М.И. Немцова

 

ИНФОРМАТИКА

Методические рекомендации для выполнения практических работ Представление информации в различных системах счисления. для первых курсов

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА на тему 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.

Цель:  формирование умений и навыков использования различных систем счисления.

Задача: научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

Средства обучения: методические указания для выполнения практической работы. 

Теоретический материал

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1.    Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

 

2.    Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

 

3.    Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

 

4.    Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

 

 

5.    Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

 

 

6.    Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

 

7.    Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

 

8.    Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

9.    Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

 

10.                       Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

 

11.                       При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

 

Пример 2. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?

 

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

 

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

 

Таблица степеней числа 2:

21	22	23	24	25	26	27	28	29	210
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

 

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

 

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

 

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

 

Перевод целых чисел

 

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810₁₀. Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

 

 

1.     Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2⁹ = 512.

2.     Вычитаем 512 из 810, получаем 298.

3.     Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.

4.     У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2⁹ + 2⁸ + 2⁵ + 2³ +

2¹.

 

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, куб 1000. То есть степень основания системы счисления — это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

 

Способ 1: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа

810₁₀ = 1100101010₂. Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

 

Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

 

810 =

2⁹ = 1000000000 (1 и девять нулей) +

2⁸ = 100000000 (1 и восемь нулей) +

2⁵ =         100000 (1 и пять нулей) +

2³ =            1000 (1 и три нуля) +

2¹ =                10 (1 и один ноль)

 

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010.

 

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

 

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

 

Теперь пример попроще.

 

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5². Это 2.

 

Получаем 63₁₀ = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5² + 2 * 5 + 3 = 223₅.

 

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

 

Переведем в двоичную систему число 547₈.

547₈= 101 100 111

            5      4      7

 

 

Ещё одно, например 7D6A₁₆.

7D6A₁₆= (0)111 1101 0110 1010

               7          D        6        A

 

 

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736₈ = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE₁₆. Переведем в 8-ричную систему число C25₁₆. Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25₁₆ = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045₈. Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68₁₆ = 14 * 16² + 6 * 16 + 8 = 3688. 732₈ = 7 * 8² + 3*8 + 2 = 474.

 

Ход выполнения работы

Выполнить задание по вариантам различными способами (вариант выбрать по номеру в журнале)

 

Вариант 1   1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     100011.

2)  Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     532.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     1069.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     2403.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     4965.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     1E98.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 2  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      11010110. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     73107. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     250.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     193.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     62053. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     30A.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 3  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      10101101. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     712.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     195.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     6951.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     6123.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:      11CD.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 4  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      11110001. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     4547.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     232.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     7114.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     618.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное: 3DE.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 5  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      10101111. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     1701.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     546.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     252.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     51746. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     1E21.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 6  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      1001001. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     422.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     618.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     90.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     739.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     2C6.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 7  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      11101101. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     15751. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     220.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     392.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     55317. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     F5D1.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 8  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     100010. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     46606. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     1449.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     2955.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     4583.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное: 27D.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 9  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     111101. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     72631. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     474.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     237.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     5035.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     E7E5.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 10  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      10110001. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     34254. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     529.

4) Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     20529. 5) Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     56330. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:      C16D.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 11  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     110001. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     7223.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     562.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     81.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     832.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     24A.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 12  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     100100. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     7524.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     654.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     189.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     7384.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное: 34E.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 13  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     101001. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     41634. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     548.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     129.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     670.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     B631.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 14  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     111010. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     447.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     199.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     3896.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     53484. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:      B0D7.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 15  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     110110. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     6266.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     967.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     1685.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     6051.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     3ED.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 16  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      11001100. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     7677.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     596.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     2589.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     5892.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное: 18CF.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 17  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     110011. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     603.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     1516.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     252.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     998.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     9D65.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 18  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      1111011. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     5356.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     261.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     415.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     48623. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     A564.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 19  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      1010010. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     771.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     1804.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     3268.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     903.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     C18F.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 20  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     100011. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     44515. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     793.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     3411.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     44369.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное: C3BB.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 21  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     110101. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     5451.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     1714.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     3843.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     36630. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     20E.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 22  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      1000010. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     114.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     851.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     17649. 5) Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     852.

6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     125B.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 23  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:      1101101. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     5712.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     942.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     4727.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     6580.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     19C2.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 24  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     111000. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     332.

3)  Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     138.

4)  Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     233.

5)  Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     49724.

6)  Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:16DB.

----------------------------------------------------------------------

Вариант 25  . 1) Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное:

     101101. 2) Преобразуйте следующее восьмеричное число в десятичное:

     34411. 3) Преобразуйте следующее десятичное число в двоичное:

     1372.

4) Преобразуйте следующее десятичное число в восьмеричное:

     15956. 5) Преобразуйте следующее десятичное число в шестнадцатеричное:

     39774. 6) Преобразуйте следующее шестнадцатеричное число в десятичное:

     1A19.

----------------------------------------------------------------------  

Список использованных источников

1. https://ru.wikibooks.org/wiki/Системы_счисления