Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по теме Тела вращения

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»                                                                          МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Для самостоятельной работы студентов По дисциплине: МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ Тема: «Тела вращения» Специальность: 34.02.01 Сестринское дело   Курс: 1   Купино 2019  Рассмотрено на заседании   предметной цикловой Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,  общему гуманитарному и социально­экономическому, математическому и  естественно­научному циклу Протокол № _____ от «_____» _________20____г. Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н. Купино 2019 г Пояснительная записка Методическое пособие предназначено для самостоятельного изучения  теоретических и практических знаний по теме: Тела вращения изучения понятий цилиндра, конуса, усеченного конуса их элементов, формул боковой  и полной поверхностей для подготовки к занятиям по этой теме. Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности  34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения основных  понятий по теме: Тела вращения, вопросы для самопроверки, образцы  решения задач и тесты для самостоятельного решения. Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с  учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине. Рис. 3. Тела вращения Цилиндр, его элементы и виды цилиндров Прямые пересекают плоскость   по окружности Рассмотрим произвольные параллельные  окружность с центром в точке  плоскости  и . В плоскости   рассмотрим  . Теперь  проведем через каждую точку этой окружности   радиуса  прямую (не лежащую в данной плоскости) так,  чтобы все проведенные прямые были параллельны. прямые пересекут плоскость   по другой окружности того же  Эти радиуса (см. рис. 3). Сечения цилиндра Рис. 4. Цилиндрическая поверхность и её  образующие Совокупность параллельных прямых,  соединяющих точки на окружностях, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые –  образующими цилиндрической поверхности (см.  рис.4). И теперь мы готовы дать главное  определение урока. Рис. 5. Круговой цилиндр Сразу Круговым цилиндром называется тело в  пространстве, ограниченное двумя кругами и  цилиндрической поверхностью (см. рис. 5). оговоримся, что это понятие можно обобщить, просто цилиндр – это когда основания не круги. Но мы  остановимся только на круговых, их и будем иметь  в виду в дальнейшем. Рис. 6. Основания и радиусы Круги – основания цилиндра. Радиус каждого из  оснований (они равны) – радиус цилиндра (см.  рис. 6). Рис. 7. Образующие цилиндра Отрезки образующих, заключенные между основаниями, –  образующие цилиндра (см. рис. 7). Рис. 8. Эллиптический цилиндр Само слово «килиндрос» – который мы так как в рассмотреть получится цилиндр происходит от греческого  валик, каток. Напомним, цилиндр,  рассматриваем, еще называют круговым,  основаниях лежат круги. Если  другую фигуру (например, эллипс), то  эллиптический цилиндр (см. рис. 8). В Рис. 9. Прямой цилиндр Если образующие перпендикулярны основаниям цилиндра,  такой цилиндр называется прямым (см. рис. 9). курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно  прямые круговые цилиндры, причем по умолчанию любой  цилиндр считается прямым круговым. Поговорим о таких  цилиндрах. Рис. 10. Ось цилиндра Отрезок, соединяющий центры оснований такого цилиндра, – ось цилиндра (см. рис. 10). Рис. 11. Вращение прямоугольника вокруг оси Вращая получить наш прямоугольник вокруг этой оси, можно  цилиндр (см. рис. 11). Рис. 12. Высота Введем следующее  определение. Высотой цилиндра назовем  отрезок, соединяющий точки его оснований и  перпендикулярный основаниям. Высотой прямого кругового  цилиндра является ось (или образующая) – все равно: они в  прямом круговом цилиндре равны (см. рис. 12). Сечения цилиндра Рис. 13. Перпендикулярное сечение цилиндра Далее рассмотрим перпендикулярное сечение такого  цилиндра (то есть сечение, перпендикулярное оси).  Несложно понять, что, где бы мы его ни  провели, в сечении будет такой же круг, что и в  любом из оснований (см. рис. 13). Рис. 14. Осевое сечение Можно также рассмотреть сечение, проходящее через ось  цилиндра. В этом случае оно представляет собой  прямоугольник, одна сторона которого равна образующей  (или оси), а другая является диаметром основания. Такое  сечение называют осевым. Именно вращая такое сечение  вокруг оси, мы и получаем наш цилиндр (см. рис. 14). Рис. 15. Наконец, можно говорить и о ведь ту же палку перпендикулярно, но и сечение получится в форме фигурах мы пока подробно 15). Неперпендикулярное сечение неперпендикулярном сечении:  колбасы можно нарезать не только  под углом. В этом случае  эллипса, но об этих  говорить не будем (см. рис.  Сходство цилиндра с призмой Не сложилось ли у вас ощущения, что все это вам уже знакомо? Два равных  основания, высота, боковые «ребра», равные и параллельные друг другу? Где  мы это уже видели? Конечно, в призме! И так же, как с цилиндром, призмы  бывали прямые и наклонные (см. рис. 16). Рис. 16 Прямые и наклонные цилиндры и призмы Просто у призмы в основаниях – многоугольники, а у цилиндра – круги. Но  ведь круг – это предельный случай многоугольника, а значит, многие факты и  теоремы для цилиндра будут аналогичны тем, что были верны для призмы. Задача. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 20 см. Найти высоту  цилиндра, радиус цилиндра, ось цилиндра и площадь основания цилиндра. Решение Одна из сторон осевого сечения – образующая (она же равна оси цилиндра и  она же равна высоте). Значит, высота и ось равны 20 см. Далее, вторая сторона осевого сечения – диаметр основания. Он равен 20 см, значит, радиус – 10 см.  Наконец, площадь основания ищется по формуле  прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Рис. 7. Развертка боковой поверхности Что мы знаем про этот прямоугольник? Его  сторона   равна высоте цилиндра (ведь  образующая равна высоте). Другая сторона  авна длине окружности основания, то есть    .  р (См. Рис. 7.) Значит, площадь прямоугольника равна  основания цилиндра,   – высота. . Итак,  , где   – радиус  Площадь полной поверхности цилиндра Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной  поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить  площади оснований. Но каждое основание – это круг радиуса  по формуле равна  . Окончательно, имеем: , чья площадь  ,  где   – радиус основания цилиндра,   – высота. Конус, его элементы и виды конусов Рассмотрим произвольный  прямоугольный треугольник с  катетами   и   (см. рис. 2). Рис. 2. Прямоугольный треугольник Рис. 3. Прямой круговой конус Вращая данный треугольник вокруг одного из катетов (не нарушая общности,  пусть это будет катет  ), гипотенуза опишет поверхность, а катет   опишет  круг. Таким образом, получится тело, которое называют прямым круговым  конусом (см. рис. 3). Рис. 4. Виды конусов Раз уж мы говорим о прямом круговом конусе, видимо, существует и  непрямой, и не круговой? Если в основании конуса круг, но вершина не  проектируется в центр этого круга, то такой конус называют наклонным. Если же основание – не круг, а произвольная фигура, то такое тело также иногда  называют конусом, однако, разумеется, не круговым (см. рис. 4). Таким образом, мы снова приходим к аналогии, уже знакомой нам по работе с  цилиндрами. По сути конус – это что­то вроде пирамиды, просто у пирамиды  в основании многоугольник, а у конуса (который мы будем рассматривать) –  круг (см. рис. 5). Отрезок оси вращения (в нашем случае это катет  ), заключенный внутри  конуса, называют осью конуса (см. рис. 6). Рис. 5. Конус и  пирамида  – ось  Рис. 6.  конуса Рис. 7. Основание  конуса Круг, образованный вращением второго катета ( ), называют основанием  конуса (см. рис. 7). А длина этого катета является радиусом основания конуса (или, проще  говоря, радиусом конуса) (см. рис. 8). – радиус конуса Рис. 9.   – вершина конуса Рис. 8.  Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса (см. рис. 9). Рис.  – высота конуса 10.  Высота конуса – отрезок, проведенный из вершины конуса  перпендикулярно его основанию (см. рис. 10). Здесь у вас может возникнуть вопрос: чем же тогда  отличается отрезок оси вращения от высоты конуса? На  самом деле они совпадают только в случае прямого конуса, если же вы будете рассматривать наклонный конус, то  заметите, что это два совершенно разных отрезка (см.  рис. 11). Рис. 11. Высота в наклонном конусе Вернемся к прямому конусу. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности ее основания,  называют образующими конуса. Кстати, все образующие прямого конуса  равны между собой (см. рис. 12). Рис. 12. Образующие конуса Рис. 13. Природные конусоподобные объекты В переводе с греческого konos означает «сосновая шишка». В природе  достаточно объектов, имеющих форму конуса: ель, гора, муравейник и др.  (см. рис. 13). Но мы­то привыкли, что конус – прямой. У него равные между собой  образующие, а высота совпадает с осью. Такой конус мы назвали прямым  конусом. В курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно  прямые конусы, причем по умолчанию любой конус считается прямым  круговым. Но мы уже говорили о том, что бывают не только прямые конусы,  но и наклонные. Сечения конуса Рис. 14. Перпендикулярное сечение Вернемся к прямым конусам. «Разрежем» конус плоскостью,  перпендикулярной оси (см. рис. 14). Какая же фигура окажется на срезе? Конечно же, круг!  Вспомним, что плоскость проходит перпендикулярно оси, а значит, параллельно основанию, которое является  кругом. Рис. 15. А теперь давайте сечения. Тогда наш круг более вытянутый плоскость сечения основания (см. рис. Наклонное сечение постепенно наклонять плоскость  начнет постепенно превращаться во все  овал. Но только до тех пор, пока  не столкнется с окружностью  15). Рис. 16. Виды сечений на примере морковки Любители познавать мир экспериментальным путем могут в этом убедиться с  помощью морковки и ножа (попробуйте отрезать от морковки пластинки под  разным углом) (см. рис. 16). Рис. 17. через Осевое сечение конуса Сечение конуса плоскостью, проходящей  его ось, называют осевым сечением конуса (см. рис. 17). Рис. 18. сечения Здесь же (см. рис. 18). Равнобедренный треугольник – фигура  мы получим совершенно другую фигуру  сечения: треугольник. Данный  треугольник является равнобедренным Площадь боковой поверхности конуса Мы знаем, что такое конус, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько теста пойдет  на изготовление вафельного рожка? Или сколько кирпичей понадобится,  чтобы сложить кирпичную крышу замка? Измерить площадь боковой поверхности конуса просто так не получится. Но  представим себе все тот же рожок, обмотанный тканью. Чтобы найти площадь куска ткани, нужно разрезать и разложить ее на столе. Получится плоская  фигура, ее площадь мы сможем найти. Рис. 1. Сделаем вдоль Теперь Разрез конуса по образующей так же с конусом. «Разрежем» его боковую поверхность  «размотаем» боковую поверхность на плоскость.  любой образующей, например,   (см. рис. 1). Получаем сектор. Центр этого сектора – вершина  конуса, радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги совпадает с длиной окружности основания конуса. Такой  сектор называется разверткой боковой поверхности конуса (см. рис.2 Рис. 2. Развертка  боковой  поверхности Рис. 3. Измерение угла в радиана Попробуем найти площадь сектора по имеющимся данным. Сперва введем  обозначение: пусть  угол при вершине сектора в радианах (см. рис. 3). Угол при вершине развертки конуса С углом при вершине развертки нам придется часто сталкиваться в задачах.  Пока же попробуем ответить на вопрос: а не может ли этот угол получиться  больше 360 градусов? То есть не получится ли так, что развертка наложится  сама на себя? Конечно же, нет. Докажем это математически. Пусть развертка  «наложилась» сама на себя. Это означает, что длина дуги развертки больше  длины окружности радиуса  . Но, как уже было сказано, длина дуги развертки  есть длина окружности радиуса  меньше образующей, например, потому, что катет прямоугольного  треугольника меньше гипотенузы Тогда вспомним две формулы из курса планиметрии: длина дуги  . А радиус основания конуса, разумеется,  .  Площадь сектора:  В нашем случае роль   играет образующая  , а длина дуги равна длине  окружности основания конуса, то есть  . Имеем:  . Окончательно получаем:  . Площадь полной поверхности конуса Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной  поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить  площадь основания. Но основание – это круг радиуса  , чья площадь по  формуле равна  Окончательно имеем:  цилиндра,   – образующая. Усеченный конус, его элементы и осевое сечение , где  .  – радиус основания  Рис. 2. Геометрические фигуры Мы видим, что все эти фигуры похожей формы – и  снизу, и сверху они ограничены кругами, но они  сужаются кверху (см. рис. 2). Рис. 3. Это Отсечение верхней части конуса похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно  представим, что мы берем конус и отсекаем от него  верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3). Рис. 4. Усеченный конус Получается как раз наша конус (см. рис. 4). фигура, называется она усеченный  Рис. 5. Пусть Сечение, параллельное основанию конуса дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости  основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис.  5). Она разобьет конус на два тела: одно из них – конус  меньшего размера, а второе и называется усеченным  конусом (см. рис. 6). параллельном сечении конус – это часть конуса, заключенная  глобальная тема – тела вращения. Усеченный конус –  исключение! Вспомним, что для получения конуса  мы рассматривали прямоугольный треугольник и  вращали его вокруг катета? Если полученный  конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника  останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой  15 Рис. 6. Полученные тела при Таким образом, усеченный между его основанием и и в случае с конусом, основании круг – в этом исходный конус был прямым. Как и в рассматривать усеченные конусы, идет о непрямом основаниях не круги. Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции Наша не параллельной основанию плоскостью. Как  усеченный конус может иметь в  случае его называют круговым. Если  прямым, то и усеченный конус называют  случае с конусами, мы будем  исключительно прямые круговые  если специально не указано, что речь усеченном конусе или в его стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется,  идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7). Рис. 8. Основания усеченного конуса Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг,  получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями  усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8). Рис. 9. Образующие усеченного конуса Отрезки образующих полного конуса, заключенные между  основаниями усеченного конуса, называют образующими  усеченного конуса. Так как все образующие исходного  конуса равны и все образующие отсеченного конуса  равны, то и образующие усеченного конуса равны (не  путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует  равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9). Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного  конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок,  разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10). Рис. 10. Высота Ось усеченного конуса усеченного конуса – это перпендикуляр, проведенный из  точки одного из оснований к другому основанию. Чаще  всего, в качестве высоты усеченного конуса  рассматривают его ось. Рис. 11. Осевое сечение  усеченного конуса 16 Осевое сечение усеченного конуса – это сечение, проходящее через его ось.  Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см.  рис. 11). Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса Рис. 12. Конус с введенными обозначениями Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса.  Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы   и  , а  образующая равна   (см. рис. 12). Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как  об искомая  Рис. 14. разность площадей боковых поверхностей исходного    конуса и отсеченного. Для этого обозначим через  разующую отсеченного конуса (см. рис. 13). Тогда  Подобные треугольники Осталось выразить  . . Заметим, что из подобия треугольников  откуда   (см. рис. 14). ,  Можно было бы выразить  , разделив на разность  радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом  .  выражении как раз фигурирует произведение  , окончательно имеем:  Подставив вместо него  . Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для  этого достаточно добавить площади двух кругов  оснований:  . Определение сферы и шара Сфера – это тело вращения, которое напоминает окружность, только не на  плоскости, а в пространстве. Вспомним, что же такое окружность.  17 Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от  данной точки, называемой центром (рис. 1). Рис. 1. Окружность Тогда, сфера – это множество всех точек пространства, равноудаленных от  данной точки, называемой центром (рис. 3). Радиус сферы – расстояние, на которое они (точки) удалены от центра. Рис. 2. Круг Рис. 3. Сфера Продолжая аналогию, шар – это круг (рис. 2) в пространстве: множество всех  точек, заключенных внутри сферы (плюс сама сфера). Шар – это множество всех точек пространства, расстояние от которых до  данной точки, называемой центром, не превосходит радиуса (рис. 4). Рис. 4. Шар Примеры шара и сферы Рис. 5. Бильярдный шар Рис. 6. Шарик для игры в  настольный теннис Планета Земля не является шаром с математической точки зрения, так как  она приплюснута на полюсах. Земля имеет форму эллипсоида вращения, или  геоида. Замечание: сфера является частью шара. 18 Форма ЗемлиРассмотрим полуокружность  (рис. 7). Вращая ее вокруг диаметра  тело вращения.  с центром   и диаметром    , получим сферу (рис. 8). Т. е. сфера –  Рис. 7. Полуокружность  Аналогично, если вращать не полуокружность, а полукруг, получим шар (рис.  9, 10). Рис. 8. Сфера как тело вращения Рис. 9. Полукруг  Рис. 10. Шар как тело вращения Шар и сфера как тела вращения Хорда сферы – это отрезок, соединяющий две точки сферы (рис. 11). Диаметр сферы – это хорда, которая проходит через центр сферы (рис. 12). Рис. 11.  ,   – хорды  – центр Разветвление: уравнение сферы в координатах в пространстве  – диаметр,  Рис. 12.  19 Рис. 13. Сфера с центром в точке  Выведем уравнение сферы радиуса   с центром в  точке   (рис. 13). Пусть произвольная точка  по определению сферы,   лежит на сфере. Тогда,  . С другой стороны,  расстояние между точками в координатах равно: . . .  и возводя в квадрат, приходим к формуле,  Приравнивая это к  напоминающей уравнение окружности:   Это и есть уравнение сферы. Соответственно, шар задается не уравнением, а  неравенством:   Взаимное расположение окружности и прямой Возможны три случая расположения окружности и прямой: 1. Прямая пересекает окружность в двух точках (когда расстояние от центра  до прямой меньше радиуса) (рис. 1а). 2. Прямая касается окружности (когда расстояние от центра до прямой равно  радиусу) (рис. 1б). 3. Прямая не пересекает окружность (когда расстояние от центра до прямой  больше радиуса) (рис. 1в). Рис. 1. Взаимное расположение окружности и прямой Взаимное расположение сферы и плоскости 1. Плоскость не пересекает сферу (рис. 2а). 2. Плоскость касается сферы (рис. 2б). 3. Плоскость пересекает сферу (рис. 2в). 20 Рис. 2. Взаимное расположение сферы и плоскости Теорема о сечении плоскостью сферы Сечением сферы плоскостью является  окружность. Шаровой сегмент и шаровой слой Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой­нибудь плоскостью (рис. 7). Если плоскость  пересекает шар, то она рассекает его на два шаровых сегмента. Круг сечения  называют основанием шарового сегмента. Рассмотрим радиус шара,  проходящий через центр круга сечения. Та его часть, которая находится  внутри сегмента, называется высотой этого сегмента ( – радиус сегмента).  – высота сегмента,    Рис. 7. Шаровой сегмент Рис. 8. Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между параллельными  плоскостями, пересекающими шар. По аналогии вводятся понятия оснований  шарового слоя и высоты шарового слоя (рис. 8). Шаровой сектор Рис. 9. Шаровой сектор Рассмотрим шаровой сегмент и конус, основанием которого  является основание сегмента, а вершиной – центр шара.  Объединение двух данных фигур и называется шаровым  сектором (рис. 9) Выполнение тестов  в Якласс в разделе Тела вращения п.1 п.2 и п. 3 Примеры решения задач 21 Рис. 8. Иллюстрация к примеру 1 Пример 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна  . Найти площадь осевого сечения цилиндра. (См. Рис. 8.) Решение. Как мы знаем,  , а  .  Значит  . Ответ:  . Рис. 9.  Пример 2. Высота радиуса, а площадь Найти радиус Решение. По По условию,  , имеем: . цилиндра на 12 см больше его  полной поверхности равна  основания и высоту. (См. Рис. 9.) .  формуле  имеем:    . Так как радиус положителен, то  Ответ: Пример 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна  основания равен 5. Найдите высоту цилиндра. Решение. Вспомним формулу:  конечно, найти радиус, но делать это необязательно, ведь формулу можно  . Нам даны   и диаметр. Можно,  , а диаметр  переписать так:  Ответ: 8. . И тогда  . Пример 4. Одна цилиндрическая бочка в два раза  шире другой, зато вторая в три раза выше. У какой  бочки площадь боковой поверхности больше и во  сколько раз? (См. Рис. 1.) Решение 1. («в лоб») Эту задачу проще всего решить, вспомнив формулу  площади боковой поверхности. Как мы  знаем,  . Пусть радиус основания первой бочки равен  , а  высота –  . Тогда площадь ее боковой поверхности есть  . Далее, у второй бочки радиус основания в 2 раза меньше (то есть  ), но высота в три раза больше ( ). 22 Имеем:  Тогда  Ответ: в 1,5 раза. . . Рис. 4. Искомый угол Пример 5. Разверткой боковой поверхности конуса  является сектор с углом  угол, если высота конуса равна 4 см, а радиус   при вершине. Найти этот основания равен 3 см (см. рис. 4). Рис. 5. Прямоугольный треугольник, образующий конус Решение Первым действием, по теореме Пифагора, найдем  образующую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем,  что  . Ответ:  . . Найти  Пример 6. Площадь осевого  сечения конуса равна  , высота равна  площадь полной  поверхности (см. рис. 6). Рис. 6. Иллюстрации к  задаче Решение   ;  Тогда, по теореме Пифагора,  . Рис. 1. Пример Ответ:  Иллюстрация к задаче . 7. Площадь полной поверхности конуса равна 12.  Параллельно основанию конуса проведено сечение,  делящее высоту пополам. Найдите площадь полной  отсеченного конуса (см. рис. 1). поверхности Решение Рис. 2. Подобные треугольники 23 Заметим, что у отсеченного конуса высота в два раза меньше высоты  исходного. Рассмотрим осевое сечение большего и увидим, что треугольники  подобны с коэффициентом 2 (см. рис. 2). Значит, и образующая, и радиус также в два раза меньше. По формуле  то правая часть уменьшится вчетверо, значит, ответ 3. Ответ: 3. Пример 8. Длина окружности основания конуса равна 3, а образующая равна  Найти площадь боковой поверхности конуса. , если мы уменьшим радиус и образующую вдвое,  Решение                    Пример 9 Площадь рис.                         Ответ: 3.  – искомый угол Рис. 3.  боковой поверхности конуса в два раза больше площади его  основания. Найти угол между образующей конуса и  плоскостью его основания. Ответ дайте в градусах (см.  3). Решение Значит,  Теперь рассмотрим осевое сечение, проведем  . высоту (ось). Получим прямоугольный треугольник, в котором  катет (радиус основания) вдвое меньше гипотенузы, значит, угол при радиусе  равен 60 градусам (см. рис. 4). Рис. 4. Ответ: 60 Иллюстрация к задаче градусов. Вопросы для самопроверки: 1.Сформулируйте определение цилиндра 2. Перечислите основные виды цилиндров 3. Сформулируйте определение сечения  цилиндра 4. Перечислите элементы цилиндра 5. Запишите формулу боковой поверхности цилиндра 6. Запишите формулу полной поверхности цилиндра 7. Сформулируйте определение конуса 8. Сформулируйте определение сечения конуса 9. Перечислите элементы конуса 24 10. Запишите формулу боковой поверхности конуса 11. Запишите формулу полной поверхности конуса  12. Сформулируйте определение усеченного конуса 13. Запишите формулу боковой поверхности усеченного конуса 14. Запишите формулу полной поверхности усеченного конуса Тест по теме: «Тела вращения»                        б) шар            б) шар                в) цилиндр                      б) треугольник  б) шар                             в) цилиндр 1. Какое тело вращения имеет 2 основания? а) конус 2. Какое тело вращения имеет в сечении треугольник?  а) конус 3. Какое тело вращения не имеет образующей?                 в) цилиндр.  а) конус 4. Какая фигура является осевым сечением усеченного конуса?  а) круг       в) трапеция. 5. Какая фигура является сечением шара? а)  прямоугольник                   б) круг                           в) ромб. 6. Какой элемент, не принадлежит цилиндру? а) образующая 7. Найдите радиус конуса, если его образующая 13 дм, а высота 12 дм. а) 25 дм 8. Найдите образующую усеченного конуса, если его радиусы 5 см и 10 см, а  высота 4 см а)                           б) 19 см                          в) 9 см. б) апофема        в) радиус  б) 5 дм  в)   дм. см 25 9. Найти высоту цилиндра, если диагональ его осевое сечение 15 м, а радиус 5  м а)  10. Найти площадь сечения шара, радиус которого 29 см, а плоскость сечения   б) 10 м  в)  м  м удалена от центра шара на 19 см а) 551  смπ  б) 2  см2  в) 480  смπ 2 Ключ для самопроверки теста: «Тела вращения»  1 2 3 4 5 6 7 8 9 в а б в б б б а а 26 10 в 1. Геометрия: Учебник для 10­11 классов общеобразовательных  Литература учреждений/А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2014. 2. Стереометрия [электронный ресурс] Открытая математика URL:  http://www.mathematics.ru/courses/stereometry/design/index.htm__ 3.https://nsportal.ru/vuz/tekhnicheskie­nauki/library/2014/05/19/test­po­teme­ pravilnye­mnogogranniki 4.http://testedu.ru/test/matematika/10­klass/pravilnyie­mnogogranniki.html 27