

Джироламо Кордано (1501-1576) 
итальянский математик, философ и врач  

Диофант
Александрийский

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

У самого Виета алгебраические символы еще были мало похожи на наши. Например, современную запись уравнения х3+3bx=d Виет записывал так:




A cubus + B planum in A3 aequatur D solido.

Но главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода

Но главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода

Но главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Виет не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа,
а действия над ними.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый…

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый…

«Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид».

Ф. Виет

Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений

Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений

Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.
Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения была известна Кордано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения, - древним вавилонянам.

Кубические уравнения были известны не только в древнем

Кубические уравнения были известны не только в древнем

Кубические уравнения были известны не только в древнем Вавилоне, но и древним грекам, китайцам, индийцам и египтянам. Франсуа Виет по примеру решения уравнений 2-ой степени нашел способ решения уравнений 3-ей и 4-ой степени.

Кубические уравнения были известны ещё в древнем

Кубические уравнения были известны ещё в древнем

Кубические уравнения были известны ещё в древнем Вавилоне, древним грекам, китайцам, индийцам и египтянам. Франсуа Виет по примеру решения уравнений 2-ой степени нашел способ решения уравнений 3-ей и 4-ой степени

Интересные факты о Франсуа Виете

Интересные факты о Франсуа Виете

Интересные факты о Франсуа Виете

Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом

По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии. Испанцы считали, что раскрытие их шифра человеческому разуму не под силу и Виету помогал сам Сатана.

Интересные факты о Франсуа Виете

Интересные факты о Франсуа Виете

Интересные факты о Франсуа Виете


В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь. 

Источники информации http://www

Источники информации http://www

Источники информации

http://www.tonnel.ru/?l=gzl&uid=391&op=bio
http://mathsun.ru/viet.html
Использованы материалы книги «Ученикам о выдающихся математиках"

В уравнении х2 + pх – 35 = 0 один из корней равен 5

В уравнении х2 + pх – 35 = 0 один из корней равен 5

4) В уравнении х2 + pх – 35 = 0 один из корней равен 5. Найдите другой корень и коэффициент р.

Решение:
Если х1 = 5, то используем теорему Виета и получим х2 = -35:(- 7)=5;
Тогда х1 +х2 =5 – 7=-2=-p, р = 2
Ответ: х2 = - 7, р = 2

Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 – 9х – 17 = 0

Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 – 9х – 17 = 0

Пусть х1 и х2
корни квадратного уравнения х2 – 9х – 17 = 0.
Не решая уравнения,
найдите значение выражения

Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 – 9х – 17 = 0

Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 – 9х – 17 = 0

Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения
х2 – 9х – 17 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения

Решение.

Определение знака корней а >0 D > 0

Определение знака корней а >0 D > 0

03.09.2020

47

Определение знака корней

а >0

D > 0

D < 0

Корней нет

q>0
корни одного знака

q<0
корни разного знака

p>0

p<0

x1,2 > 0

x1,2 < 0

p>0

p<0

«─» у большего
модуля

«─» у меньшего
модуля

ax2+bx+c=0, a  0

Домашнее задание п.31, теорему

Домашнее задание п.31, теорему

Домашнее задание

п.31, теорему Виета и ей обратную знать.
Уметь доказывать.
№705(б,г,е), №712, 714, 715 (б,г),
№722 (письменно), 721.

Спасибо за урок! Дальнейших успехов в изучении алгебры!

Спасибо за урок! Дальнейших успехов в изучении алгебры!

Спасибо за урок!
Дальнейших успехов
в изучении
алгебры!

Скачать файл
сегодня при записи на курсы переподготовки
для учителей