Методическая разработка "Решение текстовых задач в школьном курсе математики" ( 5-9 классы)

МКОУ «Свердловская основная общеобразовательная школа» Ленинск – Кузнецкий район Кемеровская область. На конкурс «Мое призвание» методическая разработка  «Текстовые задачи в школьном курсе математики».                                                                           Составила:                                                                                              учитель математики                       Воробьева Вера Анатольевна. Содержание Роль текстовых задач в школьном курсе математики _  _  _  _  _  _  _  _  _  _ 2 Решение текстовых задач в средних классах _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _   3 Моделирование в текстовых задачах _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _ 9 Формирование независимости мышления в ходе решения задач _  _  _  _  _ 12 Метод конструирования логических задач _  _  _  _  _  _  _  _  _   _  _  _  _  _ 15 Нестандартные задачи _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _17 Схема поиска решения нестандартной задачи _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _19  Прикладная направленность тестовых задач _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  20 . Роль текстовых задач в школьном курсе математики   В традиционном школьном обучении математике текстовые задачи занимают особое   место.   Текстовые   задачи   формируют   важные   общеучебные   навыки, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ   на   главный   ответ,   проверкой   полученного   результата.   Считаю,   что использование   арифметических   способов   решения   задачи   способствует общему развитию учащихся, развитию не только логического мышления, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышает эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играют важную роль в процессе обучения и им отводится так много времени при обучении математики в школе. Есть еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие   ребенка   во   многом   напоминают   этапы   развития   человечества, поэтому   использование   старинных   задач   и   разнообразных   арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал. Опыт   работы   показывает,   что   разнообразные   способы   решения   будят фантазию детей, позволяют организовывать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения. С помощью   текстовых   задач   учащиеся   получают   опыт   работы   с  величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к   решению   практических   задач.   Использование   арифметических   способов решения   задач   развивает   смекалку   и   сообразительность,   умение   ставить вопросы,   отвечать   на   них,   то   есть   готовит   школьников   к   дальнейшему обучению. Кроме этого, я считаю, что решение текстовых задач позволяет развить   умение   анализировать   задачные   ситуации,  строить   план   решения   с учетом   взаимосвязей   между   неизвестными   и   известными   величинами, истолковывать   результат   каждого   действия   в   рамках   условия   задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения  ­ 2 ­ обратной задачи, то есть развивать общеучебные навыки. Решение текстовых задач   приучают   детей   к   первым   абстракциям,   позволяют   воспитывать логическую культуру, способствуют  развитию  у школьников эстетического чувства  применительно  к решению задачи (красивое  решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом     и     к     изучаемому   предмету.   Использование   мною   на   уроках исторических   задач   и   разнообразных   старинных   способов   их   решения,   не только обогащает опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важный культурно – исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом),   а   не   внешний   (связанный   с   отметками,   поощрениями   и   т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики. Решение текстовых задач в средних классах. При изучении математики в 5 – 9 классах самым трудным для ученика, я  считаю, является решение текстовых задач, а также оформление этого  решения. Причина затруднений, как мне кажется, состоит в том, что учитель  старается обучить решению каждого типа задач в отдельности, а не  сформировать у ученика способность анализировать любую задачу, вне  зависимости от ее разновидности. Эту проблему, с моей точки зрения,  помогают решить семь вопросов, которые дают верное направление решению  любой задачи. Причем если задача простая, то некоторые вопросы  упрощаются или вовсе опускаются. Прочитав задачу, я  учу школьников, отвечать на вопросы, постепенно оформляя на черновике краткое условие  задачи в виде таблицы. Вопросы к задаче ( в скобках даны комментарии к ним) : 1) О каком процессе в задаче идет речь? Какими величинами  характеризуется этот процесс? (Их количество определяет число  строчек в будущей таблице.) 2) Сколько процессов в задаче? (Их количество равно числу столбиков в  таблице) ­ 3 ­ 3) Какие величины известны и что нужно найти? (Таблица заполняется  данными задачи и ставится знак  вопроса) 4) Как связаны величины в задаче? (Выписываются формулы и  уясняются связи величин в таблице.) 5) Какую величину удобно обозначить, например, буквой   х ?  (Анализируется, удобно ли взять за  х  величину, о которой  спрашивается в задаче, или лучше какую – либо другую. Затем  остальные неизвестные величины выражаются через  х, каждой из них  соответствует пустая клетка в таблице.) 6) Какое условие нужно использовать для составления уравнения?  (Это то условие, которое не использовалось для выражения неизвестных через  х. Ученик записывает условие составления уравнения и само  уравнение.) 7) Легко ли решить полученное уравнение? (Отвечая на этот вопрос,  ученик должен подумать, не следует ли ввести буквенное обозначение в  другую строчку таблицу и для составления уравнения использовать  другую связь между величинами.) Рассмотрим задачу: По плану тракторная бригада должна была  вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней.  Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля. Ученик, прочитав задачу, начинает отвечать на вопросы примерно так: 1) Речь идет о процессе работы. Он характеризуется тремя величинами:  вся работа ( А ) – это измеряемая в гектарах площадь поля; работа в  единицу времени, т.е. производительность труда ( N ), и время ( t ) –  число дней, затраченное на работу. Значит, в таблице нужны 3 строчки  (А, N, t )                                       2) В задаче упомянуты два процесса работы: по плану и фактический,  значит, в таблице будут два столбика. 3) Теперь остается начертить таблицу с тремя строками и двумя  столбцами и заполнить все ее клетки заданными соотношениями.  ­ 4 ­ Получаем таблицу Величины     А ( га ) Процессы По плану Апл ­ ? фактически Аф ­ ? одинаковые N   га день Nпл ­ ? Nф – на 5 га/день больше, t ( дни ) 14 чем 12 4) Формула А = N t  определяет связь этих величин в столбиках краткого  условия. Связи величин в строчках наглядно отражены в таблице: 1  связь, 2 связь. 5) Вопрос: «Какую величину удобно обозначить буквой?» Если ученик не  видит, что для введения  х  удобнее выбрать 2 связь, то он сначала  должен попробовать обозначить через  х  ту величину, о которой  спрашивается в задаче. Свои пробы ученик должен записывать на  черновике. Например, он обозначил Апл = Аф = х. 6) Тогда не использованная до сих пор 2 связь Nф – Nпл = 5  используется  при составлении уравнения, т.е.   = 5,   ­     А пл t пл А ф t ф                                                                                           ­  х 14 х 12  = 5.                        ( 1 )                                                         7) Это уравнение содержит дроби, а их нужно попытаться избежать,  поэтому я предлагаю ученикам проверить, не удобнее ли будет ввести   х  во вторую строчку таблицы, тогда 1 связь Апл = Аф  станет условием  составления уравнения. ­ 5 ­ Если  Nпл = х, то Nф = х + 5.тогда в соответствии с условием задачи  Апл = Аф   приходим к уравнению:  14х = 12 (х +5).                                  ( 2 ) Уравнение ( 2 ) Проше уравнения ( 1 ), значит, нужно осуществить второй  способ решения, несмотря на то что площадь, о которой спрашивается в  задаче, будет найдена не сразу, а после решения уравнения  ( 2 ). Решение :   Пусть  х    га    ­    производительность бригады по плану, тогда                                     день ( х + 5 )    га     ­ фактическая производительность бригады.                день Работа по плану составляет х 14 ( га ), а фактическая работа ( х + 5 ) 12  ( га ). По условию задачи площадь поля: 14х ( га ) и 12( х + 5 ) ( га ), в обоих случаях площадь одинаковая, поэтому можно составить уравнение:  14х = 12(х + 5 ), отсюда 2х = 60, х = 30. Производительность по плану составляет 30 га/день. Тогда площадь поля 14 ∙30=420 ( га ). Ответ: площадь поля равна 420 га. Конечно, совсем необязательно проводить все рассуждения полностью,  ученик может и сразу решить уравнение ( 1 ), но он должен знать, как можно  получить другое, более простое. Как решать задачу ( памятка учащимся ). 1 Нужно ясно понять Задачу.  2 Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно полезно будет рассмотреть решения. вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану Понимание постановки задачи Что известно? Что дано? В чем состоит  условие? Возможно ли удовлетворить условию?  Достаточно ли Условие для определения неизвестного? Или  недостаточно? Или чрезмерно? Или  противоречиво? Сделайте чертеж. Введите подходящие  обозначения. Разделите условие на части. Постарайтесь  записать их. Составление плана решения. Не встречалась ли вам раньше эта задача?  Хотя бы в другой форме? Известна ли вам какая – нибудь  родственная задача? Рассмотрите  неизвестное! И постарайтесь вспомнить  знакомую задачу с тем же или подобным  неизвестным. Вот задача, родственная с данной и уже  решенная. Нельзя ли воспользоваться ее? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли  использовать метод ее решения? Не следует  ли ввести какой – нибудь вспомогательный  элемент, чтобы стало возможно  воспользоваться прежней задачей? Нельзя ли  иначе сформулировать задачу? Еще иначе?  Вернитесь к определениям. Если не удается решить данную задачу,  попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя  ли придумать более доступную сходную  задачу? Более общую? Более частую?  Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть  задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько  определенным окажется тогда неизвестное!  Как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь  что – либо полезное из данных? Нельзя ли  придумать другие данные, из которых можно  было бы определить неизвестное? Нельзя ли  изменить неизвестное, или данные, или, если  необходимо, и то и другое так, чтобы новое  неизвестное и новые данные оказались ближе  друг к другу? Все ли данные вами использованы? Все ли  условия? Приняты ли вами во внимание все  существенные понятия, содержащиеся в  задаче? Осуществление плана. Осуществляя план решения, контролируйте  каждый свой  шаг. Ясно ли вам , что  предпринятый вами шаг правилен? Сумеете  ли доказать, что он правилен? Взгляд назад (Изучение полученного решения ) Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли  проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой – нибудь другой задаче  использовать полученный результат или метод решения? Нужно осуществить план решения. 3 4 Нужно изучить найденное решение. Моделирование в текстовых задачах. ­ 8 ­ Принятое в методике обучения математике схематическое представление  текста задачи с целью выявления и фиксации существенных особенностей и  отношений есть не что иное, как один из видов моделирования.  Моделирование – это замена действий с реальными предметами действиями с  их уменьшенными образами, моделями, муляжами, макетами, а также  чертежами, схемами и т.п., то есть это  процесс переформулирования задачи,  в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи.  Чертеж представляет собой также условное изображение предметов,  взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и  с соблюдением определенного масштаба. Полученный мой опыт показывает, что обучение с применением  моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся,  помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения,  установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение. Модель дает возможность более полно увидеть  зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в  целом, помогает обобщить теоретические знания. Перевод текста на знако –  символической язык делает видимыми связи и отношения, скрытые в тексте,  способствуя тем самым поиску и нахождению его структуры. Я считаю, что  наглядность, особенно графическая, нужна на всем протяжении обучения  как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и  формирования математических понятий. Мой опыт работы показывает, что  рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном  выяснении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают  активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач,  помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять  их. Например, рассмотрим задачу: в школьном математическом кружке  занимаются 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 учеников меньше,  чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в ­ 9 ­ танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке? Учащиеся 5 класса, анализируя эту задачу, обычно записывают ее кратко так: в математическом кружке – 18 учеников; в танцевальном кружке ­ ?, на 12 учеников больше, чем в математическом; в спортивном кружке ­ ?, на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Такая запись  при первичном анализе задачи нерациональна, так как не  раскрывает наглядно взаимозависимостей между данными и искомыми, не  помогает в выборе действия. Я предлагаю учащимся смоделировать ее  следующим образом: В математическом кружке  ­    _18 человек__ В танцевальном кружке ­         _____________на 12 учеников больше___________ В спортивном кружке   ­          _____? _______на 5 человек меньше Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и  искомыми в задаче. Анализируя задачу, учащиеся выясняют, что в  танцевальном кружке учеников на 12 больше, чем в математическом, т.е. их  столько же плюс еще 12; поэтому отрезок на схеме, изображающей число  учеников в танцевальном кружке, они начертят большей длины, чем отрезок,  изображающий число учеников в математическом кружке. А так как число  учеников в спортивном кружке на 5 меньше, чем в танцевальном, т.е. их  столько, но без пяти, то и отрезок, показывающий число учеников в  спортивном кружке должен быть меньше отрезка, показывающего число  учеников в танцевальном кружке. Анализируя эту схему, учащиеся самостоятельно записывают правильное  решение. Внимательно рассматривая модель предлагаю ученикам найти  другой способ решения задач. Исходя из графической схемы задачи, учащиеся выясняют, что в спортивно кружке учеников больше, чем в математическом;  определяют, на сколько больше ( 12 – 5 = 7 (уч.) ), а затем отвечают на  поставленный вопрос ( 18 + 7 = 25 (уч.) ) Считаю, что модель не только поможет найти рациональный способ решения  задачи, но и поможет проверить его правильность. Кроме этого,  ­ 10 ­ использование графической модели при решении текстовых задач обеспечит  качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный  выбор арифметического действия, рациональный способ решения и  предупредит многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи  может быть использована и для составления и решения обратных задач, для  проведения исследования задачи. Она помогает установить условия, при  которых задача имеет решение или не имеет решения; как изменяется  значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин;  помогает сделать обобщения теоретических знаний; развивает  самостоятельность и вариативность мышления. В трех кусках 127 м. шпагата. Когда от первого куска отрезали 21 м., от  второго 9 м., а от третьего 7 м.,  то во всех кусках стало поровну. Сколько метров шпагата было в первом куске? Модель:   1 кусок    ____________________21 м._______        2 кусок   ______________9 м.____                               3 кусок   ______________7 м.__ Формирование независимости мышления в ходе решения  задач. ­ 11 ­ Решение задач является важнейшим средством формирования у школьников  системы основных математических знаний, умений и навыков. Я считаю, что  от эффективности использования задач в обучении математике в  значительной мере зависит не только качество обучения, воспитание и  развитие учащихся, но и степень их практической подготовленности к  последующей деятельности к любой сфере. Задачи – основное средство развития математического мышления учащихся.  Я имею в виду не задачи тренировочного характера, а нестандартные задачи,  поиск решения которых является важнейшим слагаемым на пути развития  способностей учащихся. Ведь человеку в его практической деятельности  приходится решать не только неоднократно повторяющиеся задачи, но и  новые, никогда не встречавшиеся. Я учу выпускников находить путь к  решению проблем, а это значит – формирую у учащихся способность к  самостоятельному мышлению. Арифметический способ решения задач, как я думаю, является одним из  лучших средств развития самостоятельного мышления. С помощью  специально подобранных задач я показываю учащимся красоту и простоту  логического рассуждения, приводящего к решению. Учащиеся накапливают  определенный опыт с задачами: анализ условия, переформулировка условия,  установление связей между величинами. В процессе решения задачи я учу ребят четко соблюдать этапы: 1) понимание постановки задачи; 2) план решения; 3) решение; 4) изучение полученного решения. При решении даже несложной задачи учащиеся много времени тратят на  рассуждения о том, с чего начать. Я помогаю им найти путь к решению,  направляя их, но при этом оставляя посильную долю самостоятельной  работы. Для помощи учащимся в решении задач использую следующие  ­ 12 ­ вопросы: Известна ли подобная, родственная задача? Найдите связь  между данной задачей и задачей с известным решением. Или с задачей,  которая решается проще. А если опыта учащихся недостаточно, то  рассматриваю вспомогательные задачи, которые могут помочь учащимся  решить предложенную задачу. Использование вспомогательных задач  убеждает учащихся в необходимости быть наблюдательными и накапливать  математические факты, установленные в результате решения задачи. При  решении одних задач больше внимания уделяю обсуждению подходов к их  решению, при решении других – изучению полученного результата. Решив  задачу, обязательно спрашиваю ребят: чему полезному они научились в  ходе решения; какие новые знания приобрели; что полезно запомнить;  как проверить результат; можно ли решить другим способом; при  решении каких задач можно использовать данный метод. Арифметическим способом решить задачу труднее, а эффект алгебраического способа ощутим. При обучении составлению уравнений по условию задачи  рассматриваю возможность составления разных уравнений по одному и тому  же условию, сравнив полученные уравнения, выясняю ,какое уравнение  выгоднее и почему. Решение задач различными способами представляет  большие возможности для совершенствования обучения математике. При  решении задач только одним способом, единственная цель у учащихся – найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько  способов, то они стараются отыскать наиболее оригинальное, красивое,  экономическое решение. Вспоминают многие теоретические факты, методы и приемы, анализируют их с точки зрения применимости к данной задаче. Все  это активизирует учебную деятельность, прививает интерес к математике.  Полезнее решить задачу несколькими способами, чем решить несколько  однотипных задач одним способом. Я никогда не отвергаю предложенное  учеником оригинальное решение, если оно не соответствует структуре  учебника. Наоборот, я поощряю самостоятельные находки, обращая внимание всего класса. Решение любой задачи, особенно сложной,  ­ 13 ­ требует от учащихся напряженного труда и упорства. А упорства  проявляются, если задача интересна. Поэтому, я подбираю задачи, которые  ученики хотели бы решать. Чаще всего интерес вызывают задачи  практического содержания. Такими задачами могут быть комбинаторные  задачи.  Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом роздано  фотографий?  Сколькими способами в классе из 25 человек можно выбрать старосту и его  заместителя?  В понедельник  в вашем классе должно быть 5 уроков: русский язык,  литература, математика, история и физкультура. Сколько различных  вариантов расписания можно составить на этот день? Учащимся интересны задачи, которые связаны с местным производством.  Например, я даю задание ребятам узнать: а) Сколько кормовых единиц получает в день каждая корова на ферме. б) Составить круговую диаграмму наличия кормов на ферме вашего  отделения. После этого на уроке решаем задачу, в которой нужно узнать, получает ли в  достаточном количестве кормовых единиц каждая корова при таком рационе.  Сколько килограммов травяной муки нужно добавить, чтобы рацион  соответствовал норме? На своих уроках для формирования независимости мышления, я использую  занимательные задачи. Заинтересованный занимательными задачами учащийся начинает увлекаться математикой и переносит интерес к ней и на скучные  разделы, неизбежные в каждом предмете. В итоге это способствует быстроте  и глубине усвоения, прочности запоминания. Самое главное при решении задач: испытать радость от деятельности, от мига  понимания, момента перехода непонятного в понятное. ­ 14 ­ Метод конструирования логических задач. Опыт работы показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл  опережает математическую подготовку. Это обуславливает высокий интерес  школьников к решению логических задач. От обычных задач они отличаются  тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только  нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это  сделать. Решение и составление логических задач способствует развитию  мышления гораздо в большей степени, чем решение тривиальных задач,  которые в основном развивают память учащихся. Рассмотрим суть алгоритма  составления логических задач , который я применяю в своей практике: 1. Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов). 2. Составление полной информации о происшедшем событии. 3. Формирование задачи с помощью исключения части информации или ее  искажения. 4. Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости  (недостаток информации, искажение ее и т.д.) вводится дополнительное логическое условие. 5. проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение  единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено верно. Если нет, то необходимо обратиться к  дополнительному пункту 6. 6. В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся  информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем  условие задачи, после чего необходимо обратиться к пункту 5. Покажу на примере, как с помощью этого алгоритма я учу ребят составлять  логические задачи. 1. Объекты: газеты «Лопух», «Фикус», «Крапива». 2. Исходная информация: через месяц прекращается выпуск газеты  «Крапива». ­ 15 ­ 3. Для составления задачи искажаем информацию. Делаем ее логически  противоречивой. В газетах появились противоречивые сообщения:  «Лопух»: закрывается газета «Фикус».  «Фикус»: закрывается газета «Крапива».  «Крапива»: закрывается газета «Лопух». 4. Записываем условие задачи:   «Газеты «Лопух», «Фикус» и «Крапива» вышли с экстренными  сообщениями: «Лопух»: закрывается газета «Фикус». «Фикус»: закрывается газета «Крапива». «Крапива»: закрывается газета «Лопух». Какая газета не будет выпускаться, если закрывается только одна из них и  известно, что одна газета сообщила правду, а две другие солгали?» 5. Рассмотрев три варианта, нетрудно установить, что решение найти  невозможно. Переходим к следующему действию алгоритма. 6. Уточняем информацию. Во­первых, допускаем, что все газеты лгут, и,  во­вторых, дополнительно изменяем сообщение газеты «Фикус»:  «Крапива» не закрывается». Вернемся к пункту 5. Рассмотрим три варианта. а) Закрывается  «лопух». Составим таблицу: « Лопух» 0 « Фикус» 1 « Крапива» 1 Не удовлетворяет условию задачи. б) закрывается « Фикус». « Лопух» 1 « Фикус» 1 « Крапива» 0 Не удовлетворяет условию задачи. в) Закрывается  « Крапива». « Лопух» 0 Это решение задачи. ­ 16 ­ « Фикус» 0 « Крапива» 0 Многолетний опыт использования алгоритма подобного рода показывает, что  составление логических задач расширяет воспитательные возможности  учителя, так как существенно сближает математику с гуманитарными  предметами. Ребенок включается в составление задач, опираясь на свое  воображение и личный жизненный опыт. Дети часто наполняют задачи  психологическим подтекстом и пережитыми жизненными ситуациями.  Некоторые задачи становятся поводом для бесед. Особенно продуктивно  использование этого алгоритма с учениками 5 – 8 классов, так как в этом  возрасте у них пробуждается интерес к познавательной деятельности.   Нестандартные задачи. Нестандартные задачи – это такие задачи, для которых в курсе математике не  имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их  решения. В своей практике я применяю следующие методы решения  нестандартных задач: ­ 17 – 1. Расчленение на стандартные или более простые задачи с помощью разбиения на части. 1) условий задачи;           2) объекта задачи: 3) требований  задачи; 2.Замена данной задачи, ей равносильной с помощью: 1)преобразования условия; 2) замена переменных 3) замены (кодирования) (неизвестных); объектов другими; 3. введение вспомогательных элементов для : 1)сближения      данных и       искомых; 2) расчленения      задачи на      части; 3) придания      Задаче Определенности; ­ 18 Схема поиска решения нестандартной задачи.   Задача    Анализ задачи и построение ее вспомогательной модели Можно ли вычленить из условия более простые задачи или разбить условие на под задачи?  Да      Нет Разбить на подзадачи и каждую из них решить Преобразовать ( построить модель) и решить Переформулировать (построить модель) и решить ­ 19 ­ Можно ли (и нужно ли) преобразовать задачу путем введения вспомогательных элементов (вспомогательных построений)   Да   Нет  Можно ли переформулировать задачу в другую, более  знакомую  Да    Нет  Надо искать особый прием решения  задачи Прикладная направленность текстовых задач. Прикладная направленность математики понимается как содержательная и  методологическая связь школьного курса с практикой, что предполагает  формирование у учащихся умений, необходимых для решения средствами  математики практических задач. Математический подход при познании  явлений объективного мира, как показывает жизнь, позволяет глубже  проникнуть в природу вещей и явлений и открыть ранее скрытые  закономерности. Это обусловлено тем, что математика способна отражать  явления и процессы материального мира точнее, полнее и глубже, чем это возможно лишь средствами непосредственного наблюдения, эксперимента и  качественного осмысления полученных результатов. Из своего опыта можно  сделать вывод, что эффектному обучению математике во многом  способствует решение задач с практическим содержанием. Поэтому, я  считаю, что обращение к примерам из жизни, окружающей обстановки и т.п.  облегчает учителю возможность организовать целесообразную учебную  деятельность учащихся. А это способствует более глубокому усвоению  теоретических положений, формированию умения применять математические знания на практике, позволяет в ряде случаев ознакомить школьников с  процессами производства. Избегая однообразия и шаблона при подборе задач , я использую задачи с различными формулировками условий, в том числе  такие, в которых существенно выделена описательная часть, формулировки –  рассказы, задачи – расчеты и другие. Кроме того, применение задач  практического содержания приводит к  расширению  знаний  учащихся за счет включения задач экономического характера, задач на концентрацию, смеси и  сплавы. Считаю, что решение задач с практическим содержанием является  важным средством многостороннего воздействия на обучаемого и требует  неформального подхода к каждой задаче. ­ 20 ­ Наряду с требованиями современности, развитием экономики в стране  человеку приходится сталкиваться с решением различных типов задач.  Возникает востребованность в интеллектуально развитых выпускниках,  обладающих качествами мышления, характерного для математической  деятельности и необходимого для продуктивной жизни в обществе.  Ориентация школьников на поиски красивых, изящных решений  математических задач способствует эстетическому воспитанию учащихся и  повышению их математической культуры. Задачи на движение Задача 1. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно  с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист  доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу  пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся,  если расстояние между А и В равно 30 км ? Приведу « длинное» решение этой задачи без пояснений: 1) 30 : 10 = 3 (ч.)                                4) 10 + 5 = 15 (км/ч) 2) 5 * 3 = 15 (км.)                               5) 15 : 15 = 1 ( ч.) 3) 30 – 15 = 15 ( км.)                          6) 3 + 1 = 4 ( ч.) Это решение можно упростить, если переформулировать задачу, заметив, что  в задаче речь идет по сути дела о движении навстречу друг другу с  удвоенного расстояния. Тогда эта задача запишется следующим образом:  «Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В  вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал  велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала  движения они встретятся ?»      _10 км/ч_____     ________________________ А_________________.________В    _________________________     ________       5 км/ч Такая переформулировка задачи приводит к упрощению решения 1) 30 ∙ 2 = 60 (км) – путь, проделанный пешеходом и велосипедистом. 2)  10 + 5 = 15 (км/ч) – скорость сближения. 3)  60 : 15 = 4 (ч.) – произойдет встреча. ­ 21 Задача 2 От станции А по направлению  к станции В отошел пассажирский поезд.   Через 2ч30 мин. От станции В по направлению к станции А отошел поезд  «Стрела». Поезда встретились на станции  С. После встречи  пассажирский поезд шел 4ч.30мин., а поезд «Стрела» ­ 3ч.40мин. сколько  времени потребовалось каждому из этих поездов на весь путь между  станциями А  и  В ? Предполагается, что скорость поездов  постоянна на  всем пути. Схема движения поездов выглядит так: Пассажирский                                                                       _____________________________________________  2 ч. 30 мин. А                    Д                  С                                  В  ___3 ч.40 мин _______________________.        4 ч.30ми. « Стрела » Задача 3 Два туриста выехали  одновременно из села А и направились разными  дорогами в село  В. Первый должен был проехать 30 км, а второй – 20 км.  Скорость движения первого туриста была на 3 км/ч больше скорости  второго. Однако второй турист прибыл в село  В на 20 мин раньше первого. Сколько времени был в пути каждый турист ? Решение: Величины S ( км ) V ( км/ч ) T ( ч ) Процессы движения 1 турист 30 2 турист х + 3        на 1/3 км/           х больше      30   ?         х+3 на 1/3 ч меньше,      20 ?   х чем S = v t ,     v1 – v2 = 3 ,    t1 – t2  = 1/3 отсюда заключаем : 30    __    20    ==  1 х+3          х          3 Учитывая ОДЗ левой части полученного уравнения ( х = ­ 3 и х = 0 ),  переходим от него к квадратному:     х2 – 27 х + 180 = 0. ­ 22 ­ Отсюда х1 = 12,  х2 = 15. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. В таком случае  остается открытым вопрос: какая же скорость была у 2 туриста: 15 км/ч или  12 км/ч ? Оба ответа удовлетворяют условию задачи, значит, нужно  рассмотреть два случая. а) Скорость 2 туриста 15 км/ч, тогда t1= 30: (15 + 3)= 1 2 (ч) и t2 =20/15=1 1(ч)                                                                                               3                             3 б) Скорость 2 туриста 12 км/ч, тогда t1=30:(12+3)=2(ч) и t2=20/12=1 1  (ч).                                                                                                                     3 Ответ: а) время движения 1 туриста составило 1 2  ч, а 2 туриста – 1 1  ч. б) время движения 1 туриста составило 2 ч, а 2 туриста – 1 2   ч.                                                                                                       3 Старинные задачи. 3 3 Один человек выпьет кадь в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней.  № 1.(Из « Арифметики» Л.Ф.Магницкого). Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь. Старинное решение: За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женою за 140 дней они  выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14 – 10 = 4 бочонка.  Один бочонок она выпьет за 140 : 4 = 35 дней.( Можно в этой задаче взять 70  дней, а не 140) № 2. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца.  За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена ? Старинное решение: Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съест 6 возов ,  коза – 3 воза, а овца – 2 воза. Всего 11 возов, значит, в месяц они съедают 11                                                                                                                                  6 Воза, а один воз съедят за  1 : 11   =  6    ( месяца )                                                      6        11 № 3. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, четвертый – за 4 года.  Спрашивается, за сколько лет они построят дом  при совместной работе. Старинное решение: В 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый 12 дворов,  второй – 6 дворов, третий – 4, четвертый – 3. Таким образом, за 12 лет они  ­ 23 ­ могут построить 25 дворов. Следовательно, один двор все они сумеют  построить за  (365 * 12) : 25 = 175 1   дней.                                                            5 № 4.(Задача Бхаскары; Индия 12в.). Из множества чистых цветов лотоса были принесены в жертву Шиве – третью  долю этого множества, Вишну – пятую и Солнцу – шестую; Четвертую долю  получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель.  Сколько цветков было ? №5. (Из азбуки Л.Н.Толстого). Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5ч. Утра. В 12 ч.  выехал барин из  Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 верст в  каждый час. На какой версте догонит барин мужика ? № 6.( Китай, 2в.). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от  северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько часов они встретятся ? №7.(из « Всеобщей арифметики» И.Ньютона). Два почтальона  А и  В находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются навстречу друг другу. А  проходит в два часа 7 миль, В – в  три часа 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. сколько миль пройдет  А до встречи с  В ? №8.(Задача Герона Александрийского, 1в.). Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из  которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час  – четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при  совместном действии обеих труб ? № 9.( Армения, 7 в.). В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб  может наполнить водоем за 1 ч., другая, более тонкая, ­ за 2 ч., третья, еще  более тонная, ­ за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе  наполняют водоем.                     ­ 24 ­ №10. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7  полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2  алтына без полушки. Сколько стоит покупка ? ( 1 полушка = ½ деньги = ¼  коп.) №11.( Из « Арифметики» Л.Н.Толстого.). Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял  7/10 всех денег, а жена 690 р. Сколько было всех денег ? №12. Отец дает своим детям . Старшему – половину всего и 1 р., среднему –  половину остатка и еще 1 р., младшему – половину остатка и еще 3 р. И таким образом всю сумму раздал. Сколько было денег ? Задачи на « Смеси и сплавы» №1. Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый  сплав содержит 40% олова, а второй – 26 % меди. Процентное содержание  цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого  сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 %  цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся  новом сплаве. Решение: Для решения задачи удобно составить таблицу: медь цинк олов масса о 1 сплав 30% 40% 150  2 сплав 26% 30% 3 сплав 30% ? кг кг 250  кг 400  кг ­ 25 ­ Т.к. процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково и в  третьем сплаве оказалось 30 %, то и в первом и во втором сплавах процентное содержание цинка 30 %. Дальше задача легко решается по действиям: 1) 250 : 0,3 = 75 (кг) – цинка во втором сплаве; 2) 250 * 0,26 = 65 (кг) – меди во втором сплаве; 3) 250 – (75 + 65) = 110 (кг) – олова во втором сплаве; 4) 150 * 0,4 = 60 (кг) – олова в первом сплаве; 5) 110 + 60 = 170 (кг) – олова в третьем сплаве. Ответ: 170 кг. №2. В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4 : 1, а во втором  сплаве весом 16 кг отношение меди к цинку равно 1 : 3. Сколько надо  добавить чистой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором  отношение меди к цинку равно 3 :2 ? Таблица поможет решить задачу. Пусть добавили х кг чистой меди. медь цинк 1 сплав 4 части 1 часть 2 сплав 1 часть 3 части 3 сплав 3 части 2 части масса 10 кг 16 кг (10+16+х) кг 1) 10 : 5 ∙ 4 = 8 (кг) – чистой меди в первом сплаве; 2) 16 ∙    = 4 (кг) – чистой меди во втором сплаве. 1 4 В новом сплаве меди ( 4 + 8 + х ) или ( 26 + х ) ∙ кг. 1 3                                                                      12 + х = ( 26 + х ) * 3  ,   отсюда  х = 9 (кг)                                  5 Ответ: 9 кг надо добавить чистой меди к сплавам. №3. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько  нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с  содержанием 30 % никеля ? ­ 26 ­ 5 % никеля 40 % никеля                                          х   т                                                               у   т 30 % никеля По схеме учащиеся легко составляют систему уравнений:     х + у = 140,     0,05х + 0,4 = 0,3 ∙ 140. Решая систему, получаем 40 т  и  100 т. №4. Один раствор содержит 20 % (по объему) соляной кислоты, а второй – 70 %  этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять,  чтобы получить 100 л 50 %­го раствора соляной кислоты ? 20 % кислоты 70 % кислоты                                          х   л                                                               у   л 50 % кислоты Используя схему, получаем систему:   х + у = 100,   0,2х + 0,7у = 0,5 * 100. Решая систему, получим 40 л  и  60 л. Задачи для викторин. №1. Сколько получится десятков, если 2 десятка умножить на 2 десятка ? №2. Полный бидон с молоком весит 34 кг. Бидон, наполненный наполовину, весит  19 кг. Сколько весит пустой бидон ? №3. Черепаха Тортила поселилась на 3 этаже нового дома. Когда она идет на  улицу, то с этажа на этаж спускается по лестнице за 0,5 часа. Сколько  времени тратит бедное животное, чтобы спустится вниз ? ­ 27 ­ №4. В классе 33 ученика. 24 из них выписывают журнал «Веселые картинки», а 14  – «Мурзилку». Сколько учащихся выписывают оба журнала ? №5. Стояла Марина, держала в руках целое яблоко да две половинки и четыре  четвертинки. Сколько яблок в руках у Марины ? №6. Сколько лет исполнится сестре, когда брату будет 12 лет, если сейчас ему 8, а сестра на 3 года моложе ? №7. В двух карманах денег поровну. Из левого кармана в правый переложили 3 р.  На сколько рублей в правом кармане стало больше, чем в левом ? №8. В морской порт теплоход «Счастливый» прибывает один раз в три дня,  теплоход «Удачный» ­ один раз в четыре дня, а теплоход «Надежный» ­ один  раз в пять дней. В прошлый понедельник все три теплохода были в порту.  Через какое наименьшее число дней они все снова прибудут в этот же порт и  какой это будет день недели ? №9. Два человека варили кашу. Один дал для этого две кружки крупы, другой –  три кружки. Когда каша была готова, подошел третий человек и попросил разрешения съесть с ними кашу за плату. После еды он уплатил свою долю – 5 рублей. Как разделили эти деньги варившие кашу ? №10. На складе были бревна длиной по 6 м  и  8 м одинаковой толщины. Какие  бревна выгоднее брать, чтобы получить больше метровых бревен при меньшем числе распилов ? ­ 28 ­