Методическая разработка темы: «Методические рекомендации к аудиторной и внеаудиторной самостоятельно практической работе по дисциплине ЕН Математика по теме «Вычисление производной функции»»

Методическая разработка на тему: «Методические рекомендации к аудиторной и внеаудиторной самостоятельно практической работе по дисциплине ЕН Математика по теме «Вычисление производной функции»»

Пояснительная записка

 Методические указания по самостоятельной работе студентов по дисциплине «ЕН Математика» составлены на основании требований Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки обучающихся СПО по специальности 19.02.10 Технология продукции общественного питания.

В рабочей программе курса по дисциплине «ЕН-Математика» предусмотрено 35 часов на самостоятельную работу.

Целью разработки данного методического указания является оказание методической помощи в самостоятельной работе студентов при изучении дисциплины, определение уровня знаний и умений при выполнении самостоятельной работы.

На этапе подготовки к выполнению практических работ студенты, работая с литературой [1,2,3], должны осознать цели и содержание предстоящей работы и составить подробный план и программу выполнения предстоящих заданий.

Прежде всего перед студентом, выполняющим практические работы, стоит задача приобретения совокупности знаний, умений и навыков.

Важнейшим этапом практической работы, как и любой деятельности студентов в учебном процессе, является подготовительный этап, включающий в себя:

1) уяснение постановки задачи, т.е. ознакомление с целями, содержанием и средствами предстоящих заданий;

2) нахождение теоретического обоснования тех вычислений и преобразований, взаимосвязей и закономерностей, которые лежат в основе практической работы;  

3) составление плана выполнения практической работы;

4) оформление практической работы;

5) прогнозирование результатов.

Приступая к выполнению самостоятельной работы по дисциплине, обучающиеся должны изучить учебную литературу, методические указания и задания для выполнения индивидуальных заданий.

Основные этапы работы с учебной литературой

Для начала ознакомьтесь с введением, бегло просмотрите учебник (учебное пособие), чтобы составить о нем первое впечатление. Затем приступайте к вдумчивой, детальной, последовательной проработке каждого раздела.

Изучать материал следует в строгой последовательности программы, указанной в данных методических указаниях. Прочитанный материал рекомендуем воспроизводить по памяти. Если после прочитанного у вас остались вопросы, читайте повторно. Читая, старайтесь не только запоминать содержание изучаемого материала, но и составлять краткий конспект, в который вносите основные положения изучаемого раздела, сопровождая их при необходимости иллюстрациями. На полях конспекта отмечайте вопросы, по которым хотели бы получить консультации у преподавателя. Не следует переходить к работе над последующими разделами, не изучив предыдущие. Старайтесь постоянно перечитывать конспект.

Помните, личный опыт вырабатывает навыки и умение работать с учебной литературой. Опыт показывает, что наиболее трудными разделами дисциплины являются разделы, посвященные вычислению производной сложной функции и обратных тригонометрических функций.

Практическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая выполнение студентами по заданию и под руководством преподавателя одной или нескольких практических работ.

Дидактическая цель практических работ - формирование у студентов профессиональных умений, а также практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.

Так, на практических занятиях по математике у студентов формируется умение решать задачи, которое в дальнейшем должно быть использовано для решения профессиональных задач по специальным дисциплинам.

В ходе практических работ студенты овладевают умениями пользоваться информационными источниками, работать с нормативными документами и инструктивными материалами, справочниками, выполнять чертежи, схемы, таблицы, решать разного рода задачи, делать вычисления.

Задачи, которые решаются в ходе практических занятий по математике:

·        расширение и закрепление теоретических знаний по математике, полученных в ходе лекционных занятий;

·        формирование практических умений и навыков, необходимых для успешного решения задач по математике;

·        развитие потребности в самообразовании и совершенствовании знаний и умений в процессе изучения математики;

·        формирование творческого отношения и исследовательского подхода в процессе изучения математики;

·        формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста и навыков приложения полученных знаний в профессиональной сфере.

Критерии оценки:

Ответ оценивается отметкой «5», если: работа выполнена полностью; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которые не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях: работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если: допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но студент обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что студент не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии студента; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные студенту дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

Методические указания по проведению

практической работы: «Вычисление производной функции»

Дидактическая цель работы: 

Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Вычисление производной функции»

Перечень справочной литературы :

1.     Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.

2.     Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

3.     Шипачев В.С. Основы высшей математика: учебник для вузов. -М. Высш.шк., 2015 г.

4.     Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2015 г.

Краткие теоретические сведения:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

f'(x)=

Правила дифференцирования

1) C^'=0;

2) x^'=1;

3) (u + v)'=u'+ v';

4) (cu)' = c u';

5) (uv)'=u'v+uv';

6) ;

7) если y=f(u), u=u(x), т е y=f(u(x)), где функции f(u) и u(x) имеют производные, то y'_x =y_u'·u'_x

Формулы дифференцирования

1.    ()'= n

2.    ()' = -

3.   ()' =

4.     (kx+b)' = k

5.    ()' =

6.    (ln x)' =

7.    ()' =

8.   ()' =

9.     (sin x)' =cos x

10. (cos x)' = - sin x

11. (tg x)' =

12. (ctg x)' = -

13. (arcsin x)' =

14. (arccos x)' = -

15. (arctg x)' =

16. (arcctg x)' = -

17. (sh x)' = ch x

18. (ch x)' = sh x

19. (th x)' =

20. (cth x)' =

Разберем примеры нахождения производной применяя правила и формулы дифференцирования:

1)   y=7+x-5x³ + 4sin x - 9 -  – 11ctg x,

Необходимо преобразовать данное выражение:

y= 7+ x -5x³ + 4sin x-9 – 4x^-2 – 11ctg x

Применим правило дифференцирования суммы и разности, вычислим производную.

y'=1 – 15x² + 4cos x -3,6 +

2)    y=x¹¹ln x

Сначала применим правило вычисления производной произведения функции, а затем используем формулы дифференцирования.

y'=(x¹¹)'ln x+x¹¹(ln x)' = 11x¹⁰ln x + x¹¹ = x¹⁰ (11ln x + 1)

3)   y=

По правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычислений производной частного, применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение.

y' =  = =

Производная сложной и обратной функций

Определение. Пусть функция  определена на множестве  и  - множество значений этой функции. Пусть, множество  (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,  - внешняя функция,  - промежуточный аргумент.

Теорема. Пусть есть функция y=f(g(x)) и y=f(g(x)), тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

y′=f′(g(x))⋅g′(x).

Правило нахождения производной сложной функции:

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.

Пример. Вычислить производную сложной функции:

1)   .y=

Решение:y'=5·=5·=

=5·()

2)   y=arctg

Решение: y'=·()'=·2x=

3)  y=cos

Решение: y'=-sin·()'= -sin·

4)    y=ln =

y'= = - )=

Обратная функция

Определение. Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений. Если каждому значению соответствует единственное значение, то определена функция с областью определения и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде. Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными.

Примеры:

1)y=arccos

y= - ()'= - )

Теорема. Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (а;b) и имеет не равную нулю производную в производной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

Пример:

1.     Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную функции;

Y=

Решение: Обратная функция имеет производную. Следовательно,

y'=3= (-) = -15

Порядок проведения работы:

1.     Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание

2.     Соответствующим образом оформить работу

Перечень заданий.

Вариант 1

Найдите производную функции:

1.    y=4x⁵-

2.   y=- sin2x+ arccos x

3.     y= (5x³-x)ln4x

4.    y=

5.    y=

6.   y=

Вариант 2

Найдите производную функции:

1.    y=2x⁷-

2.     y= arcsin x – ln3x – tg2x

3.    y= (x -)arcctg x

4.    y=

5.    y=

6.    y=

Вариант 3

Найдите производную функции:

1.    y=2x²-

2.     y= ctg x – ln4x – arcsin 2x

3.     y= (2x⁵-3x-1)ctg5x

4.    y=

5.   y= ln

6.   y=

Вариант 4

Найдите производную функции:

1.    y=6x⁴-

2.   y=- sin4x+ arctgx

3.    y= arcctg x()

4.    y=

5.    y=

6.   y= cos((5

Вариант 5

Найдите производную функции:

1.    y=2x³-

2.     y= sin3x + ln4x + arcctg x

3.    y= (sin2x + 2cos x)

4.    y=

5.    y=

6.    y=

Вариант 6

Найдите производную функции:

1.    y=7x⁷-

2.     y= cos 4x – ln2x + arccos4x

3.     y= tg 3x (3x⁴ – 2x³)

4.    y=

5.    y=

6.   y= ln ((2x² + 3x))