Матрица в экономике

Применение матриц в экономике В данной статье мы рассмотрим использования матриц в экономике. Для этого   нам   необходимо   будет   проанализировать   решения   экономической задачи и сделать определенные выводы. Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы   элементов   кольца   или   поля,   которая   представляет   собой совокупность   строк   и   столбцов,   на   пересечении   которых   находятся   её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Матрицы широко   применяются   в   математике   для   компактной   записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае,   количество   строк   матрицы   соответствует   числу   уравнений,   а количество   столбцов —   количеству   неизвестных.   В   результате,   решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Понятие   матрицы   и   основанный   на   нем   раздел   математики ­ матричная алгебра ­ имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется   это   тем,   что   значительная   часть   математических   моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное ­ компактной матричной форме. С   помощью   матриц   удобно   записывать   некоторые   экономические зависимости.   Например,   таблица   распределения   ресурсов   по   отдельным отраслям экономики (усл. ед.):    Ресурсы Отрасли экономики Промышленность Сельское хозяйство Электроэнергия Трудовые ресурсы Водные ресурсы 5,3 2,8 4,8 4,1 2,1 5,1 Может   быть   записана   в   компактной   форме   в   виде   матрицы распределения ресурсов по отраслям: В данной записи, например, матричный элемент а11 = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а22 = 2,1 ­ сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство. Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов: P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей: где каждый элемент аij (i = 1,2,3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j­ го   типа   расходуется   на   производство   единицы   продукции   i­го   вида.   План выпуска   продукции   задан   матрицей­строкой С =   (100   80   130),   стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) ­ матрицей столбцом: Рассмотрев задачу, получили: затраты 1­го сырья составляют S1 = 2∙100 + 5∙80 + 1∙130 = 730 ед. и 2­го ­ S2 = 3∙100 + 2∙80 + 4∙130 = 980 ед., поэтому матрица­строка затрат сырья Sможет быть записана как произведение: Тогда   общая   стоимость   сырья Q   =   730∙30   +   980∙50   =   70900   ден. ед. может быть записана в матричном виде: Q = S∙B = (CA)B = (70900). Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим   матрицу   стоимостей   затрат   сырья   на   единицу   продукции,   т.е. матрицу: а затем общую стоимость сырья: На   этом   примере   мы   убедились   в   выполнении   ассоциативного   закона произведения матриц: (СА)В = С(АВ). Проанализировав   использования   матриц   в   экономике,   мы   пришли   к выводу, что достоинства матриц состоят в том, что они используют широкий набор стратегически значимых переменных; указывают направление движения ресурсов. Среди недостатков этого инструмента: не обеспечивает реальных рекомендаций   по   разработке   специфических   стратегий;   по   ней невозможно  определить сферы бизнеса, которые готовы стать победителями. Также   матрицы   позволяют   с   минимальными   затратами   труда   и   времени обрабатывать   огромный   и   весьма   разнообразный   статистический   материал, различные   исходные   данные,   характеризующие   уровень,   структуру, особенности социально­экономического комплекса.