Методическая разработка. «Развитие вариативного мышления на уроках математики через решение арифметических задач»

«Развитие вариативного мышления на уроках математики через решение арифметических задач» 1 Содержание Введение  Глава   1.   Теоретические   основы   развития   вариативности   мышления   в курсе математики начальной школы средствами арифметических задач 1.1 Понятие задача и основные классификации в начальном курсе математики 1.2.   Основные   методические   подходы   к   ознакомлению   и   формированию понятия «задача» в начальной школе  1.3. Развитие вариативности мышления средствами решения задач в 4 классе. Глава   2.   Практический   опыт   развития   вариативности   мышления   на уроках математики в 4 классе средствами решения задач. 2.1. Исследование уровня развития вариативного мышления.  2.2 Формирование вариативного мышления 2.3.   Сравнение   уровня   развития   вариативного   мышления   до   и   после формирующего эксперимента.  Заключение 2 Введение  В   последнее   время   количество   детей,   испытывающих   трудности   в обучении заметно возросло. И в обычных классах начальной школы немало учащихся, обучении.  Причиной   слабой   успеваемости   является   несформированность   таких проблемы в     имеющих     важнейших   психических   процессов   как   память,   внимание,   восприятие, воображение   и,   особенно   –   мышление,   которое   содержит   в   себе   такие операции как анализ, синтез, сравнение, обобщение. Логическое мышление – это   основа   успешного   формирования   общеучебных   умений   и   навыков, требуемых школьной программой.  Еще профессор А.А.Столяр утверждал, что логическое и практическое (жизненное)   содержание   в   младшем   школьном   возрасте   осваивается   в единстве   и   не   может   быть   отделено   одно   от   другого.  Решить   проблему   неуспеваемости   можно   через   применение   такой инновационной   технологии   как   развитие   вариативности   мыслительной деятельности.           Цель инновационной технологии «Развитие вариативности мыслительной деятельности» ­ формирование общеучебных компетенций учащихся с учетом их возможностей и способностей. Под вариативностью мышления подразумевается способность человека находить   разнообразные   решения.   Современный   человек   постоянно оказывается в ситуации выбора оптимального варианта решения проблемы. Успешнее это будет делать тот, кто умеет искать разнообразные варианты и выбирать среди большого числа решений наиболее рациональное.  В   современном   контексте   общий   подход   к   поиску   способа   решения задач становится общеучебным умением, то есть формируемым средствами разных   предметов   естественно­научного   цикла.   Учитель   может   помочь школьникам   «увидеть»   те   задачи,   которые   решаются   средствами   русского 3 языка на уроках информатики, технологии и других предметов естественно­ научного цикла, а значит учить использовать для поиска их решения те же приемы или их модификацию с учетом конкретного предмета.   Таким образом, овладение младшими школьниками общим подходом к поиску   способа   решения   задач   разного   вида   как   одним   из   общеучебных умений является одной из составляющих целей начального образования. В настоящее время данная тема исследования актуальна в связи с тем, что современные школьники стали более развиты и им требуются не просто задачи   на   вычисление,   а   задачи,   требующие   в   своем   решении   участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям.   Такими   задачами   и   являются   задачи   на   комбинаторику   и вероятность. Цель работы: изучить возможности урока математики с целью  развития вариативности мышления средствами решения задач в 4 классе.  Задачи :  1. Проанализировать научную литературу по теме формирование  общего способа решения задач на уроке математики в 4 классе. 2. Изучить методические подходы к решению задач разных авторов. Исследовать уровень развития вариативности мышления детей 4  3. класса 4. Составить и апробировать систему упражнений, направленных на  развитие вариативности мышления средствами решения арифметических  задач. 5. Оценить эффективность системы упражнений, направленных на  развитие вариативности мышления у младших школьников. Объектом курсовой работы является развитие вариативности мышления младших школьников на уроках математики. 4 Предметом   курсовой   работы,   в   свою   очередь,   является   система упражнений   по   решению   задач,   направленных   на   развитие   вариативности мышления у учащихся 4 класса. Гипотеза   мы   предполагаем,   что   система   упражнений,   включающих арифметические   задачи,   будет   способствовать   развитию   вариативности мышления младших школьников на уроках математики в 4 классе. Методы исследования – эксперимент (констатирующий, формирующий, контрольный), анализ литературы и конкретные методики. Экспериментальная   база   МАОУ   СОШ   №   48   п.   Новосмолинский, Володарского района, Нижегородской области. Добавляем фамилии. 5 Глава 1. Теоретические основы развития вариативности мышления в   курсе   математики   начальной   школы   средствами   арифметических задач 1.1 Понятие задача и основные классификации в начальном курсе математики Моро М.И. дано такое определение:  «Задача– это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий»[10, С.111]. Они имеют житейское, физическое содержание, а также текстовая   задача   есть   описание   некоторой   ситуации   (ситуаций)   на естественном   языке   с   требованием   дать   количественную   характеристику какого­либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого   отношения   между   ее   компонентами   или   определить   вид   этого отношения. Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязательно должен быть заключен какой­то вопрос. Без вопроса задачи нет.  Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) – искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью   действий   над   которыми   может   быть   найдено   искомое.   Поэтому обязательными   элементами   всякой   арифметической   задачи   являются неизвестное   (искомое)  число   (или   несколько   чисел)   и  данные  числа.   [10, С.111.] Основная особенность сюжетных текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать   какие­то   косвенные   указания   на   ту   связь,   которая   существует между   данными числами и искомыми и которая определяет выбор нужных арифметических   действий   и   их   последовательности.   Это  условие  задачи. 6 Условие,   которое   призвано   раскрыть   связь   между   данными   и   искомым, естественно, включает числовые данные задачи. Итак,   элементы   задачи   –  условие   и   вопрос.  Числовые   данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых   случаях задача формулируется так, что вопрос может включить в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса. [5,С. 159.] В   стандарте,   в   требованиях   к   предметным   результатам   освоения основной   образовательной   программы   начального   общего   образования   по математике, одним из требований является умение решать текстовые задачи. Одну и ту же задачу можно решить разными способами. Решение задач разными   способами   имеет   важное   методическое   значение   и   представляет большие возможности для совершенствования процесса обучения математике. В начальном курсе математики понятие «задача» используется тогда, когда   речь   идет   о   текстовых,   арифметических   задачах.   Они   обычно формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. К основным признакам текстовой задачи относят (А.А.Свечников): •словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме   указана   функциональная   зависимость   между   величинами,   числовые значения которых входят в задачу; •числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи; •задание,   обычно   сформулированное   в   виде   вопроса,   в   котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин; эти значения называют искомыми. Термин   «решение   задачи»   в   научно­методической   литературе употребляется в трех разных смыслах: 7 1)решение   задачи   ­ответ   на   вопрос,   результат   выполнения арифметических или других действий; 2)решение задачи ­это выполнение действий, которые в итоге дают  значение искомой величины; 3)решение задачи ­ это догадка о том, какие нужны действия и в какой последовательности их нужно выполнять (если их несколько), чтобы получить значение искомой величины (способ и метод решения). В   начальном   курсе   математики   используются   следующие   методы решения задач: •практический   (дети   действуют   непосредственно   либо   с   реальными объектами, либо с предметными моделями или изображениями этих объектов и   находят   ответ   на   требование   задачи   с   помощью   наблюдения,   сравнения (измерения), счета); •графический   (учащиеся   используют   числовой   луч,   чертежи,   где изображения   осуществляются   в   натуральную   величину   или   в   масштабе,   а ответ на требование задачи получается нахождением соответствующих точек на луче, счетом и измерением искомой величины на графической модели); •арифметический (выбрав, а/д и определив их последовательность  на основе вскрытых отношений между данными и искомыми, ученики находят ответ на требование задачи посредством вычислений); •алгебраический (учащиеся составляют простейшие уравнения и, решая их, находят ответ на требование задачи); •логический   (дети   выстраивают   цепочку   рассуждений,   приводящих   к искомому заключению); •комбинированный (используется сочетание различных методов). Следует   различать   понятия   «различные   методы   решения   задачи» (арифметический,   алгебраический   и   др.),   «различные   способы   решения 8 задачи» и «различные способы записи решения задачи». Последнее относится к форме выполнения решения (например, для арифметического решения ­ это запись по действиям, выражением, с пояснениями). Если речь идет о разных способах решения, то имеется ввиду возможность установления различных связей   между   данными   и   искомым,   а,   следовательно,   о   выборе   других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи. В   практике   обучения   школьников   процесс   решения   задачи   обычно включает в себя следующие этапы (Л.П.Стойлова): I. II. ознакомление с содержанием и осмысление задачи;  поиск и составление плана решения; запись решения и ответа (осуществление плана); III. Существует   несколько   классификаций   видов   задач   в   математике.   1) Виды задач классифицируют по содержанию, сюда входят следующие виды задач:   вычислительные,   задачи   на   доказательство,   задачи   на   построение, комбинированные задачи.  Особое место при изучении задач занимает такой вид, как текстовые задачи,   которые   можно   подразделить   на   традиционные   и   нетрадиционные (проблемные).   Традиционные   текстовые   задачи   –   это   задачи   на   движение, работу,   сплавы   и   смеси.   Проблемные   текстовые   задачи   –   это   и   есть нестандартные задачи.  2)   Виды   задач   классифицируют   по   функциям:   дидактические, развивающие, познавательные и контролирующие задачи. Дидактические   задачи   опережающего   характера   могут   быть   и познавательными,   и   развивающими.   Функции   задач   можно   определить   как глобально,   так   и   локально.   Вышеперечисленные   функции   являются глобальными.   Локальные   функции   учитываются   при   подготовке   к конкретному уроку. Дидактические задачи предусматривают и используют на этапе   закрепления.   Познавательные   задачи   несут   в   себе   то   новое,   что 9 предусматривается в целях обучения на данном этапе. Развивающие задачи – это новые незнакомые проблемные задачи.  3)   Виды   задач   классифицируют   по   обучающей   роли   в   изучении школьного курса: задачи на усвоение, задачи на овладение математической символикой,   задачи   на   обучение   доказательству,   задачи   на   формирование математических умений и навыков, задачи развивающего характера. Любую   дидактическую   или   обучающую   задачу   можно   преобразовать, усилив   развивающую   функцию,   этого   можно   достичь   различными   путями: частичным   изменением   условия   задач,   рассмотрение   ее   частных   или предельных случаев, постановкой дополнительных вопросов, решение задачи более рациональным способом. 4) В зависимости от числа известных ученику компонентов выделяют следующие виды задач:  тренировочные упражнения (шаблонные задачи), в них известны и цель,   и   способ   решения,   и   ответ.   К   первому   виду   задач   относят   учебные задачи,   где   известны   цель   и   условие   задачи,   они   занимают   наибольшее содержание учебника;   нестандартные задачи – в таких задачах известно только условие; задачи­проблемы   –   известна   только   цель.   Данные   задачи встречаются   в   быту   и   производстве,   где   четко   определена   только   цель, необходимые условия пути и средства решения ученик должен определить самостоятельно. По характеру требования: ­ задачи на доказательство; ­ задачи на построение; ­ задачи на вычисление.  По функциональному назначению (К.И. Нешков, А.Д. Семушин): ­ задачи с дидактическими функциями; 10 ­ задачи с познавательными функциями; ­ задачи с развивающими функциями.  По величине проблемности (У. Рейтман, Ю.М. Колягин): ­ стандартные (известны все компоненты задачи); ­ обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); ­ поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); ­ проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).  При условии, какие компонентах задачи  ( А ­ условие, В ­ заключение, К ­ решение, С ­ базис решения задачи) неизвестны решающему, получается следующая типология:  I тип ­ известны все компоненты (АСКВ)  II тип ­ неизвестен один компонент:  а) …СКВ; б) А …В; в) АС…В; г) АСК….  III тип ­ неизвестны два компонента:  а) А……В; б) …СК… и т. д.  IV тип — неизвестны три компонента:  а) … … … В; б) А… … …; в) …С… …; т) … … К….  По методам решения задач: ­ задачи на геометрические преобразования, ­ задачи на векторы и др.  По числу объектов в условии задачи и связей между ними:  ­ простые; ­ сложные.  По компонентам учебной деятельности:  ­  организационно­действенные; ­ стимулирующие; ­ контрольно­оценочные.  11 Кроме   того,   различают   задачи:   стандартные   и   нестандартные; теоретические   и   практические;   устные   и   письменные;   одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.  1.2.   Основные   методические   подходы   к   ознакомлению   и формированию понятия «задача» в начальной школе  Вопрос о том, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми   в   текстовой   задаче   и   в   соответствии   с   этим   выбрать,   а   затем выполнить   арифметические   действия,   решается   в   методической   науке   по­ разному.   Тем   не   менее,   все   многообразие   методических   рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать   с   точки   зрения   двух   принципиально   отличающихся   друг   от друга подходов. Один   подход   нацелен   на   формирование   у   учащихся   умения   решать задачи определенных типов и видов (методисты, следующие этому подходу: Эрдниев П.М., Белошистая А.В, Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.Б. и др.) Дети   сначала   учатся   решать   простые   задачи,   а   затем   составные, включающие в себя различные сочетания простых задач. Процесс   обучения   решению   простых   задач   является   одновременно процессом   формирования   математических   понятий.   В   связи   с   этим,   в зависимости от тех понятий, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, простые задачи делятся на три группы: ∙ первая группа включает простые задачи, при решении которых дети усваивают   конкретный   смысл   каждого   из   арифметических   действий (сложение, вычитание, умножение, деление); 12 ∙   вторая   группа   включает   простые   задачи,   при   решении   которых учащиеся   усваивают   связь   между   компонентами   и   результатами арифметических действий. Это простые задачи на нахождение неизвестного компонента (8 видов); ∙ третья группа ­ простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разностного сравнения (6 видов) и кратного отношения (6 видов); Научить детей решать задачи ­ значит, научить их устанавливать связи между   данными   и   искомым   и   в   соответствии   с  этим   выбирать,   а   затем   и выполнять арифметические действия. Центральным   звеном   в   умении   решать   задачи,   которым   должны овладеть учащиеся, является усвоение связей между данными и искомым. От того,  насколько   хорошо   усвоены   учащимися  эти   связи,  зависит  их  умение решать   задачи.   Учитывая   это,   в   начальных   классах   ведется   работа   над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми  данными.  Группы  таких  задач  будем  называть   задачами  одного вида. Работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, затем другого и т. д. Главная ее цель ­­ научить детей осознанно устанавливать определенные связи между данными и искомым   в   разных   жизненных   ситуациях,   предусматривая   постепенное   их усложнение.   Чтобы   добиться   этого,   учитель   должен   предусмотреть   в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени: 1)подготовительную работу к решению задач; 2)ознакомление с решением задач; 3)закрепление умения решать задачи. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой   так,   что   искомые   одних   простых   задач   служат   данными   других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и 13 к последовательному их решению.  Таким образом, для решения составной задачи   надо   установить   систему   связей   между   данными   и   искомым,   в соответствии   с   которой   выбрать,   а   затем   выполнить   арифметические действия. Методика  работы с  каждым новым видом  составных  задач,  согласно данному   подходу,   ведется   также   в   соответствии   с   тремя   ступенями: подготовительная, ознакомительная, закрепление. Процесс решения каждой составной задачи осуществляется поэтапно: 1.Ознакомление с содержанием задачи. 2.Поиск решения задачи. 3.Составление плана решения. 4.Запись решения и ответа. 5.Проверка решения задачи. Сначала   задачу   читает   учитель   или   кто­то   из   учеников   (первое прочтение). Затем учащимся предлагается прочитать задачу про себя, так как не   все   могут   сосредоточиться   на   ее   содержании,   когда   один   из   учеников читает вслух (второе прочтение). ­Кто может повторить задачу? (Дети воспроизводят текст по памяти ­ третье прочтение). ­Выделите условие и вопрос задачи (четвертое прочтении). Фактически опять воспроизводится текст. ­Что нам известно? (пятое прочтение, ученики воспроизводит условие). ­Что неизвестно? (Воспроизводится вопрос.) Как видно, действия школьников сводятся к тому, что они пять раз воспроизводят текст: сначала читают вслух, затем про себя, потом по частям (условие и вопрос), выделяют известное и неизвестное. Результатом   этой   работы,   должно   явиться   осознание   текста,   т.е. представление той ситуации, которая нашла в нем отражение. Но практика 14 показывает,   что   многократное   воспроизведение   текст   задачи   не   всегда эффективно для его осознания. Ученики читают задачу, воспроизводят ее, выделяют условие и вопрос, утвердительно отвечают на вопрос: «Понял ли ты задачу?», но самостоятельно приступить к ее решению не могут. В этом случае учитель пытается помочь детям, дополняя фронтальную беседу выполнением краткой записи. Используя   такую   запись,   он   организует   целенаправленный   поиск решения,   применяя   один   из   способов   разбора   задачи:   синтетический   или аналитический. Используя   при   решении   каждой   задачи   аналитический   или синтетический способ разбора, учитель в конечном итоге добивается, что дети сами   задают   себе   эти   вопросы   в   определенной   последовательности   и выполняют рассуждения, связанные с решением задачи. Основным   методом   обучения   решению   составных   задач   при   этом подходе   является   показ   способов   решения   определенных   видов   задач   и значительная,   порой   изнурительная   практика   по   овладению   ими,   т.е. используется   объяснительно­иллюстративный   и   репродуктивный   методы обучения (классификация И.Я. Лернера ­ М.Н. Cкаткина). Поэтому многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. Цель другого подхода, (по мнению его сторонников: Истоминой Н.Б., Фридмана Л.М., Александровой Э.А., Аргинской И.И. и др.) ­ научить детей выполнять   семантический,  логический   и   математический   анализ   текстовых задач,   выявлять   взаимосвязи   между   условием   и   вопросом,   данными   и искомыми и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей. Н.Б. Истомина утверждает, что приступать к знакомству с текстовой задачей   можно   только   после   того,   как   у   учащихся   сформированы представления   о   смысле   действия   сложения   и   вычитания,  их   взаимосвязи, 15 понятий «увеличить на…», «уменьшить на…», разностного сравнения, т. к. задача это новое для ребят математическое понятие, которое формировать без соответствующих базовых понятий невозможно. Проанализировав   учебник   Н.Б.   Истоминой,   мы   убедилась,   что разнообразие   методических   приёмов,   которые   предлагает   учебник, способствует формированию общих умений решать текстовые задачи, т. е. умению анализировать текст задачи, представлять его в виде схематической модели, умению осуществлять поиск пути решения, представлять текст в виде символической модели и проверять правильность решения. Формулировки   заданий   способствуют   активизации   мыслительной деятельности учащихся и активному включению в конструктивный диалог. Приведем примеры таких заданий из учебника для 2­го класса. «Какую из этих задач ты можешь решить, а какую – нет? Почему? а) Таня полила шесть грядок огурцов. Сколько грядок ей осталось полить? б) На шахматной доске 20 фигур. Из них 13 чёрных, остальные – белые. Сколько белых фигур на шахматной доске?» Прочитав   оба   текста,   учащиеся   рассуждают   так: «Первую   задачу нельзя решить, т. к. не известно, сколько Тане надо полить грядок». Одни   предлагают   свои   варианты   добавляя   числовые   данные. Например: «Тане надо полить 10 грядок огурцов. Она полила шесть грядок огурцов. Сколько грядок ей осталось полить?» Другие, чтобы ответить на поставленный вопрос, пользуясь понятием «целое» и «части», объясняют, как найти   неизвестную   часть: «10   –   это   целое,   6   ­   это   часть,   чтобы   найти другую часть, надо от целого отнять известную часть». Вторую задачу можно решить, т. к. есть все необходимые данные. 16 Конечно,   учитель   видит   детей,   которые   ещё   не   определились   с   выбором арифметического действия для решения задачи. Можно использовать приём выбора схемы. «Миша и Маша (герои учебника), ­ говорит учитель, ­ тоже для решения выбрали эту задачу и построили схемы: Если в классе находятся учащиеся, которые выбрали схему Маши, то действуют так: предлагае им воспроизвести текст задачи, показывая на схеме, что   обозначает   каждое   число.   Один   ученик   читает   текст   задачи,   другой демонстрирует   на   схеме,   используя   слова   «целое   и   часть».   Эти   учащиеся убеждаются, что не обратили внимание в тексте на слова «из них». Остаётся   записать   решение   задачи   в   тетрадь.   В   зависимости   от результатов   самостоятельной   работы   учитель   организует   дальнейшую деятельность   учащихся.   Например:   а)   Дети   записали   решение   задачи правильно 20   –   13   =   7   (ф.) В   этом   случае   можно   предложить   проверить решение задачи, подставив полученные данные в схему. 20 – это 13 и 7; б) Если учитель увидел такие записи: 20 – 13 = 7 (ф.); 13 +7 = 20 (ф.); 20 – 7 = 13 (ф.), то можно вынести их на доску для обсуждения и использовать приёмы соотнесения рисунка и математической записи, выбор математической записи в соответствии с рисунком. Учитель просит показать вопрос задачи на схеме. Выясняется это «целое» или «часть»?   Как найти «часть?» Дети убеждаются, что запись 13 + 7 = 20 – не соответствует сказанному. А равенство 20 – 7 = 13 – не соответствует схеме и тексту, т. к. 7 ­ нет на схеме и в условии. Это ответ. Две последних записи можно назвать проверкой решения. Как видим, это задание способствует не только формированию умения анализировать текст задачи, осознанно выбирать арифметическое действие, но и совершенствованию вычислительных умений и навыков. 17 Ведущую роль в осознании текста, отношений, поиска пути решения и выбора арифметического действия играет схематическая модель. В процесс осознания   отношений   включаются   понятия   «целое»   и   «часть».   Учебник постепенно формирует умение самостоятельно моделировать текст. Сначала предлагаются   готовые   модели   с   использованием   приёма   выбора   схем, соответствующих   или   несоответствующих   тексту   задачи,   затем   – достраивание полуготовой модели до модели, соответствующей тексту задачи и,   таким   образом,   к   3­му,   4­му   классам   учащимся   предлагается самостоятельно построить схему. Приведем пример задачи из учебника для 4 класса, где ни традиционная краткая   запись,   ни   аналитический,   синтетический   или   аналитико­ синтетический  способ разбора  вряд ли помог бы учащимся в поиске пути решения: «На трёх полках стоит 45 книг, причём на одной в 2 раза меньше, чем на каждой из двух других. Сколько книг на каждой полке?» После обсуждения процесса построения схемы, у учащихся появляется такая модель:    Рассмотрев схему, учащиеся замечают, что целое число 45 состоит из 5­ти равных частей. Чтобы найти чему равна одна часть, надо 45 : 5 = 9. Теперь можем   узнать,   сколько   книг   на   2­й   или   на   3­ей   полке.   Надо   9 Х 2   =   18. Проверяем: 5 + 18 + 18 = 45 (кн.) – это соответствует условию. Как   показывает   опыт,   практически   на   каждом   уроке   учащиеся предлагают свои способы решения. 18 Например,   при   решении   задачи   из   учебника   3   –го   класса «Длина прямоугольника   в   2   раза   больше   ширины.   Чему   равна   площадь прямоугольника, если его периметр равен 30см? 15 дм? 6 см?» Для работы с   этой   задачей   на   уроке   выбрали   одно   из   условий,   а   именно:  «периметр прямоугольника равен 15 дм». Один   способ   решения   совпадает   со   способом   решения,   который подробно описан Н.Б. Истоминой. Заостряем внимание на другой схеме и ином способе, который предложили учащиеся. 1. 2. 3. 4. 15 дм = 150 см 150 : 6 = 25 (см) – ширина 25 Х 2 = 50 (см) – длина 50 Х 25 = 1250 (кв. см) – площадь. Значения   второго   и   третьего   действий   учащиеся   могут   найти   на калькуляторе. Педагоги     убеждены   что,   формируя   у   младших   школьников   общие способы действия при решении тестовых задач, можно не только увеличить степень самостоятельности учащихся при моделировании ситуации задачи и отыскании   ответа   на   вопрос,   но   и   развить   интерес   к   поиску   наиболее рациональных способов решения. 19 Процесс   решения   задач   (простых   и   составных)   рассматривается   как переход от словесной модели к модели математической или схематической. В основе   осуществления   этого   перехода   лежит   семантический   анализ   текста (установление особенности словесной формулировки этих задач, выявление, какими языковыми средствами выражаются в них отдельные элементы, как можно   на   основе   анализа   словесной   формулировки   задачи   распознать отдельные значения величин и их виды, а так же соотношения, связывающие значения величин и т.д.) [7] и выделение в нем математических понятий и отношений (математический анализ текста). Естественно, учащиеся должны быть   подготовлены   к   этой   деятельности.   Отсюда   следует,   что   знакомству младших   школьников   с   текстовой   задачей   должна   предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений, которые   они   будут   использовать   при   решении   текстовых   задач.   Так   как процесс   решения   задач   связан   с   выделением   посылок   и   построением умозаключений, необходимо также сформировать у младших школьников (до знакомства   с   задачей)   те   логические   приемы   мышления   (анализ   и   синтез, сравнение,   обобщение),   которые   обеспечивали   бы   их   мыслительную деятельность в процессе решения задач. Таким   образом,   готовность   школьников   к   знакомству   с   текстовой задачей предполагает сформированность:  1)  умения   описывать   предметные  ситуации   и  переводить   их  на  язык схем и математических символов; 2)   представлений   о   смысле   действий   сложения   и   вычитания,   и взаимосвязи; 3) понятий «увеличить (уменьшить) на», разностного сравнения; 4) навыков чтения; 5)   умения   переводить   текстовые   ситуации   в   предметные   и схематические модели и обратно и др. 20 Именно   второй   подход   позволяет   в   большей   степени   формировать общее умение решать текстовые задачи. Чтобы   научить   ребёнка   решать   текстовые   задачи,   учитель   должен   в разумном   сочетании   использовать   оба   подхода.   А   всё   многообразие методических   рекомендаций,   связанных   с   обучением   младших   школьников решению   задач,   целесообразно   рассматривать   преимущественно   с   точки зрения второго подхода.           Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики   математики.   Появляются   различные   типы   школ,   вводятся   аль­ учебники. тернативные программы     и   Наиболее   распространенной   среди   альтернативных   систем   является дидактическая   система,   разработанная   под   руководством   академика   Л.   В. Занкова. Эту систему учитель выбирает не только потому, что она привлекает своими принципами: обучение должно вестись на высоком уровне трудности, в быстром темпе; ведущая роль в обучении математике отводится теории, причем   теоретические   знания   тесно   связаны   с   обязательным   осознанием учащимися процесса обучения. Однако   наблюдение   за   работой   учителя,   анализ   результатов самостоятельных   и   контрольных   работ   говорит   о   том,   что   именно   эти принципы в практике обучения реализуются недостаточно полно. Прежде   всего,   настораживает   то,  что   зачастую   наряду   с   учебниками математики И. Н. Аргинской на партах лежат и учебники М. И. Моро и др. Конечно, творчески работающий учитель никогда не ограничится одним учебником, а будет стремиться использовать все богатство заданий других пособий, методических приемов, выбирая то, что наиболее подходит именно для его учеников. И с этим нельзя не согласиться. Однако учитель должен задуматься и над тем, что обучение учащихся по   двум   учебникам,   сильно   отличающимся   как   содержанием,   так   и 21 методическими   подходами,  приводит   к   нарушению   целостности   научно­ обоснованной системы и порождает формализм и поверхностное изучение материала,   приводит   к   перегрузке   учащихся.  Особенно   это   заметно   при обучении решению текстовых задач, ибо, как показывает практика, именно здесь у учителя и учащихся возникают затруднения. Это порождает крайне неверное мнение, что по системе Л. В. Занкова могут обучаться лишь избранные дети и работать избранные учителя. Не   будем   утверждать   или   дискутировать   о   том,   усваивают   или   не усваивают дети материал (известно, что методическая система Л. В. Занкова зарекомендовала   себя   и   доказала   высокую   эффективность   усвоения математических знаний и развития мышления учащихся), как и то, все или не все учителя смогут работать по данной системе. Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству   где   кто   прослушал   курс   переподготовки, учителей   (даже   тем, рассматривались   и   раскрывались   принципы   обучения,   приемы   и   методы работы)   нужна   основательная   помощь,   которая   заключалась   бы   в конкретизации   методических   приемов   и   методов   работы,   ибо   отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализацией в практике. Попытаемся   проанализировать   некоторые   затруднения,   возникаю­ щие у учителя и учащихся при решении текстовых задач. Алгебраический метод  решения задач вводится с I класса и уже к III классу  становится   основным   методом   решения.  Как   известно,   ал­ гебраический   метод   решения   задач   развивает   теоретическое   мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении   уравнений,   экономит   время.   Видимо,   эти   преимущества   и 22 привели к тому, что значительная часть учителей отдает предпочтение при решении задач алгебраическому методу. Однако   существует   и   другое   мнение   о   том,   что  арифметический метод решения  задач развивает мышление не в меньшей степени, так как ученику   необходимо   разбить   составную   задачу   на   простые   и   на   основе логически строгих рассуждении в определенной последовательности решить их.   Арифметический   способ   решения   требует   большего   умственного напряжения,   что   положительно   сказывается   на   развитии   умственных способностей,   математической   интуиции,   на   формировании   умения предвидеть   реальную   жизненную   ситуацию.   Именно   поэтому арифметический метод решения задач должен быть если не ведущим, то хотя бы полноправным методом решения задач в начальных классах. Следует отметить, что  арифметический  способ  решения  доступен  не всем   учащимся,   так   как   мышление   младшего   школьника   ноет   наглядно­ образный характер. Конкретное мышление младших школьников проявляется е том, что они могут успешно решить ту или иную задачу в том случае, если опираются не действия с реальными предметами. Поэтому для осознанного выбора   действия,   посредством   которого   решается   задача,   необходимо   ил­ люстрировать задачную ситуацию, чтобы учащиеся осознали, почему и зачем выполняется то или иное действие. Работу  по формированию  умения решать задачи "на предположение" арифметическим   способом   целесообразно   начинать   с   первых   задач, включенных в учебник математики, так как они содержат небольшие данные и задачную ситуацию можно легко проиллюстрировать. Особого   внимания   и   творческого   подхода   требуют   задачи, предлагаемые в конце учебника.  Именно на данном этапе обучения должно проявляться умение применять различные приемы и методы решения задач,   предлагать   и   проверять   эти умение   анализировать,   рассуждать, 23 предположения, делать соответствующие выводы. Поэтому при решении задач учителю   необходимо   организовать   работу   таким   образом,   чтобы   учащиеся находили различные способы решения, сравнивали их и выбирали наиболее легкий и рациональный. Однако значительная часть учителей, следуя указаниям, предложенным к данной задаче, проводит работу над задачей, которая недостаточно полно реализует как обучающие, так и развивающие функции. Чтобы усилить развивающий аспект обучения, полезно решить задачу арифметическим способом. Осознать выбор действий, посредством которых решается   задача,   поможет   правильно   выбранная   наглядная   интерпретация задачи. Метод перебора при решении задач оказывает положительное влияние на   развитие   мышления   учащихся,   так   как   выбор   предполагаемого   ответа, соотнесение этого данного с условием задачи помогает осмыслению связей и зависимостей   между   величинами,   входящими   в   задачу,   развивает   умение предвидеть, вырабатывает интуицию и последовательность рассуждении. При   сравнении   способов   решения   выясняется,   что   одни   учащиеся отдали   предпочтение   арифметическому   способу,   другие   –   по   способу подбора. Тем не менее, систематическая работа по решению задач разными способами, сравнение решений и их обсуждение, выбор рационального дает возможность   лучше   осознать   связи   и   зависимости   между   величинами, формирует умение рассуждать, делать выводы и обосновывать их. Все   сказанное   дает   основание   предполагать,   что   затруднения возникающие у учителя в процессе работы порождают мнение о том, что по данной   системе   развивающего   обучения   могут   работать   лишь   избранные учителя. Однако это не так. Учителю   нужны   методическая   помощь,   методические   разработки   и рекомендации,   которые   позволили   бы   сэкономить   время   на   подготовку   к 24 уроку,   сохранить   уверенность,   силу   и   энергию,   необходимую   для плодотворной и творческой работы. 1.3. Развитие вариативности мышления средствами решения задач в 4 классе. Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. Если   ученик   получает   готовую   информацию,   воспринимает   ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит, то эту деятельность обычно   Основная   цель   такой   деятельности   ­ называют   репродуктивной. формирование у школьников знаний, умений, навыков, развитие внимания и памяти. Психологи   отмечают,   что   следствием   такой   деятельности   является скованность   мышления   и   стремление   ребенка   мыслить   по   готовым стереотипам. Такие особенности интеллектуальной деятельности связаны с показом   образца   действий   и   его   закреплением   в   процессе   выполнения однотипных заданий. В результате учащиеся усваивают только однотипные способы   решения   задач,   успешно   воспроизводят   их,   но   не   видят   других вариантов решения, не могут их варьировать и преобразовывать. Продуктивная деятельность  связана с активной работой мышления и находит   свое   выражение   в   таких   мыслительных   операциях   как   анализ   и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции   в   психолого­педагогической   литературе   принято   называть логическими приемами мышления или приемами умственных действий. Включение   этих   операций   в   процесс   усвоения   математического содержания ­ одно из важных условий построения развивающего обучения. 25 Организация   развивающего   обучения   предполагает   создание   условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими обеспечивает не только новый уровень усвоения, но дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся   более   самостоятельными   в   решении   учебных   задач,   могут рационально строить свою деятельность по условию знаний. Роль   комбинаторных   задач   в   формировании   приемов   умственной деятельности можно конкретизировать на примере комбинаторных заданий, которые ребенок выполняет на различных этапах обучения математике. Так, опираясь   только   на   свой   жизненный   опыт,   он   легко   справляется   с   таким заданием: «Для детского сада, в котором 6 групп, нужно раскрасить грибочки и песочницы для каждой площадки так, чтобы они отличались друг от друга. У маляров   только   3   краски:   красная,   желтая   и   зеленая.   Давайте   поможем малярам справиться с этой работой» Для выполнения задания каждому ученику предлагается схематический рисунок, на котором изображены шесть песочниц с грибочками. Обычно дети самостоятельно соотносят каждую краску с тем или иным элементом рисунка. Например: песочница красная, ножка грибка желтая, сам грибок   зеленый.   Если   ученики   затрудняются,   то   учитель   сам   может раскрасить   первый   рисунок.   Вся   дальнейшая   деятельность   связана   с операциями анализа, синтеза, сравнения. При этом детям лучше предоставить самостоятельность в виде способа действия.  Примером   комбинаторной   задачи,   выполнение   которой   требует   не только использования приемов умственной деятельности, но и определенных знаний, может быть такое задание: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 так, чтобы цифры   в   записи   не   повторялись».   Ученик,   анализируя   условие,   выделяет 26 определенные части, составляет необходимые комбинации из трех цифр по две, получая таким образом двузначные числа. Он одновременно следит за тем, чтобы не было повторов. С другой стороны, в процессе синтеза ребенок определяет,   что   сначала   можно   составить   комбинацию,   начинающуюся   с цифры 1 ­ это 12 и 13, потом с цифры 2 ­ это числа 21 и 23, а затем с цифры 3 ­ 31 и 32. Соотнося условие с требованием задачи, ученик не составляет чисел 11, 22, 33, т.к. они не удовлетворяют требованию. На этом примере хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не могут обойтись без наблюдения и сравнения. Наблюдение состоит   в   преднамеренном   целенаправленном   восприятии   окружающей действительности.   Если   младшие   школьники   не   будут   специально,   с определенной   целью   воспринимать   информацию,  заключенную   в   задаче,  то вряд ли они смогут найти решение или вообще решить ее. Сравнение   ­   процесс   выделения   признаков,   свойств   объектов   и установление   сходства   и   различия   между   ними   ­   позволяет   ученику   при составлении   данных   двузначных   чисел   избежать   повторов,   составить   все возможные числа на основе сходства и различия между ними: 12 и 13, 21 и 23 и т.д. На основе классификации ребенок «строит» такие комбинации: 12 13 и 21 23 и 31 32. Основание классификации ­ одинаковая цифра, обозначающая число десятков. Может быть другое основание ­ цифра, обозначающая число единиц 21 31 и 12 32 и 13 23. При составлении комбинации из трех цифр ребенок проделывает это не наугад, а находит общее правило, закономерность (на первом месте одна и та же цифра может быть только два раза, то же самое и на втором месте). Он обобщает, т.е. выделяет существенные признаки объектов, а также объединяет, группирует объекты на основе этих признаков. Теперь ученик сможет   сразу   определить   (в   другом   задании)   число   комбинаций,   если   эти 27 комбинации   будут   составляться   без   повторений   из   трех   объектов   по   два элемента.   Таким   образом,   появляется   возможность   говорить   о   развитии   у младших   школьников   на   основе   решения   комбинаторных   задач   которое   характеризуется   следующими содержательного   обобщения, признаками: 1)   оно   выполняется   при   таком   анализе   конкретного   факта   (задачи), который обнаруживает внутреннюю связь его частных проявлений; 2) оно, исходя из этой связи, позволяет затем сразу обобщить все другие факты   (задачи)   данного   круга,   применить   найденный   способ   решения   в измененной или новой ситуации. Взаимосвязь развития мышления и процесса усвоения знаний, умений и навыков обоснована в целом ряде психологических исследований. При этом мышление первоначально строится на чувственном познании, на восприятии и далее на самом высоком уровне и развитие не порывает с ними. Мышление   есть   процесс,   то   есть   познание   в   его   динамике. Направленность   мыслительного   процесса   на   открытие   неизвестного, обозначенного   в   вопросе,   придает   мышлению   строго   определенный, организованный   и   проблемный   характер.   Когда   человек   мыслит,   он обязательно   решает   какую­то   задачу.   Не   случайно   еще   С.Л.   Рубинштейн говорил   о   том,   что   «мышление   определяют   нередко   как   процесс   решения задач. Действительно, мышление возникает обычно из проблемной ситуации и направлено на ее разрешение». Но он указывал и на то, что «свести мышление к процессу решения задач ­ значит определить его прагматически, по тому эффекту, который оно дает, не вскрывая его собственной природы ­ того, благодаря   чему   этот   эффект   получается.   Мышление   разрешает   встающую перед   человеком   задачу   благодаря   тому,  что   оно   раскрывает   не   данные   в условиях,   неизвестные   свойства   и   отношения   объектов   или   явлений, входящих   в   проблемную   ситуацию:   мышление   ­   это,   по   существу   своему, 28 познание,   приводящее   к   решению   встающих   перед   человеком   проблем   и задач» Генетически   наиболее   ранней   формой   мышления   является   наглядно­ действенное   (предметно­действенное)   мышление.   Его   определяют   как «наиболее   элементарную   форму   мышления,   возникающую   в   практической деятельности и являющуюся основой для формирования более сложных форм мышления». Существуют   чрезвычайно   сложные   изменчивые   и   многообразные отношения   мышления   и   практического   действия,   мышления   и   языка, мышления   и   чувственного   образа.   Эти   отношения   изменяются   на   разных ступенях возрастного развития детей и находятся в непосредственной связи с содержанием той задачи, которую они в данный момент решает. Первым   способом   решения   задачи   для   маленького   ребенка   является практическое   действие.   Его   значение   состоит   в   том,   что   ребенок, непосредственно   воздействуя   на   вещи,   раскрывает   их   свойства,   выявляет признаки и, главное, раскрывает невидимые ему ранее связи, существующие как между вещами и явлениями, так и внутри каждого предмета и явления. Эти связи из скрытых становятся видимыми. Такой путь познания особенно эффективен   в   младших   классах   в   изучении   математики,   где   может   быть использовано   практическое   действие   как   начальный   путь   познания комбинаторной задачи. На   понимании   роли   практического   действия   как   начальной   ступени процесса   развития   всех   высших   форм   мышления   человека   построена концепция «поэтапного формирования умственного действия», разработанная П.Я. Гальпериным. На   первом   этапе   ребенок   использует   для   решения   задачи   внешние материальные действия. На втором ­ эти действия только представляются и проговариваются ребенком (сначала громко, а затем про себя). 29 Лишь   на   последнем,   третьем   этапе   внешнее   предметное   действие «сворачивается»   и   уходит   во   внутренний   план.   Для   каждого   этапа превращения   развернутого   материального   действия   в   его   свернутую умственную модель характерен определенный тип ориентировки ученика в условиях и содержании предложенной ему задачи. На высшем уровне такими ориентирами   становятся   существенные   для   данного   типа   задач опознавательные признаки обобщенного характера (они выражены в законах, понятиях). С переходом мышления ребенка на следующую, более высокую ступень развития   начальные   его   формы,   в   частности,   практическое   мышление,   не исчезают,   не   «отмирают»,   но   их   функции   в   мыслительном   процессе перестраиваются, изменяются. С развитием речи и накоплением опыта ребенок переходит к мышлению образному. На первых порах этот более высокий вид мышления сохраняет у младшего   школьника   многие   черты   низшего   вида.   Это   прежде   всего обнаруживается в конкретности тех образов, которыми ребенок оперирует. Наглядно­образное   мышление   ­   «это   вид   мышления,   который необходимо опирается на восприятие или представления. Этот вид мышления характерен для дошкольников и отчасти детей младшего школьного возраста, а в развитых формах свойственен людям тех профессий, которые связаны с ярким   и   живым   представлением   тех   или   иных   предметов   или   явлений (писателям, художникам, музыкантам, актерам)». При наглядно­образном мышлении связь с практическими действиями хотя и сохраняется, но не является такой тесной прямой и непосредственной, как   раньше.   В   ходе   анализа   и   синтеза   познаваемого   объекта   ребенок необязательно и далеко не всегда должен потрогать руками заинтересовавший его   предмет.   Во   многих   случаях   не   требуется   систематического 30 практического манипулирования с объектом, но во всех случаях необходимо отчетливо воспринимать и наглядно представлять этот объект. Иначе говоря, дети 4­7 лет мыслят лишь наглядными образами и еще не владеют понятиями (в строгом смысле). Наглядно­образное мышление детей непосредственно   и   подчинено   восприятию,   и   потому   они   пока   не   могут отвлечься   с   помощью   понятий   от   некоторых   свойств   рассматриваемого предмета. Существенные   сдвиги   в   развитии   мышления   ребенка   возникают   в школьном   возрасте,   когда   его   ведущей   деятельностью   становится   учение, направленное   на   усвоение   систем   понятий.   Эти   сдвиги   выражаются   в расширении круга объектов, над которыми думает школьник, в познании все более глубоких свойств предметов, в формировании необходимых для этого мыслительных   операций,   возникновении   новых   мотивов   познавательной деятельности (более глубоких познавательных интересов, любознательности, осознания важности усвоения знаний и др.). В   процессе   решения   более   сложных   познавательных   задач,   стоящих перед   младшими   школьниками,   мыслительные   операции   обобщаются, формализируются,   благодаря   чему   расширяется   диапазон   их   переноса   и применения в различных новых ситуациях. Значительных успехов достигает развитие способности рассуждать, обосновывать свои суждения, доказывать истинность   выводов,   осознавать   и   контролировать   процесс   рассуждения, овладевать его общими методами, переходить от развернутых к свернутым формам,   в   которых   обосновывающие   суждения   не   формулируются,   а подразумеваются,   вследствие   чего   процесс   мышления   становится   более экономным и продуктивным. Развитие   абстрактного   мышления   у   школьников   в   ходе   усвоения понятий вовсе не означает, что их наглядно­действенное и наглядно­образное мышление   перестает   теперь   развиваться   или   вообще   исчезает.   А.В. 31