Методические рекомендации для практических работ по математике 1 курс СПО

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

Название практических работ	страницы
Практическая работа №1 Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений.	5
Практическая работа №2 Вычисление и сравнение корней. Решение иррациональных уравнений. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.	6
Практическая работа №3 Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому. Решение логарифмических уравнений.	8
Практическая работа №4 Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей, плоскостей. Геометрическое преобразование пространства.	10
Практическая работа №5 Задачи на подсчет числа размещений, перестановок и сочетаний. Вывод бинома Ньютона n степени.	11
Практическая работа №6 Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве.	12
Практическая работа №7 Вычисление значений тригонометрических функций. Преобразование тригонометрических выражений.	13
Практическая работа №8 Решение тригонометрических уравнений и неравенств.	14
Практическая работа №9 Простейшие преобразования графиков функции.	15
Практическая работа №10 Построение и преобразование графиков функций.	16
Практическая работа №11 Построение сечений.	17
Практическая работа №12 Вычисление площади поверхности и объема многогранников.	18
Практическая работа №13 Вычисление площади поверхности и объема тел вращения.	19
Практическая работа №14 Вычисление пределов.	20
Практическая работа №15 Вычисление производной.	21
Практическая работа №16 Исследование функции и построение графиков.	22
Практическая работа №17 Применение определенного интеграла к вычислению площадей фигур.	22
Практическая работа №18 Решение задач с использованием вероятностных методов.	23

 

 

 

 

 

 

Практическая работа №1

Тема: Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений.

Цель: Закрепить навыки выполнения арифметических действий, вычислений с приближенными данными, округления чисел, нахождения погрешностей.

Ход работы:

Теория (ответить на контрольные вопросы и приведите примеры)

Контрольные вопросы:

1. Как округлить число до десятых?
2. Как округлить число до сотен?
3. Дайте определение абсолютной погрешности.
4. Дайте определение относительной погрешности.
5. Какой вид имеет комплексное число?
6. Что такое мнимая единица?

Практика (выполнить практическую часть работы)

Задания	1вариант	2 вариант
1. Вычислить:
2. Запишите числа в стандартном виде:	а) 0,00018; б) 375000000.	а) 0,0073; б) 5250000.
3. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби. Округлите дробь до десятых. Вычислите абсолютную и относительную погрешность округления.
4. Даны приближенные значения величин.  Найдите сумму и произведение этих величин.	a ≈ 2,035 и b ≈ 0,0127	a ≈ 2,005 и b ≈ 0,017
5. Даны комплексные числа. Отметьте эти числа на координатной плоскости и выполните арифметические действия с ними.		.
6. Вычислите.

 

 

Практическая работа №2

Тема: Вычисление и сравнение корней. Решение иррациональных уравнений. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.

Цель: Закрепить навыки выполнения арифметических действий в выражениях, содержащих корни, и навыки решения иррациональных и показательных уравнений.

Ход работы:

Теория (ответить на контрольные вопросы и привести примеры)

Контрольные вопросы:

1. Записать определение степени с натуральным показателем.

2. Записать свойства степени.

3. Записать свойства корня.

4. Дать определение уравнения.

5. Что значит решить уравнение?

6. Дать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений.

7. Дать алгоритм решения простейших показательных уравнений.

Практика:

1. Вычислите:

№	1 вариант	2 вариант
1	;
2	;
3	251,5 + ;	27
4	;
5	.

 

2. Решите уравнение:

     

№	1 вариант	2 вариант
1
2
3
4
5
6	;	;
7	;
8
9

 

 

3. Дополнительное задание. Вычислить:

1)        

2)         4: –10: (0,25)

 

 

 

Практическая работа №3

Тема: Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому. Решение логарифмических уравнений.

 Цель: Закрепить навыки выполнения арифметических действий выражений, содержащих логарифмы, и навыки решения логарифмических уравнений.

Ход работы:

Теория (ответить на контрольные вопросы и привести примеры)

Контрольные вопросы:

1.         Дать определение логарифма, десятичного логарифма.

2.         Записать свойства логарифмов.

Практика

1.  Вычислить:

1 вариант		2 вариант

 

2. Решить уравнения:

№	1 вариант	2 вариант
1
2
3
4

Практическая работа №4

Тема: Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей, плоскостей. Геометрическое преобразование пространства.

Цель: Закрепить знания по темам «Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей, плоскостей» и  «Геометрическое преобразование пространства».

Развивать пространственное воображение и логическое мышление.

Ход работы:

Теория (ответить на контрольные вопросы устно)

Контрольные вопросы:

1. Основные понятия стереометрии.
2. Определения отрезка, луча, угла, вектора.
3. Определения параллелограмма, прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции.
4. Аксиомы стереометрии.
5. Следствия из аксиом стереометрии.
6. Взаимное расположение прямых в пространстве.
7. Взаимное расположение прямой и плоскости.
8. Взаимное расположение плоскостей.
9. Признак параллельности прямых.
10. Признак параллельности прямой и плоскости.
11. Перпендикулярные прямые в пространстве.
12. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
13. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости.
14. Признак перпендикулярности   плоскостей.
15. Примеры движения.
16. Гомотетия

Практика

1.             Начертить четырехугольник и построить ему симметричный относительно оси.

2.             Начертить треугольник и построить ему симметричный относительно центра.

3.             Начертить четырехугольник и выполнить его параллельный перенос.

4.             Построить треугольник гомотетичный данному, если коэффициент гомотетии равен 2

5.             Изобразить на плоскости куб, параллелепипед, треугольную призму, пирамиду, усеченную пирамиду.

 

Практическая работа №5

Тема: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок и сочетаний. Вывод бинома Ньютона n степени.

Цель: Закрепить навыки использования формул комбинаторики и действий с факториалами. Научиться выводить бином Ньютона любой степени и использовать треугольник Паскаля

Ход работы:

Теория  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

1.         Что такое факториал?

2.         Запишите формулы числа перестановок, сочетаний, размещений.

3.         Приведите примеры комбинаторных задач на каждую из формул.

4.         Что такое бинома Ньютона?

5.         Запишите свойства биномиальных коэффициентов.

6.         Что такое треугольник Паскаля?

Практика

№	1 вариант	2 вариант
1	Вычислить:	Вычислить:
2	Сколькими способами из класса, в котором учатся 20 школьников, можно выбрать: а) двоих для участия в математической олимпиаде? б) капитана команды для математических соревнований и его заместителя?	В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) 1 ученик должен решить задачу, 2 — сходить за мелом, 3 — пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?
3	Сколько существует автомобильных номеров состоящих из трех цифр и трех букв?	В чемпионате участвует 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены три различные медали?
4	11 футболистов строятся перед началом матча. 1-м — обязательно капитан, 2-м — обязательно вратарь, а остальные — случайным образом. Сколько существует способов построения?	Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?
5	Запишите бином Ньютона 5степни	Запишите бином Ньютона 6степни

 

Практическая работа №6

 

Тема: Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве.

Цель: Закрепить навыки выполнения действий с векторами, заданными координатами.

Ход работы:

Теория  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Основные определения и обозначения для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определения вектора.
2. Как найти координаты вектора?
3. Как найти длину вектора?
4. Как выполнить сложение и вычитание векторов?
5. Как умножить вектор на число?
6. Дайте определение скалярного произведения векторов.
7. Как найти скалярное произведение, зная координаты вектора?
8. Как найти косинус угла между векторами?

 

Практика

Найти площадь треугольника АВС, если:

1. А(1;2), В(13;7), С(7;10)
2. А(1;3;7), В(5;2;1), С(3;8;5)
3. А(-2;3;5), В(3;2;-1), С(2;-2;1)

Практическая работа №7

Тема: Вычисление значений тригонометрических функций. Преобразование тригонометрических выражений.

Цель: Повторить определения тригонометрических функций, основные тригонометрические тождества. Закрепить навыки вычисления значений  тригонометрических функций, выполнения преобразований тригонометрических выражений.

Ход работы:

Теория:  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

1. Что такое угол в 1 радиан?

2. Сколько радиан в полном круге?

3. Выразите в градусах:

π	π/2	π/3	π/4	π/6	3π/4	2π/3	3π/2	5π/6

                       

4. Дайте определение синуса, косинуса и тангенса используя понятие прямоугольного треугольника и тригонометрического круга.

– это отношение противолежащего катета к прилежащему катету

– это отношение противолежащего катета к гипотенузе

– это отношение прилежащего катета к гипотенузе

– это ордината точки единичной окружности

– это абсцисса точки единичной окружности

– это отношение ординаты точки единичной окружности к абсциссе.

5. Запишите основные тригонометрические тождества.

6. Укажите знаки тригонометрических функций по четвертям

синус	1 четверть	2 четверть	3 четверть	4 четверть
косинус
тангенс

 

Практика:

1 вариант

1. Найти значения   
2. Определить по таблице значения функций для углов:

3. Вычислите:

 

а)  

 

б) 

 

в) 

г)

 

2 вариант

1. Найти значения   
2. Определить по таблице значения функций для углов:

3. Вычислите:

 

а)  

 

б)

 

в) 

г) 

 

Практическая работа №8

Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

 Цель: Закрепить навыки решения простейших  тригонометрических уравнений и неравенств.

Ход работы:

Теория:  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

1.      Дайте определения арксинуса, арккосинуса арктангенса числа а.

2.      Запишите формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.

Практика:

 

Задания	1 вариант	2вариант
1. Решить тригонометрические уравнения:
2. Решить тригонометрические неравенства:

 

           

 

Практическая работа №9

Тема: Простейшие преобразования графиков функции.

Цель: Закрепить навыки построения и преобразования графиков функций.

Ход работы:

Теория:  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

1. Прямая пропорциональность – это функция вида…
2. Обратная пропорциональность – это функция вида…
3. Квадратичная функция  – это функция вида…
4. Как выглядит график функции  ?
5. Как выглядит график функции  ?

Практика:

 Начертить графики функций. Указать область определения и множество значений функции.

№	1 вариант	2 вариант
1
2
3
4
5
6

 

 

 

 

 

Практическая работа №10

Тема: Построение и преобразование графиков тригонометрических функций. Графический способ решения уравнений и систем уравнений.

Цель: Закрепить навыки построения и преобразования графиков тригонометрических функций. Развить навыки решения уравнений и систем уравнений.

Ход работы:

Теория:  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

Дана функция .

1. Как построить функцию ?
2. Как построить функцию ?
3. Как построить функцию ?
4. Как построить функцию ?
5. Как построить функцию ?
6. Как построить функцию ?

 

Практика:

Задание	1 вариант	2 вариант
1. Начертить графики функций
2. Решить графически систему уравнений
3. Решить графически  уравнение

 

        
Практическая работа №11

Тема: Построение сечений многогранников.

Цель: Повторить аксиомы и теоремы стереометрии. Закрепить навыки построения сечений многогранников.

Ход работы:

Теория:  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

1. Какие аксиомы и теоремы используются при построении сечения?
2. Запишите правила построения сечений многогранников.

Практика:

 

Задание	1 вариант	2 вариант
1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью	проходящей через точки  B, D, D1	проходящей через точки  A, A1, C1
2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью	проходящей через точки  A, C, D1	проходящей через точки  A, B, D1
3. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью	проходящей через прямую BB1 и точку D	проходящей через прямую DD1 и точку B
4. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью	проходящей через прямую AB и точку C1	проходящей через прямую A D и точку В1
5. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки	A, B и точку Т, лежащую на ребре DC	C, B и точку S, лежащую на ребре AD
6. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости основания	АВС	АВС
7. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки	К и М соответственно лежащих на ребрах AB и BC и точку D	К и М соответственно лежащих на ребрах AB и AC и точку D

 

 

 

 

Практическая работа №12

Тема: Вычисление площадей поверхности и объемов многогранников.

Цель: Повторить формулы площадей поверхностей и объемов многогранников. Закрепить навыки измерения линейных размеров фигур и вычисления площадей поверхностей и объемов многогранников.

Ход работы:

Теория:  (ответьте на контрольные вопросы, приведите примеры).

Контрольные вопросы:

1.         Дать определения плоским фигурам: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция.

2.         Заполнить таблицу №1

Площадь прямоугольника
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Площадь ромба

3.         Дать определения многогранникам: призма, параллелепипед,

куб, пирамида.

4. Заполнить таблицу №2

Многогранник	Площадь поверхности	Объем
Куб
Параллелепипед
Призма
Пирамида

 

 

 

 

 

 

Практика:

1. Выполнить необходимые измерения и рассчитать объемы и площади поверхностей предоставленных фигур.

2. Решить задачи:

1 вариант	2 вариант
Сколько  примерно листов железа размером 2х0,8м необходимо для покрытия двускатной крыши, общая площадь которой 80 кв.м?	Сколько  примерно листов шифера размером 1,5х1м необходимо для покрытия двускатной крыши, общая площадь которой 120 кв.м?
Сколько кубометров бетона необходимо залить, чтобы получить стены 1 этажа. Толщина стен 50см. Размер оконного проема 1,5х1,2м, дверного – 2х1,7м. Внешние размеры дома 5 на 6м.	Сколько кубометров бетона необходимо залить, чтобы получить стены 2 этажа. Толщина стен 50см. Размер оконного проема 1,5х1,2м, маленького – 1х0,8м. Внешние размеры дома 5 на 6м.

Практическая работа №13

Тема: Вычисление площадей поверхности и объемов тел вращения.

Цель: Повторить формулы площадей поверхностей и объемов тел вращения. Закрепить навыки вычисления площадей поверхностей и объемов тел вращения. Уметь использовать понятие плотности для вычисления массы или объема тела.

Ход работы:

Теория:  (ответить на контрольные вопросы, сделать рисунки)

Контрольные вопросы:

1. Дать определения фигурам вращения: цилиндр, конус, шар, тор.
2. Записать формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов тел вращения.

Практика:

№	1 вариант	2 вариант
1	Найти массу мотка медной проволоки, диаметром 2мм. и длиной 40м. Плотность меди 8900кг на кубический метр.	Найти массу стального стержня, диаметром 4см. и длиной 3м. стали  7800кг на кубический метр.
2	Найти массу кучи щебня, имеющей форму конуса, радиусом 4м. Образующая – 5м. Плотность щебня 1600кг на кубический метр.	Сколько шариков диаметром 2см. Потребуется для того чтобы выплавить шар диаметром 10см.
3	Крыша здания имеет окно в форме полусферы, радиус которой равен радиусу площадки под ним. Найти площадь окна, если площадь площадки – 100 квадратных метров.	Крыша здания имеет форму конуса, радиус которой равен радиусу площадки под ним. Найти площадь крыши, если диаметр площадки –6метров, а высота крыши 4м.
4	Найти радиус стального шара массой 200гр. Плотность стали  7800кг на кубический метр.	Найти радиус медного цилиндра массой 200гр. Плотность меди 8900кг на кубический метр.
5	Сколько процентов составляют отходы при вытачивании шара из цилиндра.	Сколько процентов составляют отходы при вытачивании шара из куба.

 

Практическая работа №14

Тема: Вычисление пределов.

Цель: Повторить правила вычисления пределов и закрепить навыки их использования.

Ход работы:

Теория:  (ответить на контрольные вопросы, привести примеры)

Контрольные вопросы:

1.         Первое правило вычисления пределов.

2.         Что получится если число делить на бесконечно большое?

3.         Что получится если число делить на бесконечно малое?

4.         Что делать в случае неопределенности вида ?

5.         Что делать в случае неопределенности вида ?

Практика:

Вычислить предел функции

№	1 вариант	2 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8

 

 

Практическая работа №15

Тема: Вычисление производной.

Цель: Повторить правила вычисления производных, закрепить знание табличных значений и навыки их использования.

Ход работы:

Теория:  (ответить на контрольные вопросы, привести примеры)

Контрольные вопросы:

1.                  В чем заключается геометрический смысл производной?

2.                  В чем заключается её механический смысл?

3.                  Как найти производную суммы, произведения, частного?

4.                  Как найти производную сложной функции?

5.                  Таблица производных основных элементарных функций.

 

Практика:

Вычислить производную функции

№	1 вариант	2 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8

Практическая работа №16

Тема: Исследование функции и построение графиков.

Цель: Повторить алгоритм исследования функции. Закрепить навыки  исследования функции и построения графиков.

Ход работы:

Теория:  (ответить на контрольные вопросы, привести примеры)

Контрольные вопросы:

1.                                                     Как по виду формулы понять, что функция четная, нечетная?

2.                                                     Как по графику понять, что функция четная, нечетная?

3.                                                     Приведите пример функции общего вида.

4.                                                     Как найти точку пересечения графика с осью х, осью у?

5.                                                     Как зависит характер монотонности функции от знака производной?

Практика:

Исследовать функцию и построить график

 

 

Практическая работа №17

Тема: Применение определенного интеграла к вычислению площадей фигур.

Цель: Повторить алгоритм вычисления площадей фигур при помощи определенного интеграла. Закрепить навыки  построения графиков и вычисления определенных интегралов.

Ход работы:

Теория:  (ответить на контрольные вопросы, привести примеры)

Контрольные вопросы:

1.                  Как проверить, что интегрирование выполнено верно?

2.                  Каков геометрический смысл определенного интеграла?

3.                  Как найти площадь фигуры ограниченной и снизу и сверху функциями?

Практика:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

№	1 вариант	2 вариант
1	;	;
2	;	;
3	;	;

 

Практическая работа №18

Тема: Решение задач с использованием вероятностных методов.

Цель: Понимать вероятностный характер различных процессов окружающего мира. Повторить теории вероятности. Закрепить навыки решения задач и вычислять в простейших случаях вероятности событий.

 

Ход работы:

Теория:  (ответить на контрольные вопросы, привести примеры)

Контрольные вопросы:

1.                  Дать определение вероятности.

2.                  Привести пример задачи, в которой вероятность события равна 0.

3.                  Привести пример задачи, в которой вероятность события равна 1.

4.                  Привести пример задачи, в которой вероятность события находится как сумма.

5.                  Привести пример задачи, в которой вероятность события находится как произведение.

6.                  Как вы понимаете закон распределения случайной величины?

 

Практика:

 

№	1 вариант	2 вариант
1	На экзамене по математике школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.	На экзамене по математике школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Степень числа», равна 0,4. Вероятность того, что это вопрос на тему «Логарифм», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
2	3.  Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых	3.  Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза промахнулся, а последние два попал в мишени. Результат округлите до сотых
3	Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны, соответственно, 0,9  и 0,3. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; б) не будет поражена ни разу; в) будет поражена хотя бы один раз; г) будет поражена ровно один раз.	Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны, соответственно, 0,7  и 0,9. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; б) не будет поражена ни разу; в) будет поражена хотя бы один раз; г) будет поражена ровно один раз.