Методическая разработка

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

СОВЕТ ДИРЕКТОРОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

 РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ          

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

по теме « Размещения. Перестановки.  Сочетания»

          по учебной дисциплине ОУД.04 Математика

          Специальность  23.02.07

Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилей

       (в рамках областного  конкурса «Лучшие методические разработки -2021 в системе профессионального образования»)

2021 год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

      Образование является неотъемлемой составляющей жизненного пути. Быть образованным — значит уметь разбираться в окружающем мире, иметь определенное мировоззрение, приобретать неповторимый опыт. Для каждого человека смысл этого понятия индивидуален.

     Ростовский колледж металлообработки и автосервиса —  колледж, центр образования и карьеры, обепечивающий образовательную площадку, где можно раскрыть свой потенциал и обрести новые знания.

     Преподавательский состав представляет собой квалифицированных специалистов заинтересованных в творческом подходе к выполнению своей работы и совершенствованию образовательного процесса.

     Я, Филиппова Ольга Львовна, преподаватель высшей категории, реализующая программу общеобразовательной дисциплины ОУД.04 Математика в данном учебном заведении представляю на конкурс « Лучшие методические разработки - 2021 в системе профессионального образования»

методическую разработку учебного занятия для специальности 23.02.07 Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилей

Тема «Размещения. Перестановки.  Сочетания ». 

    Представленный урок построен в соответствии с проблемно - развивающей педагогической технологией. Урок открытия нового знания с игровыми элементами разбит  условно на четыре основные этапа:

•        Организационно-мотивационный;

•        Подготовительный;

•        Основной :

1.                 актуализация знаний,

2.                 моделирование способа открытия нового знания,

3.                 оперирование знаниями и способами деятельности на практике;

•        Рефлексия .

    Подобное построение  отвечает всем требованиям инновационного построения  урока, вносит в учебный процесс положительный эмоциональный настрой.

Группа разбита на три команды. Каждая команда представляет информацию по выбранной теме (размещения, перестановки, сочетания); выбраны главные докладчики, которые дают понятия и додокладчики, предлагают задачи)

   Урок сопровождается мультимедийными средствами, что позволяет сделать его более интересным и динамичным.

Технологическая карта учебного занятия по теме

« Размещения. Перестановки.  Сочетания»

Дата:

Учебная дисциплина: «Математика».

Специальность: Сварочное производство

Тема занятия: Размещения. Перестановки. Сочетания.

Тип занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид занятия: смешанный урок (исследовательская работа, беседа)

Место проведения: кабинет 45.

Продолжительность: 45 минут.

Цели занятия: обеспечить оценку и проверку знаний; создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения, для формирования системы знаний, связанных с  понятиями размещений, перестановок и сочетаний, содействовать умению общаться между собой; формировать умения делать обобщения на основе полученных данных в результате исследования, выбирать правильные утверждения из нескольких данных.

По окончанию занятия обучающийся имеет практический опыт:

Знает:

понятие предмета комбинаторика

понятие факториала

понятие размещений, перестановок и сочетаний

Умеет:

организовывать поиск, сбор и получение информации об истории развития комбинаторики, ее применении при решении задач, находить связь комбинаторики с окружающим миром, решать простейшие комбинаторные задачи.

Владеет: 

 умением анализировать, сравнивать, аргументировать свои ответы.

        Дидактические задачи:

Образовательные: ввести понятие предмета комбинаторики, познакомить с историей развития и применения в жизни; рассмотреть различные виды комбинаторных соединений: размещения, перестановки и сочетания; сформировать у обучающихся первичные умения и навыки решения задач.

Воспитательные: формировать научное мировоззрение у обучающихся,  культуру математической речи,  информационную и  коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Развивающие: развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать  умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

Методическая цель:

Использовать приемы, активизирующие внимание и память;

Продемонстрировать возможность использования на уроке информационных технологий, организацию фронтальной и индивидуальной работы.

Методы обучения:

Проблемно-поисковый, метод беседы, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности. 

Формы организации познавательной деятельности:

Фронтальная, работа в парах, индивидуальная работа.

Средства технологической поддержки учебной работы:

1.               компьютер,

2.               проектор,

3.               презентация по теме «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики», презентация по теме «Комбинаторика в реальной жизни», презентация по теме «Решение комбинаторных задач», «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»

4.               экран

5.               Сопроводительная карта урока, для записи конспекта

6.               Рабочая программа, календарно- тематический план, план занятия.

Межпредметные связи:

 информатика, химия,экономика,реальная математика

Структура и методический инструментарий учебного занятия

Подготовительная работа

За две недели до проведения данного урока студентам дается задание:

Исследовать различные источники, и найти информацию, так или иначе связанную с темой данного урока. (Студентам выдаются темы сообщений, список литературы, возможно, ссылки на Интернет ресурсы.) Группа делится на три команды ( размещения, перестановки, сочетания)

Собранная студентами информация изучается учителем, систематизируется. Учитель выясняет, какая тема больше всего интересна каждому студенту, окончательно утверждает темы сообщений и вбираются докладчики.

Темы сообщений:

·        «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики»

·        «Комбинаторика в реальной жизни»

·        « Размещения»

·        « Перестановки»

·        «Сочетания.»

·        «Решение комбинаторных задач»

 Примерный перечень вопросов при работе над темой:

·         Основные понятия по данной теме;

·         Исторические комментарии;

·         Связь рассматриваемых объектов с природой и жизнью человека;

·         Интегрирование полученных знаний в различные области науки, техники, технологии, в творческие области;

·         Упражнения и задачи решения.

Ход урока

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. (2 мин)

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции.

Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

 «Число, положение и комбинация -

     три взаимно пересекающиеся,

    но различные сферы мысли,

   к которым можно отнести

   все математические   идеи»                                                                                                                

Английский математик  

Джеймс Джозеф Сильвестр
                           (1814-1897)

2. Мотивация к усвоению нового материала. Фронтальная работа с группой. (5 мин)

Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем здороваться мысленным  рукопожатием.

– В классе нас сколько?

Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?

– Итак, какие  будут ответы?

Нас 25.

Каждый из 25-и  человек пожал руки 24-м. Однако произведение 25 * 24 = 600 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (25 * 24) : 2 = 300.

– Мы с вами столкнулись с комбинаторной задачей.   
Поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае, занят целый раздел математики, и мы познакомимся с ним. Особая примета подобных задач – это  вопрос, который   можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами:

·            Сколькими способами…?

·            Сколько вариантов…?

Итак тема нашего урока: «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»

3. Изучение и первичное усвоение новых знаний.

          Студенты, слушая выступления  своих  одногруппников, должны заполнить таблицу

Подводим итог, проверяем таблицы ( на экране образец)

Выставление оценок! Домашнее задание!

Приложение

Выступление студентов с итогами своей работы:

«Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики» 

 Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

        При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность.

        Комбинаторикой  называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

        Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»).

        С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.  

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр.  

Основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль.

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты.  

В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей.

Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание»  впервые встречается у Паскаля. Термин «перестановка» употребил в указанной книге Якоб Бернулли. Бернулли использовал и термин «размещение».

        Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

·                   «Комбинаторика в реальной жизни» (3 мин)

Замечательно, что наука, которая начала  с рассмотрения азартных игр, обещает  стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

                                     П. Лаплас

Проведём небольшой эксперимент, вы можете представить себя отцом дочерей-двойняшек, которым вы накупили дюжину платьев. А теперь ответьте на вопрос: сколько же существует разных вариантов одеть ваших девочек? Чтобы получить ответ, достаточно провести подсчеты на обычном листке бумаги. Но представьте на минуту, что вы — этот самый человек, который выдает штрих коды на товары. Но производителю товара уже точно не обойтись одной бумагой и карандашом; для этого необходимо владеть специальной техникой, которая обеспечит гарантированное использование всех возможных вариантов, другими словами, нужна лучшая «техника счета».

В царице наук – математике, все эти техники объединяются в одну отрасль науки, которую называют комбинаторикой. Кроме всего прочего, комбинаторика — это прелюдия к расчету вероятностей.

Области применения комбинаторики:

·  учебные заведения (составление расписаний)

·  сфера общественного питания (составление меню)

·  лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

·  география (раскраска карт)

·  спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

·  производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

·  агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

·  азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

·  химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

·  экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

·  криптография (разработка методов шифрования)

·  доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

«Решение комбинаторных задач» (7 мин)

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач.

Задача 1. Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в городе. Наряд состоит из двух человек: старшего наряда и дежурного. В расположении майора находится 20 полицейских. На сколько дней подряд майор Зимин составит график?

Решение. Пусть сначала избирается старший наряда. Поскольку каждый полицейский может быть выбран старшим, то, очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда дежурным может стать каждый из оставшихся 19 полицейских. Любой из 20 способов выбора старшего наряда может осуществиться вместе с любыми из 19 способов выбора дежурного. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 = 380 способов формирования наряда. Т.о. на 380 дней майор Зимин может составить график.

Перестановки, сочетания и размещения.

Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше?  Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

3 объекта можно переставить  способами.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний:

Запись  в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:

Запись  понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
 способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
 способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей, уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий: сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно  способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан. Но комбинаций сейчас будет в два раза больше.Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а  яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

В данном случае работает формула количества размещений:
Она отличается от формулы  тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

Пожалуйста, внимательно прочитайте Основные формулы комбинаторики и постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.

Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными.

Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же  различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой 

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все  объектов. Например, дружная семья:

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы  Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.

Решение и ответ в конце урока.

Увеличиваем обороты:

Сочетания

Сочетаниями называют различные комбинации из  объектов, которые выбраны из множества  различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле  необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно ПОНИМАТЬ и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

 – единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
 способами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
 способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
 – единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля, по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений  при небольших значениях «эн».

Задача 4

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:

Задача 4*

В шахматном турнире участвует  человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером  клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой). Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».

Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
 различных пар можно составить из  соперников (кто играет белыми, кто чёрными – не важно).

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает  мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Ну а вывода тут два:
– во-первых, не всё очевидное – очевидно;
– и во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!

Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!

Размещения

Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества  различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле 

Что наша жизнь? Игра:

Задача 5

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

 способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

 способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей  способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

 способами можно сдать по одной карте трём игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ: 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

Задача 6

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.

Задачи

( каждой команде раздается комплект задачи,  из которых они выбирают задачи в таблицу)

Скачано с www.znanio.ru