Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по теме Многогранники

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»                                                                          МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Для самостоятельной работы студентов По дисциплине: МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ Тема: «Многогранники» Специальность: 34.02.01 Сестринское дело   Курс: 1   Купино 2019  Рассмотрено на заседании   предметной цикловой Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,  общему гуманитарному и социально­экономическому, математическому и  естественно­научному циклу Протокол № _____ от «_____» _________20____г. Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н. Купино 2019 г Пояснительная записка Методическое пособие предназначено для самостоятельного изучения  теоретических и практических знаний по теме: Многогранники, изучения  определения многогранника, правильного многогранника, основных элементов 2 многогранника, определения призмы и параллелепипеда, видов призмы,  боковой и полной поверхности призмы для подготовки к занятиям по этой  теме. Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности  34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения основных  понятий по теме: Многогранники, вопросы для самопроверки, образцы  решения задач и тесты для самостоятельного решения. Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с  учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине. Многогранники Определение многогранника Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и  ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть  многогранной поверхностью или многогранником. Примеры многогранников Рассмотрим следующие примеры многогранников: 1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех  треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).             Рис. 1 3 2. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 – это  поверхность, составленная из шести  параллелограммов (рис. 2). Рис. 2 Основные элементы многогранников элементами многогранника являются грани, ребра,  Основными вершины. Грани – это многоугольники, составляющие многогранник. Ребра – это стороны граней. Вершины – это концы ребер. Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы. Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC. Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD. Вершины: А, В, С, D. Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 2). Грани: параллелограммы АА1D1D, D1DСС1, ВВ1С1С, АА1В1В, ABCD, A1B1C1D1. Ребра: АА1, ВВ1, СС1, DD1, AD, A1D1, B1C1, BC, AB, A1B1, D1C1, DC. Вершины: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.  Треугольная призма Важным частным случаем многогранника является призма. Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 3). Рис. 3 Равные треугольники АВС и А1В1С1 расположены в  α β  и  α ║ β     ).  и α 4  АА1, ВВ1, СС1 параллельны. параллельных плоскостях   так, что ребра То есть АВСА1В1С1 – треугольная призма, если: 1) Треугольники АВС и А1В1С1  равны. 2) Треугольники АВС и А1В1С1  расположены в параллельных плоскостях  :β  ABC║А1B1C ( 3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны. АВС и А1В1С1 – основания призмы. АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы. Если с произвольной точки Н1 одной плоскости (например,  ) опустить  β перпендикуляр НН1 на плоскость  высотой призмы. α , то этот перпендикуляр называется Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма  называется прямой, а в противном случае – наклонной. Прямая призма Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 4).  Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра  перпендикулярны основаниям. Например, ребро АА1 перпендикулярно Рис. плоскости АВС.  Ребро АА1 является высотой этой призмы. 4 Заметим, что боковая грань АА1В1В перпендикулярна к  основаниям АВС и А1В1С1, так как она проходит через перпендикуляр АА1 к  основаниям. Теперь рассмотрим Наклонная призма наклонную призму АВСА1В1С1 (рис. 5). Здесь  боковое ребро не перпендикулярно плоскости  основания. Если опустить из  точки А1 перпендикуляр А1Н на АВС, то этот  перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что  отрезок АН – это проекция  Рис. 5 отрезка АА1 на плоскость АВС. Тогда угол между прямой АА1 и плоскостью АВС это угол между  прямой АА1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А1АН. Четырехугольная призма Рис. 6 Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается. 1) Четырехугольник ABCD равен  четырехугольнику A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1. 2) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 лежат в  параллельных плоскостях  α β  ABC║А1B1C (  и  : α ║ β     ). 3) боковые ребра параллельны, то есть: АА1 ВВ║ Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1  расположены так, что  1 СС║ 1 DD║ 1. 5 Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины  призмы, не принадлежащие одной грани. Например, АС1 – диагональ четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1. Определение. Если боковое ребро АА1 перпендикулярно плоскости  основания, то такая призма называется прямой. Параллелепипед Рис. 7 Частным случаем четырёхугольной призмы является  известный нам параллелепипед.  Параллелепипед ABCDA1B1C1D1изображен на рис.  7. Рассмотрим, как он устроен: В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае –  1) равные параллелограммы ABCD и A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1. 2) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях  :β  ABC║A1B1C1 ( 3) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 расположены таким образом, что  боковые ребра параллельны между собой: АА1 ВВ║ 1 DD║ Из точки А1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС.  α ║ β     ). 1 СС║ 1.  и α Отрезок А1Н является высотой. Шестиугольная призма Рис. 8 B Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8). 1) В основании лежат равные  шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1: ABCDEF = A1 1C1D1E1F1. 2) Плоскости  шестиугольников ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 параллельн  α ║ основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А1B1C ( ы, то есть ).β 3) Шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 расположены так, что все  боковые ребра между собой параллельны: АА1 ВВ║ 1… FF║ 1. 6 Определение. Если какое­нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости  основания, то такая шестиугольная призма называется прямой. Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания –  Правильная призма правильные многоугольники. Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1. Рис. 9 Треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, это  значит, что в основаниях лежат правильные  треугольники, то есть все стороны этих  треугольников равны. Также данная призма ­ прямая.  Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. значит, что все боковые грани – равные прямоугольники. А это Итак, если треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, то: 1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является  высотой: AA1 ⊥ АВС. 2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный. Площадь поверхности призмы Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма  площадей всех её граней. Обозначается Sполн. Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей  всех боковых граней. Обозначается Sбок. Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы: Sполн = Sбок+ 2Sосн. Теорема о площади боковой поверхности призмы Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Доказательство проведем на примере треугольной призмы. Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС. АА1 = h. Доказать: Sбок = Росн ∙ h. Рис. 10 Доказательство. Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая,  значит, АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники. 7 Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей  прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С: Sбок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h. Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать. Повторение определений Определение. Прямая призма ­ это такая призма, у которой боковое ребро  перпендикулярно плоскости основания. Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 1).  Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма –  прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и  каждая боковая грань – это прямоугольник. Рис. 1 Определение. Правильной называется такая прямая  призма, в основании которой лежит правильный n­ угольник. Тогда, мы имеем правильную n­угольную  призму. Рис. 2 Повторение площади 1) Площадь полной сумме площади её удвоенной площади Sполн = Sбок + 2Sосн 2) Площадь боковой поверхности периметра основания на высоту призмы. Sбок = Росн ∙ h поверхности призмы поверхности призмы равна  боковой поверхности и  основания. прямой призмы равна произведению  Площадь боковой поверхности призмы Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению  периметра основания на высоту призмы. Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой  призмы ABCA1B1C1 (рис. 5). Призма ABCA1B1C1 – прямая, значит, все боковые  ребра перпендикулярны плоскости основания. Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС. АА1 = h. Доказать: Sбок = Росн ∙ h. Рис. 5 8 Доказательство. Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, боковые грани АА1В1В,  АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы. Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей  прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С: Sбок = АВ∙ АА1 + ВС∙ ВВ1 + СА∙ СС1 = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h. Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать. Задача 1. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с  Примеры решения задач основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой  поверхности, если боковое ребро равно 10 см. Рис. 3 Дано: AD ∥ BC, AB = CD, AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см, АА1 ⊥ АВС, АА1 = 10 см. (рис. 4) Найти: Sбок Рис. 4 Решение: 5). ВН и CG –  Рассмотрим трапецию ABCD (рис. высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9 см. Так как  трапеция ABСD равнобокая, то HG = BC = 9  см,  Рис. 5  (см). Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем  сторону АВ по теореме Пифагора: 9 Найдем периметр основания. Применяем формулу для площади боковой поверхности: Ответ: 500 см2 Задача 2. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы  равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Доказательство проведём на примере треугольной призмы. Рис. 6 Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1.  Построим плоскость перпендикулярного сечения. На  ребре ВВ1 выберем точку К (рис. 7). Через  точку К можно проведем перпендикуляр KL в  плоскости этой грани АА1В1В к ребру ВВ1. Этот  перпендикуляр будет перпендикуляром и к АА1, так как  прямые АА1 и ВВ1 параллельны.. Теперь проведем перпендикуляр КМ перпендикулярно ребру ВВ1 в плоскости грани ВВ1С1С. Получаем, что боковое ребро ВВ1 перпендикулярно двум пересекающимся  прямым KL и КМ плоскости KLM. Значит, ВВ1 ­ перпендикуляр к  плоскости KLM. То есть, построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. Надо  доказать, что площадь боковой поверхности равняется произведению  периметра перпендикулярного сечения KLM на боковое ребро ВВ1. То есть,  имеем следующую задачу. Рис. 7 Дано: АВСА1В1С1 – наклонная призма, ВВ1 ⊥ KLM. Доказать:  Доказательство: Любая боковая грань призмы  – это параллелограмм.  Рассмотрим грань АВВ1А1. KL – это высота  параллелограмма АВВ1А1. Поэтому площадь  параллелограмма АВВ1А1 записывается следующим образом: 10 Аналогично,  В призме все боковые ребра равны, АА1 = ВВ1 = СС1. Запишем, чему равна  ,  . площадь боковой поверхности. Мы показали, что   Задача 3. Основание призмы – правильный треугольник АВС (рис. 8). Боковое  . Задача доказана. ребро АА1 образует равные острые углы со сторонами основания АВ и АС.  Докажите, что a) BC ⊥ AA1; b) грань ВВ1С1С – прямоугольник. Рис. 8 Дано:  АВ = ∠А АВСА1В1С1 – призма. ВС = АС, 1АВ = ∠А1АС, ∠А1АВ < 90°. Доказать: a) BC ⊥ AA1; грань ВВ1С1С – прямоугольник. b) Рис. 9 Доказательство: а) Проведём перпендикуляр А1О к Из точки О опустим перпендикуляры ОМ к АВ и  А1О  ­ перпендикуляр к плоскости АВС.  OL к АС. плоскости АВС. ОМ –  плоскости АВС, то и  плоскость АВС. Так как  проекция наклонной А1М на проекция ОМ ⊥прямой АВ из наклонная А1М ⊥ прямой АВ (по теореме о трех перпендикулярах). ОL –  проекция наклонной А1L на плоскость АВС. Так как проекция ОL ⊥  прямой АC из плоскости АВС, то и наклонная А1L ⊥прямой АC(по теореме о  трех перпендикулярах). Получаем, что треугольники А1АМ и А1АL – прямоугольные. В этих  треугольниках гипотенуза АА1 – общая и углы ∠А1АВ и∠А1АС равны. Значит,  треугольники А1АМ и А1АL равны по гипотенузе и острому углу. 11 Из равенства треугольников имеем: АМ = АL и А1М = А1L. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОМ и АОL.   Гипотенуза АО общая, катеты АМ и АL равны. Из равенства треугольников  получаем равенство углов: ∠ОАМ = ∠ОАL. Так как ∠ОАМ = ∠ОАL, то АО – биссектриса. Треугольник АВС –  равносторонний, значит, АО ­ и биссектриса, и медиана, и высота. То есть  прямая ВС из плоскости треугольника АВС перпендикулярна АО, а АО – это  проекция наклонной АА1. Значит, прямая ВС и АА1 ⊥ по теореме о трех  перпендикулярах. б) Все боковые ребра между собой параллельны. Мы доказали, что  прямая ВС ⊥ одному боковому ребру, значит прямая ВС ⊥ и остальным  боковым ребрам, ВС ⊥ ВВ1, ВС ⊥ СС1. А это означает, что  параллелограмм ВВ1С1С является прямоугольником. Задача 4. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а,  диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите: а) диагональ призмы; б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани; в) площадь боковой поверхности призмы. Рис. 10 Дано: ABCD – квадрат, АВ = а, АА1⊥ АВС. ∠(АС1, АВС) = 45°. Найти: а) АС1;   б) ∠(АС1, АD1C1);   в) Sбок  Решение: а) ABCDA1B1C1D1 ­ правильная четырехугольная  призма. Это означает, что в её основании лежит  квадрат АВСD. Сторона квадрата АВСD  по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2. Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол  между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC – это угол между  прямой  АС1  и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С1АС, значит,  ∠С1АС = 45°. Так как треугольник С1АС прямоугольный, то и  12 угол АС1С равен 45°. Значит, треугольник С1АС – равнобедренный.  Значит, СС1 = АС = а√2. Из прямоугольного треугольника АС1С находим по теореме Пифагора АС1.   Ответ: 2а. б) Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1. Угол между  прямой АС1 и гранью АDD1 ­ это угол между прямой АС1 и её  проекцией АD1 на плоскость АDD1. Значит, искомый угол ­ ∠С1АD1. Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1, а значит, и прямой АD1.  Найдем ∠С1АD1 из прямоугольного треугольника С1АD1. Значит, ∠С1АD1 = 30°. Ответ: 30°. в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания  на высоту призмы. Задача 5. В правильной n­угольной призме сторона основания равна a и  высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы,     Ответ:  . если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6. Рис. 6 h Дано: АВСА1В1С1 – призма, АА1 ⊥ АВС, = АА1 = 15см, АВ = BC = CA = a = 10 см. Найти: Sбок , Sполн. Решение:  По условию призма прямая. Значит,  АА1 перпендикулярно плоскости основания и равно высоте  ребро  призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности. Sбок = Pосн ∙ h = PАВС ∙ АА1 = 3 ∙ АВ ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (см2). В основании призмы лежит правильный треугольник АВС. Найдем его  площадь.    (см2) 13 Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть  площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит: Задача 6. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см.  Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь  (см2). Ответ:   (см2). боковой поверхности. Дано: призма ABCDA1B1C1D1 (рис. 7), АА1 = 12 см,  перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см. Найти: Sбок Рис. 7 Решение: Мы доказали на прошлом уроке, что площадь  боковой поверхности наклонной призмы равна  произведению периметра перпендикулярного  сечения на боковое ребро. По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см.  Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения  равен  Теперь вычислим площадь боковой поверхности:  см.  (см2).       Ответ: 240 см2. Вопросы для самопроверки: 1.Сформулируйте определение многогранника 2. Перечислите основные элементы многогранника 3. Сформулируйте определение призмы 4. Сформулируйте определение прямой призмы 5. Сформулируйте определение наклонной призмы 6. Сформулируйте определение поверхности призмы 7. Сформулируйте определение боковой поверхности призмы 14 Тест по теме: «Многогранники»  1) Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник? а) 6 б) 3 в) 12 2) Является   ли   призма   прямой,   если   две   ее   смежные   боковые   грани перпендикулярны к плоскости основания? а) да б) нет 3) Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Чему равно отношение площадей боковых поверхностей этих призм? а) 1 б) 0,6 в) 0,8 4) Сколько   граней,   перпендикулярных   к   плоскости   основания,   может иметь пирамида? а) одну или три б) две или три в) одну или две 5) Можно   ли   из   куска   проволоки   длиной   66   см   изготовить   каркасную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см? а) да б) нет 6) Сколько осей симметрии имеет куб? а) 9 б) 4 15 в) 3 7) Чему равен угол между диагоналями  граней куба, имеющими общий конец? а) 45 б) 60 в) 90 8) Из чего состоит правильный октаэдр? а) из четырех равносторонних треугольников б) из восьми равносторонних треугольников в) из двадцати равносторонних треугольников 9) Чему равна сумма плоских углов при каждой вершине куба? а) 240 б) 300 в) 270 10) Чему равно число ребер каждой грани правильного додекаэдра? а) 5                           б) 3                           в) 4 Ключ для самопроверки теста: «Многогранники»  1 а 2 а 3 б 4 в 5 б 6 а 7 б 8 б 9 в 10 а 1. Геометрия: Учебник для 10­11 классов общеобразовательных  Литература учреждений/А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2014. 2. Стереометрия [электронный ресурс] Открытая математика URL:  http://www.mathematics.ru/courses/stereometry/design/index.htm__ 3.https://nsportal.ru/vuz/tekhnicheskie­nauki/library/2014/05/19/test­po­teme­ pravilnye­mnogogranniki 4.http://testedu.ru/test/matematika/10­klass/pravilnyie­mnogogranniki.html 16